Cantidad de Movimiento(1)

 I.

PROBLEMAS: 1. Un rociad rociador or tiene tiene cuatro cuatro brazo brazoss de 50cm de ar!o ar!o con bo"ui bo"uias as a #n!uos rectos con os brazos $ a %5& con e sueo como se muestra en a 'i!ura. Si a (eocidad de 'u)o tota es de 0.01m * +s $ as bo"uias son de 1,mm de di#metro- cacue a (eocidad de rotacin de rociador. I!norar a 'riccin.

Solución: -

 La velocidad de salida salida sera: Ve =

Q

Q = Gasto, descarga, flujo total 

 A

 sabemos que:  A = !$( & /

Q  =

#$#% 

 +ntonces: -

⇒  A = !"#$#%&' & / ")orque ")orque son  boquillas, )or lo tanto  *reas de salida' Ve =

"#$#%' "#$#%&'&

π  

⇒ Ve = &&$%m/s

 ijando el marco marco de referenc referencia ia como se indica - tomando los diferenciales, tenemos:

 A.ora el momento inercial sera:

 d & A  d0  1  2  = ∫ r ×  & + &0 × V  + 0 × "0 × r' + × r  $d ∀ dt   dt    )ero:

r × 40 × "0 × r'3

=#

 - su)oniendo que el rociador es d & A estacionario de manera que dt &

5ambi6n la velocidad angular " Ω '  es constante, entonces:

=#

d Ω dt 

=#

 La nueva ecuación ser*:  1  2  =

∫ r × 4&0 × V3 /$d ∀

 7eali8ando las res)ectivas direcciones - d  / A dr  , tenemos: #$:

 1  2 

=  ∫ r  i × "&0 9 × V  i ' Adr  #

#$:

 1  2 

= ; ρ  A 0 V  9 ∫ r dr 

⇒

 1  2 

=    A 0

9 

#

 A)licando la ecuación de   = "1  2  ) >  =

∫ (r × V )

V n  /A

 > 

 ?ero    M 2  / 0  , )or lo que no .a- momentos e@ternos alrededor del  eje >, entonces reem)la8ando tenemos: = AV0

=  ∫ 4#$: i × "#$# V e

9 = #$# V e  j '3 > V e $ρ $dA

 Asalida

= Ae $V e $0 =  × #$: × #$# V e $Ae

⇒ ?ero

 A$V  =  Ae $V e

=  × #$: × #$# × V e 0 =  × #$: × #$# × &&$% 0

∴ 3 = *1.,5

rad+se! 

,. Las bo"uias de un rociador 'orman un #n!uo de 0& con e sueo $ 40& con os brazos. En e instante t / 0 -de reente se abre e a!ua con e rociador est#tico. 6eterm7nese a (eocidad an!uar en  'uncin de tiemo t resutante si e di#metro de brazo es de ,%mm. I!nore a 'riccin.

Solución:  La +cuación del 1omento de la cantidad de movimiento es: " ∑ 1' >  = "1  2  ) > 

d  r × V    d ∀ + dt 

∫ 

=

∫ r × V"V$ n' A

   >  = # - r  x V = # -a que r  esta en la misma dirección de 8   ?ero " Σ 1' #$:

 1  2  = 

∫ r × [&0 × V  + 0 × "0 × r' + #

d Ω 9 × r  i ]ρ . A.dr  dt 

 +ntonces tenemos: 0.5

∫ 

(∑ 1 ) >  − 4 r i × [2Ω 9 × V i + 0 9 × (Ω 9 × r i ) + 0

d  dt 

d Ω 9 × r i ] ρ . A.dr  dt 

∫ r  i × V  i ρ  d ∀ +  ∫ #$: i × V  (−  j )V   / dA e

e

 Asalida

 (esarrollando - dividiendo entre % 0.5

− &AV$ 0 ∫ r .dr − 0

0.5

d0  A r 2 dr  = dt  0

∫ 

−#$:

V e&  Ae

 ?ero A.8 / Ae .8 e / 0.01 m* +s - 8e / ,.,1m+s d Ω dt 

+ %C&$B  0 = :;$B& $$$ "a'

 (onde "a' es una ecuación diferencial de )rimer grado lineal desarrollando esta ecuación tenemos: 0"t' = <  e −%C&$Bt  + $&

Dtili8ando las condiciones iniciales

0 / 0 , tenemos:

< = $&  La ecuación ser*: 0"t' = $& "% =

e −%C&$Bt  '

rad/seg 

*. 9onsidere e 'u)o simtrico de aire arededor de ciindro. E  (oumen de contro - e;cuido de ciindro - se muestra en a 'i!ura.  La distribucin de (eocidad consiste aba)o de ciindro es aro;imadamente arabica- como se muestra. 6etermine a 'uerza de retardo or metro de on!itud "ue act
Solución: -

Se debe conocer que todo el flujo de masa que entra )or AE sale  )or <(, )or consiguiente, algo de flujo de masa debe salir )or A(  - E<$ La ecuación de cantidad de movimiento )ara el flujo continuo, a)licado al volumen de control AE<(, asume la forma:

= ,  =

∫  ρ $V  $Vm$dA = ∫  ρ $u$Vm$dA + ∫ ρ $u$Vm$dA +  F 

S$<$

 A<(

 AA(

∫  /$u$Vm$dA + ∫  /$u$Vm$dA  AE< 

=

∫ 

 ρ $u

&

$dA + (Vm )( m A( ) + (Vm )( m E< ) −

 A<(

 AAE

∫ 

ρ $u

&

$dA

 AAE

   - &     = & ∫ %$&C &G + d- + "& × C#'"m A(  ' − "%$&C × C# & × &#' $$$"%'   %##     # %#

 (onde m B9  / m A6 es le flujo de masa que atraviesa E< - A( con la com)onente de velocidad ; igual a C#m/s$ Vm = Vm , la cual es la )equeHa com)onente de la velocidad - a.ora utili8amos la continuidad )ara determinar m A6 $ # =

∫  ρ .m.V .dA = ∫  ρ $m$V$dA + ∫  ρ $m$V$dA + ∫  ρ $m$V$dA + ∫ ρ $m$V$dA  AA(

 AE< 

 AA

 A<(

10

= m A( + m E<  − & ∫  ρ $u"-'$d- − (  × &# × C# ) 0

&     = & m A( + & ∫ %$&C ×  &G +  -    d- − (%$&C × &# × C# ) %##     0 10

m A(

= ;$&  Ig/ s ?or metro de longitud 

 7eem)la8amos en "%':   =  &%%# J & K &&%#

> / %?@ +m %. A tra(s de codo de una tuber7a orizonta 'u$e a!ua $ sae a a atms'era - como se muestra en a 'i!ura. La (eocidad de 'u)o es de 0.*'t *  +s. 9acue a 'uerza en cada una de as (arias "ue mantienen a codo en su osicin. Pase or ato as 'uerzas de  cuero- os e'ectos (iscosos $ a 'uerza cortante en as (arias.

Solución:  +legimos un volumen de control que envuelve la codo$
-

V %

=

V &

=

Q  A% Q  A&

=

=

#$C  ft C /s " π   /'"C/%&'&  ft &

= B$%%

#$C  ft C /s &

" π  /'"%$:/%& '

&

 ft 

 ft/s

= &$:

 ft/s

 Luego calcularemos las )resiones  1 -  , $ La )resión  , / 0 ,  )orque el flujo sale .acia la atmósfera$ La )resión  1 se determina mediante la ecuación de la +nerga o de Eernoulli$

-

2

V %  )% V 22  ) 2 + = + 2 g  γ   2 g  γ    )%

=

B&$ lb/ft C "&$ & & & × C&$&  ft/s

⇒  )% = &g "V && − V %& ' M

− B$%% &  '

 ft & /s &

= :#$#

lb/ft &

 A.ora se )uede a)licar la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección ;  e  $  )ara determinar 7@ - 7-$  )% . A1 − 7@ = m(V 2 F  − V 1 F  )  (irección @: -

 )% . A1 − 7@ ":#$# lb/ft &  '4"!4"!/'%&' &  ft & 3 − 7@

= ρ .Q(−V 1 F  )

= "%$G'"#$C  ft/s'" −B$%%  ft/s'

 R; / *0.10 Lb  (irección -:

 7-

= m(V 2N  − V 1N  )

 7-  = "%$G'"#$C  ft/s'"&$  ft/s'

 R$ / 1%.,0 Lb 5. E tubo orizonta "ue se muestra- ori!inamente esta eno con a!ua a o ar!o de a distancia ;. Un corro de (eocidad constante coca contra a arte ena. La 'uerza de 'riccin de 'uido en a  ared de tubo esta dado or 0  6; - donde 0 / ' 8 ,, +@.  Estabzcanse as ecuaciones "ue describen este escurrimiento ara as si!uientes condiciones iniciaesC ara t / 0- ; / ; 0  $ 8 , / 8 ,o .  6eterm7nese a raidez con "ue cambia 8 , $ ; resecto a tiemo ara 8 1 / ,0m+s - 6 1 / Dcm - 8 ,o / 50cm+s - 6 , / ,5cm - ; 0 / 100m  / 44?.*=!+m* $ ' / 0.0,

Solución: -

 ?ara anali8ar este )roblema de flujo no )ermanente, se em)lear*n las ecuaciones de continuidad - de la cantidad de movimiento$
las dos secciones transversales en los e@tremos se)aradas una distancia l, como se indica en la figura$

 La ecuación de continuidad: #

=

d   ρ dv + dt 

∫ 

∫ ρ VdA

Se reduce a: d 

[ ρ  A2 @ +  ρ  A1 (l − @ )] + ρ (V 2 A& = V % A% ' = # dt 

 (onde A1 /  61, +% ,  A, /  6,, +%  Al sim)lificar se obtiene: d  ( A2 dt 

− A1 ) + V 2 A& = V % A% = #

 La ecuación de la cantidad de movimiento )ara la dirección .ori8ontal  ;  se escribe como:

∑ ,@ =

d    v @ dv dt  vc

∫ 

+ ∫   v @V  dA  sc

 +s decir:

− 

 f  V && !  (&  @ ;

=

d 

4 A&  @ V & +  A%"l − @' V % 3 + dt  &

  A& V & =   A% V %

&

 La cual se sim)lifica a:  f  V && !  (&  @ ;

+ A&

d 

d@ "@ V &  ' = A%V % + A&V & & = A%V %& dt  dt 

=#

 (ado que t  es la unica variable inde)endiente, las derivadas )arciales  se )ueden reem)la8ar )or derivadas totales, escribi6ndose )ara la ecuación de continuidad:

d@

=

dt 

V & A& = V % A1  A& = A1

 Al desarrollar la ecuación de cantidad de movimiento - al sustituir  d;+d$ de la ecuación de continuidad, se obtiene: dV & dt 

 2  f  V && !  (&  @ ( A2V 2 − A1V 1 ) 2  2 = +  A1V 1 − A2V 2 −   @A&  ;  A2 − A1  %

 Las dos ultimas ecuaciones no lineales se )ueden resolver   simult*neamente utili8ando metodos num6ricos si se conocen los valores iniciales$ La ra)ide8 con que cambia  ;  - 8 , )ara este  )roblema )articular, se determinan directamente de las ecuaciones, obteni6ndose: d;  dt 

= 0.D4,

m+s

d8 , dt 

= 0.0%4D  m+s

,

D. 6eterminese a 'uerza "ue actua sobre un #abe 'i)o cuando un corro con ,ie* +s de a!ua a una (eocidad de 150ie+s es des(iado un #n!uo de 1*5& or e #abe.

Solución: -

5al como se muestra en la figura , a)licaremos la ecuación de la cantidad de movimiento en la direcciones @ e -, encontr*ndose que:

− ,@ =   V #
 ,-  =   V # Sen O  V #  A#

 ?or tanto:

= −"%$GC: slugs/)ie C '"&  )ie C /s'"%:#
 Las com)onentes de la fuer8a que actua sobre el *labe son iguales o)uestas a @ - -

?. Un motor de combustibe sido se enciende orizontamente sobre una ata'orma de ruebas- como se muestra en a 'i!ura. E  combustibe se "uema con un !asto m#sico m / ,=!+s $ a (eocidad 8 e de corro de coete es de ,00m+s. 9acue a 'uerza imitadora > "ue se necesita ara mantener e coete en su u!ar.

Solución: -

 +lija un volumen de control que encierre el co.ete e interce)te la columna del c.orro en un )unto suficientemente alejado corriente abajo de modo que la )resión de la columna iguale a la )resión atmosferica, a)lique la com)onente .ori8ontal del teorema de la cantidad de movimiento: d  dt 

∫ ∫ ∫ 

 ρ Vd v

v

=

•     •   +    m V   −  m V       sal     ent 

∫ ∫ " − )$n'dS + ∫ ∫ P$dS + ∫ ∫ ∫  /$g$dv + ∑ , 

e@

S 

# + mV e

S 

v

= # + # + # + , 

 Advierta que el termino no estacionario, la cantidad de movimiento del   flujo de entrada - la fuer8a de gravedad son cero, asi como la fuer8a de  )resión - la fuer8a viscosa )uesto que la )resion es constante - el  esfuer8o viscoso es cero en la su)erficie de control$ Al evaluar la fuer8a ,  se tiene:  ,  = mV e

= " & Ig/s '" &## m/s ' = ## 

 II.

9O9LUSIOES:

•

 ?odemos decir que la ecuación de la cantidad de movimiento se utili8a )rinci)almente )ara determinar las fuer8as que los fluidos en movimiento ejercen sobre los elementos$

•

 La ecuación de la cantidad de movimiento es im)ortante )orque nos  )ermite conocer el com)ortamiento, funcionamientoR de los mecanismos de )ro)ulsión$

•


de

 III.

BIBLIORA>FA:

•

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