Ejemplos Calculo de Redes Cerradas

Nombre de la División / Unidad o Facultad Fecha: mes / día/ año

Hidráulica Aplicada Ejemplos de calculo de redes cerradas usando diferentes metodologías

Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

Programa de especialización en Recursos Hídricos

Julio de 2017

Ejemplo de calculo de redes cerradas Hacer el cálculo hidráulico la red mostrada (Red Two Loops o Alperovitz, una de las redes patrón a nivel mundial), especificando el caudal en cada uno de los tubos y la altura piezométrica en cada uno de los nodos, utilizando los siguientes métodos: • Hardy-Cross con corrección de caudales • Hardy-Cross con corrección de alturas • Gradiente hidráulico


3

2 1

5

4

7

6

Ejemplo de calculo de redes cerradas

1 3 2

210 m

160 m 5

4 6

7

155 m

150 m 160 m


165 m

150 m

Ejemplo 1- Hardy Cross Corrección de caudales


Ejemplo 1- Hardy Cross Corrección de caudales Con base en la información básica de todas las tuberías y los caudales supuestos se calcula la siguiente tabla para las tuberías del circuito 1

CIRCUITO I Id

Q (m3/s)

f

hfij+Σhmij

(hfij+Σhmij)/Qij

2-3

-0.033

-0.0004

-0.04

1.14

2-4

0.250

0.0124

5.79

23.17

3-5

-0.005

-0.0027

-0.01

1.14

4-5

0.017

0.0159

33.74

2024.10


Ejemplo 1- Hardy Cross Corrección de caudales Ahora se calcula la siguiente corrección para todas las tuberías del circuito:

Σ (hfij+Σhmij)

Σ((hfij+Σhmij)/Qij)

ΔQ I (m3/s)

39.483

2049.54

-0.00963

Teniendo en cuenta que los dos circuitos tienen una tubería en común se realiza la corrección al caudal de dicha tubería y se calcula la conservación de la energía en el circuito 2.


Ejemplo 1- Hardy Cross Corrección de caudales Ahora planteamos las ecuaciones de conservación de energía para el circuito 2

CIRCUITO II Id

Q (m3/s)

f

hfij+Σhmij

(hfij+Σhmij)/Qij

4-5

-0.007

-0.0008

-0.31

44.47

4-6

0.200

0.0129

3.86

19.28

5-7

0.053

0.0101

221339.72

4184985.91

6-7

0.108

0.0133

12.18

112.41


Ejemplo 1- Hardy Cross Corrección de caudales Una vez más entonces se calcula la corrección de caudales de la primera iteración para el circuito II

Aplicadas las dos correcciones llegamos a los siguientes resultados de caudal


Σ (hfij+Σhmij)

221355.441

Σ((hfij+Σhmij)/Qij)

4185162.08

ΔQ I (m3/s)

-0.02645

Id

Q (m3/s)

2-3

-0.0429

2-4

0.2404

3-5

-0.0151

4-5

-0.0335

4-6

0.1736

5-7

0.0264

6-7

0.0819

Ejemplo 1- Hardy Cross Corrección de caudales Como no se logra la convergencia en la primera iteración se aplica el procedimiento anterior para las siguientes iteraciones obteniendo los resultados que se muestran a continuación para los caudales de las tuberías: Iteration

Tubo

1

2

3

4

5

2-3

0.042854208

0.060222113

0.075497447

0.08656098

0.094006178

2-4

0.240367792

0.222999887

0.207724553

0.19666102

0.189215822

3-5

0.015076208

0.032444113

0.047719447

0.05878298

0.066228178

4-5

0.033480058

0.029335211

0.020672275

0.012916557

0.007128154

4-6

0.173554735

0.160331675

0.153719278

0.150411463

0.148754669

5-7

0.026443735

0.013220675

0.006608278

0.003300463

0.001643669

6-7

0.081887735

0.068664675

0.062052278

0.058744463

0.057087669


Ejemplo 1- Hardy Cross Corrección de caudales A continuación se resumen los resultados obtenidos para el método de Hardy Cross 1 luego de cinco iteraciones: Tuberia

Q [m3/seg]

Nodo

Presión (m)

1-2

0.311

2

205.11

2-3

0.094

3

199.267

2-4

0.189

4

201.627

3-5

0.066

4-5

0.007

5

194.280

4-6

0.149

6

198.999

5-7

0.002

7

195.187

6-7

0.057


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas Para realizar el cálculo hidráulico de la red por medio del método de Hardy-Cross con corrección de alturas piezométricas se definieron dos circuitos, los cuales se muestran


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas Dado que el método de Hardy-Cross supone que todas las tuberías de la red pertenecen por lo menos a un circuito, y en el caso de la red analizada la tubería 1-2 no cumple este requerimiento, por lo que se requiere realizar un procedimiento para volver al nodo 2 un nodo de altura fija. En primer lugar, se conoce que por la tubería 1-2 debe pasar un caudal total igual a la sumatoria de los caudales demandados en los nodos del 2 al 7. Por lo anterior, realizando este cálculo, se obtiene que el caudal de dicha tubería debe ser de 311.11 L/s.

Con este caudal, se puede conocer la velocidad en la tubería 1-2, y así conocer las pérdidas por fricción que allí ocurren, así como las pérdidas menores Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas Cálculo de Pérdidas por Fricción En primer lugar, se debe calcular la velocidad en la tubería, lo cual es posible ya que el caudal que pasa por ella se conoce, así como el diámetro de esta

Con esta velocidad, se debe calcular el número de Reynolds, para posteriormente calcular el factor de fricción asociado a la tubería


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas Dado que el flujo que pasa por la tubería 1-2 es turbulento, se puede utilizar el diagrama de flujo 2.a disponible en el texto del curso, en donde se calcula el factor de fricción utilizando el método de iteración por un punto. Luego de realizar este procedimiento se obtuvo que el factor de fricción para esta tubería es de 0.0122. Una vez calculado el factor de fricción, se procede a calcular las pérdidas por fricción utilizando la ecuación de Darcy-Weisbach. El resultado obtenido para

estas pérdidas fue de 4.898 m


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas Cálculo de Pérdidas Menores Dado que el coeficiente de pérdidas menores asociado a la tubería 1-2 es igual a cero, se concluye que en esta tubería no hay pérdidas menores.


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas Al plantear la ecuación de conservación de energía entre el nodo 1 y 2 se tiene:

Por lo anterior, se obtiene que la altura en el nodo 2 será de 205.10 metros, y esta será tomada como la altura fija de la red para poder realizar la evaluación como circuitos


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas A continuación se muestran las presiones supuestas para los diferentes nodos, teniendo en cuenta que el nodo 2 se convirtió en el nuevo nodo con

altura piezométrica constante

Nodo

2

3

Presión (m) 205,1 190

4

5

6

7

195

180

175

185

Dado que este método corrige las alturas piezométricas en un nodo a la vez, se mostrará a continuación este procedimiento aplicando las correcciones a los nodos desde el 3 al 7 Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas A continuación, se muestra la primera iteración del método de Hardy-Cross con corrección de alturas piezométricas.


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas








Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas Finalmente, las alturas corregidas para la primera iteración se muestran a continuación:


H3

189,66

H4

188,30

H5

185,20

H6

195,31

H7

193,94

Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas Como se puede observar en la primera iteración estamos lejos de la convergencia por lo cual se requieren 18 iteraciones adicionales siguiendo la misma metodología vista anteriormente. Los resultados de altura piezometrica para las 18 iteraciones se muestran a continuación :


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas Luego de aplicar la respectiva corrección a cada una de las alturas originales anteriores, obtenemos las siguientes alturas corregidas para cada una de las 18 iteraciones :


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas En la iteración 18 se obtuvo que la corrección a las alturas piezométricas muy cercana a cero, razón por la cual se decidió detener las iteraciones. Con esta precisión, se obtuvo la altura piezométrica definitiva para cada uno de los nodos, así como la presión que tiene cada nodo (Altura piezométrica – cota del nodo) y finalmente los caudales que pasarán por cada una de las tuberías. Los resultados finales se muestras a continuación:


Ejemplo 2- Hardy Cross Corrección de alturas A continuación se presentan los resultados de perdidas y caudales para cada tubería de la red, obtenidos luego de terminar el proceso iterativo en los nodos:

Tubería

Hi (m)

Hj (m)

hf (m)

Q(m³/s)

1-2

210,00

205,10

4,90

0,311

2-3

205,10

195,73

9,37

0,094

2-4

205,10

201,60

3,50

0,190

3-5

195,73

190,77

4,96

0,066

4-5

201,60

190,77

10,83

0,009

4-6

201,60

199,39

2,21

0,147

5-7

190,77

195,74

4,97

0,0001

6-7

199,39

195,74

3,65

0,056


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico El primer paso del método es la suposición de caudales y direcciones para la red entregada, esta suposición se muestra a continuación:


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico A continuación es necesario desarrollar la definición de las matrices iniciales del método como: [A12], [A21], [A10], [Ho], [q], [Q], [N] e [I]. Las dos primeras matrices se basan en la suposición de caudales y direcciones presentada en la anterior imagen:

Matriz [A12].


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Ahora calculamos la matriz [A21] que es la transpuesta de [A12]

Matriz [A21].


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Ahora calculamos las matrices [A10] y [Ho]

Matriz [Ho].

Matriz [A10]. Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico También es importante definir los vectores que describen los caudales de consumo de la red y los caudales iniciales supuestos de acuerdo a la figura topológica del problema

Matriz [q]. Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

Matriz [Qo].

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Por último se requieren definir las matrices [N] e [I]. Ambas son matrices diagonales con un valor de 2 en su diagonal para el primer caso (pues se está utilizando la ecuación de Colebrook – White) y con 1 en el segundo pues se trata de la matriz identidad:

Matriz [N]. Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

Matriz. [I].

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Las matrices que fueron descritas anteriormente no cambiarán en ninguna iteración del proceso de cálculo pues son descripciones de la topología y las condiciones de entrada de la red. De este punto en adelante se realizará un recorrido por la primera iteración del método del gradiente para el caso seleccionado hasta obtener las primeras alturas piezométricas y los primeros caudales.

Profesor Ezio Todini Bologna Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico El primer paso de cada iteración es el planteamiento de la matriz [A11] que tiene en su diagonal el término descrito en la siguiente ecuación :

Esta matriz tiene dimensiones NT x NT por lo que es necesario calcular el término mencionado para cada una de las tuberías de la red. Para calcular el termino de la matriz [A11] se requiere conocer el término de pérdidas menores y pérdidas por fricción en cada tubería por lo que es necesario calcular el factor de fricción.


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Como en esta red hipotética no hay coeficiente de pérdidas menores, el valor hf + hm es el mismo que solamente las pérdidas por fricción. A continuación se presentan los parámetros α resultantes para la primera iteración.


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Ahora se debe multiplicar el parámetro α por el caudal supuesto para encontrar la matriz [A11].

Matriz [A11] y [A11]'.

De igual forma se debe definir la matriz [A11]’ que en el caso particular de esta red sería igual a la [A11] porque no hay presencia de bombas o válvulas reductoras de presión. Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Ahora calculamos las alturas piezométricas en los nodos. Para encontrarlas se debe aplicar la siguiente ecuación matricial :

Para encontrar el vector de alturas piezometrica en los nodos o [ 𝐻𝑖+1 ] se sigue una secuencia de cálculos que ya ha sido descrita en la presentación teórica del método. A continuación se muestran los resultados de la secuencia:


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Primero calculamos la Matriz [N][A11]'


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Ahora calculamos la Matriz ([N][A11]')-1


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Ahora calculamos la Matriz [A21]([N][A11]')-1


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Con base en lo anterior se calcula [A21]([N][A11]')-1[A12]


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Ahora se hace la multiplicación para calcular -([A21]([N][A11]')-1[A12])-1


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Ahora calculamos : [A11][Q]


[A10][Ho]

[A11][Q]+[A10][Ho]

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Calculamos ([A21]([N][A11]')-1) [A11][Q]+[A10][Ho]

Por

otra

parte

calcula [A21][Q]


se

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Ahora calculamos [A21][Q]-[q]

Usamos el resultado de la izquierda para calcular (([A21]([N][A11]')-1) [A11][Q]+[A10][Ho])-[A21][Q]-[q] Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Finalmente el vector de alturas piezometrica resultante es [Hi+1]


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Conociendo las alturas piezométricas y la siguiente ecuación es posible encontrar los caudales que pasarían por los tubos de la red

A continuación se presenta el proceso seguido para aplicar esta ecuación y encontrar los caudales correspondientes a la primera iteración


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Calculamos: [A12][Hi+1]


[A12][Hi+1]+[A10][Ho]

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Calculamos: (([N][A11]')-1)x[A12][Hi+1]+[A10][Ho]


([N][A11]')-1 [A11]

Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Calculamos:

[I] - ([N][A11]')-1 [A11]) [Q] [I] - ([N][A11]')-1 [A11]


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico Finalmente el vector de caudales obtenido al final de esta primera iteración es [Qi+1]:

De esta forma se obtuvieron los primeros caudales a partir de las estimaciones iniciales de 0.1 m3/s en todos los tubos. Siguiendo el mismo procedimiento descrito anteriormente se deben realizar 11 iteraciones hasta el que cambio entre caudales de dos iteraciones sucesivas en todos los tubos es inferior a 0.00001 [mcs].


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico A continuación se muestra la tabla resumen de alturas piezometricas en los nodos para las 11 iteraciones del método del gradiente:


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico A continuación se muestra la tabla resumen de los caudales en las tuberías para las 11 iteraciones del método del gradiente:


Ejemplo 3- Método del Gradiente Hidráulico A continuación se muestra el resultado final del diseño por el método del gradiente :


Discusión y comparación Con el fin de verificar los resultados obtenidos con los métodos ya expuestos se realizó el cálculo del error porcentual de cada método en su iteración final con respecto a los resultados obtenidos a través de un motor de calculo comercial como lo es EPA NET, los resultados obtenidos son:


Discusión y comparación De igual forma se cálculo del error porcentual de cada una de las alturas piezometrica finales en los nodos y os resultados obtenidos son:


Discusión y comparación En términos de evaluar la costo eficiencia hidráulica del diseño que fue entregado sería necesario analizar la forma estricta de la superficie de presiones con respecto a la parábola de flecha 15% propuesta por el profesor I Pai Wu en su planteamiento y así determinar si el diseño entregado se acerca más que otras posibilidades al criterio de SOGH que garantizaría un diseño óptimo en términos de costos.

Representación Grafica de la Superficie de Presiones usando programa REDES Ing. Gabriel Pérez Murillo-MSc Recursos Hídricos

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