“Sistemas de Redes Cerradas”
INTRODUCCIÓN
Las redes de distribución distribución de agua potable de una ciudad usualmente están compuestas compuestas de dos partes: la primera primera de ellas es una red matriz matriz que esta encargada encargada de conducir el agua agua desde la planta de tratamiento tratamiento hasta los diferentes diferentes tanques de almacenamient almacenamientoo y compensación compensación localizados localizados aguas arriba de los diferentes sectores sectores de abastecimiento. abastecimiento. La segunda parte esta conformada por las redes de distribución secundaria o menores a través de las cuales el agua potable se mueve desde desde los tanques tanques de almacenamie almacenamiento nto hasta la la acometida acometida del usuario usuario final.
En general, las redes matrices matrices son redes abiertas mientras que las redes secundarias secundarias son redes cerradas en el sentido sentido de que están conformadas conformadas por circuitos. circuitos. Sin embargo, embargo, puede haber casos casos en que las las rede redess matr matrice icess conte contenga ngann circu circuit itos os y que parci parcial alme mente nte las las rede redess de distribución sean abiertas. Pero la tradición de la ingeniería hidráulica y sanitaria ha sido confo conform rmar ar las las redes redes menore menoress siguie siguiendo ndo el traza trazado do de las las manza manzanas nas de las las ciuda ciudade des, s, constituyendo así redes con circuitos y aumentando la confiabilidad del suministro ya que el agua puede llegar a un sitio por diferentes caminos.
La necesidad de tener esa confiabilidad confiabilidad implico que las redes de distribución distribución se desarrollaran desarrollaran con ciertas ciertas caracter característi ísticas cas topológ topológicas icas que hicieron hicieron necesari necesarioo el desarrol desarrollo lo de métodos métodos especiales de cálculo, diferentes a los utilizados para otros tipos de sistemas de tuberías.
DEFINICIÓN: “Mecánica De Fluidos II”
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“Sistemas de Redes Cerradas” Las redes cerradas son conductos ramificados que forman anillos o circuitos, se alimentan desde uno o varios suministros y conducen el agua entre ellos o desde ellos, y los nudos y extremos finales por más de un recorrido posible. Las redes cerradas son tuberías principales que se comunican unas con otras, formando circuitos cerrados que forman mallas y se caracterizan por el hecho de que la alimentación de las tuberías puede efectuarse por sus dos extremos indistintamente, según se comporten las tuberías adyacentes, de manera que el sentido de la corriente no es siempre forzosamente el mismo. En puntos determinados de la red pueden ocurrir descargas o salidas de agua, además de las posibles ramificaciones. Esos puntos se denominan nudos de consumo. Pero también es un nudo el punto donde cambian las características del conducto, como su diámetro o su rugosidad, así no haya consumo o ramificación.
m a T r
Tanq ue
Tramo 5
Nudo 1
T r a Tramo 10
Nudo 2
Planta de una red cerrada
Nudo 3
o 9 T r a m
Extremo 3 Extremo final: tanque, descarga a la atmósfera o
0 1 o Circuito I m r a r a m T Circuito T II 8 4 a m o Nudo T r a T r
4
Nudo 5
inicio de otro conducto.
o 7 m a T r
Tr a Extremo 1
Extremo 2
En la práctica, la mayoría de los sistemas de tuberías están constituidos por muchas tuberías conectadas de forma compleja con muchos puntos con caudales entrantes y salientes. Tal sistema de tuberías se conoce como red de tuberías y realmente es un complejo conjunto de “Mecánica De Fluidos II”
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“Sistemas de Redes Cerradas” tuberías en paralelo. El análisis numérico de las redes de tuberías es extremadamente complejo, pero pueden obtenerse soluciones al utilizar el método de Hardy Cross, llamado así en honor de la persona que desarrolló el método. Desde el punto de vista de la utilidad funcional, la red de distribución está constituida por una gran variedad de elementos, pero las tuberías son el componente principal; desde el punto de vista funcional, la tubería es el elemento de la red que permite el transporte del agua y los componentes restantes actúan únicamente como auxiliares de esta función (regulación, control, medida, etc.). Atendiendo a su aspecto topológico, una red de distribución está constituida por nodos, líneas y circuitos: los nodos se identifican con puntos determinados de la red que tienen un interés concreto por sus características, también pueden tratarse de puntos de consumo, puntos de entrada o salida de algún subsistema ó simplemente puntos de conexión de tuberías u otros elementos, o de cualquier otro elemento que implique transferencia de gasto, bien sea con aporte de energía como en el caso de las bombas o con disipación de la misma por ejemplo una válvula, de ahí que cuando un nodo recibe un aporte externo de gasto se denomina nodo fuente; inversamente, cuando un nodo aporta gasto hacia el exterior se denomina nodo de consumo. Una línea es un segmento de la red que transporta un gasto constante y no tiene ramificaciones, mientras que una tubería es una porción de la línea que posee unas características físicas constantes, como diámetro interno y rugosidad y un circuito consiste en la representación de un conjunto de tuberías en serie o en paralelo mediante una única tubería cuyas características sean equivalentes a las del conjunto.
EL MÉTODO DE HARDY CROSS
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“Sistemas de Redes Cerradas” El Método de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, está basado en el cumplimiento de dos principios o leyes: •
Ley de continuidad de masa en los nudos;
•
Ley de conservación de la energía en los circuitos.
El planteamiento de esta última ley implica el uso de una ecuación de pérdida de carga o de "pérdida" de energía, bien sea la ecuación de Hazen & Williams o, bien, la ecuación de Darcy & Weisbach. La ecuación de Hazen & Williams, de naturaleza empírica, limitada a tuberías de diámetro mayor de 2", ha sido, por muchos años, empleada para calcular las pérdidas de carga en los tramos de tuberías, en la aplicación del Método de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubería, lo cual hace más simple el cálculo de las "pérdidas" de energía. La ecuación de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca se ha empleado acoplada al método de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de fricción, f, el cual es función de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el número de Reynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y del caudal del flujo en las tuberías. Como quiera que el Método de Hardy Cross es un método iterativo que parte de la suposición de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, ∆ Q, en cada iteración se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el cálculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberías de la red, lo cual sería inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a uña" con una calculadora sencilla. Más aún, sabiendo que el cálculo del coeficiente de fricción, f, es también iterativo, por aproximaciones sucesiva. Lo anterior se constituía, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizado, no obstante ser la manera lógica y racional de calcular las redes de tuberías. “Mecánica De Fluidos II”
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“Sistemas de Redes Cerradas” Hoy, esto será no sólo posible y fácil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguaje BASIC que aquí se presenta, sino también permitirá hacer modificaciones en los diámetros de las tuberías y en los caudales concentrados en los nudos, y re calcular la red completamente cuantas veces sea conveniente. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO DE HARDY CROSS El método se fundamenta en las dos leyes siguientes: LEY DE CONTINUIDAD DE MASA EN LOS NUDOS: "La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"
(1) Donde, Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo. qi : Caudal concentrado en el nudo i m : Número de tramos que confluyen al nudo i.
LEY DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA EN LOS CIRCUITOS:
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“Sistemas de Redes Cerradas” "La suma algebraica de las "pérdidas" de energía en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".
(2) Donde, hf ij : Pérdida de carga por fricción en el tramo Tij. n : Número de tramos del circuito i 3.2.1 ECUACIONES BÁSICAS La ecuación de Hazen & Williams originalmente expresa:
(3) Donde, V : Velocidad del flujo, m/s. C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional. D : Diámetro de la tubería, m. Sf : Pérdida unitaria de carga (m/m).
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“Sistemas de Redes Cerradas” (4) Por continuidad, Luego,
(5) De la cual resulta:
(6) Donde, Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s. L : Longitud del tramo de tubería, m. hf : Pérdida de carga, m. La ecuación anterior se puede transformar de tal manera que el diámetro se exprese en pulgadas y el caudal en l/s, obteniéndose la siguiente ecuación.
(7) Haciendo “Mecánica De Fluidos II”
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(8) Resulta:
(9) La ecuación de Darcy & Weisbach expresa, en términos de velocidad del flujo, la siguiente:
(10) donde f es el coeficiente de fricción, de Darcy Y en términos del caudal, expresa:
(11) Haciendo;
(12) Resulta: “Mecánica De Fluidos II”
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(13) En general, la ecuación de pérdidas de carga por fricción expresa:
(14) Donde, r : Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuación empleada para el cálculo. n : Exponente del caudal, que depende la ecuación de resistencia empleada. n : 1.851, según la ecuación de Hazen & Williams. n : 2.0 según la ecuación de Darcy & Weisbach. El Método de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteración tras iteración, los caudales en los tramos, con la siguiente ecuación general:
(15) El coeficiente de fricción, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuación de Colebrook & White, que expresa lo siguiente:
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“Sistemas de Redes Cerradas” (16) Donde: k : El coeficiente de rugosidad de la tubería, mm. D : Diámetro de la tubería, mm. R : El número de Reynolds del flujo, adimensional. Nótese que la relación k/D, en la ecuación (16) debe ser adimensional. A su vez, el número de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuación:
(17) Donde, v : Velocidad del flujo, m/s. ρ : Densidad del fluido (agua), kg/m3. µ : Viscosidad dinámica del fluido, kg/m.s. ν : Viscosidad cinemática del fluido, m2/s.
D : Diámetro del conducto, m. Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s. La ecuación (16) es una ecuación implícita para f y, por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensayo y error, en la subrutina 400, aplicando el Método de Newton & Raphson. Nótese
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“Sistemas de Redes Cerradas” que, para acelerar el cálculo de f, en esta subrutina se emplea un valor inicial de f = X0, calculado con la siguiente fórmula:
(18) APLICACIÓN DEL MÉTODO DE CROSS Se asigna a cada lado de la malla una caudal inicial, siempre considerando que en el nudo donde ingresa caudal exterior, la sumatoria de los caudales debe ser cero. Se asigna sentidos de circulación del caudal a cada tramo de cada malla cerrada. Para la cuantificación de la pérdida de carga de cada tramo, se fija un sentido positivo para cada malla, puede adoptarse el sentido horario como positivo. Lo que implica que las pérdidas de carga que tengan sentido horario son positivas, mientras las que sean antihorarias serán negativas. Se calcula
a cada tramo de la malla con el signo que resulte después de haber
adoptado la convención, es necesario recordar que esta expresión es la pérdida de carga de cada tramo. Luego se calcula
, y mediante la aplicación de la Ecuación N° 42-4 s e obtiene
el valor de DQo. El que permite corregir el valor inicial del caudal adoptado. Se realizan las sucesivas iteraciones hasta que el valor de DQo se hace cero, y se llega al valor final del caudal por tramo. Se verifica que
Veamos a continuación las tablas de valores que resultan
aconsejables realizar para la aplicación del método de iteraciones sucesivas. Para cada tramo de cada malla se debe construir la variación de rj.Q02 y de rj.Q0, en función de Q0.
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Para ello resulta práctico la siguiente tabla o planilla de cálculo:
Determinada la función de Q, realizamos el primer tanteo para cada malla. MALLA N°1 (Primer Tanteo)
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“Sistemas de Redes Cerradas” El cálculo termina cuando ∆Qo=0. En ese momento los valores dados en el último tanteo serán los de circulación en cada nudo. La otra verificación es la cota piezométrica en cada punto. Para lo cual se partirá de una C.P. conocida y como se tendrán los valores de J.L en cada ramal, se obtendrán por diferencia los valores de cota piezométrica en cada nudo.
EJEMPLO DE APLICACIÓN: Problema Nº01: Determinar los caudales en cada uno de los tramos para Q= 400 l/seg
Q= 400 l/seg = 0.4 m3/seg V= 2 m/seg PVC = 140 (CH) Tramo 2 – 3 = 400m Tramo 3 – 4 = 500m Tramo 4 – 5 = 400m Tramo 2 – 6 = 600m Tramo 7 – 5 = 600m “Mecánica De Fluidos II”
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“Sistemas de Redes Cerradas” Tramo 2 – 5 = 500m Tramo 6 – 7 = 500m Formulas:
Circ Tram Dij( . o m)
Lon g.
Qij
Aij
Hij
Aij x Qijn-1
2-3
0.31
400
-0.15
135.56
-4.05
27.03
0.01
3-4
0.31
500
-0.15
169.45
-5.07
33.78
0.01
4-5
0.31
400
-0.15
135.56
-4.05
23.03
0.01
2-5
0.21
500
+0.0 7
1127.22
+8.23
117.58
0.01
-4.94
205.42
0.02
I
Qij 0.14 0.14 0.14 0.10
II
2-6
0.34
600
0.18
129.73
+5.43
30.20
-0.02
0.16
6-7
0.34
500
0.18
108.11
+4.53
25.17
-0.02
0.16
7-5
0.34
600
0.18
129.73
+5.44
30.20
-0.02
0.16
2-5
0.21
500
-0.07
1127.22
-8.23
117.58
-0.02
+7.17
203.15
-0.01
0.10
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PROBLEMA Nº 2:
C
I
TRAM O
Diámet ro
Long .
Qij (m3/s)
Hij Aij
Aij x Qijn
AijxQijn-
Qij’
1
Dij (m)
Lij(m )
2-3
0.31
400
-0.15
135.56
-4.05
27.03
0.014
3-4
0.31
500
-0.15
169.45
-5.07
33.78
0.014
4-10
0.22
400
-0.075
719.11
-5.97
79.54
0.014
2-10
0.21
500
0.07
1127.2 2
8.23
117.58
0.014
0.136 0.007 0.02
0.136 0.063 0.104
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II
III
2-9
0.34
600
0.18
129.73
5.44
30.20
-0.02
0.16
9-8
0.34
500
0.18
108.11
4.53
25.17
-0.02
8-10
0.24
600
0.09
703.26
8.17
90.83
-0.02
0.006
0.160 .0.07 6
2-10
0.21
500
-0.07
117.22
-8.23
117.58
-0.02
0.014
0.104
4-10
0.22
400
0.075
719.11
5.97
79.54
0.007
0.068
4-5
0.22
500
-0.075
898.89
-7.46
99.43
0.007
0.014
10-6
0.39
500
0.235
55.45
3.81
16.19
0.007
5-6
0.22
400
-0.075
719.11
-5.96
79.54
0.007
0.006
0.248
0.068
0.068
I V
8-10
0.24
600
-0.09
703.26
-8.17
90.83
-0.006
0.02
10-6
0.39
500
-0.235
55.45
-3.81
16.19
-0.006
8-7
0.24
500
0.09
588.64
6.84
76.02
-0.006
0.007
7-6
0.24
600
0.09
706.36
8.21
91.23
-0.006
0.076 0.248 0.084 0.084
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