CAPITULO 2 MODELO DE PROGRAMACION LINEAL
INTRODUCCION Uno de los temas propios de la investigación operacional con mayor aplicabilidad en las empresas de bienes y servicios es la programación lineal. Se construye a partir del levantamiento de información de un sistema productivo, comercial, financiero, o de servicios.
Entre más veraz sea la información
levantada del sistema real y convertida en un modelo matemático, la solución de dicho modelo será cada vez más un excelente escenario de decisión. Cuando un modelo no refleja la verdadera situación del sistema objeto de estudio, la solución de dicho modelo aunque analíticamente puede ser correcta, no es aplicable a la realidad; en este caso el modelo “se habrá ido al piso”.
CONCEPTO DE PROGRAMACION LINEAL: La programación lineal es un proceso matemático que proporciona un método eficiente para toma decisiones óptimas óptimas para obtener mejores condiciones de productividad sobre otros competidores. ETAPAS DEL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL
Definir las variables del modelo como una fiel representación del sistema
Establecer el modelo matemático
Resolverlo a través de un procedimiento matemático e interpretarlo
Tomar decisiones a través de la solución del modelo establecido
COMPONENTES DEL MODELO DE PROGRAMACION LINEAL
Función objetivo
Restricciones
Condiciones de no negatividad
10
FUNCION OBJETIVO Es la meta que el sistema espera alcanzar incrementando los beneficios y/o reduciendo el empleo de recursos respecto de la situación actual comparada con la situación óptima, cumpliendo con las condiciones propuestas. Por ejemplo se puede y se debe:
Maximizar utilidades
Maximizar ingresos
Maximizar ventas o nivel de clientes
Maximizar rendimientos
Maximizar calidad
Maximizar productividad
Minimizar costo (de personal, equipos, maquinaria, materia prima, entre otros)
Minimizar tiempo
Minimizar distancias
Minimizar desperdicios
Minimizar riesgos y accidentes
Otros
RESTRICCIONES Se debe tener en cuenta que los recursos son escasos, por tanto tienen una capacidad limitada. Una restricción es una limitante del sistema. El sistema productivo utiliza recursos dentro de los procesos, la solución de un adecuado modelo optimiza el sistema productivo.
Los recursos que intervienen en el proceso productivo son los
requerimientos que se exigen al sistema para obtener productos, de estos recursos o requerimientos se tienen una capacidad limitada, esta capacidad es expresada como el vector b j en cada restricción del modelo matemático. Otras restricciones se obtienen a partir de un máximo o mínimo valor a cumplir exigido por la demanda. Otro tipo de restricciones se darán a conocer a lo largo de la temática.
11
CONDICIONES DE NO NEGATIVIDAD Como se sabe que los productos y recursos se cuantifican positivamente, se trabaja el modelo con números positivos (o ceros), es decir expresado en forma gráfica debe trabajarse en el primer cuadrante. Lo anterior sugiere que todas las variables Xij > 0. APLICACIONES TEORICOS DE PROGRAMACION LINEAL Para facilitar el aprendizaje se propone el siguiente ejemplo que muestra de forma global y no detallada del proceso de moldeo y solución de problemas de programación lineal. Ejemplo No. 1. Un ebanista fabrica 2 tipos de productos; juegos de sala y juegos de comedor. Su producción está limitada por la capacidad semanal de la planta de producción que no puede exceder de 1.600 horas de mano de obra, 2.000 listones de madera, 4.000 láminas de tablex, y 1400 horas de máquina.
La
demanda exige fabricar cuando menos 40 juegos de sala y 30 juegos de comedor mensuales. Para fabricar cada juego de sala y cada juego de comedor se requieren los recursos necesarios presentados en el cuadro 2.1. ¿Cual debe ser el número de productos que debe fabricar el ebanista, si se sabe que cada juego de sala genera una utilidad de $150.000 y cada juego de comedor genera una utilidad de $120.000?
Cuadro 2.1. Necesidades de recursos para fabricar juegos de sala y comedor PRODUCTO
JUEGOS DE SALA JUEGO DE COMEDOR
REQUERIMIENTOS MANO DE VARILLAS DE LAMINAS DE MAQUINARIA OBRA(Hrs/juego) MADERA (Unidades) TABLEX (Horas/juego) (Unidades) 2,8 3
7 19
5 2
Solución:
Se tienen dos (2) variables en este sistema de producción.
X 1: Número de juegos de sala que se deben producir para hacer óptima la utilidad. X 2: Número de juegos de comedor que se deben producir para hacer óptima la utilidad.
12
0,9 0,5
La problemática consiste en determinar que número de cada juego se debe fabricar para hacer óptimo el sistema de producción, dato aún no conocido.
Como cada juego de sala genera una utilidad de $150.000 y cada juego de comedor genera una utilidad de $120.000, entonces existe un valor para X 1 que multiplicado por su utilidad unitaria genera la utilidad óptima por fabricar juegos de sala; igualmente existe un valor para X 2 que multiplicado por su utilidad unitaria genera la utilidad óptima por fabricar juegos de comedor. Estas dos utilidades sumadas general la utilidad total óptima del sistema de producción. De esta forma puede expresarse la función objetivo como:
Maximizar (utilidad ) Z = 1500.000X 1 + 120.000X 2 Interpretando de igual manera, las restricciones de capacidad son las siguientes: 2.000 listones de madera, 4.000 láminas de tablex, 1.600 horas de mano de obra y 1400 horas de máquina, además se conocen los requerimientos del cuadro 2.1. donde por cada unidad d e juego de sala y por cada unidad de juegos de comedor se necesitan los recursos consignados, cuyo total utilizado no puede superar la capacidad mencionada. De esta manera pueden expresarse las siguientes restricciones:
1) 2,8X 1
+
3X 2
<
1.600 horas de mano de obra.
2) 7X 1
+
19X 2
<
2.000 varillas de madera.
3) 5X 1
+
2X 2
<
4.000 láminas de tablex.
4) 0.9X 1
+
0.5X 2
<
1.400 horas máquina.
En forma similar, se tienen las siguientes restricciones de demanda, que exigen una cantidad mínima de cada tipo de productos a fabricar:
5) X 1
>
40 juegos de sala
6)
>
30 juegos de comedor
X 2
A las anteriores se adicionan las variables de no negatividad:
X1, X2
>
0
En forma sintética se tiene el siguiente modelo como fiel representación del sistema:
Maximizar (utilidad ) Z = 150.000X 1 + 120.000X 2
13
Sujeto a: 1) 2,8X 1
+
3X 2
<
1.600 horas de mano de obra.
2) 7X 1
+
19X 2
<
2.000 varillas de madera.
3) 5X 1
+
2X 2
<
4.000 láminas de tablex.
4) 0.9X 1
+
0.5X 2
<
1.400 horas máquina.
>
40 juegos de sala.
X 2
>
30 juegos de comedor.
X 2
>
30 juegos de comedor.
5) X 1 6) 7) X 1
+
El anterior modelo puede solucionarse por diferentes métodos, como dichos métodos de solución se presentarán en el siguiente capítulo, en este se presentan directamente los resultados obtenidos de la utilización del paquete WINQSB, a saber: X 1=204 y X2=30, cuya interpretación mirando la definición de las variables es la siguiente: Se deben producir 204 juegos de sala y 30 juegos de comedor, ya que esta es la producción óptima que genera una utilidad máxima de $34’2 00.000. Debe observarse que ninguna otra combinación de valores
para X1 y X2 generará una utilidad mayor. Muchas veces no pueden ajustarse las condiciones reales a estos resultados numéricos por dificultades logísticas, para reducir el impacto de esta problemática y tomar decisiones acertadas ajustadas a la realidad es recomendable fundamentarse en el análisis de sensibilidad que se tratará más adelante, igualmente es recomendable ajustar el modelo con nuevas restricciones para volverlo más parecido a la realidad. PROBLEMAS PROPUESTOS Los siguientes problemas se proponen para desarrollar el arte y habilidad de moldear un sistema de acuerdo a una información predeterminada. Plantee el modelo. 1. Una empresa debe determinar la cantidad óptima de furgones para recoger, empacar y transportar las peras y las manzanas de su cosecha semanal. La mano de obra disponible para recogida y empaque es de 4000 horas semanales. Para recoger, empacar y dejar un furgón cargado con peras, se necesitan 14 horas y para manzanas se necesitan 15 horas. La empresa tiene una cantidad máxima de dinero en caja de $60.000. El costo de alquiler para cada proceso de carga de furgón y
14
transporte es de $200 y $300 pesos para manzanas y peras respectivamente. La utilidad por furgón es de $1’200.000 para manzanas y de $ 1’250.000 para peras. La empresa desea determinar la combinación óptima de furgones por tipo de fruta que maximice la utilidad semanal. Formule el modelo de programación lineal para el problema de la empresa. Determine la mejor decisión graficando las restricciones del modelo, identificando el área de soluciones factibles y los vértices. 2. La compañía AUTOSPORT que produce el carro más compacto llamado “ Gacela” desea hacer publicidad para este modelo a través del canal 12 de televisión. La publicidad consistirá en pequeños comerciales de un minuto de duración que se intercalarán en un programa semanal de 60 minutos y un cómico de la localidad. AUTOSPORT insiste en tener al menos 5 minutos de comerciales. El reglamento de la compañía televisora requiere que cuando mucho los comerciales consuman 18 minutos en programas de 60 minutos y que nunca sea mayor el tiempo de comerciales que el de actuación de los cantantes. Los cantantes no quieren trabajar más de 30 minutos de los 60 que dura el programa de manera que el cómico se utiliza para llenar cualquier lapso de tiempo en el que no haya comerciales o cuando no estén trabajando los cantantes. El costo de hacer un comercial es de $1.000.000, el cantante cobra por hora un millón de pesos y el cómico $500.000. 3. El decano de la facultad en sus días libres tiene varias actividades agradables para hacer y 24 horas para gozarlas. Cada actividad le proporciona algunas unidades de placer así: tomar un refresco, 4. Hacer una guía, 3. Jugar un partido de tenis, 7. Navegar una hora en Internet, 2. Dar un paseo, 3. Leer un libro, 2. Dormir una hora, 4. También se tiene la duración de las actividades nombradas así: 15 minutos, 10 minutos, 2 horas, 1 hora, 1 hora, media hora y una hora, respectivamente. Pero no se puede tomar más de 5 refrescos diarios, ni hacer más de 40 guías, ni jugar más de un partido de tenis, ni navegar en Internet más de 3 horas, ni dar más de 4 paseos, ni leer más de 10 libros en el mismo día. Tampoco puede hacer más de ocho actividades, sumando partidos de tenis paseos y navegaciones en Internet. No puede dormir más de 20 horas ni menos de 8. Cuales deben ser las actividades diarias, para maximizar su placer diario. 4. En el departamento de publicidad de una empresa se debe planear para el próximo mes una estrategia de publicidad para el lanzamiento de una línea de televisores LCD, se tienen en consideración dos mecanismos de comunicación diferentes, periódicos y televisión. Los estudios de mercadeo han mostrado que:
La publicidad por televisión llega al 2% de las familias de ingreso alto y al 3% de las familias de ingresos medios por comercial.
15
La publicidad en el periódico llega al 3% de las familias de ingresos altos y al 6% de las familias de ingresos medios por anuncio.
La publicidad en el periódico tiene un costo de $500.000 por anuncio y la publicidad televisión tiene un costo de $2 ’000.000 por comercial; la meta de la empresa es obtener al menos una presentación como mínimo al 36% de las familias de ingreso altos y al 60% de las familias de ingresos medios minimizando los costos en publicidad.
5. Una compañía fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturón A es de alta calidad y el B es de baja calidad. La ganancia respectiva de los cinturones es de $5.000 y $4.000 cada cinturón de tipo A requiere el doble del tiempo que el usado para el cinturón tipo B, si todos los cinturones fueran de tipo B, la compañía podría fabricar 100 al día. El abastecimiento de piel es suficiente únicamente para 80 cinturones diarios (A y B combinados). El cinturón A requiere una hebilla elegante, de las que solo se dispone 40 diarias. Se tiene únicamente 70 hebillas al día para el cinturón tipo B. 6. Una planta de productos farmacéuticos desea preparar tabletas de 5 decigramos con 65 mg de niacina y 80 mg de tiamina añadiendo un material inerte O para completar el peso y facilitar el pastillado del cual se tiene suficiente cantidad; se cuenta con ingredientes A y B cuyos contenidos de niacina y tiamina se presentan en el cuadro, además de los costos: A
B
C
Niacina (mg/dgr)
20
15
0
Tiamina (mg/dgr)
5
25
0
Costo (U$/dgr)
20
30
1
7. Con base en dos alimentos papas y carne se desea obtener una dieta que debe tener los siguientes requerimientos diarios: 8 unidades de carbohidratos, 19 unidades de vitaminas y 7 unidades de proteínas. Se sabe que el contenido de elementos dietéticos de las papas y de la carne es el siguiente: Papa (100 gr)
carne (50 gr)
requerimientos
Carbohidratos
3
1
8
Vitaminas
1
1
19
Proteínas
1
3
7
16
Si los costos unitarios son de $25/gr para la papa y de $50/gr para la carne, obtenga la dieta que satisface los requerimientos. METODOS Y TIPOS DE SOLUCION La programación lineal genera un modelo matemático a partir de la realidad de la empresa. Éste modelo matemático debe ser solucionado a través de cual quier método, existiendo entre otros:
Método gráfico
Métodos algebraicos
Método símplex y Método dual
Método informático
Las soluciones símplex y dual además del análisis de sensibilidad generan múltiples resultados logísticos y financieros para una adecuada toma de decisiones, sin duda estas herramientas proporcionan mayor información a nivel de resultados útiles para la toma de decisiones técnicas. El método gráfico se desarrollará en el texto para que haya mejor comprensión en la solución de modelos y en la interpretación de los tipos de solución, luego se desarrollarán los modelos de manera informática con apoyo del paquete WINQSB en su parte de programación lineal. TIPOS DE SOLUCION Se tienen varios tipos de solución que en el texto se relacionan con la parte gráfica ya que es de más fácil interpretación; las soluciones más importantes son:
Solución infactible: Matemáticamente el modelo no tiene solución por que las restricciones graficadas no hacen intersección y presentan un conjunto vacío. Un modelo infactible puede convertirse en factible siempre y cuando se retire una o varias restricciones.
Solución factible: Es la obtenida de un modelo cuyas restricciones hacen intersección y posibilitan un conjunto solución que las satisface a todas estas restricciones. En el ejemplo cualquiera de los puntos del área sombreada o conjunto convexo son una solución factible.
Solución múltiple: Cuando un modelo tiene diferentes soluciones que satisfacen todas las restricciones se está en presencia de una solución múltiple. Todos los vértices del polígono que
17
genere el conjunto solución pueden ser respuesta o solución múltiple del modelo, sin embargo una solución siempre es mejor que otras.
Solución óptima: Es el único punto del conjunto solución que además de satisfacer todas las restricciones potencializa la función objetivo, es decir es la solución que más optimiza el sistema y se encuentra en un vértice del conjunto solución o conjunto convexo. Sustituyendo cada uno de los valores de los vértices para X 1 y X2 se van a presentar diferentes valores en la función objetivo, la mayor de ellas es la solución óptima. En el ejemplo que se presenta con la gráfica anterior, el vértice que maximiza la utilidad es el indicado en la misma, X 1=204 y X2 = 30. Se interpreta como los valores que sustituidos en la función objetivo generan la máxima ganancia, no existe matemáticamente otra combinación mejor para X 1 y X2.
Solución acotada: Es la que representa la restricción que tiene dominio hacia dentro del cuadrante No.1 partiendo de la cota o límite superior. En el ejemplo este caso se representa con las restricciones No.1, No.2, No.3 y No. 4. Se interpreta como un sistema donde el límite permitido por la restricción es la cantidad disponible y a la vez proporciona el máximo beneficio.
Solución no acotada: Es la que representa la restricción que tiene dominio hacia fuera del cuadrante No.1 y no tiene una cota o límite superior. En el ejemplo este caso se representa con las restricciones No. 5 y No. 6. Se interpreta como la posibilidad de encontrar una solución indeterminada a partir de las soluciones que da la línea de restricción en caso de maximizar y de encontrar una solución factible cumpliendo con estas exigencias o condiciones mínimas de las restricciones en caso de minimizar la función objetivo.
18
