ANALISIS DE REDES CERRADAS En orden cronológico se presentarán los siguientes métodos de análisis y diseño de redes cerradas, sin que se trate de una lista exhaustiva. Método de Hardy-Cross con corrección de caudales en los circuitos Método de Hardy-Cross con corrección de alturas piezométricas en los nodos Método de Newton-Raphson Método de la teoría lineal Método del gradiente hidráulico Con base en métodos reportados por la literatura técnica y la facilidad de uso, la historia de los métodos de análisis de redes de distribución de agua potable ha sido dividida en tres períodos: El primero, aproximadamente desde 1850 hasta 1930. El segundo, caracterizado por el uso de ecuaciones de resistencia fluida y de modelos análogos eléctricos se extiende de 1930 a 1960. El tercero, caracterizado por formulaciones matriciales del problema de las redes de distribución con el fin de hacer un uso intensivo de computadores digitales, va de 1960 hasta nuestros días.
Período Período I
Año
Inventor(es)/autor(es)
1845 1892 1905
Método / aplicaciones Fórmula para la pérdida de altura en un flujo a través
Darcy y Weisbach Freeman Hazen y Williams
de una tubería simple. Solución gráfica. Fórmula para la pérdida de altura en el flujo a través de una tubería simple y un método de tubería equivalente.
Período II
1934 1936 1956 1957
Período III
Camp y Hazen Cross MCLLROY
HOAG y Weinberg
1963
Martin y Peters
1968
Shamir y Howard
1970
EPP y Fowler
1977
Jeppson
Análisis de una red eléctrica. Técnica de relajación. Análisis del fluido Mcllroy. Adaptación
del
método
de
Hardy
Cross
para
computadores digitales. Método del nodo simultáneo. Expansión del método del nodo simultáneo. Método del circuito simultáneo. Programa comercial para el análisis de redes con base en el método del circuito simultáneo. Teoría lineal. - KYPIPE, Programa comercial para el análisis de
1972
Wood y Charles
1980
Wood
1987
Todini y Pilati
1994
Rossman
redes.
Método del gradiente. - EPANET Programa comercial para el análisis de redes.
Principios fundamentales de análisis de redes cerradas Si se considera la red cerrada que aparece en la figura 7.1 y se tiene en cuenta que QD1´ QD2´ QD3´ QD4´ …………………………QDNU son los caudales consumidos en cada uno de los nodos, algunos de los cuales podrían tener un valor nulo en un momento dado, y que Qe1´ Qe2´ Qe3´ ……………………Qem son los caudales que alimentan la red de distribución, se puede establecer la siguiente ecuación de conservación de la masa: m
Nu
Q
Q (7.1)
e
i
1
D i
1
donde Nu es el número de uniones (nodos) existentes en la red.
Figura 7.1 Red cerrada. Caudales consumidos en los nodos y caudales de alimentación a la red.
La Ecuación 7.1 es una ecuación de conservación de la masa para la red como un todo. Sin embargo, para cada uno de los nodos de la red se puede establecer una ecuación similar, debido a que localmente también se debe cumplir el hecho de que la masa se conserve. Dicha ecuación es:
NTi
Q
ij
j
Q
Di
0 (7.2)
1
donde NTi es el número de tubos que llegan al nodo i, y Q representa el caudal que pasa por la tubería Qij hacia el nodo i desde el nodo j. La convención adoptada por la práctica de la ingeniería hidráulica es que puede ser positivo (va hacia el nodo i) o negativo (sale de dicho nodo). Para cada uno de los caudales Qij de la Ecuación 7.2 se puede plantear la siguiente ecuación de conservación de la energía entre los nodos i y j, incluyendo las pérdidas por fricción y las pérdidas menores, en términos de las alturas piezométricas en dichos nodos:
En donde se ha utilizado la ecuación de Darcy-Weisbach para el cálculo de las pérdidas por fricción. Si se despeja Qij de esta última ecuación se obtiene la siguiente expresión, la cual relaciona el caudal que pasa por la tubería ij con las alturas piezométricas en los nodos i y j.
Si se reemplaza este último resultado en la Ecuación 7.2, se obtiene:
donde NTi representa el número de tuberías que llegan a la unión (nodo) i. A fin de tener en cuenta en forma automática el signo del caudal ij, la Ecuación 7.3 se puede cambiar por la siguiente expresión:
Este tipo de ecuaciones para el diseño y análisis de redes cerradas de tuberías se conocen como ecuación de altura piezométrica. En caso contrario se puede suponer alguna de las alturas piezométricas, ya que los valores absolutos de éstas no afectan la distribución de caudales y además debe tenerse en cuenta que las ecuaciones de altura piezométrica son ecuaciones no lineales.
Por otro lado, a partir de los circuitos de tubos que conforman la red, los cuales pueden ser adyacente o superpuestos, se pueden plantear las siguientes ecuaciones de conservación de la energía, una para cada uno de los circuitos que conforman la red de distribución: 1. Ecuación de continuidad en las uniones que conforman el circuito:
2. Ecuación de conservación de la energía alrededor del circuito:
Donde NTi, es el número de tubos del circuito I, luego, si se utiliza la ecuación de Darcy Weisbach en esta ultima ecuación en conjunto con la expresión de las pérdidas menores como función de altura de velocidad, se obtiene la siguiente expresión:
Las ecuaciones de tipo 7.7 se conocen como ecuaciones de caudal de la red. Las ecuaciones de tipo 7.7 se conocen como ecuaciones de caudal de la red. En total se tienen NC ecuaciones de caudal, donde NC es el número de circuitos que conforman la red. Nuevamente se puede observar que son ecuaciones no lineales. Lo anterior implica que para el cálculo de una red cerrada se tiene un número total de ecuaciones igual a:
Una vez más debe establecerse una convención de signos para las ecuaciones de caudal 7.7. Los caudales en el circuito se consideran positivos si giran en el sentido de las agujas del reloj y negativos si lo hacen en sentido contrario. Para asegurar una correcta asignación del signo, estas ecuaciones se pueden transformar como se indica a continuación:
2
Los métodos de análisis de redes que se describen en este capítulo están diseñados para llevar a cabo esos cálculos de caudales en cada tubería piezométrica en cada nodo, esto implica que se deben conocer todas las demás variables relacionadas con las tuberías (diámetricos, rugosidades, coeficientes de pérdidas menores, accesorios especiales y bombas) y con los nodos (caudales de consumo, altura topográfica, tanques, diseño y no un diseño en sí
MÉTODO DE HARDY-CROSS CON CORRECCIÓN DE CAUDALES Este método para resolver las Ecuaciones 7,4 y 7.7 fue desarrollado en 1936 por el ingeniero norteamericano Hardy Cross, quien era profesor de ingeniería estructural en la Universidad de Illinois, Estados Unidos.
El método en su forma original fue desarrollado para el cálculo de estructuras aporticadas de concreto y acero, mediante un método matemático para llevar a cabo análisis de distribución de momentos para estructuras estáticamente determinadas. Sin embargo, Cross lo extendió rápidamente al caso de redes cerradas de distribución de agua potable, y publicó un artículo en el cual describía la aplicación de su método (ver Cross, 1936). Como ecuación de resistencia fluida utilizó la ecuación de Hazen Williams, establecida en 1906 y popularizada en la década de 1930. Para esta época el material predominante en las redes de distribución de agua potable era el hierro fundido.
Si se define una altura piezométrica que incluya la altura piezométrica perdida por fricción y la altura piezométrica perdida por accesorios, en la siguiente forma:
la anterior ecuación se convierte en:
Ahora, utilizando la Ecuación 7.8 se tiene que:
Esta última ecuación también puede escribirse en la siguiente forma:
Método de Hardy Cross con corrección de caudales: pasos que se debe seguir en el análisis. El análisis de una red de distribución de agua según el método de Hardy-Cross con corrección de caudales en los circuitos propone los siguientes pasos:
1. Se define claramente la geometría de la red, identificando en forma coherente los nodos y los circuitos. 2. Si existe más de un nodo con altura piezométrica constante (tanque en la red o embalse), es necesario conectarlos en pares por medio de tuberías hipotéticas que pueden representarse mediante líneas punteadas. En estas tuberías hipotéticas se deben suponer diámetros, longitudes y rugosidades absolutas, de tal manera que se pueda calcular el caudal correspondiente a las diferencias de nivel entre los diferentes pares de embalses o tanques. En las correcciones de caudales no deben incluirse los tubos hipotéticos, lo cual sí debe hacerse en el cálculo de las pérdidas de altura piezométrica (por fricción y por accesorios). 3. Se suponen todos los diámetros de la tubería que conforman la red. Tal paso convierte este método en un proceso de comprobación de diseño. 4. Se supone que la red está compuesta por circuitos cerrados en cualquier orden. Con el fin de acelerar la convergencia se puede suponer que los tubos de diámetros grandes forman circuitos independientes. Se deben utilizar tantos circuitos como sea necesario para asegurar que todos los tubos queden incluidos en por lo menos un circuito.
5. Se supone el caudal a partir de cualquiera de las tuberías de la red. Luego se procede alrededor del circuito que contiene esta tubería para calcular los caudales en las demás tuberías que conforman el circuito teniendo en cuenta los caudales que salen de las uniones (caudales negativos) y los que entran a ellas (caudales positivos). Si los flujos hacia o desde otro circuito son desconocidos, se deben suponer los caudales correspondientes. Esto significa que se deben hacer tantas suposiciones de caudales como circuitos existan en la red que se está analizando. Cuanto mejores sean estas suposiciones más rápidamente convergerá el método. La experiencia ayuda mucho en este aspecto. 6. Se calcula la pérdida de altura piezométrica en cada tubería de la red utilizando la siguiente ecuación (de Darcy-Weisbach). si bien podría emplearse cualquier ecuación de resistencia fluida, como la de Hazen-Williams.
El factor de fricción f se calcula utilizando la ecuación de Colebrook-White presentada en el Capítulo 1:
1 f
k
2 log
10
s 3.7d
2.51 f e
Junto con el Diagrama de Flujo 2. 7. Se calcula la pérdida neta de altura piezométrica alrededor del circuito, es decir, se suman las pérdidas altura piezométrica y se restan las “adiciones” de altura piezométrica siempre medidas en el sentido del avance de las agujas del reloj. Si la pérdida neta de altura piezométrica no es cero, se procede a corregir los caudales de cada una de las tuberías del circuito mediante la Ecuación 7.10:
9. Los pasos 5 a 8 se repiten para todos los circuitos teniendo en cuenta los caudales corregidos en los circuitos calculados previamente. 10. Los pasos 5 a 9 se repiten hasta que el balance de alturas piezométricas alrededor de todos los circuitos (ecuación de conservación de la energía) llegue a valores razonablemente cercanos a cero. Este criterio de convergencia es fijado por el diseñador de acuerdo con las características de la red que esté analizando.
EJEMPLO N° 01 La red mostrada en la siguiente figura tiene una válvula en la tubería 2-3, a cual se encuentra parcialmente cerrada y produce una pérdida menor local de 10.0 v232 / 2g, la presión en el punto 1 es 100 mca. Analizar los causales y presiones en la red. Los diámetros (en milímetros) y las longitudes (en metros) para cada una de las tuberías son los indicados. Los caudales están dados en l/s (v=1.141x10-6 m2/s), suponer que las perdidas menores son despreciables, salvo en la tuberia 2-3
Ejemplo del método de Hardy - Cross con corrección de caudales
SOLUCIÓN La primera suposición de caudales en las tuberías puede ser:
Estos datos se pueden representar en forma gráfica, tal como se muestra en la Figura, en donde queda claro el por qué de los signos de los caudales de la tabla anterior:
Primera suposición de caudales en las tuberías
Mediante las Ecuaciones 7.11 y Colebrook-White, se calculan las siguientes tablas, en las cuales se ha supuesto que la viscosidad cinemática del agua n es 1.14x106 m2/s.
Primer ciclo
Mediante la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:
Al utilizar la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:
Segundo ciclo
Mediante la ecuación 7,10 se calcula la corrección de caudal:
La Ecuación 7.10 lleva al cálculo de la corrección de caudal:
Tercer ciclo
Al utilizar la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:
Mediante la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal
Cuarto ciclo
La Ecuación 7.10, lleva al cálculo de la corrección de caudal:
Al utiliza la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:
Como las sumatorias de las perdidas por fricción y las perdidas menores son pequeñas en ambos circuitos, el proceso debe parar. Esto significa que se esta cumpliendo la ecuación de conservación de la energía en cada circuito. En el momento de parar el proceso las correcciones de caudales (ΔQ) resultantes eran muy pequeñas. Los resultados que se obtuvieron son:
Resultados de caudales en las tuberías
Estas alturas piezométricas de presión pueden variar su valor, dependiendo de la dirección en que se calculen. Tal variación se debe a que en el momento de parar el proceso iterativo no se tiene que precisión absoluta en los caudales. Sin embargo, las diferencias son pequeñas. Este hecho es válido para los ejemplos de todo este capítulo
COMENTARIO Como se había anteriormente, el método de Hardy-Cross utilizado en este ejemplo requirió una suposición inicial de caudales con el fin de iniciar el proceso de cálculo. Al ser una red tan pequeña las suposiciones de caudal son fáciles y rápidas de hacer, con lo cual no se pierde mucho tiempo en la preparación de los datos. Una vez se tienen estas suposiciones, el proceso necesitó únicamente cuatro iteraciones para converger.
