Cálculo Integral
SEP
SES
DGEST
INSTITUTO TECNOLOGICO DE APIZACO
“CÁLCULO INTEGRAL”
ELABORACION DE TEXTOS Y PROTOTIPOS DIDACTICOS (OPCION II) LIBRO DE TEXTO
QUE PARA OBTENER EL TITULO DE: INGENIERO INDUSTRIAL E INGENIERO ELECTROMECÁNICO
PRESENTAN: SASHA ALTAGRACIA CARMONA ROJAS Y RAFAEL FLORES PEREZ
APIZACO, TLAX.
JUNIO 2006 1
Cálculo Integral
PROLOGO El presente texto está diseñado para alumnos que se preparan para una carrera a nivel licenciatura en las diferentes ingenierías del sistema de Institutos Tecnológicos. Se da por hecho que se tienen conocimientos previos de álgebra y cálculo diferencial, por ende, centramos nuestra atención en mostrar las técnicas del cálculo integral que se requerirán tanto en cursos de especialidad, posgrado y con toda seguridad en su futuro ejercicio profesional.
En lo que se refiere al profesor, es nuestro deseo que el texto se constituya en una herramienta útil al proceso de enseñanza-aprendizaje, con la finalidad de poder usar el tiempo de clase más eficazmente y así contribuir significativamente a la comprensión de los temas contenidos en el programa de estudios.
Es importante hacer notar que las propuestas que se plantean, han sido producto de un análisis exhaustivo a través de muchos años de enseñar cálculo, es decir, no se trata de una hipótesis, sino del resultado sistemático de un riguroso proceso de investigación.
CARACTERÍSTICAS DIDÁCTICAS. 1. Los contenidos han sido diseñados exclusivamente para cubrir el curso de cálculo integral (matemáticas II) de las ingenierías que ofrecen los Institutos Tecnológicos dependientes de la DGEST.
2. En cada unidad, los nuevos conceptos se presentan presentan a través de ejercicios resueltos, resueltos, cada tema se ilustra mediante ejemplos que van desde básicos hasta avanzados.
2
Cálculo Integral
PROLOGO El presente texto está diseñado para alumnos que se preparan para una carrera a nivel licenciatura en las diferentes ingenierías del sistema de Institutos Tecnológicos. Se da por hecho que se tienen conocimientos previos de álgebra y cálculo diferencial, por ende, centramos nuestra atención en mostrar las técnicas del cálculo integral que se requerirán tanto en cursos de especialidad, posgrado y con toda seguridad en su futuro ejercicio profesional.
En lo que se refiere al profesor, es nuestro deseo que el texto se constituya en una herramienta útil al proceso de enseñanza-aprendizaje, con la finalidad de poder usar el tiempo de clase más eficazmente y así contribuir significativamente a la comprensión de los temas contenidos en el programa de estudios.
Es importante hacer notar que las propuestas que se plantean, han sido producto de un análisis exhaustivo a través de muchos años de enseñar cálculo, es decir, no se trata de una hipótesis, sino del resultado sistemático de un riguroso proceso de investigación.
CARACTERÍSTICAS DIDÁCTICAS. 1. Los contenidos han sido diseñados exclusivamente para cubrir el curso de cálculo integral (matemáticas II) de las ingenierías que ofrecen los Institutos Tecnológicos dependientes de la DGEST.
2. En cada unidad, los nuevos conceptos se presentan presentan a través de ejercicios resueltos, resueltos, cada tema se ilustra mediante ejemplos que van desde básicos hasta avanzados.
2
Cálculo Integral 3. Al final de cada unidad se presenta una serie de ejercicios cuidadosamente previstos para que el alumno vaya adquiriendo seguridad y dominio del tema.
4. En la parte final del texto aparecen las soluciones a los ejercicios de número par.
5. Conscientes de que ningún conocimiento vale la pena si no es empleado en la obtención de un beneficio, se han seleccionado minuciosamente aplicaciones variadas y realistas, y que requieren un mínimo de conocimientos en otras áreas.
6. No obstante, que el presente libro ha sido elaborado con la intención de contribuir al enriquecimiento del proceso de enseñanza-aprendizaje, es necesario concluir que la disposición, creatividad, tenacidad, voluntad, etc., tanto del profesor como de los estudiantes es factor fundamental en el logro del mismo.
3
Cálculo Integral
JUSTIFICACIÓN
Para muchos estudiantes la matemática es un verdadero dolor de cabeza, ya que no logran aprenderla, es preocupante que a nivel nacional es la materia que más se reprueba. A pesar de que durante la educación básica (preescolar, primaria y secundaria) y la educación media superior (bachillerato) se estudia, los alumnos no pueden superar su deficiente aprendizaje.
¿Cuántos estudiantes truncan sus estudios por haber reprobado matemáticas? No se sabe el número aproximado y menos el exacto, debido a que jamás se ha llevado estadística alguna. El problema es serio, ¿a quién culpar? , ¿a los libros de texto?, ¿a los profesores?.
En una sociedad globalizada como la nuestra en la que imperan los criterios de eficiencia y eficacia, de productividad y competitividad, de orientación a logros y resultados, es necesario modificar algunas estrategias pedagógicas para hacer “menos complicado el aprendizaje de las matemáticas”, particularmente del cálculo integral, en este sentido, es conveniente desde nuestro particular punto de vista, trabajar en la elaboración de un libro de texto en el que intervengan la inteligencia y la voluntad para hacer las cosas de manera lúdica, sin dejar de ser profesional, que ofrezca a los profesores como a los alumnos una propuesta de trabajo que se pueda desarrollar, sin dificultad, a partir de las indicaciones contenidas en el mismo.
Desde nuestra perspectiva, el papel de los profesores como promotores del desarrollo individual y colectivo de las habilidades y destrezas de los estudiantes exige un gran esfuerzo, que se duplica con la carga de trabajo administrativo que deben realizar a lo largo del curso. 4
Cálculo Integral Conscientes de esta problemática, consideramos este texto como un conjunto de material de apoyo que contribuya a hacer más accesible el conocimiento de esta importante y noble rama de la matemática, el cálculo integral.
Es deseable que las sugerencias, incluidas en el libro, motiven la imaginación y creatividad de los profesores y les sirvan como punto de arranque para diseñar procedimientos didácticos más acordes con los intereses y las necesidades de los alumnos.
5
Cálculo Integral
INDICE PROLOGO
2
JUSTIFICACIÓN
4
CAPITULO 1- Diferenciales. 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
Incrementos, su interpretación geométrica. Diferenciales, su interpretación geométrica. Teoremas típicos de diferenciales. Cálculo de diferenciales. Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
9 10 11 12 13
CAPITULO II.- Integrales indefinidas y métodos de integración. 2.1 Definición de función primitiva. 2.2 Definición de integral indefinida. 2.3 Cálculo de integrales indefinidas. 2.3.1 Directas. 2.3.2 Por cambio de variable. 2.3.3 Por partes. 2.3.4 Trigonométricas. 2.3.5 Por sustitución trigonométrica. 2.3.6 Por fracciones parciales.
18 19 20 22 24 33 40 47 54
CAPITULO III.- Integral definida. 3.1 3.2 3.3 3.4
Definición de integral definida. Propiedades de la integral definida. Teorema fundamental del cálculo. Cálculo de integrales definidas.
66 67 68 68
CAPITULO IV.- Aplicaciones de la integral. 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
Longitud de curvas. Cálculo de áreas. Áreas entre curvas. Sólidos de revolución. Cálculo de volúmenes por el método de los discos. Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.
6
73 75 76 80 80 86
Cálculo Integral
CAPITULO V.- Integrales impropias. 5.1 Definición de integral impropia. 5.2 Integral impropia de 1ra clase. 5.3 Integral impropia de 2da clase.
95 95 97
APENDICE I.
100
APENDICE II.
102
APENDICE III.
104
APENDICE IV.
107
RESPUESTAS A PROBLEMAS PARES.
115
BIBLIOGRAFIA.
129
7
Cálculo Integral
DIFERENCIALES
DIFERENCIALES
Incrementos, su interpretación geométrica.
Definición de diferencial.
Teoremas típicos de diferenciales.
Cálculo de diferenciales.
Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.
8
Cálculo Integral
CAPITULO 1 DIFERENCIALES 1.1 Incrementos, su interpretación geométrica. Sea y = f(x) una función. En muchas aplicaciones se tiene que la variable independiente x varía ligeramente y se necesita encontrar la variación correspondiente de la variable dependiente y. Si x cambia de x1 a x2 , entonces la magnitud del cambio se denota por ∆ x ( se lee “delta x” ). Es decir, el incremento de x está dado por: ∆ x
= x2 – x1
Análogamente ∆ y denotará la variación de la variable dependiente y, correspondiente al cambio ∆ x. Entonces, el incremento de y, está dado por:
∆ y
= f(x2 ) – f(x 1 ) = f(x 1 + ∆ x) – f(x1 )
La representación geométrica de estos incrementos en términos de la gráfica de f se muestra en la siguiente figura: Y
(
Q x1 + ∆x , f Q
(
P x1 , f
∆ y
( x1 ))P ∆ x x1
Fig. 1
9
2
X
( x1 + ∆x ))
Cálculo Integral
Ejemplo 1: Sea y = 2 x2 – 3. Encuentre el incremento ∆ y si el valor inicial de x es 3 y ∆ x = 0.1 Solución:
∆ y
= f( 3.1 ) – f( 3 ) = f(x1 + ∆ x) – f(x1 )
∆ y
= [2(3.1)2 - 3] - [2(3)2 - 3]
∆ y
= 1.22
Ejercicios tema 1.1 Calcule ∆ y para las funciones dadas, considerando los valores de x y ∆ x indicados.
1. y = x2 en x = 2 y ∆ x = 0.3 2. y = x en x = 16 y ∆ x = 0.1 3. y = x3 en x = 4. y = 3 x
1 3
y ∆ x = 0.2
en x = 8 y ∆ x = -0.1
5. y = 3 x2 + 2 x – 5 en x = 1 y ∆ x = -0.2 6. y = x3 – 3 x2 + x – 4 en x = 1 y ∆ x = -0.1 7. y = 1/ x2 en x = 2 y ∆ x = 0.2 8. y = ( x – 2)( x – 3) en x = 0 y ∆ x = -0.02 9. y = tan x en x =
π
10. y = sen x en x =
π
4
y ∆ x = y ∆ x =
6
π
12
− π
12
1.2 Definición de diferencial. Sea y = f(x) donde f es derivable y sea ∆ x un incremento de x. Entonces: (i) la diferencial dx de la variable independiente x está dada por dx = ∆ x (ii) la diferencial dy de la variable dependiente y está dada por dy = f’(x) ∆ x. Sustituyendo dx en lugar de ∆ x obtenemos: dy = f’(x) dx
10
Cálculo Integral
1.3 Teoremas típicos de diferenciales. Puesto que la diferencial de una función es el producto de su derivada por la diferencial de la variable independiente, las fórmulas para hallar las diferenciales son las usadas para obtener las derivadas, con solo multiplicar cada una de ellas por dx (diferencial de la variable independiente).
d (c) = 0
d ( cos u ) = - sen u du
d ( x) = d x
d ( tan u ) = sec2 u du
d ( u + v – w) = du + dv – dw
d ( cot u ) = - csc2 u du
d (cv) = c dv
d ( sec u ) = sec u tan u du
d ( xn) = n xn-1 d x
d ( csc u ) = - csc u cot u du
d ( un) = n un-1 du
d s e n −1 u =
du 1− u2
d cos −1 u =
- du 1− u2
d (uv) = u dv + v du u
v du - u dv
d( ) = v du v2 d (ln u) = u
d tan −1u =
du 1 + u2
d cot −1u =
- du 1 + u2
d sec −1 u =
du
d (log u) = log e du u
d ( eu) = eu du d ( au) = au ln a du d ( sen u ) = cos u du d csc−1 u =
11
2
u u −1
- du 2
u u −1
Cálculo Integral
1.4 Cálculo de diferenciales. Ejemplo 2: Dada y = 2 x3 + 3 x2 – 4 x +3. Hallar: (a) dy (b) el valor de dy para x = 2 y ∆ x = 0.2 Solución:
a)
dy =
b)
( 6 x2 + 6 x - 4 ) dx
dx = sustituyendo
∆
x=
0.2 y x = 2
dy
= [ 6(2)2 + 6(2) - 4] [0.2]
dy
= 6.4
Ejercicios tema 1.4 Encuentra la diferencial dy para las funciones dadas, expresándolas en términos de x y dx.
11. y = 100 – 3 x2
21. y = cos2 x2
12. y = 7 x2 – 11
22. y = 12 cot2 ( x2- a2)
13. y = 12 x2 - 14 x + 14. y = 2 5 x 15. y =
x b
1 3
23. y = 3 tan 3 x
3
24. y = 12 x - 18 sen (2 – 4 x)
5
25. y = x2 sen-1 3 x
+ 2x a
26. y = cot-1
16. y = 2 x + 3
1− 1+
27. y = csc-1 ( x +
17. y = x + 1 3
18. y = x2 3 − 4 x
28. y = ln
19 y = 1 − sen2 x
1 x
)
1 + tan 1 − tan x
29. y = log ( e x + e-x )
3 2
20. y = sen x
30. y = cos2 e3 x 12
Cálculo Integral
1.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial. Cuando ∆ x ≈ 0, las diferenciales nos facilitan una manera de “predecir” el valor de f(x1 + ∆ x) conociendo el valor de la función y su derivada en x. ∴
f(x1 + ∆ x) = f(x1 ) + ∆ y
f(x1 + ∆ x) = f(x1 ) + dy
haciendo referencia al tema 1.2 obtenemos: = f(x1 ) + f’(x) dx
f(x1 + ∆ x)
Ejemplo 3: Hallar una aproximación a 36.4 Solución:
Identificamos la función f(x) =
aproximado de f(x + ∆ x) =
x+ ∆ x
d y = f(x1 + ∆ x ) x + ∆x
36.4 Valor real 6.03324
≈
≈
. En donde deseamos calcular el valor
cuando x = 36 y ∆ x = dx = 0.4 1 2
dx
= f(x1 ) + f’(x) dx +
≈
36 +
1 2 x
dx
1 (0.4) 2 36
6.03333 Valor aproximado
Considerando que: Error absoluto = valor real – valor aproximado Error relativo = Error relativo (%) =
error absoluto valor real error absoluto (100) valor real
13
Cálculo Integral Del ejemplo anterior se tiene: Error absoluto = 6.03324 – 6.03333 = 0.00009 0.00009 = 0.0000014 6.03324
Error relativo =
Error relativo (%) = 0.00014 %
Ejemplo 4: Hallar una aproximación a 3 29 Solución:
Identificamos la función f(x) = 3 x En donde deseamos calcular el valor
aproximado de f(x + ∆ x) = 3 x + ∆x cuando x = 27 y ∆ x = dx = 2 dy =
f(x1 + ∆ x)
1 3
3 x
d x
= f(x1 ) + f’(x )d x
27 + 2
≈
3
3
29
≈
3+
3.07231
≈
3
2
27 +
1 (2) 3 3 729
2 27
3.07407
Error absoluto = 3.07231 – 3.07407 = 0.00176 Error relativo =
0.00176 = 0.00057 3.07231
Error relativo (%) = 0.057%
Ejemplo 5: La medida efectuada al lado de un cubo es de 20 cm, con un error posible de ± 0.01 cm. ¿Cuál es el error máximo posible aproximado en el volumen del cubo? Solución:
El volumen de un cubo es V = x3, en donde x es la longitud del lado. Si ∆ x
representa el error en la longitud del lado, entonces el error correspondiente en el volumen es: 14
Cálculo Integral ∆V
= ( x + ∆x)3 – x3
Para simplificar, se utiliza la dV como una aproximación a ∆V. Por lo que, para x = 20 y ∆x
= ± 0.01, el error máximo aproximado es: d V
= 3x2 dx
d V
= 3( 20)2 ( ± 0.01) = ± 12 cm3
Error relativo (%) =
± 12
8000
(100) = ± 0.15%
Ejercicios tema 1.5 Utiliza el concepto de diferencial para encontrar una aproximación a la expresión dada.
31.
38
36.
32.
1 90
37. cos (
3
30 π
3
33. (1.3)4
38. sen 33
34. 9⅔
39. tan (
35. (1.1)3 + 6 (1.1)2
π
3
- 0.2)
- 0.2)
40. cos 60.01
41. Se determina que el diámetro de un disco es aproximadamente igual a 15 cm con un error máximo en la medición de 0.04 cm. Usa diferenciales para estimar el máximo error obtenido al calcular el área de una de las caras del disco. ¿Cuál es el error relativo y el error porcentual obtenidos?
42. Se encontró que la arista de un cubo es de 20 cm, con un error máximo en la medición de 0.1 cm, utiliza diferenciales para estimar el error máximo calculando a) el volumen del cubo y b) el área superficial del cubo. 15
Cálculo Integral
43. Usa diferenciales para estimar el crecimiento del volumen de un cubo si cada uno de sus lados aumenta de 12 a 12.1 cm. ¿Cuál es el valor exacto del incremento del volumen?
44. Aplica las diferenciales para estimar la cantidad de pintura necesaria para aplicar una mano de 0.05 cm de espesor a un domo hemisférico que tiene un radio de 30 m.
45. La arena que chorrea de un recipiente, va formando un montículo cónico cuya altura es siempre igual a su radio. Usa diferenciales para estimar el incremento del radio correspondiente a un aumento de 5 cm3 en el volumen del montículo, cuando el radio mide 12 cm.
16
Cálculo Integral
INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
Definición de función primitiva.
Definición de integral indefinida.
Cálculo de integrales indefinidas. •
Cálculo de integrales indefinidas directas.
•
Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable.
•
Cálculo de integrales indefinidas por partes.
•
Cálculo de integrales trigonométricas.
•
Por sustitución trigonométrica.
•
Por fracciones parciales.
17
Cálculo Integral
CAPITULO II INTEGRALES INDEFINIDAS Y MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
2.1 Definición de función primitiva. En el capitulo anterior mediante las técnicas del Cálculo diferencial hemos aprendido a calcular la diferencial de una función, operación que se representa por: d f( x) = f´( x) d x El Cálculo integral se ocupa de la operación inversa, es decir: Hallar una función f( x) cuya diferencial f´( x) d x es conocida. La función f( x) que se obtiene se llama función primitiva o integral de la expresión diferencial dada; el procedimiento de hallarla se llama integración; la operación se indica escribiendo el signo integral
∫ delante de la expresión diferencial dada: ∫ f´( x) d x = f( x)
El signo
∫ se lee
integral o integral de.
La función antes mencionada se lee la integral de f´( x) d x es igual a f( x). Donde la diferencial d x indica que x es la variable de integración. Por ejemplo:
Función
Diferencial
Función primitiva o integral
f( x) = x4
f’( x) = 4 x3d x
∫
f( x) = sen x
f’( x) = cos x d x
∫ cos x d x = sen x
f( x) = ln x
f’( x) =
d x
∫
x
18
4 x3d x = x4
d
= ln x
Cálculo Integral
2.2 Definición de integral indefinida. En base al tema anterior podemos señalar que: Función
Diferencial
Función primitiva o integral
f( x) = x4
f’( x) = 4 x3d x
∫ 4 x d x = x
f( x) = x4 + 3
f’( x) = 4 x3d x
∫
4 x3d x = x4 + 3
f( x) = x4 - 2
f’( x) = 4 x3d x
∫
4 x3d x = x4 - 2
f( x) = x4 + C
f’( x) = 4 x3d x
∫
4 x3d x = x4 + C
En general, podemos decir que
∫
3
4
4 x3d x = x4 + C. La constante arbitraria C se llama constante
de integración y es una cantidad independiente de la variable de integración. Como la constante C puede tomar un número indeterminado de valores, podemos deducir que si una expresión diferencial dada tiene una integral, también tiene una infinidad de integrales que solo difieren entre si por una constante C,
∫ f´( x) d x = f( x) + C y como C es desconocida e indefinida, a la expresión f( x) + C se le llama: integral indefinida de f´( x) d x . El valor de C puede determinarse cuando se conozca el valor de la integral para algún valor de la variable, como se verá en el siguiente capitulo. Por ahora aprenderemos a hallar las integrales indefinidas de expresiones diferenciales dadas, dando por hecho que toda función continua tiene una integral indefinida, proposición cuya demostración queda fuera del propósito del presente texto.
19
Cálculo Integral En todos los casos de integración indefinida, el criterio que debe aplicarse al verificar los resultados es que la diferencial de la integral ha de ser igual a la expresión diferencial dada.
2.3 Cálculo de integrales indefinidas. La integración es un procedimiento esencialmente de ensayos. Para facilitar el trabajo, se utilizan tablas de integrales, llamadas tablas de integrales inmediatas. Para efectuar una integración cualquiera, comparamos la expresión diferencial dada con las tablas, si se encuentra registrada en ellas, se sabe la integral; si no está registrada, buscaremos por varios métodos reducirla a una de las formas registradas. Como muchos de los métodos se sirven de artificios que solo la práctica nos puede mostrar, en este libro nos ocuparemos de explicar detalladamente los métodos para integrar las funciones que se encuentran frecuentemente en la resolución de problemas prácticos. Para verificar el cálculo de una integral
∫ f´( x) d x = f( x) + C se deriva f( x) + C
Si la derivada es igual a f´( x), el cálculo es correcto, pero si es diferente de f´( x), evidentemente se ha cometido un error. Esta relación entre la derivación y la integración permite utilizar las siguientes formulas en la obtención de las integrales indefinidas directas:
20
Cálculo Integral
Formulas fundamentales de integración indefinida.
i
∫
ii
∫
c du = C
iii
∫
( du + dv − dw ) =
iv
∫
v
xiii
∫
xiv
∫
xv
∫
xvi
∫
xvii
∫
dx = x + C
u
n
∫
du
du =
u
∫ ∫ ∫ du +
dv −
dw
n+1
+ C
csc u du = ln (csc u - cot u) + C
sec u tan u d u = sec u + C
csc u cot u d u = - csc u + C
sec2 u du = tan u + C
n+1
∫
du
= ln u + C
csc2 u du = - cot u +C
u
vi
∫
xviii
e du = e + C u
u
xix
vii
∫
viii
∫
xx
ix
∫
xxi
x
∫
xi
xii
au du =
ln a
du
u
u
a
∫
+ C
sen u du = - cos u + C
cos u du = sen u + C
tan u du = - ln cos u + C
∫
∫
du
xxii
∫ ∫
∫
xxiv
∫
21
= 2a ln
a −u
u ±
u
+a
−1
a
(
a
2
2
+ C
2
= ln u + u ± a 2
u
2
2
a − u du = 2
u ±
+ C
+ C
u
2
du 2
-a
a-u
= sen
2
u
a+u
1
2
+ C
a
= 2a ln
2
u
tan −1
1
-a
a -u
1 a
du
xxiii
sec u du = ln (sec u + tan u) + C
2
2
∫
cot u du = ln sen u + C
+a
=
2
du
u
∫
2
2
u
a du = 2
2
2
)+ a2
C
a − u + 2 sen
2
u ±
(
−1
u
a
+ C
2 2 2 a2 a ± 2 ln u + u ± a
)
+ C
Cálculo Integral
2.3.1 Cálculo de integrales indefinidas directas. Ejemplos ilustrativos:
∫
1. Hallar la integral:
( 6 x2 – 5 x + 2 ) d x
Solución: aplicando la formula iii:
∫
( 6 x2 – 5 x + 2 ) d x =
∫
∫ 5 x d x + ∫ 2 d x.
∫
∫
6 x2 d x -
Aplicando la formula ii:
∫
( 6 x2 – 5 x + 2 ) d x = 6 x2 d x - 5 x d x + 2
∫ d x.
Aplicando la formula iv en el primer y segundo términos, la formula i en el tercer término y simplificando:
∫
6 x 2+1 5 x1+1 ( 6 x – 5 x + 2 ) d x = + C + C + 2 x + C 2+1 1+1
∫
6 x3 5 x 2 ( 6 x – 5 x + 2 ) d x = + C + C + 2 x + C 3 2
∫
( 6 x2 – 5 x + 2 ) d x = 2 x3 - 2 x2 + 2 x + C
2
2
5
Nota.- Cada integración requiere una constante arbitraria, no obstante, escribiremos al final sólo una constante que representa la suma algebraica de ellas.
3⎞ ⎛ 2.- Hallar la integral: ⎜ 2 x 2 + 2 ⎟ dx x ⎠ ⎝
∫
Solución: subiendo el denominador en el segundo término y aplicando la formula iii: ⎛ ⎜2 ⎝
∫
2
+
3⎞ 2 ⎟ d x =
x ⎠
∫ 2 x d x + ∫ 3 x 2
-2
d x
3⎞ 2 x 2+1 3 x −2+1 ⎛ 2 ⎜ 2 x + 2 ⎟ dx = 2 + 1 + C + −2 + 1 + C x ⎠ ⎝
∫
22
Cálculo Integral ⎛ ⎜2 ⎝
∫
2
+
3⎞ 2 ⎟ d x =
x ⎠
3⎞ ⎛ 2 ⎜ 2 x + 2 ⎟ dx x ⎠ ⎝
∫ 3. Hallar la integral:
2 3
x3 –
2 3 x 3
=
3 x -1 + C 3
–
x
+ C
⎛ 3 x3 + 2x 2 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ d x x ⎝ ⎠
∫
Solución: Dividiendo las expresiones y resolviendo siguiendo la secuencia de los ejemplos anteriores: ⎛ 3 x3 + 2x 2 − 1 ⎞ ⎜ ⎟ d x = x ⎝ ⎠
∫
∫
3 x2 d x +
∫
2 x d x -
empleando la formula v en el tercer término: ⎛ 3 x3 + 2x 2 − 1 ⎞ 3 2 ⎜ ⎟ d x = x + x – ln x ⎝ ⎠
∫
4. Hallar la integral de:
∫ ( e
+ x ) d x
∫ ( e
+ x ) d x =
∫
∫ ( e
+ x ) d x =
∫
x
x
x
x
dx +
e
x
e
+ C
∫ x dx ∫
dx + x½ d x
usando las formulas vi y iv respectivamente:
∫ (e
x
∫ (e
x
∫
+ x ) d x
=
x
e
+
x
½
½
+1
+1
+ C
+ x ) d x = e x + 23 x 3 2 + C
5. Hallar la integral de: ( a x +
a
) d x
( a x + x a ) dx = ∫ a x dx + ∫ x a dx ∫ 23
d x
∫ x
Cálculo Integral empleando las formulas vii y iv respectivamente: a+1 x a x ( a + x ) dx = + +C ln a a + 1
∫
a
x
Ejercicios tema 2.3.1 Calcula las integrales siguientes: 1.
∫
x
4
( 3 − x3 ) dx
9.
∫
⎛ x3 3⎞ − 3 ⎟ d x ⎜ x ⎠ ⎝3
2.
∫
⎛ 2 3 ⎞ ⎜ 2 y − y 2 ⎟ dy ⎝ ⎠
10.
∫
3.
∫ ( x + 1)( 3x − 2) dx
11.
3 t − 2) ( ∫
4.
9θ 2 − 3θ + 4 ) dθ ( ∫
12.
∫ (
5.
∫ 3x
13.
∫ (
6. 7. 8.
∫
x
dx
⎛ ⎜3 x − ⎝
∫ ( ∫ ( x
2 ⎞
⎟ x dx
x ⎠
y − 9 y 3
2
−a
3
3
2
2
)
14.
) dy 15. 3
x d x
∫ ∫
⎛ 2 x 2 − 3 3 x + 3 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ d x ⎝ ⎠
−3
2
3
+ x
dt −1
2
ax 3 + bx
⎛ a 12 + x 12 ⎜ ⎜ x ⎝
2 ( x − 1) x
2
) dx
−2
3
) dx
⎞ ⎟ d x ⎟ ⎠
d
2.3.2 Cálculo de integrales indefinidas por cambio de variable. En los siguientes casos las integrales no se ajustan directamente a las fórmulas fundamentales, siendo necesario cambiar variables mediante una cuidadosa elección de u, misma que al obtener su diferencial du nos permita adaptarlas a las correspondientes fórmulas fundamentales. Para lo anterior la mejor forma de exponerlo es mediante los siguientes ejemplos ilustrativos: 24
Cálculo Integral
∫
6. Hallar la integral de:
( 3 x2 – 2)3 6 x d x
Solución: Tomando u = 3 x2 – 2 , du = 6 x d x, comparando estos parámetros en la integral original vemos que se puede adaptar a la fórmula iv, se dice entonces que la integral esta completa:
∫ (3 x – 2) 6 x d x 2
3
=
∫ u du 3
u
=
3+1
3+1
+ C = ¼ u4 + C
reemplazando u por 3 x2 – 2
∫
(3 x2 – 2)3 6 x d x =
1 4
( 3 x2 – 2 )4 + C
d x 3 x - 2
∫
7. Hallar la integral de:
2
Solución: Tomando u = 3 x2 – 2 , du = 6 x d x, comparando estos parámetros en la integral original vemos que nos falta el factor 6 en d u, se dice entonces que la integral esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se puede completar adecuándose a la fórmula v de la siguiente manera: d x = 3 x 2 - 2
∫
1 6
6 d x = 3 2 -2
∫
1 6
du
∫ u
=
1 6
ln u + C
reemplazando u por 3 x2 – 2 x dx
∫ 3
2
-2
8. Hallar la integral de:
=
1 ln 3 6
∫ 3sen π
2
- 2 + C
d x
Solución: Tomando u = π x, du= π d x, comparando estos parámetros en la integral original vemos que nos falta el factor π en du y nos sobra el 3, se dice entonces que la integral esta incompleta, pero como el factor faltante es una constante, la integral se puede completar adecuándose a la fórmula viii de la siguiente manera: 25
Cálculo Integral
∫
3sen π d x = π 3
∫
∫ sen u du
3
sen π x π d x =
π
aplicando la formula y reemplazando u por π x
∫
3sen π
3
d x = -
∫
9. Hallar la integral de:
π
cos π + C
sen x dx cos2 x + 16
Solución: Es necesario señalar que es básico dominar con fluidez el cálculo de diferenciales para una mejor interpretación de las fórmulas fundamentales de integración, en el presente ejemplo, tomando u = cos x, du = - sen x; a = 4, completando el signo – en du se adapta la fórmula xxii como se ilustra a continuación: sen d x = 2 cos x + 16
∫
- sen x dx = 2 2 cos x + 4
−∫
∫ u
du 2
+ a2
aplicando la formula y reemplazando u por cos x
∫
sen x dx 2 x + cos x + 16 + C = – ln cos cos2 x + 16
)
(
∫
10. Hallar la integral de: tan2 x sec2 x d x Solución: Tomando u = tan x , du = sec2 x d x ; por medio de la fórmula iv, tenemos:
∫
tan2 x sec2 x d x =
∫
2
u
du =
⅓
3
u
+ C
aplicando la formula y reemplazando u por tg x
∫ tan x sec x d x 2
11. Hallar la integral de:
2
e
2 x
=
⅓
tan3 x + C
dx
∫ 25 + e
4 x
Solución: Tomando a = 5 , u = e2 x , du = e2 x 2 d x ; y mediante la fórmula xviii:
26
Cálculo Integral e
2 x
dx
∫ 25 + e
4 x
2 x
2dx 1 4 x = 5 +e 2
1 = 2
e
∫
2
∫ a
du 2
+ u2
aplicando la formula y reemplazando u por e2 x e
2 x
dx
∫ 25 + e
=
4 x
⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 2 ⎠⎝ 5 ⎠
tan-1 u + C =
1 10
tan-1 e2 x + C
tan −1 2 d x 1+ 4 2
∫
12. Hallar la integral de:
Solución: Tomando u = tan −1 2 , du =
2d , completando el factor faltante 2 en du 1 + 4 x 2
y mediante la fórmula iv, tenemos: tan −1 2 d x 1 = 2 1 + 4 x 2
∫
tan −1 2 d x = 1 + 4 x 2
( tan-1 2 x)2 + C
∫ ∫ 13. Hallar la integral de:
1 4
tan −1 2 x
2d 1 = u du 1 + 4 x 2 2
∫
d x 2 x + 4 x + 3
∫
Solución: Completando el trinomio cuadrado perfecto en el denominador, la integral toma la forma de la fórmula xix de la siguiente manera: d x = 2 x + 4 x + 3
∫
d x 2 2 = ( x + 2 ) − (1)
∫
14. Hallar la integral de:
x + 2 − 1 du 1 = ln + C = 2 2 2 (1) x + 2 + 1 u −a
∫
1 2
ln
x + 1 x + 3
+ C
( 2 x + 5) dx
∫ x + 2 x + 5 2
Solución: Haciendo u = x2 + 2 x + 5, du = 2 x + 2, es preciso descomponer el numerador en tres términos, ya que, 5 = 2 + 3 para formar dos integrales, de la siguiente manera:
( 2 x + 5) dx
∫
2
+ 2 x + 5
=
( 2 x + 5) dx
∫ x + 2 x + 5
27
2
+
∫
2
3d x + 2 x + 5
Cálculo Integral
( 2 + 5) d x
∫ x + 2 x + 5 2
( 2 + 5) d x
∫
=
2
+ 3∫
d x
2 2 ( x + 1) + ( 2 )
+ 2 x + 5
Para la primera integral se mantiene u = x2 + 2 x + 5, du = 2 x + 2 y se aplica la fórmula v; y para la segunda integral u = x + 1, du = d x, a = 2 y aplicando la fórmula xviii, tenemos:
( 2 + 5) d x
∫
2
+ 2 x + 5
( 2 + 5) d x
∫
2
+ 2 x + 5
=
du
∫ u
∫ (u ) + ( a )
2
= ln
du
+ 3
2
+ 2 x + 5 +
Ejercicios tema 2.3.2 Calcula las integrales siguientes:
∫
2
1. ( a + bt ) dt 2.
∫ (
2
t −2
)
2
∫
9.
t dt
∫ ( 2 x −1)
10.
−2
3. y ( a+by 2 ) d y 11.
∫
2
4. ( 8 - x ) dx 5. 6. 7. 8.
∫ ∫ ∫
3
2
3
3
( 3 - 2 x ) 2 3
12. dx 13.
1 − 2 d x 14. a + b x dx 15.
2 d x 2 x − 6 x + 9
∫
28
x dx 2
2
( 2x+3) d
∫ x + 3x 2
( x+3) d
∫ x + 6 x 2
d x x +1
∫
d 2 x +1
∫
x dx
∫ x
2
+1
(1+2 x ) dx
∫ x
2
+x
2
3 tan −1 ( x + 1) + C 2
Cálculo Integral 16.
(1- x ) dx 2
∫ x -5x
18.
∫ e
19.
∫
e
−3 x
dx
− b x
dx
32.
33.
x
∫
23.
∫
24.
∫
25.
∫ x
e
34.
d x
2
e
cos x
sen x
35.
s e n x d x
∫ x a
∫
d
1
x
2
d
(3
∫
x
+ 1)
2
d x
3 x
∫
2 x d x 2 x + 4
∫
cos x d x
37.
∫ 5sen π
d x
∫
38. sen ( 2-3 ) d x
ln x
d
39.
d x
∫ e + 1
∫
d x
27.
∫ e
−2 x
28.
∫ e
− x
∫ cos ( b+a x ) dx
40. x3 cos 5x 4 dx
x
∫
41. 41. co cos θ 1-s 1-senθ dθ
−2
d x − ex
42.
d x 9e + 4e − x
43.
∫
10 x
36. 36. sen 3 x dx
6e tan 2 x sec2 2x d x e
d
1
22.
e
−3 x
x
∫ x d x e
∫
29.
31. 5
2
21.
26.
∫
( 5-2 x ) dx
17.
20.
∫
∫ x -2x
30. 102 x d x
x
29
∫
cos3 θ s e n θ dθ tan x dx
∫
x
Cálculo Integral 44.
∫
45.
⎛
π ⎞
tg e− x dx
5 9.
∫
tan 2 s ec2 x dx
∫
60.
∫
46.
∫
61.
∫
47.
∫
6 2.
∫ cs c 2θ cot 2θ dθ
63.
∫
cs c2 2θ cot 2 2θ dθ
dθ
64.
∫
cs c2 ( a-bθ ) dθ
cot θ ln ( sen θ ) dθ
65.
e
− x
tan 5 2 s ec2 2 x dx θ
cot
dθ
3
∫
48. θ cot θ 2dθ
49.
∫
50.
∫
cot
θ
csc2
3
θ
3
3 x d x 4
66.
s e c e −3 x d x
67.
53. sec2 θ tan θ dθ
68.
∫
51. s e c 52.
∫
e
−3 x
∫ ∫
3
∫
θ
54. sec 2 θ tan θ dθ 55. se s ec
3
tan
θ
3
69.
dθ
70.
∫
56. sec ( 2 − φ ) tan ( 2 − φ ) dφ
∫
57. sec2
α π
71.
dα
72.
∫
58. sec2 (1-2 ) d x
73. 30
c sc ⎜ 5θ + ⎟ dθ 5⎠ ⎝ x
csc x 2 dx
cs c2 ( a-b ) d x
∫ 4
d x 2
+9
d x
∫ 9 x + 4 2
d x
∫ 5
2
+ 12
d x 2 x + 2 x + 5
∫
d x 4 + 4 x + 5
∫
2
d x 2 − 2 x + 1
∫
2
( 2 x + 5) dx
∫ x + 2 x + 5 2
( 3 x + 5) dx
∫ x + x + 1 2
d
∫ 9 x −1 2
Cálculo Integral 74.
∫ 25
d x 2
88.
−4
d x
75.
∫ 3
76.
∫ a
2 2
∫
d x 2 + 4 x + 3
91.
∫
d x 2 + 2 x − 3
92.
77. 78. 79. 80. 81. 82. 83. 84. 85. 86. 87.
∫
2
89.
−5
b d x
2
−c
90.
2
d x + 11 x + 30
93.
d x 3 + 4 x + 1
∫
2
94.
∫ 4
2
− 4 x − 3
95.
∫ 6 x − x
2
− 4 x − 3
d x 4−9
∫
d x 9−4
∫
96.
∫ 6 x − x
∫ 4 x + 9 2
d x
∫ 9 x + 4 2
d x
∫ 5 x + 12 2
∫
d x 2 x + 2 x + 5
∫
d x 4 x 2 + 4 x + 5
∫
d x 2 x 2 − 2 x + 1
( 2 x + 5) dx
∫ x + 2 x + 5 2
2
98.
d x 5 − 3 x 2
∫
( 3 x + 5) dx
∫ x + x + 1 2
99.
d x 4 − ( 2 x − 1)
100.
∫
2
101. 31
d x
∫ 9 x −1
d x 3 − 5 x 2
∫
2
d x
2
97.
2
( x+3) d x
(1 − x ) dx
∫ 4
− x 2
d x
( 8 x − 1) dx
∫ 4
d x
2
∫
d x 25 x 2 − 4 d x
∫ 3 x − 5 2
Cálculo Integral 102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
113.
114.
∫
b d x a 2 x 2 − c2
115.
∫
d x 2 x + 4 x + 3
116.
∫ 6 x − x
∫
d x 2 x + 2 x − 3
117.
∫
4 x 2 + 9 dx
∫
d x 2 x + 11x + 30
118.
∫
9 x 2 + 4 dx
∫
d x 3 x 2 + 4 x + 1
119.
∫
5 x 2 + 12 dx
120.
∫
121.
∫
4 x 2 + 4 x + 5 dx
122.
∫
2 x 2 − 2 x + 1 dx
123.
∫
9 x 2 − 1 dx
( 8 − 1) d x
∫ 4 x − 4x − 3
d x
∫ 6 x − x
2
( x+3) d
2
2
+ 2 x + 5 dx
2
(1 − ) d x
∫ 4 x − 4x − 3 2
∫
d x 4−9
∫
d x 9−4
2
124.
∫
25 2 − 4 d x
∫
d x 5 − 3 x 2
125.
∫
3 2 − 5 d x
∫
d x 3 − 5 x 2
126.
∫
a2
∫
d x 4 − ( 2 x − 1)
127.
∫
128.
∫
129.
∫
∫ 4
2
2
d x − x 2
32
2
− c2 b d x
2
+ 4 x + 3 dx
2
+ 2 x − 3 dx
2
+ 11 x + 30 dx
Cálculo Integral
∫
3 x 2 + 4 x + 1 dx
141.
131.
∫
4 x 2 − 4 x − 3 dx
142.
132.
∫
4 − 9 x 2 dx
143.
133.
∫
9 − 4 x 2 dx
134.
∫
5−3
2
135.
∫
3−5
2
130.
136. 137. 138. 139.
140.
d x
∫ ∫
4 x − x 2 dx
∫
6 x − x 2 dx
∫
2
sen θ dθ 4 − cos2 θ
∫
cos θ dθ 4 − sen 2θ
∫
sec2 θ dθ tan 2θ + 1
∫
2e x dx 4 − e2 x
∫
146.
∫ 1 − e
147.
∫
1 4 8.
∫
149.
∫ 1 − e
d x
sen θ dθ 4 − cos2 θ
∫
145.
d x
4 − ( 2 − 1)
∫
144.
sen d x cos2 + 16
150.
sen d x cos2 x + 16
e
x
dx 2 x
16 + e2 x d x
x
e
2 x 9 − 4x d x e
x
2
dx x
d x
∫ x ( ln x + 9) 2
2.3.3 Cálculo de integrales indefinidas por partes. La integración por partes, es uno de los denominados métodos de integración, y consiste en hallar la integral de funciones que por alguna razón no pueden resolverse por medio de las fórmulas fundamentales de integración.
33
Cálculo Integral La integración por partes tiene por objeto hallar la integral de la diferencial de un producto; el de una función u por la diferencial de otra función dv de la misma variable, quedando representadas en la siguiente fórmula:
∫ u dv = uv − ∫ v du Para aplicar la fórmula a una integral dada, representamos por u a una parte del integrando y por dv al resto ( incluyendo d x). No puede darse una regla general que nos permita saber con facilidad el factor que deba ser u y dv respectivamente, no obstante es importante que la diferencial dv sea fácilmente integrable. Al sustituir los parámetros u, du, v, y dv, en la fórmula de integración por partes, se debe comparar la integral que resulta en el segundo miembro de la igualdad, ya que si ésta es más complicada que la integral original, entonces, la elección que hicimos de u y dv al inicio no es la correcta y nos veremos en la necesidad de probar otras opciones. Mediante la práctica podremos reconocer que tipo de integrales es preciso hallar por este método, sin embargo, podemos adelantar que generalmente la integración por partes tiene aplicación en productos indicados, funciones trigonométricas inversas, funciones logarítmicas, como veremos en los siguientes:
Ejemplos ilustrativos: 15. Hall Hallar ar::
senx dx ∫ x sen
Solución: u = x, entonces du = d x si dv = sen x d x , entonces v =
∫ sen x dx = − cos x
∫ x senx dx = ( x x) ( - cos x ) − ∫ ( − cos ∫ sen x dx =
- x cos x + sen x + C 34
) d x ,
Cálculo Integral
∫
16. Hallar: x2 cos x d x Solución: Si u = x2; entonces du = 2 x d x
∫
si dv = cos x d x, entonces v = cos x dx = sen x, sustituyendo en la fórmula:
∫
x2
cos x d x = ( x2) (sen x) − 2
∫ x sen x d x ∫
comparamos la integral que resulta en el segundo miembro, x sen x d x, y como
∫
podemos ver, es más simple que la integral original, x2 cos x d x, por lo que la elección de u y dv ha sido correcta, sin embargo, dicha integral aún no puede resolverse mediante fórmulas fundamentales, siendo necesario aplicar nuevamente el
∫ x sen x d x, y como ya ha sido mostrado en el
método de integral por partes en
ejemplo 15 queda de la siguiente manera: x
∫
2
cos x d x = x2 sen x – 2 [ - x cos x + sen sen x ] + C
∫
2
cos x d x = x2 sen x + 2 x cos x – 2 sen x + C
x
∫
17. Hallar: e x sen x d x Solución: si u = e x , entonces du = e x d x
∫
y dv = sen x d x, entonces v = sen x dx = – cos x, sustituyendo en la fórmula:
∫
x
e
sen x d x = – e x cos x +
∫
comparando la integral del segundo miembro,
∫
x
e
cos x dx
∫
x
e
cos x dx , es de igual grado de
dificultad que la integral original, e x sen x dx , validando con esto la elección de u y 35
Cálculo Integral dv, siendo necesario aplicar nuevamente el método de integración por partes de la siguiente manera:
∫
x
e
∫
sen x d x = – e x cos x + e x cos x dx
si u = e x , entonces du = e x d x
∫
si dv = cos x d x, entonces v = cos x dx = sen x, sustituyendo en la fórmula:
∫
x
e
∫
sen x d x = – e x cos x + e x sen x – e x sen x dx
la integral que se forma en el segundo miembro de la igualdad, es igual a la integral original, por tanto, mediante la transposición de términos, como está restando, pasa sumando al primer miembro:
∫
x
e
∫
sen x d x + e x sen x dx = – e x cos x + e x sen x
∫
2 e x sen x d x = e x sen x – e x cos x
∫
x
e
sen x d x =
1 2
x
( sen x – cos x ) + C
e
∫
18. Hallar: x2 e x d x Solución: supongamos que; u = e x entonces du = e x d x
∫
si dv = x2 d x , v = x2 d x =
∫
2
1 3
x
x
x e d x
3
, sustituyendo en la fórmula: =
3 1 x 3
x
e
–
1 3
∫
3
x
x e d x
al comparar la integral del segundo miembro con la integral inicial del primer miembro de la igualdad, podemos constatar que es de mayor grado de dificultad, por lo que en esta ocasión, invalidamos la elección de u y dv, y nos disponemos a elegir otra opción: 36
Cálculo Integral supongamos ahora que; u = x2, entonces du = 2 x d x si dv = e x d x , v =
∫
x
= e x , sustituyendo en la fórmula:
e d x
∫
2
x
x e d x
∫
= x2 e x − 2 x e x d x
en esta ocasión la integral de la derecha es de menor grado de dificultad que la de la izquierda, validando la elección de u y dv, sin embargo, es necesario aplicar nuevamente el método de integración por partes: = x,
u
du = d x
dv = e x d x ,
∫
2
x
x e d x
∫
x2 e d x
∫
x
x2 e d x
19. Hallar:
∫
Solución:
x
2
x
v
=
∫
x
= e x , sustituyendo en la fórmula:
e d x
∫
= x2 e x – 2 x e x d x = x2 e x – 2 ⎡⎢ e x − e x dx ⎤⎥ ⎣ ⎦
∫
= x2 e x – 2 x e x + 2 e x + C = e x ( x2 – 2 x + 2 ) + C
ln x d x = ln x,
u
du =
∫
dv = x2 ,
∫
2
∫
2
x
x
∫
2
ln x d x =
d
2
v = x d x = 1 x
1 3
3
x
ln x –
∫
1 3 x 3
3
ln x –
1 3
∫
3
ln x –
1 9
x
ln x d x =
1 3
x
ln x dx =
1 3
x
37
3
3
d x x
2
x d x 3
+ C
Cálculo Integral 20. Hallar:
∫
x
2
s e n −1 x d x
Solución:
u = sen
−1
x,
dv = x2 d x,
∫
v
−1
2
d x 1 − x 2
du =
s e n x d x =
∫
= 1 3
2
x d x
=
1 3
3
x
, sustituyendo en la fórmula:
1 x s e n x – 3 3
x
3
dx
∫ 1 −
−1
2
integrando nuevamente por partes: u
= x2,
dv =
∫
2
∫
2
∫
2
du = 2 x d x d x
∫ 1 −
∫ 1 − x
x3 s e n x
– 13 ⎡⎢ −
2
s e n −1 x d x =
1 3
s e n −1 x d x =
1 3 x 3
sen
−1
x
dx =
1 3
x dx
=
,
v
−1
3
x
−1
x
+
6
1
x
6
2
x 2 1 − x2 +
1−
2
1
1 − x 2
1 2
= 1 2
⎣
s e n −1 x + sen
2
2
x
1− x + 2
−
1 3
∫ 1 − x
∫ 1 −
(
1−
1 6
Ejercicios tema 2.3.3
Calcula las integrales siguientes: 1.
∫
s e n 2 x dx
5.
∫ θ cos 4θ dθ
2.
∫
s e n 3x dx
6.
∫ se n a
x sen
3.
∫
sen x dx
7.
∫ sen
sen 3 x dx
4.
∫
cos 2 x dx
8.
∫
2
38
2
b xd x
θ sen 2θ dθ
2
2
x
)
3
2
x dx ⎤
xd x
⎦⎥
Cálculo Integral
∫
∫
24. x 2 e− x dx
9. θ 2 cos 3θ dθ 10.
∫
cos x dx
25.
∫ ln ( x+2) dx
11.
x
∫
cos2 2 x dx
26.
∫ ln 3
12.
x
∫
sen 2 3x dx
27.
∫ x ln 3x dx
13.
∫
sec2 2 x dx
28. 3x ln x dx
14.
∫
tan 2 x dx
29.
∫
15.
∫
sen
30.
∫
16.
∫
s e n πt dt
31.
∫
17.
∫
cos t dt
32.
∫
18.
∫
cos πt dt
33. sen ( ln ) d x
2
x
e
e
e
e
t
5
− t
t
4
x
2
d x
∫
dx
ln 2 2 d x
x
x
x
ln3 x d x 2
ln x d x
3
ln x dx
∫
∫
34.
∫ cos ( ln x ) dx
20. x 2 x dx
∫
35.
∫ ln ( cos
∫
36.
∫ (
∫
37.
19. x 10 x dx
21. x e 2 x dx 22. 3 x e x dx
∫
23. x 2 e2 x dx
38. 39
) sen x dx
ln x + x 2 + a 2 ln d x 2 ( x + 1)
∫
ln ( x + 1) dx x + 1
∫
)
dx
Cálculo Integral ln t dt
39.
∫
40.
∫
3
ln 2 x dx
48. θ 2 tan −1θ dθ
t 2
∫
∫
49.
∫
∫
50.
∫
∫
51.
∫ x
cos−1 dθ 2
52.
∫
2 cos−1 dθ
53.
∫
41. s e n −1 2θ dθ 42. s e n −1 θ dθ 43. θ 2 s e n −1 2θ dθ 44. 45.
∫
tan −1aθ dθ
47.
∫
θ
∫ ∫
θ
2
46. θ cos
−1
θ
2
54.
dθ
x
x
x
cot −1 x dx
x
2
cot −1 x dx x +1
3
x +1
2
x +1
t
2
dx
5
dx dx
dt
∫ (t + 8) 3
2
2.3.4 Cálculo de integrales trigonométricas. Se presentan con frecuencia algunas diferenciales trigonométricas, que a simple vista no se adaptan a las fórmulas fundamentales, no obstante, se pueden integrar fácilmente por medio de reducciones trigonométricas sencillas.
Caso I. integrales de la forma:
∫
s e n m u cosn u du
Si m o n es entero positivo impar, sin importar lo que sea el otro, la integral puede resolverse, transformando la expresión por medio de la identidad: s e n 2 θ + cos2 θ = 1 mediante la fórmula iv:
∫
u
n
du =
u
n+1
n+1
+ C . Si m es impar, escribiremos s e n m−1 θ s e n θ y podremos
40
Cálculo Integral sustituir s e n m−1 θ por su equivalente s e n 2 θ = 1 − cos2 θ , hasta convertir la expresión a la siguiente forma:
∫ (suma de términos que contienen cos u ) sen u du Si n es impar, escribiremos cosn−1 θ cos θ y sustituyendo s e n m−1 θ por su equivalente cos2 θ = 1 − s e n 2 θ , y convertir la expresión a la forma:
∫ (suma de términos que contienen sen u ) cos u du Ejemplos ilustrativos:
∫
21. Hallar: cos4 x s e n 3 x d x Solución: s e n 3 x = s e n 2 x s e n x = (1 − cos2
∫
∫
∫
∫ cos
) sen x
cos4 x s e n 3 x dx = cos4 x (1 − cos2 x ) sen x d x cos4 x s e n 3 x dx =
4
x
sen x dx − ∫ cos6 x sen x dx
haciendo u = cos x, du = − sen x d x;
∫
cos4
∫
22. Hallar: cos5
s e n 3 x d x =
−1
5
cos5 x +
1 7
cos7 x + C
s e n 2 x d x
Solución: 2
cos5 = cos4 x cos x = (1 − s e n 2 x ) cos x = (1 − 2s e n2 x + s e n4 x ) cos x
∫
cos5 x s e n 2 x d x =
∫
(1 − 2 s e n 2 x
∫
+ s e n 4 x ) s e n 2 x cos x dx
∫
∫
cos5 x s e n 2 x d x = s e n 2 x cos x dx − 2 s e n 4 x cos x dx + s e n6 x cos x dx
41
Cálculo Integral haciendo u = s e n x ,
∫
cos5
du = cos x dx
s e n 2 x d x =
1 3
2 5
s e n3 x −
s e n5 x +
1 7
s e n7 x + C
∫
23. Hallar: s e n 7 x d x Solución: s e n7 x = s e n6 x s e n x = ( s e n2 x )
3
s e n x = (1 − cos2 x)
3
s e n x
s e n 7 x = (1 − 3cos2 + 3cos4 x − cos6 x ) s e n x
∫
s e n 7 x d x = ∫ s e n x dx − 3 ∫ cos2 x s e n x dx + 3 ∫ cos4 x s e n x dx − ∫ cos6 x s e n x dx
∫
3 5
s e n 7 x d x = − cos x + cos3 x −
cos5 x +
1 7
cos7 x + C
Cuando m y n son ambos pares, enteros y positivos, la expresión diferencial dada puede transformarse por sustituciones trigonométricas, empleando las siguientes identidades trigonométricas:
s e n θ cos θ = s e n2 θ = cos2 θ =
1 2 1 2
1 2
s e n 2θ
-
1 2
cos 2θ
+
1 2
cos 2θ
∫
24. Hallar: cos2 x dx
∫
⎛ ⎝
∫
Solución: cos2 x dx = ⎜ 12 +
1 2
⎞ ⎠
cos 2 x ⎟ dx =
42
1 x 2
+
1 4
s e n 2x + C
Cálculo Integral
∫
25. Hallar: s e n 4 x cos4 x dx 4
Solución: s e n 4 x cos4 x = ( s e n x cos x ) = s e n x cos x =
1 16
s e n 4 x cos4 x =
1 16
4
4
∫
)
4
=
1 16
( s e n2 2 x)
2
(
−
(
1 4
1 1 3 1 1 − 2 cos 4 x + 4 ⎡⎢ 1 + 1 cos 8x ⎤⎥ = 128 − 32 cos 4 x + 128 cos 8x 2 ⎣ 2 ⎦
cos 4 x =
(
s e n 2x
1 2
1 2
)
2
(
1 2
1 1 16 4
1
1
− 2 cos 4 x + 4 cos2 4x
)
)
s e n 4 x cos4 x dx =
3 128
s e n 4 x cos4 x dx =
3 128
∫
∫
dx −
1 32
∫
cos 4 x dx +
1
1 128
∫
1
− 128 s e n 4 x + 1024 s e n 8 x + C
∫
Caso II. integrales de la forma: tan n u du o
cos 8x dx
∫
cot n u du
Si n es un entero par o impar, las identidades trigonométricas pitagóricas siguientes son de gran ayuda: sec2 θ − tan 2θ = 1 y csc2 θ − cot2θ = 1 descomponiendo las expresiones diferenciales dadas como a continuación se indica: tan n u = tan n −2 u tan 2 u = tann −2 u ( sec2 u − 1) cot n u = cot n −2u cot2u = cotn −2 u ( c sc2 u − 1) 26. Hallar:
∫
tan 5 x dx
Solución: tan 5 x = tan 3 x tan 2 x = tan 3 x ( sec2 x − 1) = tan3 x sec2 x - tan3 x = tan3 x sec2 x − tan x ( sec2 x − 1)
∫
∫
tan 5 x dx = tan 3 x sec2 x dx −
du = sec2 x dx
haciendo u = tan x,
∫
tan 5 d x =
1 4
tan 4 -
∫
tan x sec2 x dx +
1 2
tan 2 x + ln sec x + C 43
∫ tan x dx
Cálculo Integral
∫
27. Hallar: cot 3 d x Solución: cot 3 x = cot x cot 2 x = cot x (csc2 x − 1) = cot x csc2 x − cot x
∫
cot 3 d x =
∫
cot
∫
csc2 x dx − cot x dx
du = − csc2 x d x en la primera integral para aplicar las
haciendo u = cot x;
formulas iv y xi respectivamente:
∫
1 2
cot 3 d x = −
cot 2 x − ln sen x + C
∫ sec u du o ∫ csc u du
Caso III. integrales de la forma:
n
n
Cuando n es número entero positivo par, las expresiones diferenciales dadas se descomponen como a continuación se indica: sec u = sec n
csc u = c sc n
28. Hallar:
∫
n−2
n −2
u
sec u = ( tan u + 1)
u
csc u = ( cot u + 1)
2
2
2
2
n− 2
2
n−2
sec2 u 2
c sc u
2
6
sec x dx
Solución: 6
4
2
sec x = sec x sec x =
∫
6
sec x dx
=
2
( tan2 x + 1) sec2 x = tan4 x sec2 x + 2 tan2 x sec2 x + sec2 x
∫
∫
∫
tan 4 x sec2 x dx + 2 tan2 x sec2 x dx + sec2 x dx
haciendo u = tan x ; du = sec2 x d x en la primera y segunda integral, empleando las formulas iv y xvi:
∫
6
sec x dx
=
1 5
tan 5 +
2 3
tan 3 x + tan x + C 44
Cálculo Integral
∫
29. Hallar: csc 4 x dx Solución: csc 4 x = csc 2 x csc 2 x = ( cot 2 x + 1) csc 2 x = cot 2 x csc 2 x + csc 2 x
∫
4
csc x dx
∫
∫
= cot 2
csc2 x dx + csc 2 x dx ;
haciendo u = ctg x ; du = −csc 2 x dx para emplear las formulas iv en la primera integral y xvii en la segunda:
∫
4
csc x dx = −
1 3
cot 3 x − cot x + C
∫ tan
Caso IV. integrales de la forma:
m
n
u sec u du
∫ cot
o
m
u
csc nu du
Si n es un número entero positivo par, se procede similarmente al caso III. 30. Hallar:
∫
tan 4 sec4 x dx
Solución: tan 4 x sec4 x = tan 4 x sec2 x sec 2 x = tan4 x ( tan2 x+1) sec 2 x = tan6 x sec2 x + sec 2 x
∫
tan 4 sec4 d x =
∫
tan 6 x sec2 x dx +
∫
2
sec x dx
=
1 7
tan 7 x + tan x + C
∫
31. Hallar: cot 4 x csc6 x dx Solución: 2
cot 4 x csc6 x = cot 4 x ( cot 2 x + 1) csc2 x = cot8 x csc2 x + 2 cot6 x csc2 x + cot4 x csc2 x
∫
∫
∫
∫
cot 4 x csc6 x dx = cot8 x csc 2 x dx + 2 cot6 x csc 2 x dx + cot4 x csc 2 x dx
∫ cot
4
6
csc x
dx = -
1 9
cot
9
x−
45
2 7
cot
7
x
−
1 5
cot
5
x+C
Cálculo Integral Si m es impar, se deben descomponer como se ilustra en el siguiente ejemplo: 32. Hallar:
∫ tan x sec x dx 5
4
2
Solución: tan 5 x sec4 x = tan 4 x sec3 x tan x sec x = ( sec2 x − 1) sec3 x sec x tan x
∫ tan x sec x dx = ∫ sec x sec x 5
4
7
∫
tan x dx - 2∫ sec5 x sec x tan x dx + sec3 x sec x tan x dx
haciendo u = sec x ; du = sec x tg x d x y empleando la formula iv:
Ejercicios tema 2.3.4
∫
tan 5 x sec4 x dx = 18 sec8 x -
1 3
sec6 x +
Calcula las integrales siguientes:
∫
8. cos3 2θ dθ
∫
∫
9. sen 4 x dx
∫
10. sen 4a x dx
∫
11. cos4 d x
∫
12. cos4 a x dx
∫
13. sen 5 x dx
∫
14. sen 5 b x dx
1. sen 2 x dx
∫
2. sen 2a x dx
∫
3. cos2 x dx
∫
4. cos2 a x dx
∫
5. sen 3 d x
∫
6. sen 3 2θ dθ
∫
7. cos3 d x
46
1 4
sec4 x + C
Cálculo Integral
∫
26. sen 2
∫
27. sen 3 2θ cos4 2θ dθ
∫
28.
∫
29.
∫
∫
30.
∫
∫
31.
∫
32.
∫
∫
15. cos6 x dx
17. sen 2a cos2 a x dx
∫
x
sen 2 x 2 cos2 x2 d x
19. sen 3 cos3 x dx 20. sen 3 mt cos3 mt dt
∫
21. sen 4
θ
2
cos4
θ
2
dθ
θ
2
dθ
tan 3θ dθ tan 5 3θ dθ θ
θ
tan 3 sec3 dθ 3 3 tan 6θ dθ tan 4πθ sec4 πθ dθ
∫
33. ( tan θ + ctgθ ) dθ
∫
34. ( tan θ + secθ ) dθ
∫
22. sen 4 2θ cos4 2θ dθ 23.
2
cos3
∫
16. cos6 b x dx
18.
θ
∫
sen 2 2θ cos4 2θ dθ
2
2
∫
24. sen 3πθ cos2πθ dθ
∫
25. sen 4
θ
2
cos2
θ
2
dθ
2.3.5 Cálculo de integrales indefinidas por sustitución trigonométrica. El método de integrar por sustitución consiste en reemplazar la variable de integración, o una expresión que la contenga, por otra variable o una función de otra variable. Mediante esta sustitución se transforma el integrando propuesto en otro de más fácil realización. En este capitulo trataremos particularmente tres sustituciones trigonométricas importantes:
47
Cálculo Integral
a2 −
I. Cuando aparece
2
en el integrando, se tomará en cuenta el siguiente triángulo
rectángulo:
a
x
θ 2
a −x
2
Y se sustituirá de la manera siguiente: x
= a sen θ
d x = a cos θ d θ a2 − Ejemplo: Hallar:
= a cos θ
2
dx 4 - x2
x
∫
2
Solución: Tomando a = 2, tenemos: x = 2 sen θ d x = 2 cos θ d θ 4 − x 2 = 2 cos θ
∫
2 ( 2s e n θ ) 2 cos θ dθ
∫
2 cos θ
2
dx = 2 θ - sen 2 θ ; 2 4-x
x
∫
2
dx = 4 - x2
x
48
∫
= 4 s e n 2 θ dθ = 4
( 12 θ −
1 4
sen 2θ
)
Cálculo Integral Por medio de identidades trigonométricas, tenemos que sen 2θ = 2 sen θ cos θ , y en el triángulo rectángulo se toma: s e n θ =
x
2
= sen
, θ
−1 x
2
, cos θ =
4− 2
2
, quedando de la
manera siguiente:
∫
2
dx −1 x = 2 sen 2 4 - x2
x
∫
2
dx = 2 θ - 2 sen θ cos θ = 2 4-x
x
a2 +
II. Cuando aparece
2
-
2
sen
4− x 2 + C 2
x
en el integrando, se tomará en cuenta el siguiente triángulo
rectángulo:
a 2 + x 2
x
θ
a Y se sustituirá de la manera siguiente: x
= a tan θ
d x = a s ec2θ d θ a 2 + x 2 = a sec θ Ejemplo: Hallar:
∫
2
2 ⎛ x ⎞ 4− x -2 ⎜ ⎟ 2 ⎝2⎠ 2
−1 x
d x 16 + x 2
Solución: Tomando a = 4, tenemos: x
= 4 tan θ
d x = 4 s ec2θ d θ 49
Cálculo Integral 16 + x 2 = 4 sec θ
∫
2
4 sec 2θ d θ sec θ d θ = (4tan θ )2 4sec θ 16 tan 2 θ
d x = 2 16 + x
∫
d x = 2 2 x 16 + x
∫ ∫
2
d x = 2 16 + x
1 − 16
1 16
∫
∫
d θ cos θ tan θ sen θ cos θ
=
1 16
∫
d θ tan θ sen θ
=
csc θ ; del triángulo rectángulo, se tiene que: csc θ =
d x 1 − 16 = 2 2 x 16 + x
∫
( )
2
x − a
III. Cuando aparece
2
16 + x 2 x
2
x − a
θ
a Se sustituye: x = a sec θ d x = a sec θ tan θ d θ 2
csc θ d θ
16 + x 2 x
en el integrando, se tomará en cuenta el siguiente triángulo
x
x − a
∫ cot θ
+ C
rectángulo:
2
= a tan θ
3
Ejemplo: Hallar:
1 16
x dx
∫ x − 25 2
Solución: Tomando a = 5, tenemos: x
= 5 sec θ
d x = 5 sec θ tan θ d θ 50
2
Cálculo Integral 2
x − 25 = 5 tan θ 3
x dx
∫
2
x − 25 3
x dx
∫
2
x − 25
=∫
3 ( 5 sec θ ) 5 sec θ tan θ dθ
5 tg θ
= ∫ 125 s ec3θ
= 125 ∫ s ec2θ (1+ tan2θ ) dθ = 125 ∫ s ec2θ
sec θ dθ
∫
3
∫
2 x − 25 125 3 = 125 tan θ + 3 tan θ + C , pero tan θ = 5 ; 2 x − 25
∫
⎛ x 2 − 25 ⎞ 125 x dx = 125 ⎜⎜ 5 ⎟⎟ + 3 2 x − 25 ⎝ ⎠
x dx
3
3
x dx
∫ x − 25 2
=
25
2
1
− 25 + 3
⎛ x2 − 25 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5 ⎝ ⎠
( x2 − 25)
3
3
+ C
Ejercicios tema 2.3.5 Calcula las integrales siguientes: 1.
x
∫
2
1 − x2 dx
7.
2.
∫
2
9 − x 2 dx
8.
3.
∫
3
4 − x2 dx
∫
3
4. 5.
x
x
x
∫
3
4 + x 2 dx
∫
3
16 + 5 x 2 dx
∫
5 − 2 x 2 dx 10.
∫
3
∫
3
x
9.
11. 6.
x
3 − x 2 dx x 2
∫
5−
∫
4 x 2 − 9 dx
d x
x
4x 2 − 25 dx 2
x − 16 dx
51
dθ + 125 tan2θ s ec2θ dθ
x
Cálculo Integral
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20. 21.
22.
2
2
∫
x − 25 dx
∫
x + 16 dx
∫
x + 5 dx
∫
16 −
∫
4 − 9 x 2 dx
∫
4 2 − 9 d x
∫
2 2 − 5 d x
∫
x + 9 dx
∫
3 x 2 + 5 dx
25.
x
26.
x
27.
x
∫ 16 − 3 x
24.
d x
∫ x − 6 2
28.
x dx
∫ 9 x − 4 2
2
29.
2
2
30.
2
31.
2
2
32.
2
33.
2
d x 2 x 16 − x
34.
d x 2 x 25 − x
35.
∫
d x 2 x 3 + x
∫
36.
d x 2 x 4 x − 9
∫
2
d x
∫ x + 9 2
∫ x ∫ x ∫ x
d x 7 − 4 x2
2
d x 2
∫ ∫ ∫ x
d x 5 − x2
2
x
∫
d x
∫ 5 +
x
23.
2
2
d x
2
x
2
x dx
2
2
x
∫ 25 − 2
2
2
x dx
2
x −4
d x 4 x2 − 9
2
d x 9 x 2 + 25
2
d x 25 x2 + 16
2
3
37.
52
x dx
∫ 4 − x
2
Cálculo Integral 3
38.
x dx
∫ 9 − 4 x
52.
2
53.
3
39.
x dx
∫ 4 x − 7 2
3
40.
x dx
∫ x − 9 2
3
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
54.
d x
∫ 4 x + 1 ∫
2
55.
d x 2 2 x + a
56.
∫ x ∫ x ∫ x ∫ x ∫ x
3
d x 5 − x 2
57.
d x 7 − 4x2
3
58.
d x 3
∫
x
d x
∫ (5 − x )
3
2
2
d x
∫ ( 25 − x ) 2
3
d x
∫ ( x −1) 2
3
2
d x
∫ ( x − 3) 2
3
2
d x
∫ ( x + 3)
3
2
2
d x
∫ ( x + 2) 2
3
2
2
2
59.
d x 4 x2 − 9
3
3
60.
d x 25 x2 + 16
3
d x
∫ (3 − x ) 2
3
2
2
d x 9 x 2 + 25
x dx
∫ ( 4 − x ) 2
3
2
2
61.
x dx
∫ ( x + 8) 2
3
2
3
∫
51.
(8 + x ) 2 dx
x −4
( a 2 − x 2 ) 2 dx
∫ (
3
2
3
∫
50.
∫
3
2
3
2
62.
3
+ 4 ) 2 d x 3
( 9 − 4 x ) 2 dx 2
53
d x
∫ ( x + 2) 2
3
2
2
Cálculo Integral 2
63.
2
d x
∫ ( x −1) 2
3
67. 2
2
64.
2
3
68. 2
2
65.
2
2
66.
5
69. 2
2
2
d x
∫ ( x + 2) 2
5
2
x dx
∫ ( x −1) 2
2
d x
∫ ( 4 − x )
5
2
2
x dx
∫ ( 3 − x )
∫ ( x + 8) 2
x dx
∫ ( x − 3)
x dx
5
70. 2
5
2
d x
∫ ( x − 3) 2
5
2
2.3.6 Cálculo de integrales indefinidas por fracciones parciales. Es posible escribir cualquier expresión racional f ( x ) como una suma de fracciones cuyos g( x )
denominadores son potencias de polinomios de grado no mayor que dos; f ( x ) g( x )
= F1 + F2 + …+ Fk
donde a cada Fi se le denomina fracción parcial de f ( x ) , y tiene una de las dos formas g( x )
siguientes: A
( p x + q )
m
C x + D
o
( a x 2 + bx + c )
n
donde m y n son enteros positivos y a x2 + b x + c es una expresión cuadrática sin raíces reales, es decir, b2 – 4ac < 0. Para descomponer una expresión racional f ( x ) en fracciones parciales es necesario que f( x) g( x )
tenga grado menor que g( x). Si no es así, se deberán dividir algebraicamente las expresiones hasta conseguir tal situación, después se representa el denominador g( x) como un producto de 54
Cálculo Integral factores de la forma p x + q ó expresiones cuadráticas irreducibles de la forma a x2 + b x + c; después agrupamos los factores repetidos de manera que g( x) queda expresado como un producto de factores distintos de la forma ( p x + q )m ó ( a x2 + b x + c )n donde m y n son enteros positivos, y aplicamos lo siguiente:
Caso I. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y ninguno se repite. Para cada factor de la forma ( Ax + B ) , la expresión racional f ( x ) se descompone de la g x ( )
siguiente manera: f ( x ) g ( x )
Ejemplo: Hallar: Solución:
=
A B C + +. . .+ A 1 x+ B 1 A 2 x + B 2 Anx+ Bn
( + 3) d x
∫ x − 6 x + 5x 3
2
( x + 3) dx
( x + 3) d x x ( x − 5 )( x − 1)
∫ x − 6 x + 5x ∫ 3
( x + 3) A = + x ( x − 5 )( x − 1) x
2
B
+
x−5
=
C x −1
, donde A, B y C son constantes por determinar:
Multiplicando por x ( x − 5)( x − 1) , obtenemos: x + 3 = A ( x – 5 )( x – 1 ) + B x ( x – 1 ) + C x ( x – 5) x + 3 = ( A + B + C) x2 + ( -6A – B – 5C) x + 5A
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad, obtenemos tres ecuaciones simultáneas: A+B+ C = 0 -6A – B – 5C = 1 5A = 3 resolviendo el sistema, obtenemos: A = 3 , B = 52 , C = - 1 5
55
Cálculo Integral
Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:
( x + 3) dx
( x + 3) dx = x ( x − 5 )( x − 1)
∫ x − 6x + 5x ∫ 3
2
( x + 3) dx
∫ x − 6 x + 5x 3
2
=∫
2 ⎛ 35 B C ⎞ ⎛A 5 + -1 ⎞ dx d x + + = + ⎜ ⎟ ⎜ x x − 5 x −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ x x − 5 x −1⎠
∫
3
3 ln 5
=
+
2 ln ( x − 5 ) 5
( x ) 5 ( x − 5)
− ln ( x − 1) + C = ln
x − 1
2
5
+ C
Caso II. Cuando los factores del denominador son todos de primer grado y algunos se repiten. Para cada factor de la forma ( p x + q )m donde m ≥ 1, la expresión racional f ( x ) se g( x )
descompone de la siguiente manera: f ( x ) A1 A2 Am = + . . .+ m −1 m + g ( x ) ( p x + q ) ( px + q ) px + q donde cada Ai es un número real. ( x 2 + 1 )dx 3 ( x − 2 )
∫
Ejemplo: Hallar:
Solución: obtenemos:
( x 2 + 1 ) A B C = + + 3 3 2 ( x − 2 ) ( x − 2) ( x − 2) ( x − 2) x
2
+ 1 = A + B ( x – 2 ) + C ( x – 2 )2
2
+ 1 = C x2 + ( B - 4C ) x +A-2B + 4C
x
multiplicando por ( x − 2 )
3
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad, obtenemos tres ecuaciones simultáneas: C = 1 B – 4C = 0 A -2B + 4C = 1 Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 5, B = 4, C = 1 56
Cálculo Integral
Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:
∫
( x 2 + 1 ) dx = 3 ( x − 2)
∫
( x 2 + 1 ) dx = 3 ( x − 2)
⎛ A B C ⎞ ⎜ + + ⎟ d x ⎜ ( x − 2 )3 ( x − 2) 2 ( x − 2 ) ⎟ ⎝ ⎠
∫
⎛ 5 4 1 ⎞ ⎜ + + ⎟ d x ⎜ ( x − 2 )3 ( x − 2) 2 ( x − 2 ) ⎟ ⎝ ⎠
∫
( x 2 + 1 ) dx -5 4 = − + ln ( − 2 ) + C 3 2 ( x − 2 ) 2 ( x − 2) ( x − 2 )
∫
Caso III. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y ninguno se repite. Para cada factor de la forma (a x2 + b x + c ), la expresión racional f ( x ) se descompone de la g( x )
siguiente manera: f ( x ) A1x+B1 + A2x+ B2 + . . . + An x+Bn = an x2 + bn x+ cn g ( x ) a1x2 + b1x+c1 a2 x2 +b2 x+ c2 donde cada i, Ai y B i son números reales
∫
Ejemplo: Hallar: Solución:
1 3
+1
=
d 3
+1
1
=
( x + 1) ( x − x + 1) 2
A B x + C + 2 x+1 x − x + 1
multiplicando por ( x + 1) ( x 2 − x + 1) 1 = A(
2
− x + 1 ) + ( B x + C )( x + 1)
1 = (A+B)
2
+ ( B – A + C ) x + ( A + C )
igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad, obtenemos tres ecuaciones simultáneas: 57
Cálculo Integral A+B = 0 -A + B + C = 0 A +C = 1 resolviendo el sistema, obtenemos: A = 1 , B = 3
−
1 , 3
C =
2 3
Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene: d x
∫
3
∫
+1
=
1
3 d x
-1 x + 2 3 3
∫ x+1 ∫ x − x + 1
d x
+
1
1
= 3 ln ( x+1) − 6 ln x + 1 3
d x
∫ x + 1
( x+1)
= ln
3
(
d x
2
1
3
)
2
x − x + 1
1
+ 6
(
2
1 2
− x + 1) +
−1 tan 3
1 2
2x −1 + C 3
−1 tan 3
2x −1 + C 3
Caso IV. Cuando el denominador contiene factores de segundo grado y algunos se repiten. Para cada factor de la forma (a x2 + b x + c )n donde n ≥ 1 y a x2 + b x + c es una expresión cuadrática irreducible, la expresión racional f ( x ) se descompone de la siguiente manera: g( x )
f ( x ) A1x+B1 = g ( x ) ( ax2 + bx+c)n
+
A2x+ B2 + . . . + An x+Bn n −1 a 2 +b x+c ( ax2 + bx+c)
donde cada i, Ai y B i son números reales. Ejemplo: Hallar:
Solución:
( x3 + 3x ) 2 2 1 x + ( )
( x3 + 3x ) dx ∫ ( x2 + 1)2 =
A x + B
(
2
)
x +1
2
+
Cx + D , 2 1 x + ( )
multiplicando por:
(
3
= ( A x + B ) + ( C x + D ) ( x 2 + 1)
3
= C x3 + D x2 + ( A + C ) x + ( B + D )
x + 3 x x + 3 x
58
2
)
x + 1
2
Cálculo Integral igualando los coeficientes de las mismas potencias de x en los dos miembros de la igualdad, obtenemos cuatro ecuaciones simultáneas: C D A+C B+D
= = = =
1 0 3 0
Resolviendo el sistema, obtenemos: A = 3, B = 0, C = 1, D = 0 Sustituyendo estos valores en las fracciones parciales, se obtiene:
( x3 + 3x ) dx ∫ ( x2 + 1)2
=
∫
Ax + B
( x2 + 1)
( x3 + 3x ) dx = −3 ∫ ( x2 + 1)2 2 ( x 2 + 1)
+
2
+
Cx + D = 2 1 x + ( )
3 x dx
2
2
Calcula las integrales siguientes: d x 2 x + 2 x − 3
∫
d x − 6 x + 5
9.
∫ x + 3x
d x 4 x − 12 x + 5
10.
∫ 2
d x 2 x 2 + 5 x + 4
11.
d x 4 x + 6 x + 10
12.
∫
6.
∫ ∫
3.
5.
d x 6 x − 9 x 2 + 15
8.
∫
4.
7.
d x 2 + 2 x − 15
2.
∫
2
2
∫ ∫
2
1 3 +C ln ( x 2 + 1) = ln x 2 + 1 − 2 2 ( x 2 + 1)
Ejercicios tema 2.3.6
1.
x dx
∫ ( x + 1) ∫ ( x + 1) +
2
59
d x 21 − 4 x − x 2 d
2
d x 2
− 6 x
d
∫ x − 4 x 3
d x
∫ x ( x − 4) 2
Cálculo Integral 13.
14. 15. 16.
17. 18. 19. 20. 21. 22. 23.
24.
2
dx ( 2 x + 3) ( 4 x 2 − 1) x
∫
3
dx 2 x − 4 x + 3 x
∫
x
∫
4
27.
dx −1
2
28.
( − 1) d x ( x − 3)( x + 2)
∫
29.
( + 1) d x
∫ 2 x + 6 x + 9 2
∫
2
∫
2
∫ x + 6 x + 8x 3
( 2 x + 3) dx
∫ x + x − 30
33.
2
( 3 x + 2 ) dx
∫ x + x
34.
2
( 3 x + 7 ) dx ( x + 1)( x + 2 )( x + 3)
∫
35.
( 4 x + 2 ) dx
∫ ( x + 2) ⎛ x − 1⎞ 2
(
)
2
x + 1
36.
⎟ ⎠
dx
∫ x ( x − 4)
37.
2
60
2
+ 1) d x
∫ x − x (5
∫
3
− 3) d x
2
3
x − x
(5
− 9 ) d x
2
∫ x − 9 x 3
(
4
+ 1) d x
31.
32.
2
(
∫ x ( 2x − 5)
( x4 − 3x3 ) dx ∫ ( x − 2) ( x2 − 1)
+ 2 x − 8
( x − 3) dx
+ 1) d x
∫ x ( x −1)
+ x − 6
( + 7 ) d x
2
30.
( x + 5) dx
⎜ ⎝
25.
26.
(
2
(
∫
2
+ 6 x − 8) dx 3
− 4 x
( x2 + x − 3) dx
∫
2
+ x − 6
( x2 + x+1) dx
∫ 2 7
x − x +10
(
∫
2
+ x + 2 ) dx
3
+ 2 x 2 − 3x
(
2
+ x + 1) dx
∫ ( x −1)( x − 2)( x − 3) (
2
− 2 x + 3) dx
∫ ( x + 1)( x − 2)( x − 3)
Cálculo Integral
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
( x 2 − 17 x + 22) dx
50.
( x3 + x + 1) dx
51.
∫ ( x −1)( x + 2)( x − 3) ∫ x ( x −1)( x − 2)( x − 3)
52.
( 3x 2 + 11x + 2) dx ∫ ( x + 3) ( x2 − 1)
53.
d x
∫ x ( x −1)
54.
d x
∫ x ( x + 1) 2
55.
d x 2 x ( x + 2 x + 1)
∫
56.
d x 2 2 x ( x − 2 x + 1)
∫
46.
47.
48.
49.
d x
∫ x ( x − 4) 2
∫ ( x − 2)( x + 1)
58. 2
59.
2
dx 3 ( x − 1)
∫
3
dx 2 ( x + 3) x
∫
60.
3
dx 4 ( x + 1) x
∫
∫
d x 3
+ x 4 2
⎛ x + 3 ⎞ ⎜ 2 ⎟ d x ⎝ x + 4 x + 5 ⎠
∫ ∫
( + 2 ) d x
∫
( x − 8 ) dx
4
+ 2 x3 + x 2
3
− 4 x 2 + 4 x
( 3 +4 ) d x 2 ( x − 6 )( x + 2 )
∫
( 3 x +4) dx 2 x ( x − 4 )
∫
(
2
+1) d x
∫ ( x + 2)
2
2
d x
x
∫
2
57. 45.
( x +1) dx 2 2 x ( x − 1)
61.
61
(
2
− 4 ) d x
∫ ( x + 1) (2
2
3
+ 1) d x
∫ ( x − 2) (3
2
3
+ 6 x ) dx
∫ ( 2 x + 1)
2
( 3x 2 + 5 x ) dx
∫ ( x −1)( x + 1)
2
Cálculo Integral
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71. 72. 73.
( 3 x 2 − 2) dx
∫ ( x + 2) ( x
∫ x ( x −1)
∫
75.
∫
76.
∫
3
+ 1) dx
3
74.
4
3
77.
( x − 1 − 2 x2 ) dx
∫ ( x − 3)( x −1)
78.
2
( 3 x 2 − 3 x + 5 ) dx
∫ ( x + 3)( x − 3) (5
2
79.
2
+ 14 x + 10 ) dx
∫ ( x + 2)( x + 1)
2
( 24 x2 + 10 x + 5) dx
∫ ( 2 x − 1)( 2x + 1) (
∫
3
x − 2x − 4 4
4
−1
d x − 16
) dx
d x 4 + 9 x 2
∫ ( x −1) ( x + 1) 2
d x
∫ x ( x + 1) 2
d x ( x2 + 1) ( x + 1)
81.
∫ (
2
x dx
∫ ( x + 4) ( x − 1)
83.
∫
84.
∫ x −1 3
85.
d x
∫ x + 8 3
d x
86.
∫ x − 8 3
62
d x + 1)( x 2 + x )
82.
2
x dx 4
3
d x
+ x 2
d x
∫
+ 2 x3
( x − 2 )( x + 1)
d 4
∫
80.
2
( 4 x3 − 2 x2 + x + 1) dx
∫
4
3
( x5 − 2 ) dx
∫ x − 2 x
d x
+ 3 x 2 − 4 x
2
dx
∫ ( 2 x + 3) ( x + 9) 2
∫
x 2
3
dx
+ x + 1
( x +3) dx ( x + 1) ( x 2 + 1)
∫
Cálculo Integral 87.
( x +4 ) dx
∫ x ⎛ x + 4 ⎞ 2
⎜ ⎝
88. 89.
90.
( x − 18) dx
∫ 4 x + 9x 3
∫ x ( x + 1) 2
( 5 x + 12 ) dx
∫ x ( x + 4) 2
92.
( 4 x2 − 3) dx ∫ ( x − 2) ( x2 + 2x + 5) ( 4 x 2 + 6) dx
93.
∫
94.
( x3 + 1) dx ∫ ( x −1)2 ( x2 + 1)
97.
98.
101.
( 2 x2 + 3x + 2 ) dx ∫ ( x + 2) ( x2 + 2 x + 2)
( 2 x + 1) dx
91.
96.
100.
( 2 x 2 − 8x − 8) dx ∫ ( x − 2) ( x2 + 4)
⎟ ⎠
( x 2 + x ) dx ∫ ( x −1) ( x2 + 1)
95.
99.
( x2 + 9 x + 29) dx ∫ ( x − 4) ( x2 + 2 x + 3)
3
+ 3 x
∫ x + x
4
+ 3) d x
2
x − x −8
) dx
2
63
( 2 x3 − x2 + 8x − 3) dx
105.
( 3x3 + 3x − 6) dx ∫ ( x + 1) ( x3 + 1)
110.
∫ ( 2 x − 3) ( x + 2 x + 2)
+ 3 x 2 + 2
∫
109.
2
4
104.
108.
∫ ( x + 1) ( x + 1) (
103.
(15 − 5x + 10x 2 − x3 ) dx ∫ x2 ( x2 + 5)
3
+ x3
(
∫
107.
( x4 + 1) dx
∫
102.
106.
( x3 − 1) dx
( 2 x3 + x2 + 2 x + 2) dx
2
+4
( 3x3 + 3x + 1) dx
∫
4
x + 3 x
2
d x
∫ x ( x + 1) 2
2
d x
∫ x ( x + 1) 2
2
d x ( x 2 + 1) ( x + 1)2
∫
x
5
dx
∫ ( x + 4) 2
2
Cálculo Integral
111.
( x3 + 3x ) dx ∫ ( x2 + 1)2
112.
( x 5 + 4 x 3 ) dx ∫ ( x2 + 2)3
113.
(4
∫
2
+ 2 x + 8 ) dx
(
2
x x + 2
)
2
64
114.
( x 3 + x ) dx ∫ ( x2 + 2)2
115.
( 4 x3 + 3x2 + 18x + 12) d x ∫ ( x2 + 4)2
Cálculo Integral
INTEGRAL DEFINIDA
Definición de integral definida.
Propiedades de la integral definida.
Teorema fundamental del cálculo.
Cálculo de integrales definidas.
65
Cálculo Integral
CAPITULO III INTEGRAL DEFINIDA 3.1 Definición de integral definida. Sea f una función definida en un intervalo cerrado [ a, b ] . La integral definida de f desde a hasta b denotada por
b
∫ f ( x ) dx , está dada por: a
b
∫ f ( x ) dx = a
lim ∑ f ( wi ) ∆xi
P → 0
i
siempre que el límite exista. La expresión
b
∫ f ' ( x ) dx se conoce como la integral definida de f desde a hasta b, el proceso a
de hallar c en la expresión anterior, se llama calcular la integral definida, el símbolo ∫ se llama signo integral y se usa para indicar la relación entre las integrales definidas y las sumas de Riemann1. A los números a y b se les llama límites de integración; a es el límite inferior y b el límite superior, en estos casos la palabra límite se refiere a los números mínimo y máximo del intervalo [ a, b ] y no tiene relación con los límites en cálculo diferencial, la expresión f ( x ) se llama integrando y el signo d x, únicamente indica la variable, no debe confundirse con la diferencial de x definida en el capitulo 1. Siempre que se use un intervalo [ a, b] se considera que a < b , pero en aquellos casos en los que se tenga que b > a , es decir, cuando el límite inferior es mayor que el límite superior, entonces:
∫
b
a
f
' ( x ) dx = 66
a
∫ f '( x ) dx b
Cálculo Integral 1.- Si el alumno desea profundizar el estudio de las sumas de Riemann, se sugiere consultar SWOKOWSKI, Earl W. Calculo con geometría analítica. Páginas 227-230.
Asimismo, cuando se tenga que a = b , es decir, cuando el límite inferior sea igual al límite superior, tendremos:
b
∫ f ' ( x ) dx= 0 a
3.2 Propiedades de la integral definida A continuación se presentan las propiedades de la integral definida únicamente de manera informativa, es decir, sin ocuparnos de la demostración de las mismas por considerar que éstas se encuentran fuera de los propósitos del presente. 1. Si k es cualquier constante, entonces: b
∫ k dx = k ( b − a) a
2. Si f es integrable en [ a, b ] y si k es cualquier constante, entonces:
∫
b
a
k f ( x ) dx = k
b
∫ f ( x ) dx a
3. Si f y g son integrables en [ a, b ] , entonces f ± g en [ a, b ] .
∫
b
a
⎡⎣ f ( x ) + g ( x ) ⎤⎦ dx =
∫
b
a
f ( x ) dx
+ ∫ g ( x) d x b
a
4. Si f es integrable en [ a, b] , [ a, c ] y [ c, b] , donde a < c < b
∫
b
a
f ( x ) dx
=
∫
c
a
f ( x ) dx +
b
∫ f ( x ) dx c
5. Si f y g son integrables en [ a, b ] y si f ( x ) ≥ g ( x ) para toda x en [ a, b] , entonces: b
∫ a
f ( x ) dx ≥
b
∫ g ( x ) dx a
67
Cálculo Integral 6. Si f es continua en [ a, b ] . Si m y M son, respectivamente, los valores mínimo absoluto y máximo absoluto de f en [ a, b ] de tal forma que: m ≤ f ( x ) ≤ M m (b − a ) ≤
b
∫ a f ( x ) dx
a ≤ xpara ≤b
entonces: ,
≤ M (b − a)
3.3 Teorema fundamental del cálculo. Históricamente, los conceptos básicos de la integral definida fueron empleados por los antiguos griegos, principalmente por Arquímedes (287-212 a. C.), hace más de 2000 años, es decir, mucho antes de que se descubriera el cálculo diferencial. En el siglo XVII, casi simultáneamente, pero trabajando en forma independiente, en Inglaterra; Sir Isaac Newton (1642-1727) y Gottfried Leibniz (1646-1716) en Alemania, descubrieron el Teorema Fundamental del Cálculo, denominado así por su importancia en la evaluación de integrales definidas y sobre todo por mostrar la conexión entre el cálculo diferencial y el cálculo integral. Es principalmente por este descubrimiento que se les atribuye a estos sobresalientes matemáticos la invención del cálculo. Así, el Teorema Fundamental del Cálculo se define de la siguiente manera: Sea f una función continua en un intervalo cerrado [ a, b] , entonces: b
∫ f ' ( x ) dx = f ( b) − f ( a ) a
siendo f la integral de la expresión diferencial f ' ( x ) dx
3.4 Cálculo de integrales definidas Para el cálculo de integrales definidas se puede proceder de la siguiente manera: a) Se integra la expresión diferencial dada. b) Se reemplaza la variable en esta integral indefinida primero por el límite superior, después por el límite inferior y se resta el segundo resultado del primero. Es decir: 68
Cálculo Integral b
∫ f ' ( x ) dx = a
b
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ = f ( b ) − f ( a ) a
Ejemplos ilustrativos: 3
1. Hallar:
∫
2. Hallar:
∫
3. Hallar:
1
x
π
0
2
3
dx = ⎡⎣ 13 x3 ⎤⎦1 =
1 3
⎡( 3)3 − (1)3 ⎤ = 8 ⎣ ⎦ 3 π
sen 2x dx = ⎡⎣ − 12 cos 2x ⎤⎦ 0 = − d x
3
∫ 9 + 0
3
2
= ⎡⎣ 13 tan −1 x3 ⎤⎦ 0 = 4. Hallar:
1 3
1 2
[ cos 2π − cos 0] = − π
1
∫
−1
x
e
1
2. 3. 4.
∫
2 d x
8.
( 3 x +1) dx
9.
1
3
∫ 2
2
∫ 1
(1 − x ) dx
8⎛
1
∫ (8 0
∫ ⎜⎝ 4 − 16 ⎟⎠ d 0
∫ ( 7
6.
∫ ( a − x ) dx
− 5 − x
1
a
2
2
12.
) dx
13.
2
−a
3
∫ 2 ( 6 + −
− x
2
) dx
14. 69
6
∫
11.
5.
7.
4
10.
2 x ⎞
5
−1
dx = ⎡⎣e ⎤⎦ -1 = ⎡⎣ e − e ⎤⎦ = x
Calcular el valor de las siguientes integrales definidas: 2
− 2⎤⎥⎦ = 1
⎡ tan −11 − tan −1 0⎤ = ⎣ ⎦ 12
Ejercicios tema 3.4.1
1.
1 ⎡ 2 ⎢⎣
3
− x 2 ) dx
2 ( − 3) d x
2
∫
3
6
d x
0
∫
d x
2
d x 2 x − 1 4
∫
2 x 2
dx −1 x + 2
∫
2 x 3
dx 0 x + 1
∫
2
e − e
1
Cálculo Integral
15.
16.
π
d
1
∫
- 3
29. 2
1+
∫ 2
−π
30.
∫
17.
31.
x dx
∫
64 + x
0
4
θ
∫
2
0
π
1
18.
19. 20.
21. 22.
32.
d x 2 x + 4 x +13
∫
−2
5
33.
24.
2 − x − 3
2
3
2
∫
34. d x
( x 4 + 16 )
0
4
∫
(
0
1
∫ ∫
35.
∫
+ 2 x ) dx
−π
2
π
cot 3θ dθ
36.
∫
4
−π
sec2 θ dθ
4
∫
2
0
π
x dx
∫
39.
se n 2 θ2 cos
0
1
∫
se n θ cos θ dθ
4
0
θ
2
se n -1 2 d x
sen x dx 1
2
40. x ⎞ ⎛ ⎜ 2-3sen ⎟ d x 2⎠ ⎝
∫ 0
4
0
π
4
π
x − 4
0
∫
tan 2θ dθ
4
2
∫
2
−1
π
se n 2 2θ dθ
∫
se n 3 θ dθ
6
70
∫ 0
x
se n -1 x dx
x
sen x dx
2
2
0
π
42. 28.
∫
2
38.
16
π
−π
π
x 2 + 16 d
0
∫
∫
4
2
41. 27.
tanθ dθ
π
3
π
0
25-16x d x
π
26.
cos3 2θ dθ
2
0
∫
∫
3
π
π
25.
0
cos2 θ dθ
2
37. 23.
∫
4
dθ
π
d x
∫
cos θ
0
π
2 2
cos θ dθ
2
π 2
2 d x 1+ 2
3
∫
2
2
x
2
sen x dx
dθ
Cálculo Integral π
43.
∫ ∫
−π
π
45. 46. 47.
4
∫
1
2
49.
se n 2 x dx
0
π
44.
4
∫ 0
π
2
50.
cos θ 1+sen θ dθ
4
∫
0
1
∫ e
51.
sec2θ 3 + tgθ dθ −3 x
52,
dx
3ln2
e dx
0
1 + e x
x
∫
0
e
∫ ln 1
− x
cos 2x d x
53. 54.
x
e dx e +1 x
71
d x
∫
ln x dx
e
1 + ln
x
1
∫ ∫ π
d x
x
1
π
0
6
e
0
∫
dx
4
4
ln3
48.
x
xe
2
6
( ln sen x ) cos x dx
Cálculo Integral
APLICACIONES DE LA INTEGRAL
Longitud de curvas.
Cálculo de áreas.
Áreas entre curvas.
Sólidos de revolución.
Cálculo de volúmenes por el método de los discos.
Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo.
72
Cálculo Integral
CAPITULO IV APLICACIONES DE LA INTEGRAL 4.1 Longitud de curvas. Para determinar la longitud de una recta, basta con determinar el número de veces que cabe en ella una unidad de longitud tomada como medida. Sin embargo, para determinar la longitud de una curva es imposible hacer que sobre ella coincida una unidad de longitud tomada como medida; es decir, no podemos medir las líneas curvas de la misma manera que las rectas. Para determinar la longitud de una curva, se divide el arco de la curva en cualquier número de partes y unimos los puntos sucesivos de división formando una poligonal. Así, definimos la longitud de un arco de curva como el límite de la suma de los lados de la poligonal cuando el número de los puntos de división tiende a infinito, al mismo tiempo que cada uno de los lados tiende a cero. Hallar la longitud de una curva se le llama también “rectificar la curva”.
Para obtener la longitud de una curva y = f ( x ) , comprendida entre dos puntos de abscisas = a y y = b , se aplicará la siguiente fórmula: L = b a
∫ b
a
2
1 + ⎡⎣ f ' ( x ) ⎤⎦ dx
Ejemplo 1: Hallar la longitud de la curva 6 y = x 2 ; en el intervalo [ 0, 4] Solución: f ( x ) =
1 2 x 6
'( x) =
1 x 3
f
L 0 = 4
∫
4
0
2
1 + ⎡⎣ x3 ⎤⎦ dx =
∫
4
0
2
1 + x9 dx =
∫
73
4
0
9+ x2 9
dx =
1 3
∫
4
0
9 + x 2 dx
Cálculo Integral 4
⎡ x 9 + x 2 + 9 ln x + 9 + x 2 ⎤ = 20 + 9 ln 3 ≈ 4.98 2 ⎥⎦ 6
1
4
)
(
L 0 = 3 ⎢ 2 ⎣
0
Ejemplo 2: Hallar la longitud de la circunferencia x 2 + y 2 = 25 Solución: Despejando f ( x ) = 25 − x 2 ; f
'( x) =
− x
25 − x
2
;
Tomando el arco correspondiente a un cuarto de la circunferencia,
∫
5
2
⎡ −x ⎤ 1+ ⎢ ⎥ dx = 2 ⎣ 25 − x ⎦
∫
5
2
=
5 L 0
= ⎡5 se n −1 x5 ⎤ = 5 se n −1 1 − 5 se n−1 0 = ⎣ ⎦0 2
0
5
0
1+
x
5 L 0
25 − x
2
dx =
∫
5
0
25 dx = 25 − x 2
∫
5
0
5dx 25 − x 2
5π
⎛ 5π ⎞ ∴ Longitud de la circunferencia = 4⎜ ⎟ = 10π ⎝ 2 ⎠
Ejercicios tema 4.1.1 1. Hallar la longitud de la curva y = x 2 ; en el intervalo [ 0, 2] 2. Hallar la longitud de la curva 2 y = x 2 ; en el intervalo [ 0,1] 3. Hallar la longitud del arco de la parábola 4 y = x 2 ; del vértice a un extremo del lado recto 4. Hallar la longitud de la curva x 2 + 2 y + 2 = 0 ; entre los puntos ( − 2, − 2 ) ; (0,1) 5. Hallar la longitud de la curva y 2 = 4 x ; en el intervalo [ 0,3] 6. Hallar la longitud del arco de circunferencia x 2 + y 2 = 25 ; en el intervalo [3,4] 2
7. Hallar la longitud de la curva 3 y 2 = x ( x − 1) ; en el intervalo [ 0,1]
74
Cálculo Integral 2
8. Hallar la longitud de la curva 18 y 2 = x ( x − 6 ) ; en el intervalo [ 0,6] 3
9. Hallar la longitud de la curva y = x 2 ; en el intervalo [ 0, 4] 10. Hallar la longitud de la curva y 2 = x3 ; en el intervalo [ 0,8] 11. Hallar la longitud de la curva ay 2 = x3 ; en el intervalo [ 0,5a ] 12. Hallar la longitud de la curva 9 y 2 = 4 x3 ; del punto ( 0,0 ) al punto ( 3, 2 3 ) 3
13. Hallar la longitud de la curva y 2 = ( x − 2 ) ; en el intervalo [ 2,6] 3
14. Hallar la longitud de la curva y 2 = ( 2 x − 1) ; en el intervalo [ 0,5]
4.2 Cálculo de áreas. Si f es una función continua en un intervalo cerrado [ a, b ] y f ( x ) ≥ 0 para todo x en [ a, b ] , entonces el área limitada por el eje x, la grafica de f y las abscisas x = a y y = b , viene dada por:
A=
∫ f ( x ) dx b
a
Ejemplo 1: Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 , el eje de las x y las ordenadas x = −2 y x = 3 .
Solución: En la figura se muestra el área a determinar; Y
y = x 2
5
x=3
x=-2
75
X
Cálculo Integral 3
3
A=∫ −2 x dx = ⎡⎣ 13 x3 ⎤⎦ = −2 2
27 3
− ( − 83 ) = 353
Algunas veces es necesario encontrar el área de una región acotada por las gráficas de y = c y y = d y la de una ecuación de la forma
= f ( y ) , donde f es continua para todo y en [ c,d ] .
En este caso, por la forma de la grafica es necesario cambiar la variable de integración de la siguiente manera: A=
∫ f ( y ) dy d
c
Ejemplo 2: Hallar el área limitada por la parábola x = y 2 , el eje de las y y las abscisas y = −3 y x = 1 .
Solución:
Y
x = y 2
y =1 5
X
y=-3
A=
1
∫
−3
2 1 3 y dy = ⎡⎣ 3 x ⎤⎦
1 −3
= 13 − ( − 273 ) = 283
4.3 Áreas entre curvas. Si f y g son continuas en [ a,b] y f ( x ) ≥ g ( x) para todo x en [ a,b] . Entonces el área A de la región acotada por las gráficas de f, g, x = a y x = b , está dado por:
76
Cálculo Integral
∫ ⎡⎣ f ( x ) − g ( x)⎤⎦ dx b
A =
a
Ejemplo 3. Hallar el área limitada por la parábola y = 1 − x 2 y la recta y = x − 1 .
Y
y = x − 1
(1,0)
X
y = 1 − x 2
(-2,-3)
Solución: Resolviendo simultáneamente ambas funciones, encontramos que sus puntos de intersección son: ( −2, −3) y (1, 0 ) , siendo las abscisas de estos puntos, los límites de la integral. ∴A =
∫
1
⎡(1 − x 2 ) − ( x − 1) ⎤ dx = ⎦ −2 ⎣
1
1
−
−
2 2 3 ∫ 2 ( 2 − x − x ) dx = ⎡⎣2 x − 12 x − 13 x ⎤⎦ 2 = 9 2
Ejemplo 4. Hallar el área limitada por las parábolas 2 y = x2 ; y 2 = 16 x.
Y (4,8)
y 2 = 16 x 5
2 y = x 2
77 4
X
Cálculo Integral
Solución: Resolviendo simultáneamente ambas funciones, encontramos que sus puntos de intersección son: ( 0,0 ) y ( 4,8) , siendo las abscisas de estos puntos, los límites de la integral. ∴A =
4
∫ 0
⎡ 16 x − ( x 2 ) ⎤ dx = 32 ( ) 2 ⎦⎥ 3 ⎣⎢
Se sugiere como ejercicio para el alumno, realizar este mismo problema cambiando la variable de integración, A =
∫ f ( y ) dy usando como límites para la integral las ordenadas de los puntos de d
c
intersección.
Ejercicios tema 4.3.1
1. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 , el eje X y las rectas x = 1; x = 4. 2. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 + 4 x , el eje X y las rectas x = −4; x = −2. 3. Hallar el área limitada por la parábola y = 12 x 2 + x , el eje X y las rectas x = 1; x = 4. 4. Hallar el área limitada por la parábola y = 9 − x 2 , el eje X y las rectas x = 0; x = 3. 5. Hallar el área limitada por la parábola y = 4 x − x 2 , el eje X y las rectas x = 1; x = 3. 6. Hallar el área limitada por la parábola y = 5 x − x 2 , el eje X y las rectas x = 0; x = 4. 7. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 , el eje Y y las rectas y = 1; y = 4. 8. Hallar el área limitada por la parábola y = 4 − x 2 , el eje Y y las rectas y = 0; y = 3. 9. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 , el eje Y y las rectas y = 1; y = 4. 78
Cálculo Integral 10. Hallar el área limitada por la curva y = x3 , el eje Y y las rectas y = 1; y = 8. 11. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 + x + 1 , el eje X y las rectas x = 2; x = 3. 12. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 − 2 x + 2 , el eje X y las rectas x = −1; x = 3. 13. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 − 8 x + 15 , el eje X y las rectas x = 2; x = 5. 14. Hallar el área limitada por la parábola y = 2 x 2 − 4 x + 7 , el eje X y las rectas x = −1; x = 2. 15. Hallar el área limitada por la curva y = x3 , el eje Y y la recta y = 8. 16. Hallar el área limitada por la curva 3 y = x3 , el eje X y las rectas x = −2; x = 3. 17. Hallar el área limitada por la curva y = x3 , el eje X y las rectas x = 0; x = 4. 18. Hallar el área limitada por la curva y = x3 − 8 x , el eje X y las rectas x = 0; x = 2. 19. Hallar el área limitada por la curva y = 9 x − x3 , el eje X y las rectas x = −3; x = 3. 20. Hallar el área limitada por la curva y = x3 + 3 x2 + 2 x , el eje X y las rectas x = −3; x = 3. 21. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 y la recta 2 x − y + 3 = 0. 22. Hallar el área limitada por la parábola 32 y = 5 x 2 y la recta 4 y = 5 x + 80. 23. Hallar el área limitada por la parábola 32 y = 5 x 2 y la recta 16 y − 5 x = 20. 2
24. Hallar el área limitada por la parábola y = x 4 y la recta 3 x − 2 y − 4 = 0. 25. Hallar el área limitada por la parábola
= y 2 + 2 y y la recta x + 2 y = 0.
26. Hallar el área limitada por la parábola x = y 2 − 4 y la recta x = 0. 27. Hallar el área limitada por la parábola
= y 2 + 3 y y la recta
= 3 + y.
28. Hallar el área limitada por la parábola y = x 2 + 1 y la recta x + y = 1. 29. Hallar el área limitada por la parábola y = 4 − x 2 y la recta y = 4 − 4 x. 30. Hallar el área limitada por la hipérbola x 2 − 4 y 2 = 4 y la recta x = 6. 79
Cálculo Integral 31. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por la curva y = x3 y la recta y = 4 x. 32. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por la curva y = x3 − 3 x y la recta y = x. 33. Hallar el área limitada por las parábolas y = 2 x 2 + 1 ; y = x 2 + 5 . 34. Hallar el área limitada por las parábolas y = 9 − x 2 ; y = x 2 . 35. Hallar el área limitada por las parábolas y = 5 x − x 2 ; 2y = 5x − x 2 . 2
36. Hallar el área limitada por las curvas 4 y = x 2 ( 5 - x ) ; y = ( x − 2 ) . 37. Hallar el área limitada por las curvas = y 2 ( 4 - y ) ; x = 4 y − y 2 . 38. Hallar el área limitada por las curvas y 2 = 16 x ; y 2 = x3 . 39. Hallar el área limitada por las curvas 3 y 2 = 16 x ; x 2 + y 2 = 25 . 40. Hallar el área limitada por las circunferencias x2 + y 2 = 25; x 2 + y2 − 16 x + 39 = 0 . 41. Hallar el área limitada por las parábolas x 2 − 2 x − y − 3 = 0; x 2 − 6 x + y + 3 = 0 . 42. Hallar el área limitada por las parábolas y 2 = −4 ( x − 1) ; y 2 − 2 ( x − 2 ) . 43. Hallar el área limitada en el primer cuadrante por las curvas x2 + y 2 = 25; xy = 12. 44. Hallar el área limitada por las curvas y 2 = x + 6 ; x = 4 − y 2 .
4.4 Sólidos de revolución. Si una región del plano gira alrededor de una recta del mismo, se obtiene un sólido llamado sólido de revolución y se dice que el sólido está generado por la región. La recta alrededor de la cual gira la región, se llama eje de revolución.
4.5 Cálculo de volúmenes por el método de los discos.
80
Cálculo Integral Si la región acotada por la grafica (i) de x = y , por el eje Y y y = 9, gira alrededor del eje Y, genera un sólido como se muestra en la figura (ii), y el volumen del sólido de revolución generado
∫ b
2
se obtiene mediante: V = π ⎡⎣ f ( y ) ⎤⎦ dy a Y
Y
= y
5
4
X
X
(i)
(ii)
Si la región acotada por la grafica (iii) de y = x 2 , por el eje X y x = 3 , gira alrededor del eje X, genera un sólido como se muestra en la figura (iv) y el volumen del sólido de revolución generado se obtiene mediante: V =
∫ π ⎡⎣ f ( x )⎤⎦ b
2
dx
a
Y
y = x 2
Y
5
X
4
X
81
Cálculo Integral (iii)
(iv)
Por ejemplo, si f es una función constante, entonces la región es un rectángulo y el sólido generado es un cilindro circular recto. Si la grafica de f es un semicírculo tal que ( a, 0 ) y ( b, 0) con b>a son los extremos de uno de sus diámetros, entonces el sólido de revolución es una esfera de diámetro b-a. Ejemplo1. Sea f ( x ) = x 2 + 12 . Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la = 0 y x = 1 alrededor del eje X.
grafica de f entre
Y
X
Solución. El sólido se muestra en la figura, y su volumen se obtiene de la siguiente manera: V=
∫
b
π ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ a
2
∫
1
2
1
4 2 1 x + x + 4 ) dx = 47 π ( 60 ∫ 0
dx = π ⎡⎣ x 2 + 12 ⎤⎦ dx = π 0
Ejemplo 2. Sea f ( x ) = x 2 + 12 . Calcule el volumen del sólido generado al girar la región bajo la grafica de f entre y = 12 y y = 2 alrededor del eje Y. 82
Cálculo Integral
Solución. El sólido se muestra en la figura, y su volumen se obtiene de la siguiente manera: V=
∫
b
2
π ⎡⎣ f ( y ) ⎤⎦ dy = a
∫
2
1
π ⎡ y−
2
⎣
2
1
⎤ 2 ⎦ dy = π
2
∫ ( y − 1
2
1
2
) dy = 9 8
π
Y
X
Ejemplo 3. La región acotada por el eje Y y las gráficas de y = x3 , y = 1 y y = 8 gira alrededor del eje Y. Calcula el volumen del sólido resultante. V=
∫
b
2
π ⎡⎣ f ( y ) ⎤⎦ dy = a
∫
8
1
2
π ⎡ 3 y ⎤ dy = π
⎣
⎦
8
∫ 1
y
2
3
dy =
Y
X
83
93 π 5
Cálculo Integral
Ejercicios tema 4.5.1 1. La superficie limitada por y = 1 x , x = 1, x = 2, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 2. La superficie limitada por y = x 2 − 6 x, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 3. La superficie limitada por 2 y = x 3 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 4. La superficie limitada por y = 2 x , x = 9, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 5. La superficie limitada por y = 2 x , x = 9, y = 3, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 6. La superficie limitada por 5 y 2 = 32 x, x = 10, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 7. La superficie limitada por y 2 = 4 x, y 2 = 8 x − 4, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 8. La superficie limitada por y 2 = 4 x, y 2 = 5 − x, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 9. La superficie limitada por y 2 = x3 , x = 4, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 3
10. La superficie limitada por y 2 = ( 2 − x ) , x = 0, x = 1, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 11. Hallar el volumen del elipsoide generado cuando la superficie limitada por el eje X y la mitad superior de la elipse 9 x2 + 25 y 2 = 225 gira alrededor del eje X. 12. La superficie en el primer cuadrante limitada por la derecha por x 2 + y 2 = 25 y por la izquierda por 16 x = 3 y 2 , gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 13. La superficie limitada por la elipse 3 x2 + 4 y 2 = 48 gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 84
Cálculo Integral
14. La superficie limitada por la elipse 9 x 2 + 16 y 2 = 144 gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 15. La superficie limitada por 4 x 2 − 9 y 2 = 36, x = 5, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 16.
La superficie limitada en el primer cuadrante por la curva x 2 y 2 + 9 y 2 − 12 = 0, y = 0, x = 0, x = 3, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado.
17. La superficie limitada por xy = 1, x = 1, x = 3, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 18. La superficie limitada por xy = 5, x + y = 6, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 19. La superficie limitada por ( x − 1) y = 2, x = 2, x = 5, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 20. La superficie limitada por ( 4 + x 2 ) y = 8, x = 0, x = 2, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 21. La superficie limitada por (16 + x2 ) y 2 = x − 2, x = 4, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 22. La superficie limitada por ( 9 + x2 ) y 2 = 9 − x2 , gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 23. La superficie limitada por y = e x , x = 0, x = 2, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 24. La superficie limitada por y = e− x , x = 0, x = 5, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 25. La superficie limitada por y = e− x , x = 0, y = 0, gira alrededor del eje X. Hallar el volumen generado. 26. La superficie limitada por y = x 2 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 27. La superficie limitada por 8 y = x 2 , y = 2, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 85
Cálculo Integral 28. La superficie limitada por 16 − y = x 2 , y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 29. La superficie limitada por y = x 3 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 30. La superficie limitada por 2 y = x 3 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 31. La superficie limitada por 4 y = x 3 , x = 2, y = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 32. La superficie limitada por y = 4 x 2 ; y2 = 5 − x, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 33. La superficie limitada por y 2 = 2 x + 4, x = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 34. La superficie limitada por y 2 = 9 − x, x = 0, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 35. La superficie limitada por 2 y 2 = x3 , y = 0, x = 2, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 36. La superficie limitada por y 2 = x3 , y = 0, x = 4, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 37. La superficie limitada por 9 x 2 + 16 y 2 = 144, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado. 38. La superficie limitada por 3 x 2 + 4 y 2 = 48, gira alrededor del eje Y. Hallar el volumen generado.
4.6 Cálculo de momentos, centros de masa y trabajo. Deseamos encontrar el centro de masa de una lámina delgada de cierto material con densidad constante y forma irregular. El centro de masa de un sistema de partículas es el punto en el que podría concentrarse toda la masa sin alterar los momentos del sistema con respecto a los ejes coordenados. 86
Cálculo Integral Consideremos una lámina que tiene la forma de una región ilustrada en la figura, donde f es continua en [ a, b ] . Y
y = f(x)
x=b
x=a
X
Si la densidad es ρ , la masa de la lámina se define por medio de:
∫ f ( x ) dx b
m = ρ
a
El momento Mx de la lámina con respecto al eje X se define por medio de: x
∫ b
= ρ
a
1 2
2
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx.
Análogamente, El momento My de la lámina con respecto al eje Y se define por medio de: y
Las coordenadas
∫ x f ( x ) dx. b
= ρ
a
y y del centro de masa de la lámina se definen mediante: m
x = M y
y m y = M x.
Si sustituimos las formas integrales de m, M x y M y y despejando x y y , obtenemos: x f ( x ) dx ∫ x = ∫ f ( x ) dx
∫ y = b
b
a
a
b
2
1 2
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx
∫ f ( x ) dx b
a
a
Por tanto, el centro de masa será el punto P ( x, y ) . 87
Cálculo Integral Ejemplo1. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por los ejes cartesianos y la recta: 3 x + 4 y = 24. Y
5 3x + 4y = 24
5
b
∫ ∫
x =
a
8
x f ( x ) dx
b
y =
∫
=
8
0
2
1 2
a
0
f ( x ) dx
a
b
∫ ∫
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx
∫
b
=
81 0 2
∫
8
∫ 0
f ( x ) dx
a
⎛ 24 − 3 x ⎞ ⎟ dx ⎝ 4 ⎠ = ⎛ 24 − 3 x ⎞ ⎜ 4 ⎟ dx ⎝ ⎠
1 4
x ⎜
X
8
∫ ( 24 x − 3x ) dx ∫ ( 24 − 3x ) dx 0
8
1 4
2
⎛ 24 − 3 x ⎞ ⎜ 4 ⎟ d x ⎝ ⎠ = ⎛ 24 − 3 x ⎞ ⎜ 4 ⎟ d x ⎝ ⎠
2
1 32 1 4
=
8 3
0
8
∫ ∫ ( 24 − 3x ) dx
2 24 − 3x ) dx ( 0 8
= 2
0
∴ El centro de masa es el punto P ( 83 , 2)
Ejemplo 2. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y = x 2 ; y las rectas: y = x 2 ;
x + y = 6, y = 0, x = 3.
∫ x = ∫
b
a
x f ( x ) dx
b
∫ y =
a
0
f ( x ) dx
a
b
∫ =
2
2
⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ dx
∫ b
a
( x 2 ) dx +
f ( x ) dx
=
2 3
2
0
2
1 2
3
∫ x ( 6 - x ) dx ∫ ( x ) dx + ∫ ( 6 - x ) dx x
=
38 3 37 6
=
76 37
2
1 2
2
∫0 ( x )
2
3
∫ dx ∫ ( x ) dx + ∫ ( 6 - x ) dx 2
2
0
2
dx +
1 2
2
(6 - x)
3
2
88
2
=
281 30 37 6
=
281 185
Cálculo Integral 76 281 ∴ El centro de masa es el punto P( 37 , 185 )
Y
5
x+y=6
x=3
5
X
Trabajo. En mecánica, el trabajo realizado por una fuerza constante F que causa un desplazamiento d es el producto Fd . Cuando F es variable, esta definición conduce a una integral. En esta ocasión vamos a considerar dos casos: Trabajo de bombeo.
Supongamos que deseamos saber el trabajo que se realiza al vaciar un aljibe
cuya forma es la de un sólido de revolución con eje vertical. Consideremos que el eje X de la curva que gira sea vertical y que el eje Y esté en el plano de la parte superior del aljibe.
Y
a
b
X
89
Cálculo Integral El trabajo realizado al vaciar un aljibe en forma de un sólido de revolución, de manera que la superficie del líquido pase desde la profundidad a hasta la profundidad b, siendo W el peso de la unidad cúbica del líquido viene dado por la fórmula:
∫
Tr abajo = W π
b
y 2 x dx ,
a
donde el valor de y debe sustituirse en términos de x obtenido de la ecuación de la curva que gira. Ejemplo 1. Calcular el trabajo que se realiza bombeando el agua que llena un aljibe hemisférico de 5m de hondo.
Y
X
Solución. La ecuación del círculo es: x2 + y 2 = 5, W = 1000, los límites son: x = 0 y x = 5. ∴ Trabajo = W π d
∫
b
a
2
y x dx = 1000π
5
∫ 0
2
⎡ 25 − x 2 ⎤ x dx = 156250π Kgm. ⎣ ⎦
Ejercicios tema 4.6.1 1.
Hallar el centro de masa de la superficie limitada por los ejes cartesianos y la recta:
4 x − 5 y = 20. 2.
Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el triángulo cuyos vértices son:
A ( 0,0 ) , B ( 4,0) y C ( 6,3) .
90
Cálculo Integral 3. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el triángulo rectángulo formado por las rectas y = x; x = 1; y = 0. 4. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y = x 2 ; y la recta 2 x − y = −3. 5.
Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y = 4 x − x 2 ; y la recta
2 x − y = 3. 6. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y = 6 x − x 2 ; y la recta y = x. 7. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la parábola x 2 + 4 y − 16 = 0 y el eje X. 8.
Hallar
el
centro
de
masa
de
la
superficie
limitada
por
la
parábola
4 y = x 2 , el eje X y la recta x = 2. 9.
Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por las
circunferencias x 2 + y 2 = 4 x y x2 + y 2 = 4. 10.
Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la parábola x2 − 8 y = 0 y la
circunferencia x2 + y 2 = 128. 11. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva: y = x3 ; y las rectas x = 2, y = 0.
12. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva y = x3 ; y la recta y = x. 13. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva y =
1
x3
y hacia la derecha de la recta x = 1. 14. Hallar el centro de masa de la superficie limitada en el primer cuadrante por la curva y = x3 − 3x
y la recta x = y.
15. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = 4 x − x3 y el eje X. 91
Cálculo Integral 16. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el lazo de la curva y 2 = 4 x 2 − x3 . 17. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y 2 = 4 x2 − x3 arriba del eje X. 18. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = sen x, y las rectas y = 0, x = 0, x = π 2 .
19. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por el primer arco de la curva y = sen 2 x, y el eje X. 20. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = cos x, y las rectas y = 0, x = 0, x = π 2 .
21. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = e x , y las rectas y = 0, x = 0, x = 1.
22. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = e− x , y las rectas y = 0, x = 0, x = 1.
23. Hallar el centro de masa de la superficie limitada por la curva y = ln x , y el eje X. 24. Una cisterna cilíndrica vertical de 6 m de diámetro y 5 m de profundidad está llena de agua. Calcular el trabajo al bombear el agua hasta el borde de la cisterna. 25. Una cisterna cónica que tiene 5 m de diámetro superior y 5 m de profundidad está llena de agua. Calcular el trabajo de subir el agua 3 m más alto que el borde. 26. Un tanque hemisférico de 5 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800 Kg m3 . Calcular el trabajo de subir el petróleo hasta el borde del tanque. 27. Calcular el trabajo que se hace al vaciar un aljibe semielipsoidal lleno de agua. La parte superior es un círculo de 3 m de diámetro y 2 m de profundidad.
92
Cálculo Integral 28. Un tanque hemisférico de 5 m de diámetro está lleno de petróleo que pesa 800 Kg m3 . El petróleo se bombea, hasta un nivel 2 m más alto que el borde del tanque, mediante un motor de 1
2
h p . ¿Cuánto tiempo se tardará en vaciar el tanque?
29. Un aljibe cónico que tiene 2.5 m de diámetro superior y 2 m de profundidad está lleno de un líquido que pesa 1280 Kg m3 . Calcular el trabajo de subir el líquido hasta el borde del tanque. 30. Un tanque para agua tiene la forma de un hemisferio de 6 m de diámetro coronado de un cilindro del mismo diámetro y 2 m de altura. Calcular el trabajo que se hace al vaciarlo con una bomba cuando está lleno hasta 0.5 m debajo del borde.
93
Cálculo Integral
INTEGRALES IMPROPIAS
Definición de integral impropia.
Integral impropia de 1ra clase.
Integral impropia de 2da clase.
94
Cálculo Integral
CAPITULO V INTEGRALES IMPROPIAS 5.1 Definición de integral impropia. En el capitulo III, al referirnos a la integral definida
∫ f ( x ) dx, supusimos que el intervalo [a, b] b
a
tenía longitud finita y que f era continua, no obstante, en algunos casos encontramos integrales que no poseen estas características. En este capitulo final, trataremos una clase de integrales llamadas impropias. Nos referiremos como integrales impropias de primera clase, a las integrales definidas en las que uno o ambos límites de integración es infinito, y como integrales impropias de segunda clase, cuando el integrando tiene una discontinuidad infinita en los límites de integración.
5.2 Integrales impropias de primera clase. Si quisiéramos hallar el área de la región limitada por: y = x1−1 , x = 2, y = 0. Y
y = 1/(x-1)
c
a
X
Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ a, +∞ ] , el área bajo la gráfica de f entre a y + ∞ está dada por: Área =
∫
+∞
0
f ( x ) dx =
lim
c →+∞
∫ f ( x ) dx
95
c
a
Cálculo Integral Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ −∞, +b] , el área bajo la gráfica de f entre −∞
y b está dada por: Área =
∫
b
f ( x ) dx =
−∞
lim
c →−∞
∫ f ( x ) dx b
c
Y
y=-1/x X b
Si f es una función continua no negativa en un intervalo infinito [ −∞, +∞ ] , el área bajo la gráfica de f entre −∞
y +∞ está dada por: Área =
∫
+∞
∞
f ( x ) dx =
lim
c →−∞
∫
b
c
f ( x ) dx +
lim
c →+∞
∫ f ( x ) dx c
a
Cuando los límites existen, se dice que la integral impropia es convergente, en caso de que los límites no existan la integral es divergente. Ejemplo 1. Evaluar:
+∞
∫ 2
∫
Solución: Ejemplo 2. Evaluar:
+∞
∫
Solución:
1
2
d x
x
+∞
1
2
x
1
d
x 2
∫
+∞
2
1 x 2
dx = lim
c →+∞
d x = lim
c →+∞
∫ c
c
1
c
∫ c
dx = lim [ ln x ]2 = lim ( ln c − ln 2 ) = +∞
x
c →+∞
1
2 2 x
c →+∞
c
dx = lim ⎡⎣− x1 ⎤⎦ 2 = lim ( 12 − 1c ) = 12 c →+∞ c →+∞
96
Cálculo Integral Si esta integral representa el área de la superficie limitada por y = x1 , x = 2, el eje X, entonces, una 2
región infinita, es decir, que no está acotada, puede tener un área finita. Ejemplo 3. Evaluar:
0
∫
−∞
e2 x dx
∫
Solución: Ejemplo 4. Evaluar: Solución:
0
−∞
e 2 x dx =
lim
c →−∞
0
∫
e2 x dx =
c
0
lim 12 ⎡⎣e2 x ⎤⎦ c = lim ( 12 − 12 e 2c ) = 12
c →−∞
c →−∞
+∞
∫ 2 x dx −∞
∫
+∞
−∞
2x dx = lim
c →−∞
∫
0
2x dx + lim
c →+∞
c
∫ 2x dx = lim ( −c ) + lim ( c ) = 0 c
0
2
c →−∞
2
c →+∞
5.3 Integrales impropias de segunda clase. Existe otro tipo de integrales impropias, cuando el integrando tiene una discontinuidad infinita en los límites de integración. Por ejemplo, si quisiéramos encontrar el área de la región limitada por: 1
y = x −1 , x = 1, x = 2, y = 0. Y
y = 1/(x-1)
1
2
X
Como la gráfica tiene una asíntota vertical en x = 1, la región mencionada no esta acotada, es decir, se prolonga al infinito en dirección vertical.
97
Cálculo Integral Si f es una función continua no negativa en un intervalo (a, b ], el área bajo la gráfica de f está dada por:
b
∫
f ( x)
a
dx = lim
u →a+
b
∫ f ( x ) dx u
Si f es una función continua no negativa en un intervalo [a, b ), el área bajo la gráfica de f está dada por:
b
∫
( x ) dx = ulim →b
−
a
u
∫ f ( x ) dx a
Si f es una función continua no negativa en un intervalo [a, b ], excepto en un punto c en ( a, b ) ,el área bajo la gráfica de f está dada por:
∫
b
a
2
∫
Ejemplo 5. Evaluar:
1
2 0 x
f ( x ) dx =
lim
u → c−
∫
u
a
f ( x ) dx +
lim
u →c +
∫ f ( x) dx b
u
d x
El integrando es discontinuo en x = 0, entonces:
∫
2
1
d x = lim
2 0 x
Ejemplo 6. Evaluar:
u →0+
2
∫ 0
d x 4−
2
∫
2
dx = lim ⎡⎣ − x1 ⎤⎦ u = lim ( u1 − 12 ) = +∞
1
2 u x
u → 0+
u →0 +
2
El integrando es discontinuo en x = 2, entonces:
∫
d x = lim u →2 4 − x 2
2
−
0
Ejemplo 7. Evaluar:
4
∫ 0
u dx = lim ⎡s e n −1 ( x2 ) ⎤ = lim ( s e n −1 u2 ) = s e n −1 1 = π 2 ⎦ 0 u →2 4 − x2 u→2 ⎣
∫ u
−
0
−
d x 2 ( x − 2 )
El integrando es discontinuo en x = 2, el cual está dentro de ( 0, 4 ) , entonces:
∫
4
0
dx 2 = lim ( x − 2 ) u →2
−
∫
u
0
dx 2 + lim ( x − 2 ) u →2
+
4
∫ u
u 4 dx 1 ⎤ 1 ⎤ ⎡ ⎡ = + = +∞ − − lim lim 2 u → 2 ⎣ x − 2 ⎦ 0 u→2 ⎣ x − 2 ⎦u ( x − 2) −
98
+
Cálculo Integral
Ejercicios tema 5.3.1 Evaluar las siguientes integrales: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
+∞ d x
∫ 2
x
+∞
∫ 2
+∞
∫ 0
+∞
∫ 0
2
e − x dx
12.
x e−2 x dx
13.
e
+∞
∫ 0
− x 2
x
+∞
∫ 1
11.
dx
2− x dx
2−2 x d x
+∞
∫ 5
d x x −1
14. 15. 16. 17.
+∞ x dx
∫ 5
3
4 − x 2
+∞ 2 d x 2 3 x + 4
∫
+∞
∫ e
x
d x ln x
18. 19. 20.
0 e x dx x −∞ 1+ e
∫ 5
∫
21.
d x
−∞ ( 2 − x )
0
∫
−∞
0
∫
−∞
1
x 2 e x 2 x
−∞
∫
−∞ +∞
∫
−∞
+∞
∫
−∞ +∞
∫
dx
x e x
∫ e +∞
22.
2
e
dx
dx
− x
23. 24. 25.
dx
26.
2 x dx
(3 x +1) 2
e
27.
3
− x 2
dx
d x
28. 29.
−∞ 9+ x 2 +∞
5
∫ 2 ( d2) − x +
3
∫
2
d x
3 −1 x +1
−2
∫ 5
x dx x 2 − 4
−
5
∫ 2
x dx x 2 − 4
2
∫ 0
d x 2 − x
0
∫ 4 ( d 3) x
− x +
+∞
∫ 0 3
∫ 1 3
2
d x x 2
x dx x 2 −1
∫ 1 1d −
+∞
∫
x
x
− x
30. ∫ 0 ln x dx
d x −∞ 1+9 x 2
99
Cálculo Integral
Requerimientos algebraicos Por todos es sabido que el álgebra constituye un elemento básico para el estudio del Cálculo y es ahí, justamente, donde el alumno presenta generalmente los mayores obstáculos para la comprensión del Cálculo. Por ello, hemos creído conveniente incluir esta sección, donde el alumno encontrará algunos elementos más representativos del álgebra que le pueden ser útiles al momento de realizar los ejercicios sugeridos en el presente texto. 1. Productos notables: •
2 ( a ± b ) = a 2 ± 2ab + b 2
•
3 ( a ± b ) = a 3 ± 3a 2b + 3ab 2 ± b3
•
( a + b )( a − b ) = a 2 − b2
•
( ± a )( x ± b ) = x 2 + ( ± a ± b ) x + ( ± a )( ± b)
2. Teoría de los exponentes: •
n m n+ m ( x) ( x) = ( x)
•
n m n− m ( x) ÷ ( x) = ( x)
•
⎡( x ) n ⎤ = ( x )( n ) (m) ⎣ ⎦
•
m
•
m
n ( ) = ( x )
a ( x) b( y)
n
m
=
n
m
a ( x)
n
( y)
b
−m
=
a( y)
−m
b ( x)
−n
=
a b ( x)
100
−n
( y)
m
Cálculo Integral •
x n x
n
= x n −n = x 0 = 1
3. Descomposición en factores. •
ax 3 + bx 2 + cx = x ( ax 2 + bx + c )
•
a ( x + y ) + b ( x + y ) = ( x + y )( a + b )
•
x 2 − y 2 = ( x + y )( x − y)
•
x3 ± y 3 = ( x ± y ) ( x 2 m xy + y 2 )
•
x 2 ± 2 xy + y 2 = ( x ± y )
•
x3 ± 3 x 2 y + 3xy 2 ± y 3 = ( x ± y )
•
x 2 ± bx ± c = ( x ± d )( x ± e ) .
2
3
El signo del segundo término del trinomio será el signo
del primer binomio; el producto de los signos del segundo y tercer término del trinomio será el signo del segundo binomio; si los signos en los binomios son iguales, entonces: d + e = b y ( d )( e ) = c; si los signos en los binomios son diferentes, entonces: d − e = b y ( d )( e ) = c. •
2
ax 2 ± bx ± c = ( ax ) ± b ( ax ) ± ( a )( c ) . Después
dividiendo al final entre b.
101
se resuelve como el caso anterior,
Cálculo Integral
APENDICE II Formulario de trigonometría 1. Funciones trigonométricas de los ángulos agudos en triángulos rectángulos. •
sen =
•
cos =
•
tan =
cat. opuesto hipotenusa cat . adyacente hipotenusa cat. opuesto cat . adyacente
2. Identidades trigonométricas fundamentales. •
Recíprocas: senθ cscθ = 1;
•
Pitagóricas: sen2θ + cos2 θ = 1; sec2 θ − tan 2 θ = 1; csc2 θ − cot2 θ = 1.
•
Cocientes: tan θ =
senθ
cos θ
;
cosθ secθ = 1;
cot θ =
cos θ senθ
tan θ cot θ = 1.
.
3. Fórmulas para el ángulo negativo. •
sen ( −θ ) = − senθ ;
cos ( -θ ) = cos θ ;
tan ( -θ ) = − tan θ .
4. Fórmulas para la mitad de un ángulo. • sen θ2 =
1 − cosθ ; 2
cos θ2 =
1 + cosθ ; 2
tan θ 2 =
1 − cosθ . 1 + cos θ
5. Fórmulas para el doble de un ángulo. •
sen2θ = 2senθ cos θ ;
cos 2θ = cos2 θ − sen2θ ;
6. Fórmulas para la suma de dos ángulos. •
sen (θ ± φ ) = senθ cos φ ± cos θ sen φ .
102
2tan θ tan 2θ = 2 . 1-tan θ
Cálculo Integral •
cos (θ ± φ ) = cos θ cos φ m senθ sen φ .
•
tan (θ ± φ ) =
tan θ ± tan φ . 1 m tan θ tan φ
7. Fórmulas para productos. 1
•
) ⎤⎦ . senθ cos φ = 2 ⎡⎣ sen (θ + φ ) + sen (θ − φ
•
senθ senφ = 2 ⎡⎣ cos (θ − φ ) − cos (θ + φ )⎤⎦ .
•
cosθ cos φ = 12 ⎡⎣ cos (θ + φ ) + cos (θ − φ ) ⎤⎦ .
1
8. Fórmulas de factorización. cos θ ±2φ .
•
senθ ± senφ = 2cos
•
cosθ + cosφ = 2 cos θ +2φ cos θ −2φ .
•
cos θ − cosφ = 2s en θ +2φ s en φ −2θ .
θ mφ
2
9. Ley de senos. •
a senA
=
b senB
=
c
.
senC
10. Ley de cosenos. •
a 2 = b 2 + c 2 − 2bc
cos A.
•
b 2 = a 2 + c 2 − 2ac
cos B.
•
c 2 = a 2 + b 2 − 2ab
cos C.
11. Propiedades logarítmicas. •
ln (φθ ) = ln φ + ln θ .
•
ln ( θ φ ) = ln φ − ln θ .
•
u
ln θ = ln θ u . 103
Cálculo Integral •
u
ln ( e ) = u;
e
ln ( u )
= u.
APENDICE III Resumen de Geometría Analítica 1. Coordenadas rectangulares. •
2 2 ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 )
d=
• P m ( x +2 x , y +2 y 1
•
m=
2
1
2
)
y1 − y2 1
− x2
2. Ecuación de la recta. • Conociendo dos puntos: ( y − y1 )( x2 − x1 ) = ( y2 − y1 )( x − x1 ) • Conociendo un punto y su pendiente: x
y
a
b
• Forma simétrica: +
( y − y1 ) = m ( x − x1 )
=1
• Forma pendiente-intercepción: y = mx + b • Forma general: Ax + By + C = 0. • Forma normal: x cosθ + y senθ − p = 0 • Condición de paralelismo: Si l1 // l2 , entonces: m1 = m2 • Condición de perpendicularidad: Si l1 ⊥ l2 , entonces: m1m2 = −1 • Ángulo entre dos rectas: tan θ =
m2 − m1
1 + m1m2
3. Ecuación de la circunferencia. • Con centro en el origen y radio r :
2
+ y 2 = r 2
104
Cálculo Integral 2
2
• Con centro en ( h, k ) : ( − h ) + ( y − k ) = r 2
• Forma general: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0
4. Ecuación de la parábola. • Con vértice en el origen y su eje coincide con el eje X:
2
= ±4 py
• Con vértice en el origen y su eje coincide con el eje Y: y 2 = ±4 p x 2
• Con vértice en ( h, k ) y eje paralelo al eje X: ( − h ) = ±4 p ( y − k )
2
• Con vértice en ( h, k ) y eje paralelo al eje Y: ( y − k ) = ±4 p ( x − h ) • Forma general y eje paralelo al eje X: Ax 2 + Dx + Ey + F = 0 • Forma general y eje paralelo al eje Y: Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
5. Ecuación de la elipse. • Constantes: eje mayor = 2a; eje menor = 2b; distancia entre focos = 2c; e = ac < 1;
longitud del lado recto =
2b 2 a
y c2 = a2 − b2 .
• Centro en ( 0,0 ) y eje principal horizontal: • Centro en ( 0,0 ) y eje principal vertical:
x 2
x 2 b2
• Centro en ( h, k ) y eje principal horizontal:
• Centro en ( h, k ) y eje principal vertical:
a2
+
+ y2 a2
y2 b2
=1
( x − h)
2
a2
( x − h) b2
=1
2
+
+
( y −k) b2
( y − k) a2
• Forma general: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0; AC > 0.
6. Ecuación de la hipérbola.
105
2
2
=1
=1
Cálculo Integral • Constantes: eje transverso = 2a; eje conjugado = 2b; distancia entre focos = 2c; e = ac > 1;
longitud del lado recto =
2b 2 a
y c2 = a2 + b2 .
• Centro en ( 0,0 ) y eje principal horizontal: • Centro en ( 0,0 ) y eje principal vertical:
x 2
x 2 b2
• Centro en ( h, k ) y eje principal horizontal:
• Centro en ( h, k ) y eje principal vertical:
a2
−
−
y2 b2
y2 a2
=1
( x − h)
2
a2
( x − h) b
2
=1
2
−
−
( y − k) b2
( y −k) a
2
• Forma general: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0; AC < 0.
7. Ecuación general de segundo grado con dos variables. • Forma general: Ax 2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 • Es una parábola si AC = 0. • Es una elipse si AC> 0. • Es una hipérbola si AC<0.
106
2
2
=1
=1
Cálculo Integral
APENDICE IV I. Formas racionales que contienen a + bu. 1. 2.
3.
4.
5.
u du
∫ a + bu u 2 du
∫ a + bu
1
=
⎡ a + bu − a ln a + bu ⎤⎦ + C b2 ⎣
=
1 ⎡1 2 ⎤ 2 a bu a a bu a a bu + − + + + 2 ln ( ) ( ) ⎥⎦ + C b3 ⎢⎣ 2
u du
∫ ( a + bu ) u 2 du
=
2
∫ ( a + bu )2
=
u du
1⎡ a
⎤ ln a bu + + ⎥⎦ + C b ⎢⎣ a + bu 2
1⎡
⎢ a + bu −
b3 ⎣
1⎡
⎤ − 2a ln a + bu ⎥ + C a + bu ⎦ a2
1 ⎤
a
∫ ( a + bu )3 = b2 ⎢⎢ 2 ( a + bu )2 − a + bu ⎥⎥ + C ⎣
du
⎦
1
u
a
a + bu
6.
∫ u ( a + bu )
7.
∫ u 2 ( a + bu ) = − au + a2 ln
8.
∫ u ( a + bu )2 = a ( a + bu ) + a2 ln a + bu + C
= ln
du
1
du
b
1
+ C a + ba u
1
+ C u
II. Formas que contienen a + bu 9.
∫
u a + bu du =
3 2 2 +C − + 3 2 bu a a bu ( )( ) 3 15b
10. ∫ u 2 a + bu du =
3 2 2 2 2 2 +C − + + b u abu a a bu 15 12 8 ( ) ) 3 ( 105b
107
Cálculo Integral 3
11. ∫ u n 12.
13.
14.
u du
∫ ∫ ∫
a + bu u 2 du a + bu
2 ( bu − 2a ) a + bu + C 3b 2
=
2 3b2u 2 − 4abu + 8a2 ) a + bu + C 3 ( 15b
2u n a + bu 2an u n −1 du = − b ( 2n + 1) b ( 2n + 1) ∫ a + bu a + bu
∫ u
16.
∫ u
17.
∫u
18.
∫ ∫
=
u n du
15.
19.
2u n ( a + bu ) 2 2an a + bu du = u n −1 a + bu du − ∫ b ( 2n + 3) b ( 2n + 3)
du a + bu
a
du
du a + bu
−a
=−
a + bu du
a + bu − a
ln
2
=
a + bu
n
1
=
+ C
a + bu + a a + bu
tan −1
−a
a + bu a ( n − 1) u
− n −1
+ C
si a < 0
b ( 2n − 3)
2a ( n − 1) ∫ u du
= 2 a + bu + a ∫
u a + bu
u
si a > 0
du n −1
a + bu
+C
+ C
3
( a + bu ) 2 b ( 2n − 5) a + bu du =− − a ( n − 1) u n −1 2a ( n − 1) ∫ u n −1
a + bu du un
III. Formas que contienen u 2 ± a 2 20. ∫ u 21.
22.
∫ ∫
2
2
u ±a
u 2 + a2
2
du =
du
u u 2 − a2 u
du
u
( 2u 8 2
2
±a
2
2
)
= u + a − a ln
2
2
u ±a −
a4
8
ln u + u 2 ± a2 + C
a + u 2 + a2
= u 2 − a 2 − a sec−1
u u a
+C
+C
108
Cálculo Integral
23. 24.
25.
26.
∫ ∫
u 2 ± a2 u
2
u ±a
2
du
∫ u
2
u +a
28.
∫ ( u
du
±a
2
)
3
2
(u
±a
2
)
3
2
2
a
u
u
a
a
± a 2u
=−
8
( 2u
+ C
+ C
u 2 ± a2
u
+ ln u + u 2 ± a 2 + C
a + u 2 + a2
1
2
±a2
1
du =
du 2
2
u ±a −
=−
u 2 ± a2 2
2
= sec−1
u 2 − a2
∫ u 2
u
+ ln u + u 2 ± a2 + C
u
= − + ln
2
du
∫ u
∫
=
u2 ± a2
=−
2
u 2 du
27.
29.
du
2
+ C
± 5a
2
u
±a 2 u 2 ± a2
)
3a 4 u ±a + ln u + u 2 ± a 2 + C 8 2
2
+ C
IV. Formas que contienen a 2 − u 2 30.
31.
32.
33.
34.
∫ ∫ ∫
a2 − u 2
du
u a2 − u2 u
du
2
u 2du
=−
a2 − u 2
∫ u
u 2 du
∫ u
u 2 du
2
a −u
2
a2 − u2
2
2
= a − u − a ln
a2 − u 2
=
u
u 2
− sen
a2 − u 2
u u a
+ sen
1
a + a2 − u2
a
u
= − + ln
=−
a + a2 − u 2
a2 − u2 a 2u
+C
+C u a
+C
+ C = −
1 a
+ C
109
cosh −1
a u
+ C
Cálculo Integral 35.
∫ ( a
2
−u
2
)
3
2
du = −
u
( 2u
8
2
± 5a
2
3a 4 − u a −u + sen 1 + C a 8
)
2
2
V. Formas que contienen 2au – u2 37.
∫
2
2au − u du =
u−a
2
2au − u +
2
2u 2 − au − 3a 2 38. ∫ u 2au − u du = 6 2
a2
2
cos−1 ⎛⎜ 1 −
u ⎞ ⎟+C a ⎠
cos−1 ⎛⎜ 1 −
u ⎞ ⎟+ C a ⎠
⎝
2
2au − u +
a3
2
⎝
∫
2au − u 2 du
40.
∫
2au − u 2 du
41.
∫
42.
∫
u du u ⎛ = − 2au − u 2 + a cos−1 ⎜ 1 − a ⎝ 2au − u 2
∫
( u + 3a ) u ⎞ u 2 du 3a 2 −1 ⎛ 2 − u=− au − u + d 2 cos 1 ⎜ ⎟ + C 2 a 2 2 ⎝ ⎠ 2au − u
39.
43.
44.
45.
u ⎛ = 2au − u 2 + a cos−1 ⎜ 1 − a ⎝
u
= −
u2
∫ u ∫
du
du 2
du =
u du
( 2au
− u
2
2au − u 2
)
3
au
2
⎞ ⎟ + C ⎠
a
⎞ ⎟+C ⎠
+ C
u
=
u ⎞ ⎛ − cos−1 ⎜1 − ⎟ + C a ⎝ ⎠
u
u ⎛ = cos−1 ⎜1 − a ⎝
2au − u 2
2au − u
2 2au − u 2
⎞ ⎟+C ⎠
2au − u 2
+ C
VI. Formas que contienen funciones trigonométricas 46. ∫ sen n u du = −
1
47. ∫ cos n u du = −
1
n
n
sen n
−1
u
cos u +
cosn −1 u sen u +
n −1 n n −1 n
∫ sen
n−2
∫ cos
n−2
110
u du
u du
Cálculo Integral 48.
∫
1
tan u du = n
n −
1 1
n
49. ∫ cot u du = − 50. ∫ sec n u du =
n −
1 n −1
51. ∫ csc n u du = −
tan n −1 u − ∫ tan n −2 u du cot n −1 u − ∫ cotn − 2 u du
1
secn−2 u tan u +
1 n −1
n −1
n− 2
∫ csc
u du
n−2
u du
sen ( m − n ) u
+
2 (m + n)
2 ( m + n)
54. ∫ sen mu cos nu du = −
n −1
sen ( m + n ) u
sen ( m + n ) u
∫ sec
n−2
cscn −2 u cot u +
52. ∫ sen mu sen nu du = − 53. ∫ cos mu cos nu du =
n−2
sen ( m − n ) u
+
+ C
2 ( m − n)
2( m − n)
+ C
cos ( m + n ) u cos ( m − n ) u − + C 2 ( m + n) 2(m − n)
55. ∫ u sen u du = sen u - u cos u + C 56. ∫ u cos u du = cos u + u sen u + C 57. ∫ u 2 sen u du = 2u sen u +
(2 −u2 )
58. ∫ u 2 cos u du = 2u cos u +
cos u + C
( u 2 − 2) sen u
+ C
59. ∫ u n sen u du = − u n cos u + n ∫ u n −1 cos u du 60. ∫ u n cos u du = u n sen u − n ∫ u n −1 sen u du 61. ∫ sen u cos u du = m
n
=
sen m−1 u
cosn+1 u
m + n senm +1u
cosn −1 u
m + n
m − n
+
+
m + n n −
1
m + n
111
∫ sen
∫ sen
m
m−2
u
u
cosn u + C
cosn−2 u + C
Cálculo Integral
VII. Formas que contienen funciones trigonométricas inversas 62.
∫ sen
63.
∫ cos
64.
-1
u du = u sen -1 u +
1- u 2 + C
−1
u du = u
cos−1 u − 1 − u 2 + C
∫ tan
−1
u du = u
tan −1 u − ln 1 + u 2 + C
65.
∫ cot
−1
u du = u
cot −1 u + ln 1 + u 2 + C
66.
∫ sec
-1
u du = u
sec-1 u - ln u +
67.
∫ csc
−1
u du = u
csc−1 u − ln u +
u2
-1 + C = u sec−1 u − cosh −1 u + C
= u csc−1 u + cosh −1 u + C
u2 −1 + C
VIII. Formas que contienen funciones exponenciales y logarítmicas 68.
∫ ue
69.
∫ue
70.
∫ua
71.
72.
du = eu
u
n u
n
u
C
∫
du = u n eu − n u n −1 eu du + C
du =
∫
eu du
∫
au du
un
un
( u − 1) +
u n au
= −
= -
ln a
−
n
u ln a ∫
eu
( n − 1) u n −1
+
n −1
au du + C
1 n −1
eu du
∫ u
n −1
ln a a u du + n -1 ∫ u n -1
au
( n -1) u n-1
73. ∫ ln u du = u ln u + C 74. ∫ u ln u du = n
u n+1
( n + 1)
2
( n + 1) ln u − 1 u +
112
C
Cálculo Integral du
75.
∫ u
76.
∫ e
au
77.
∫ e
au
ln u
= ln ln u + C
sen nu du =
cos nu du =
eau a 2 + n2 eau a 2 + n2
( a sen nu − n cos nu ) +
C
( a cos nu + n sen nu ) +
C
IX. Formas que contienen funciones hiperbólicas 78. ∫ senh u du = cosh u + C 79. ∫ cosh u du = senh u + C 80. ∫ tanh u du = ln cosh u + C
81. ∫ coth u du = ln senh u + C 82. ∫ sech u du = tan −1 ( senh u ) + C 83. ∫ csch u du = ln tanh
1 2
u +C
84. ∫ sech 2 u du = tanh u + C 85. ∫ csc h 2 u du = − coth u + C
86. ∫ sech u tanh u du = − sec h u + C 87. ∫ csch u coth u du = − csc h u + C 1
1
4
2
88. ∫ sech 2 u du = senh u − 1
1
4
2
u+ C
89. ∫ csch2 u du = senh u + u + C 90. ∫ tanh 2 u du = u − tanh u + C
113
Cálculo Integral 91. ∫ coth 2 u du = u − coth u + C
92. ∫ u senh u du = u cosh u − senh u + C 93. ∫ u cosh u du = u senh u − cosh u + C 94. ∫ e senh nu du = au
95. ∫ e cosh nu du = au
eau a 2 − n2 eau a 2 − n2
( a senh nu − ( a cosh
n
cosh nu ) + C
nu − n senh nu ) + C
114
Cálculo Integral
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PARES CAPITULO I Ejercicios tema 1.1 2.
∆ y
= 0.0124
8.
∆ y
= - 0.9600
4.
∆ y
= - 0.0083
10.
∆ y
= - 0.0045
6.
∆ y
= 0.1990
Ejercicios tema 1.4 12. 14. 16.
dy dy
dy
22.
= 14 x dx 4 2 = ⎛⎜ x − 5 +
3
⎝5
5
x
− 65
⎞ ⎟ d x ⎠
dy
24.
dy
= cos2 (1 − 2 x ) dx
26.
dy
= −
28.
sec2 dx dy = (1 − tan 2 x )
30.
dy
0.4913
dx
=
2 x + 3
( 6 x − 10 x ) dx 2
18. 20.
dy
dy
=
= −2 cot ( x 2 − a 2 ) csc2 ( x2 − a2 ) dx
3 − 4 x
dx
(1 + x 2 )
= − 3e3 x sen 2e3 x dx
= 6 x sen 2 x2 cos x2 dx
Ejercicios tema 1.5 32.
0.1049
40.
34.
4.3333
42.
36.
3.1111
44.
38.
0.5529 115
a) V = 8120 cm3 , b) A = 404 cm2 62.8300 lts
Cálculo Integral
CAPITULO II Ejercicios tema 2.3.1 2.
2 3
4.
3
3
+
y
3 y 3
3θ − 5
6
6.
+ C
2
θ +
2
1
2
8.
− 4 x + C
5
3
−
4 1
2
12.
2
6
17
10.
4θ + C
17
6
−
2
4
x
3
2
+ C
2
1
2 ln x + 2 x + C
Ejercicios tema 2.3.2 2. 4.
( t 2 − 2 )
3
6
+ C 5
3
8.
3
− ( 8 − x ) + C 5
3
6.
18.
(1 − 2 x )
−
2
+ C
3 2 ( x − 3)
−
16.
−
1 2
2 e x + C
22.
− e
24.
3 e tan 2 x + C
26.
−
cos x
+ C
ln (1 + e− x ) + C
+ 1+ C
ln ( x 2 − 2 x ) + C
a + e x
28.
ln
30.
102 x + C 2ln10
32.
10 x + C 2 ln10
34.
3 x 3− x + 2 x − + C ln 3 ln 3
12. ln ( x + 1) + C 14. ln
3
e −3 x + C
20.
2
10. 2 ( x + 3x ) + C
2
1
+ C 1
2
−
116
a − e x
+ C
3
x 1
a
a
+ 9 x + 3 ln x + C
2
14.
3
+ C
Cálculo Integral 1
−
36.
cos3 + C
3 1
38.
68.
cos ( 2 − 3 ) + C
3
⎛ x + 1 ⎞ ⎟ + C ⎝ 2 ⎠
1
tan −1 ⎜
2
2 x − 2 + C 2 x
70. ln
3
40.
1
sen 5 x + C
20
cos θ 42. − + C 4
74.
44. ln cos e− x + C
76.
4
46.
tan 6 2 x + C 12 sen θ 2 + C
48. ln 50. ln 2 52.
1
54.
2
3
3
sen θ + C
ln ( sec e−3 x + tan e−3 x ) + C 3
7 3
2 −1 2 x x ln 1 tan + + + ( ) 72. 3
4
−1 ln 55 x x + 1
(
1
)
20
+ C
−c + C ln ax ax + c
b
2ac
x − 1 x + 3
(
)
1
4
+ C
78.
ln
80.
x + 1 ln 33 x + 3 + C
82.
−3 ln 22 x x + 1
84.
2 x + 1 +C 3
1 16
( ) ln ( 33 +− 22 x x )
1 12
− ln ( 4
2
1
− 4 x − 3) 8 + C
+ C
2
sec θ + C 86.
ln 3 + 5 x + C 3 − 5 x
1
2 15
56. − sec ( 2 − θ ) + C 58.
−
1 2
(
88. ln 4 − x
tan (1 − 2 x ) + C
90. 2
2
60. ln csc x − cot x + C 62.
−
64.
1
2
b
66.
1
1 4
csc 2θ + C
ln
4
+ C
x
(6
− x ) 6x − x
(
94. ln
tan −1 ⎛⎜ x ⎞⎟ + C 2
96.
⎝
)
1
2
92. ln 3 x + 9 x + 4
cot ( a − bθ ) + C 3
x
⎠
117
(
2 2
)
1
2
3
+ C
+C
)
+ 1 + x2 + 2x + 5 + C
(
)
ln 2 − 1 + 2 x2 − 2 x + 1 + C
Cálculo Integral
7
98.
2 1 3 x + x + 1 + l n ⎛⎜ x + + x 2 + x + 1 ⎞⎟ + C 4 ⎝ ⎠ 2
(
2
100.
ln 5 + 25 x − 4
102.
b
106. 108. 110.
)
(
(
)
3
)
(
ln ( 3x + 2 ) + 9 x 2 + 12 x + 3 + C
3
(
2
ln 2 x − 1 + 4 x − 4 x − 3 1
2
sen −1
2
5 5
3
116.
6 sen −1 1
124.
4
−
1
4 x2 − 4 x − 3 + C
4
x + C
+ C
x − 3
3
6x − x2 + C
− 2
(
)
9 x2 + 4 + ln 3x + 9 x 2 + 4 + C
2
3
x − 1
1 4 2
x 2
126.
3
2
x2 − 2x + 5
2
122.
5
x − 2
sen−1
)
1
x+ C
se n−1
114.
120.
+ C
ln ( x + 1) + x 2 + 2 x − 3 + C
112.
118.
5
ln ax + a 2 x 2 − c 2 + C
a
104.
)
1
ax
2 x+1
2
)
(
2
+ ln ( x − 1) + x 2 − 2 x + 5 + C
⎡ 2 x − 1 2 x 2 − 2 x + 1 + ln ( 2 x − 1) + 2 x 2 − 2 x + 1 ⎤ + C ⎣⎢ ⎦⎥
)
(
(
2
2
25 − 4 − ln 5 x + 25x − 4 2 2
a x −c
2
2
−
c2 2
x + 2 x − 3 − ln
)
2
5
+ C
)
(
ln ax + a 2 x2 − c2 + C
(( x + 1) +
2
x + 2x − 3
118
)
2
+ C
Cálculo Integral 128. 1 ⎡ 2 ⎢( 3 x + 2 ) 9 x +12 x + 3 − 6 3⎣
130.
⎞⎤ ⎠⎦
ln ⎛⎜ ( 3x+ 2)+
9 x 2+12 x+ 3 ⎟ ⎥ + C
⎝
⎛ ⎞ − 9 x 2 + sen −1 ⎜ x ⎟ + C 4 2 3 ⎝2 ⎠
132.
x
134.
x
136.
2 x−1 4 − 2 x − 1 2 + sen−1 2 x−1 + C ( ) 4 2
2
5 − 3x 2 + 2 2
3
⎛ 3 ⎞ x⎟ + C ⎝ 5 ⎠
5
sen−1 ⎜
3
(
)
138.
x−3
140.
− ln cos x + cos2 x + 16 + C
142.
⎛ 2 + cos θ ⎞ ln ⎜ ⎟ ⎝ 2 − cosθ ⎠
144.
tan −1 ( tan θ ) + C
146.
1 + e x ln + C 1 − e x
148.
x 1 ⎛ x −1 2 ⎞ x +C 2 9 − 4 + 9 sen 2ln 2 ⎜⎝ 3 ⎟⎠
2
6 − x2 +
x −3 9 sen −1 2 3
(
1
150.
3
tan −1
( ) + C
)
−1
4
+ C
ln x + C 3
Ejercicios tema 2.3.3 2. 4.
1 9 x
2
sen 3 x −
sen 2x +
b b2 − a 2
(
a b
1 3 1 4
x
6.
cos 3x + C
8. −
c os 2x + C
cos ax sen bx − sen ax cos
θ2
2 x sen x + x +C b119
)
θ
cos 2θ + sen 2θ + 2 2
1 4
c os 2θ + C
2 x cos x − 2 sen x + C
Cálculo Integral 10.
12.
34.
1
x
4
2
+
1
1
x sen 6 x +
12
72
tan x + ln cos x +
14.
e
16. 18.
2
16π 2 − 1
sen π t +
4 cos π t ] + C
46.
24. −e ⎡⎣ x 2 + 2 x + 2 ⎤⎦ + C
48.
26. x ln3x − x + C
30.
3
x
4 1 4
32.
−1
θ+
θ3
3
1
2
[ 2 ln x − 1] + C
1
4
16
1
54.
1
[ 4 ln x − 1] + C
5
3
4 − θ 2 + C 2 3
4 − θ 2 +
2
sen−1
1
3
52.
+
θ
tan −1 θ + ln (θ 2 + 1) 6 −
x 3
50.
x 2 ⎡⎣ 2 ln 3 x − 3ln 2 x + 3ln x − 1⎤⎦ + C
1
3
1
( 2)
cos−1 θ2 +
θ 3
θ − θ 2 − 4 sen −1 ( 2θ −1 ) + C
2
3e x [ x − 1] + C − x
28.
⎡⎣96 ln 2 x − 4 x ln x + x ⎤⎦ + C 96
44. θ cos−1
2 [ x ln2 − 1] + C ln 2 2
22.
x3
42. θ sen
x
20.
x2 + a2 + C
−
x 2 + C
[5 sen π t − 25π cos π t ] + C
[16π
)
+ 1 ⎡⎣ ln ( x + 1) − 2⎤⎦ + C
38. 2 1
t
4
(
ln x + x 2 + a 2
40.
25π 2 + 1 e
cos 6 x + C
⎡ cos ( ln x ) + sen ( ln x ) ⎤⎦ + C
2⎣
36.
t
5
x
(
cot 2
−1
+ 1)
x+ 3
2
1 6
1
ln ( x + 1) 6 − 2
θ
2
+C
θ 2 + C 1 6
x 2 + C
( 3 x2 − 2) + C
ln ( t + 8) −
t 3
3
3 ( t 3 + 8)
+ C
Ejercicios tema 2.3.4 2.
x
4.
x
2
−
1 sen 2ax + C + 2 4a 3
6.
1 sen 2ax + C 4a
cos 2θ − 6
1 2
8.
1
10.
3
2
sen 2θ −
cos 2θ + C 120
3 8
6
sen3 2θ + C
+
1 32 a
sen 4 ax −
x +
1 32 a
sen 4 ax
8
12.
1
+
1 4a
1 4a
sen 2 ax + C sen 2 ax + C
Cálculo Integral
16.
18. 20.
⎡2 3 ⎢⎣ 3 cos bx −
1
14.
b
5
+
16
1 16
b ⎣ 64
4
1
2048
64
28.
1
( 2 ) − sen ( 2 )⎤⎥⎦ + C 4
θ
θ
30.
3
cos3 πθ ⎤⎥ + C ⎦
5 3
tan 2 θ − ln sec θ + C
2
[ sen 16θ − 8 cos 8θ + 48 θ ] + C
1 ⎡ 5 cos πθ − 5π ⎢⎣
24.
48
sen sen 3 2bx⎤⎥ + C ⎦ 1 ⎡4 3 26. s e n ⎢
sen 4x 2 + C
1 cos 2mt − cos 2mt + C 16m
1
1
2 ⎣3
3
48
22.
⎦
5
1 ⎡3 1 sen 4bx 4bx + sen 2bx 2bx − ⎢ sen
x 2 +
1
co cos5 bx − cos bx ⎤⎥ + C
1
sec5 ( θ 3 ) − sec3 ( θ 3 ) + C
5
32.
1 ⎡ 7 7 ⎤ 5 + t a n t a n π θ π θ ⎥⎦ + C 5 7π ⎢⎣
34.
2 tan tan θ + 2secθ − θ + C
Ejercicios tema 2.3.5
2. 4.
9 8
⎡ −1 ⎢⎣ sen
1
1
( x 2 − 16 )
5
8. 10. 12.
3
+
( 9 − x2 )
x
81
( 5 − 2 x2 )
20
6.
x
5
12
5
+ 5
1 125
(16 + 5x 2 )
⎛ 5 ln ⎜ ⎜ ⎝
5
−
16
9 − x 2 ⎤⎥ + C
x3
81
( 5 − 2x2 )
⎦
3
+C
16. 3 sen
3
+C
20. 16
( 16 + 5 x 2 )
75
x
5−
⎟+ ⎟ ⎠
2
3
+C
5 sec−1 ( x 5 ) + C
⎛ x 2 + 5 − 5 ⎞ 14. ln ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠
2
22.
1
24.
1
+ C
+ 5 + C
26.
4 − 9 x 2
−
2
x
⎛ 5 + 25 − x 2 ln ⎜ ⎜ x ⎝
5
⎛
+C
⎞ ⎟ + C ⎟ ⎠
⎞ ⎟ + C 2 x − 4 9 ⎝ ⎠
2 x
ln ⎜
3
8 3
2
121
−1 3 x
⎛ x + 2x2 − 5 ⎞ 2 x2 − 5 + C 2 ln ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ x x ⎝ ⎠ ⎛ x 3 + 3x 2 + 5 ⎞ 3x2 + 5 3 ln ⎜ + C ⎟ − ⎜ ⎟ x 5 ⎝ ⎠
18.
5 − 5 − x 2 ⎞
x 2 − 25 −
−
( x 2 − 16 )
3
+
3
27
sen
−1
3 x 4
−
x
16 − 3x 2 +C 2
⎛ 3 x + 9 x 2 − 4 ⎞ ln ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
1 8
9 x 2 − 4 + C
Cálculo Integral 28. 30.
1
2
x +9 −
x
2
x − 4
34.
4 x − 9
9 x + 25 + C 5 x
38.
1
40.
1
2 3
(4 − )
3
(x
3 1
42. 44.
7
3
− 9) + 9 x − 9 + C
( x2 + a2 )
3 2
2
2
3
− a2
⎛ 7 − 7 − 4 x 2 ln ⎜ ⎜ 2 x 7 ⎝
46.
2 27
48. −
25 128
sec
−1 2 x
3
x
3 x − 3
+
x
x2 + a 2 + C
⎞ ⎟ − ⎟ ⎠
7 − 4 x2 + C 14 x 2
4
x2 − 3 ⎞
50.
2 3
+ C
)
⎥ + C ⎥⎦
x2
x3
6 ( x + 2 )
( x2 + 4)
⎟ − ⎟ ⎠
3
2
⎛ x + x 2 + 4 ⎞ 1 ln ⎜ ⎟ + 304 x ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠
⎟ − ⎟ ⎠
25 x 2 + 16 ⎤
25
3
+
3 152
x x2 + 4 + C
70. −
122
5
+C
+ C
2
x3
68. 3 38
5
x2 + 2 ⎞
⎛x + 64. ln ⎜ ⎜ ⎝
3 ( 4 − x
( 8 + x2 )
− sen −1 x2 + C
4 − x 2
66.
4 x 2 − 9 + C 18 x 2
⎡ ⎛ 25 x 2 + 16 − 4 ⎞ ⎢ln ⎜ ⎟+ ⎟ 5 x ⎢⎣ ⎜⎝ ⎠
2 x + 2
⎛ x+ 62. ln ⎜⎜ ⎝
8
+ C
2
x
−
+ C
2
60.
− 4 4 − x2 + C
7
25 25 − x 2
58.
2
(8 + x2 ) x
+ C
x
36. −
7
56.
2
9
1
52.
+ C
4 x 2
2
⎛ x + x 2 + 9 ⎞ ln ⎜ ⎟+C ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠
54.
2
32.
9
3
+ C
x
9 x 2 − 3
+ C
x x 2 + 2 x 2
x − 3
+ C
+ C
Cálculo Integral
Ejercicios tema 2.3.6 2.
4.
6.
8.
10.
ln ⎛⎜
1
x − 3 ⎞
8
8
4 x − 10 ⎞ ⎟ + C + x 1 ⎝ ⎠
ln ⎛⎜
1 14
3 − x ⎞ ln ⎛⎜ ⎟ + C ⎝ x + 7 ⎠
1 10
⎛ x − 3 ⎞ ⎟ + C ⎝ x ⎠
1
( x − 3)
14. ln
18.
20. 22.
1 5
8
32.
ln
34.
1 3
x
x2
+
x 2 ( x − 2 )
( x + 2 )
26.
31
( x − 5 ) ln 7 + ( x − 2 )
C
3
13
3
20
2
C
2
42.
ln
44.
1 + 3x x + 1 ⎞ + C ln ⎛⎜ ⎟ − 1 + x x x ( ) ⎝ ⎠
46.
⎛ x − 2 ⎞ ln ⎜ ⎟ ⎝ x + 1 ⎠
x + 1 x
+ ln ( x − 1) − ln ( x + 3)
2
1
−
48. ln ( x + 3)
2
+C
+ C
x
1
27
9
+
1 3 ( x + 1)
+ C
x 2 27 + + − 6x + C 2 ( x + 3)
3
50. x −
1
2
ln ( x3 ( x + 4 )7 ) + C
1
+ C
) + C
3
⎛ ( x − 1) ⎞ ⎟ + C ln ⎜ ⎜ ( x + 2 ) 2 ⎟ ⎝ ⎠
ln ( 2 x − 5) +
2
40. ln ( + 1)
ln ( x3 + x 2 ) + C
29
+ C
2
2
24.
+ C
2
+ 4 x + C
⎛ ( x − 2 ) 7 ⎞ ln ⎜ ⎟ + C ⎜ ( x + 3) 2 ⎟ ⎝ ⎠ 1
x 2 − 1
4
2
2
ln ( + 2 ) −
− x3 ) + C
( x + 2 ) 38. ln + 2 3 1 − − x x ( ) ( )
x 2
ln ( ( − 3) ( x + 2 )
5
4
+
x − 1
1
5
⎞ ⎟ + C ⎟⎟ ⎠
27
5
( x − 1) 2 ( x − 3) 36. ln 7 ( x − 2 )
ln ⎜
6
ln (
30. ln
2 x − 5 ⎞ ⎟ + C ⎝ 2 x − 1 ⎠
ln ⎛⎜
1
⎛ x 2 − 4 18 ( ) 12. ln ⎜ 1 ⎜⎜ x 4 ⎝
16.
28.
⎟ + C ⎝ x + 5 ⎠
1 2
ln x + C
3x − 1 x ⎞ − + C ln ⎛⎜ ⎟ x ( x − 1) ⎝ x −1 ⎠
52. tan −1 ( + 2 ) − 123
1 + C x 2 + 4 x + 5
Cálculo Integral 2
3 ⎛ x − 2 ⎞ − + C 54. ln ⎜ ⎟ x−2 ⎝ x ⎠ ⎛ x ⎞ ln ⎜ ⎟ ⎝ x − 4 ⎠
56.
1
4
4
−
82. −
+ C
x−4
4 x + 7 58. ln + 1 + 2 + C 2 ( x + 1) 60. ln ( 2 + 1)
3
9
+
4
3
+ x + C
8 ( 2 x + 1) 4 12 x + 19 3 62. ln ( + 2 ) + 2 + C + x 2 ( ) 64. ln
66.
( x − 2 )
4
2
+
1
( x2 − 2 x ) 4
1
x − 1
2 x
41
36
ln ( + 3) ( x − 3)
2
67
−
3
70. ln ( x − 2 )( x + 1) +
72.
74.
1 8
1 4
76. −
78.
1 4
ln
ln
( x + 2 )
86.
1
80.
ln
2 1
1 x
ln
tan
− tan −1
( x -1)
23 + C 96. 6 x − 18
4 x + 2
+ C
5 x + 4 2 + C + x 1 ( )
−1
−1
x
( 4 x2 + 9) x
x 2 + 4
98.
1 2
x 2 + 1
ln
1 2
x
+ 12 tan −1 x3 + C
2
+ 52 tan −1 x2 + C
x2
+
2
x 2 + 2 x + 2
ln
2 x − 3
1 2
t an −1
x + 1
2
3
+ C
+ C
x − 1
+ C
+ tan −1 ( + 1) + C
2
⎛ x 2 + 4 ⎞ 100. ln ⎜ ⎟ + C − x 2 ⎝ ⎠
+ C
+ C
106. ln
+ tan x + C
tan ( x + 1) −
ln
x 2 + 1 x + 1
2
+ 2 ) + tan −1 x + C
(
3
x
+ x2 − x + C
2
+ 3 x ) −
108. − tan −1 x −
−1
1 2
(
104. 2 tan −1
2
x 2 + 2
− 2 tan −1 x + C
x + 1
ln
2
2
2
1 2
−
( x + 1)
92. ln ( − 2 ) + 32 ln x 2 +
110. 1 2
5
− 4 tan −1 ( x + 1) + C 102. ln x − 2 x + 4
x + 1
ln ( + 1) x + 4 + C
ln ( 2 x + 3) x 2 + 4 − 15 tan −1 x3 + C
2
x − 1
1 5
4x −1 + C 2x 94. ln ( − 1) − 2 tan −1 x −
3
2
68. ln ( 2 x + 1)( 2 x − 1) +
1
90. 3ln
2
+
84.
88.
tan −1 x2 −
4 10
+ C
124
x 2
2
−
1 x
8
( x
2
+ 4)
1 3 3
tan −1
x
3
−
1 + C 3 x
+ C − 4 ln ( x 2 + 4) + C
Cálculo Integral 112.
1
ln ( x 2 + 2 ) −
2
1
( x 2 + 2 )
+ C
114.
1 2
ln ( x 2 + 2 ) +
1 2 ( x 2 + 2)
CAPITULO III Ejercicios tema 3.4.1 2. 4.
1
8
30.
0
32.
1 3
34.
4 − π 2
36.
2
38.
2 3
2
64 3
6.
2 a3
8.
42
2 3
10.
4
12.
ln 3
14.
8
16.
3 − 15 8
40.
− ln 3
42.
π − 2
ln 2
44.
∞
18.
15
46.
0.3167
20.
1 128
48.
ln 2
22. 24.
3
170.53
50.
e
−π
6
(
3 − 1) + 2 6
∞
26.
2π − 6
28.
3 3 8 125
52.
1 2
54.
− 0.1534
+ C
Cálculo Integral
CAPITULO IV Ejercicios tema 4.1.1 2.
1.14
4.
1.79
6.
1.41
8.
6.92
10.
24.24
12.
14 3
14.
26.33
26.
32 3
28.
1 6
Ejercicios tema 4.3.1 2.
16 3
4.
18
6.
56 3
8.
14 3
30.
13.45
32.
7 4
45 4
34.
18 2
12.
24
36.
143 24
14.
21
38.
16.
19 12
256 15
40.
8.20
18.
12
42.
20.
59
8 3
22.
360
44.
29.81
24
1 3
10.
126
Cálculo Integral
Ejercicios tema 4.5.1 2.
1296 π 5
4.
126 π
6.
320 π
8.
20 π
10.
(π + 2 )
20.
π
22.
3π ( π − 2 )
24.
1 1 − e−10 ) ( 2
26.
8 π
15 π 4
28.
128 π
12.
124 π 3
30.
48 π 5
14.
48 π
32.
0.56 π
16.
π 2
34.
129
18.
64 π 3
36.
64 π
38.
32 π
12.
8⎞ ⎛8 ⎜ 15 , 21 ⎟ ⎝ ⎠
14.
(1.25 , 0.75)
16.
⎛ 16 ⎞ ⎜ 7 , 0⎟ ⎝ ⎠
18.
(1 , 0.39)
20.
( 0.57 , 0.39)
22.
( 0.41 , 0.34 )
3 π 5
Ejercicios tema 4.6.1 2.
⎛ 10 ⎞ ⎜ 3 , 1⎟ ⎝ ⎠
4.
⎛ 17 ⎞ ⎜1 , 5 ⎟ ⎝ ⎠
6.
8. 10.
⎛5 ⎞ ⎜ 2 , 5⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 3 3⎞ ⎜2 , 5⎟ ⎝ ⎠
( 0 , 4.56)
127
Cálculo Integral 24.
93750 π kg .m
26.
11458
1 π kg.m 3
28.
26325 π kg.m 373 w
30.
57600 π kg .m
CAPITULO V Ejercicios tema 5.3.1 2.
e−2
16.
0
4.
2
18.
0
6.
1 8 ln 2
20.
0
22.
+∝
8.
−∝
24.
10.
+∝
12.
−
14.
21
26.
+∝
1 3
28.
8
−∝
30.
+∝
128
Cálculo Integral
BIBLIOGRAFÍA 1. Anton Howard. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Wiley. 2.
Bermudez Morata Lluis. Cálculo Integral. 1ª Edición. Editorial Mediana.
3.
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Casteleiro Villalba José Manuel. Cálculo Integral. 1ª Edición. Editorial Esic
5.
Cenbranos Pilar. Cálculo Integral Iniciación al Método Matemático. 1ª Edición. Editorial Anaya.
6.
Coquillat Duran Fernando. Cálculo Integral Metodología y Problemas. 2ª Edición. Editorial Tebar Flores.
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Deborah Hughes Hallet. Cálculo. 2ª Edición. Editorial CECSA
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10. Fraleigh John B. Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Addison – Wesley. 11. Frank Ayres Jr., Elliot Mendelson Cálculo. 4a edición. Serie Schaum McGraw Hill.
129
