Bolas abiertas y cerradas. Esferas Definicion 2.5. Sea (X, d) y r > 0. Se llama: 1) bola abierta de centro x y radio r, al conjunto (x, r) ! "y ∈ X : d(x, y) # r$ 2) bola cerrada de centro x y radio r, al conjunto (x, r) ! "y ∈ X : d(x, y) % r$ &) e'fera de centro x y radio r, al conjunto S(x, r) ! "y ∈ X : d(x, y) ! r$
jemlo' 2.&. Damo' al*uno' ejemlo' de bola' en al*uno' e'acio' metrico': (i)
en (X, ddi'), (x, 1) ! "x$, (x, 2) ! X, S(x, 1) ! X "x$ y S(x, 2) !
´ B (x, 1) ! X,
´ B (x, 1+2 ) ! "x$,
∅ ´ B
(ii)
en (-, du), (x, r) ! (xr, xr),
(iii)
en (-n , dmx), la bola (x, r) ! (x 1 r, x 1 r) 3 3 3 (x n r, x n r) e' el cubo de dimen'i4n n, centrado en x y ari'ta 2r en (-n , d'um), la bola (x, r) e' el cubo de dimen'i4n n centrado en x, de ari'ta 2r y *irado 65 *rado' en (-n, du), (x, r) e' la bola abierta de dimen'i4n n, centrada en x y de radio r
(i) ()
(x, r) ! /xr, / xr, xr y S(x, r) ! "xr, xr$
7roo'ici4n 2.8. n un e'acio metrico (X, d), 'e cumlen la' 'i*uiente' roiedade': (i)
ara cada x ∈ X y r > 0, e' (x, r) 9 ∅ 9 ac;a
(ii)
´ B (x, r) ⊂
'i 0 # r % ', e' (x, r) ⊂ (x, '), ') ('i r # ') y S(x, r) < S(x, ') !
´ B
∅ 'i
´ B
(x, r) ero S(x, r) uede 'er
´ B (x, '),
´ B (x, r) ⊂ (x,
' 9r
(iii)
(x, r) ∪ S(x, r) ! (x, r) y
(i)
'i r1 , . . . , r n > 0, (x, r 1)< 3 3 3 < (x, r n) ! (x, r) y (x, r 1)< 3 3 3 < (x, r n) ! (x, r), donde r ! m;n"r 1, . . . , r n$.
(x, r) < S(x, r) !
∅
=b'eracion :a inter'eccion arbitraria de bola' no tiene or?ue 'erlo or ejemlo: 1
¿ n ∈ N B ( 0, ) ! ¿ n ∈ N ( n (-, d u), n
−1 n
,
1
n
) ! "0$, ?ue no e' una bola.
@eorema @eorema 2.10. (7roiedad de Aau'dorff) n un e' acio metrico (X, d), do' unto' di'tinto' 'e ueden 'earar or bola' abierta' di'junta'. 1
Demo'tracion:Sean x9y. ntonce' ntonce' d(x, y) ! r > 0. a' bola' (x,
2
1
) y (y, 2 ) 'on
obiamente di'junta'. 2.&. Bonjunto' abierto' y cerrado' 2.&.1. Bonjunto' abierto' Definicion 2.C. n (X, d), un 'ubconjunto 'e dice abierto, 'i ara cada a ∈ , exi'te r a > 0 (?ue deende 'olo de a) tal ?ue (a, r a) ⊂ . . @eorema @eorema 2.11. n un e'acio metrico (X, d), lo' conjunto' X y ∅ 'on abierto'. @eorema @eorema 2.12. n un e'acio metrico metri co (X, d), ara cada x ∈ X y r > 0, la bola (x, r) e' un conjunto abierto. Demo'tracion: Sea y ∈ (x, r) y ' ! d(x, y) # r e' (y, r ') ⊂ (x, r). jemlo' 2.6. l*uno' l*uno' ejemlo' de conjunto' abierto' 'on:
(i) (ii)
en (-, du), lo' interalo' abierto' 'on conjunto' abierto' en (X, ddi'), cual?uier conjunto e' abierto.
@eorema 2.1&. n (X, d), 'ea " i$i∈E una familia de conjunto' abierto'. ntonce': ¿ i ∈ I A i
(i) (ii)
e' abierto
'i E e' finito, entonce'
¿ i ∈ I A i e' abierto.
Demo'tracion: (i)
¿ i ∈ I A i , exi'te i ∈ E tal ?ue x ∈ . Bomo e' abierto, exi'te r > i i x ¿ i ∈ I A i 0 tal ?ue (x, r ) ⊂ ⊂ Si x ∈
x
(ii)
i
¿ i ∈ I A i , ara cada i ∈ E e' x ∈ . 7ara todo i ∈ E, exi'te r > 0 tal i i ¿ i ∈ I A i . ?ue (x, r ) ⊂ . Si r ! m;n"r , . . . , r $, e' (x, r) ⊂ Si x ∈
i
i
1
n
=b'eracion 2.&.n el teorema 2.1& (ii), el conjunto de ;ndice' debe de 'er finito: en
−1
efecto, en (-, du), 'i 'e toma E ! F y la familia de abierto' n ! ( entonce'
n
1
,
n ),
¿ n ∈ N A i ! "0$, ?ue no e' abierto.
@eorema 2.16. n (X, d), e' abierto 'i y 'olo 'i e' uni4n de bola' abierta'. Demo'tracion: 7or lo' teorema' 2.12 y 2.1&, la union de bola' abierta' e' un conjunto abierto. G rec;rocamente, 'i e' abierto, ara cada a ∈ exi'te r a > 0 tal ?ue (a, r a) ⊂ . ' obio ?ue !
¿ a ∈ A B ( a , r a ) .
=b'eracion 2.6.Fo todo abierto e' una bola abierta, or ejemlo, en (-, d u), ! - e' abierto y no e' una bola abierta.
