MODELO MATEMATICO ¿QUE ES UN MODELO MATEMATICO? Es un sistema donde todos los comportamientos u opciones se pueden simular por medio medio de ecuaci ecuacione ones s matemá matemátic ticas as cuyas cuyas variab variables les están están previa previamen mente te establecidas de acuerdo a lo que se quiere contemplar. Te permiten obtener resultados en base a experiencias anteriores o a estadística. Se utiliza en pronós pronóstic ticos os (de demand demanda, a, ventas ventas), ), en contro controll de invent inventario arios, s, de calida calidad, d, muestre). ay que rescatar que todo modelo matemático su!re de error cuando se compara con la realidad, pues siempre será un cálculo y !actores externos que no permitan la exactitud. ¿PARA QUE SIRVE UN MODELO MATEMATICO? "na "na de las las #erra #errami mien enta tas s prin princi cipa pale les s util utiliz izad adas as en la esta estadí díst stic ica a son son los los modelos, los cuales constituyen representaciones de problemas y situaciones de la vida vida.. $os $os mode modelo los s pued pueden en ser ser repr repres esen enta taci cion ones es !ísi !ísica cas, s, %rá! %rá!ic icas as y simbólicas o matemáticas. $os modelos !ísicos se usan principalmente para #acer simulaciones. Se llama simulación a un experimento realizado sobre el modelo de un sistema. &omo e'emplos de modelos !ísicos podemos mencionar el %eoide, que pone de mani!iesto la !orma de nuestro planeta y la distribución y !orma de los continentes y ocanos, la topo%ra!ía, etc. un avión a escala, que se utiliza en los t*neles aerodinámicos para conocer su comportamiento y estabi estabilid lidad ad ante ante di!ere di!erente ntes s condic condicion iones es atmos! atmos!ric ricas as a#í simula simuladas das una maqueta, que es la representación a escala de un edi!icio o construcciones en %eneral, etc. ¿COMO ESTA FORMADO EL MODELO MATEMATICO? +n!o +n!orm rmal alme ment nte e una una teor teoría ía mate matemá máti tica ca está está !orm !ormad ada a por por un con' con'un unto to de teoremas y axiomas. $os teoremas son proposiciones ló%icamente deducibles de los axiomas. En el en!oque moderno, las teorías se conciben como un con'unto de proposiciones expresables en un cierto len%ua'e !ormal que reco%e explícitamente el con'unto de símbolos de la teoría, los axiomas y las re%las de deducción. El aparata'e anterior de!ine la sintaxis de la teoría. TIPOS DE MODELOS MATEMATICOS: •
•
•
odelo odelo cuantitativ cuantitativo o es aquel aquel cuyos cuyos principales principales símbolos representan representan n*meros. Son los más comunes y *tiles en los ne%ocios. odelo odelo cualita cualitativ tivo o aquel aquel modelo modelo cuyos cuyos símbol símbolos os repres represent entan an en su mayoría a &ualidades no numricas. "na !uente importante es la teoría de con'untos. odelo -robabilí ilístico aquello llos basados en la estadística ica y probabilidades (donde se incorpora las incertidumbres que por lo %eneral acompaan nuestras observaciones de eventos reales). r eales).
•
•
•
odelo /eterminístico corresponde a aquel modelo cuantitativo que no contiene consideraciones probabilísticas. odelo /escriptivo cuando el modelo simplemente describe una situación del mundo real en trminos matemáticos, descripción que puede emplearse para exponer una situación con mayor claridad, para indicar como pueden rea'ustarse o a*n para determinar los valores de ciertos aspectos de la situación. odelo 0ptimizador corresponde al modelo ideado para seleccionar entre varias alternativas, de acuerdo a determinados criterios, la más óptima.
$os modelos de cualquier clase, sin importar su re!inamiento y exactitud, pueden probar ser poco prácticos si no están r espaldados con datos con!iables. Si se distorsionan las estimaciones, la solución obtenida, pese a ser óptima en un sentido matemático, en realidad será de calidad in!erior desde la perspectiva del sistema real. En consecuencia, la disponibilidad de datos puede tener un e!ecto directo en la precisión del modelo. $a recopilación de datos puede ser la parte más di!ícil para determinar un modelo y des%raciadamente no se pueden su%erir re%las para este procedimiento. -or lo com*n los modelos matemáticos son de índole iterativa, vale decir, se lle%a a la respuesta !inal en pasos o iteraciones y cada iteración acerca la solución al nivel óptimo, pero no todos los modelos matemáticos poseen al%oritmos de solución que conver'an al nivel óptimo por dos razones1 El al%oritmo de solución conver%e al nivel óptimo solo en teoría. $a conver%encia teórica seala que #ay un límite superior !inito, pero sin indicar cuan alto puede ser ese límite. -or lo tanto, se puede %astar #oras y #oras de computadora sin alcanzar la iteración !inal. $a comple'idad del modelo matemático puede #acer imposible idear un al%oritmo de solución. -or lo tanto, el modelo puede mantenerse no !actible en trminos de cálculo.
Modelos
Modelos
Modelos
Modelos
Modelos
Modelos
Para hacer un modeo ma!em"!#co $uede% %e&u#r o %#&u#en!e% $a%o%: 2) Tomar un problema de la vida real, el cual queremos resolver. 3) Expresar este problema en trminos matemáticos. 4) 5esolver el matemáticas.
modelo matemático
usando
las
#erramientas
de las
6) &omprobar que la solución obtenida con nuestro modelo !unciona para el problema real. Un e'em$o $uede %er e %#&u#en!e: -roblema1 &alcular el área de un terreno rectan%ular que mide 37m de lar%o y 87m de anc#o. El modelo matemático a resolver es1 9rea:b x #. $a solución es1 9rea:37 x 87 :2777m;3. < se puede ver que la solución es aplicable a la vida real, por lo tanto nuestro modelo para obtener el área es bueno.
¿QUE UTILIDAD TIENE? $a utilidad de estos modelos radica en que ayudan a estudiar cómo se comportan las estructuras comple'as !rente a aquellas situaciones que no pueden verse con !acilidad en el ámbito real. Existen modelos que !uncionan en ciertos casos y que resultan poco precisos en otros, como ocurre con la mecánica ne=toniana, cuya !iabilidad !ue cuestionada por el propio 9lbert Einstein.
MODELOS LINEALES Se dice que una !unción es lineal cuando su %rá!ica es una línea recta y por consecuencia tiene la !orma1 y : !(x) : mx > b Un modeo ma!em"!#co %e de(#ne: como una descripción desde el punto de vista de las matemáticas de un #ec#o o !enómeno del mundo real, desde el tamao de la población, #asta !enómenos !ísicos como la velocidad, aceleración o densidad. El ob'etivo del modelo matemático es entender ampliamente el !enómeno y tal vez predecir su comportamiento en el !uturo. El proceso para elaborar un modelo matemático es el si%uiente1 Encontrar un problema del mundo real ?ormular un modelo matemático acerca del problema, identi!icando variables (dependientes e independientes) y estableciendo #ipótesis lo su!icientemente simples para tratarse de manera matemática. 9plicar los conocimientos matemáticos que se posee para lle%ar a conclusiones matemáticas.
&omparar los datos obtenidos como predicciones con datos reales. Si los datos son di!erentes, se reinicia el proceso. $os modelos simbólicos o matemáticos están constituidos por todas las ecuaciones matemáticas requeridas para representar satis!actoriamente un !enómeno o experimento. &uando se usan los modelos matemáticos, a veces es posible determinar, mediante un proceso deductivo, cuáles serán los resultados de un experimento sin realizarlo. @eneralmente esto a#orra tiempo, traba'o y dinero, y proporciona resultados aun más precisos que los que se pueden obtener por medio de la simulación.
$os modelos son *tiles en di!erentes !ormas, entre las que se pueden mencionar1 0!recen una !orma relativamente barata y se%ura de probar las ideas antes de ponerlas en práctica. 9sí, si se desea construir un nuevo barco, primero se deben #acer dibu'os, cálculos y modelos de prueba antes de construir el barco. -roporciona una versión simpli!icada de al%*n problema o situación de la vida real, concebida para resaltar ciertos aspectos del problema, sin tener que analizar todos los detalles. 9sí, un modelo se utiliza destacando los aspectos de inters y #aciendo a un lado otros detalles que no tienen muc#a relación con el problema. -or lo tanto, el modelo ayuda a reducir la comple'idad del problema. -ermiten la comunicación de una idea o concepto. /e esta !orma, los planos, bocetos y maquetas permiten al arquitecto transmitir la idea que tiene sobre el tamao, distribución y aspecto de una construcción. -ara poder utilizar correctamente un modelo, es necesario conocer bien el problema y de!inirlo con precisión, que es uno de los aspectos más importantes en la solución de todo problema. "n error que se presenta !recuentemente es que las personas prestan poca atención a la de!inición del problema, lo cual da como resultado un traba'o de mala calidad o la repetición del mismo. 0tro requerimiento en el uso de los modelos, es que obli%a a los usuarios a identi!icar las áreas en las que el conocimiento o la in!ormación son de!icientes y en las que se requiere de mayor es!uerzo o de mayores conocimientos. $a probabilidad, por su esencia, requiere del uso de modelos %rá!icos y matemáticos. $os modelos %rá!icos los usa para presentar la in!ormación y los matemáticos para procesar la misma y #acer in!erencias con ella. -or e'emplo, el muestreo es una #erramienta que sirve para #acer in!erencias. -on%amos el caso que se ten%a una urna con canicas de di!erentes colores (población). Es posible tomar una parte de la población (muestra) y clasi!icar las canicas se%*n
el color, lo cual dará idea de la !orma en que se distribuyen los colores de la población. 9l plantear un problema estadístico, se deben buscar los mtodos y procedimientos adecuados para la solución y representarlos mediante un modelo matemático. El xito que se obten%a dependerá de cuan !iel y completamente represente el modelo al problema y de que tan bien se puedan deducir soluciones al modelo una vez que este se #a elaborado.
