Cálculo de Poligonales abiertas y cerradas

Cálculo de Poligonales abiertas y cerradas Enviado por koitash el 13/07/2011 a las 4:00 Etiquetas: compensación de poligonales poligonación Cálculo Poligonales abiertas y cerradas error angular error lineal Categorías Topografia Básica 0 0 Ads by Google 

Fotogrametría Aérea Fotografía Fotografía aérea profesionalpara profesionalpara proyectos de ingeniería www.aerosonda.com Poligonales

Llamamos Ll amamos poligonal a una sucesión de líneas quebradas conectadas conectadas entre sí, formando vértices. vértices. Para determinar la posición en un sistema de coordenadas de los vértices de una poligonal, es necesario medir el ángulo horizontal en cada uno de los vértices y la distancia horizontal entre vértices consecutivos. En general, las poligonales las podemos clasificar en tres: 

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Poligonales Cerradas: Donde los dos puntos base de partida son los mismos de llegada, con lo cual podremos conocer nuestro error angular y lineal. Poligonal Abierta con bases de partida y llegada: Donde conociendo las coordenadas de las bases podremos calcular nuestro error angular y lineal. Poligonal Abierta sin control: En las cuales no es posible establecer los controles de cierre, ya que se tiene sólo como dato las coordenadas u orientación de una sola base.

El procedimiento a seguir para el cálculo y compensación de una poligonal es la siguiente: 1) Cálculo del error angular Para poligonales cerradas: cerradas : La suma de los ángulos internos es igual al número de vértices menos dos, por 180 grados. ∑ ang. Internos = (n -2) x 180°

Muchas veces me han preguntado si es “n“n -1” ó “n“n-2”, y es muy fácil de recordarlo. Tomaremos como ejemplo un triangulo. Sabemos que los ángulos internos de un triangulo es igual a 180°; entonces aplicando la formula decimos que (3 - 2) = 1, y

1 x 180 = 180. Si fuese la formula con “n-1”, entonces aplicando la formula (3 – 1) = 2, 2 x 180 = 360, con lo que con este resultado quedaría descartado el segundo caso. Para poligonales abiertas: El error angular se halla por la diferencia entre el azimut de llegada de campo y el azimut de llegada teórico. *************************************************************** Recomendación: Si se va a realizar una poligonal cerrada, el itinerario deberá de ser en sentido antihorario, para que los ángulos leídos en cada vértice sean los ángulos internos del polígono. **************************************************************** Cómo hallamos el azimut de llegada?. 

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Partiendo de la base inicial con coordenadas conocidas, podremos conocer el azimut de partida. (Ver artículo "Cálculo de Azimut") Se le sumará a este azimut el ángulo interior, que será igual al azimut directo hacia el punto de adelante. Para hallar el siguiente azimut, se suma el siguiente ángulo interno, pero primero se debe invertir el azimut antes hallado y para esto solamente tenemos que sumar o restar 180 grados (dependiendo del cuadrante) o simplemente viendo de que nuestra suma no pase los 360 grados. Una vez calculado el azimut de llegada se restará el azimut teórico, para saber cuál ha sido el error angular.

Para repartir el error una vez hallado el error angular, se dividirá este entre el número de vértices de la poligonal y se le sumará o restará a cada uno de estos vértices dependiendo si nuestro error haya sido mayor o menor al dato teórico. Formatted:

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2) Cálculo de las Proyecciones P ara calcular las proyecciones debemos de recordar que están en función del azimut y la distancia horizontal, es por esta razón que primero se compensa los ángulos y los azimuts. Para hallar las proyecciones de cada vértice tenemos el siguiente cálculo: Norte = Cos Az. x D.H. Este = Sen Az. x D.H. 3) Cálculo del error lineal E n una poligonal cerrada la suma de las proyecciones sobre el eje norte – sur y el eje este – oeste, debe ser igual a cero.

Debido a los inevitables errores instrumentales y operacionales presentes en la medición de distancias, la condición lineal mencionada nunca se cumple, obteniéndose de esta manera el error de cierre lineal representado en la siguiente imagen. Formatted:


En el gráfico el punto A’ representa la posición del punto A una vez calculadas las proyecciones con las distancias medidas. Nótese que para que se cumpla la condición lineal de cierre el punto A’ debería coincidir con el punto A. E n el caso de una poligonal abierta, la suma de las proyecciones sobre el eje norte – sur debe ser igual a la diferencia entre las coordenadas norte de los puntos de control inicial y final; y la suma de las proyecciones sobre el eje este – oeste debe ser igual a la diferencia entre las coordenadas este de los puntos de control inicial y final. Formatted:


El error lineal tanto para la poligonal cerrada como abierta será igual a: Font: (Default) Verdana, 9 pt, Font color: Black Formatted:

U na vez calculado el error lineal, se debe verificar que sea menor a la tolerancia lineal. En algunos casos la tolerancia lineal se relaciona con la precisión obtenida en el levantamiento definido por la siguiente ecuación: Formatted:


En donde: P = Precisión de la poligonal ∑L

: Sumatoria de los lados de la poligonal en metros

U na vez hallado la precisión de la poligonal, podemos calcular el error relativo que se expresa con una relación que es igual a: 1 / P, siendo P en este caso, el valor redondeado al millar más proximo; por ej. 1/5000, 1/24 000, 1/75 000, etc. 4) Compensación del error lineal

El método más usado o común para estos casos es el de la brújula, propuesto por el matemático norteamericano Nathaniel Bowditch. Este método asume lo siguiente:   

Los ángulos y las distancias son medidas con igual precisión. El error ocurre en proporción directa a la distancia. Las proyecciones se corrigen proporcionalmente a la longitud de los lados.

Se resumiría la fórmula de la siguiente manera: Formatted:


5) Cálculo de las coordenadas de los vértices Una vez compensada las proyecciones, se procede al cálculo de las coordenadas de cada uno de los vértices. Teniendo como punto de partida las coordenadas de la estación inicial, se le sumará la proyección antes calculada para este vértice. Luego para el cálculo del segundo vértice se procede de la misma manera, es decir se le sumará la proyección correspondiente a este punto más la coordenada recién calculada, así sucesivamente hasta calcular todos los vértices.

Cálculo de Poligonales abiertas y cerradas

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