ON Ar Ar
deun
un
6n nt
nt os
.1
N ID ID O os
qu
va
Ar
on
Ar
de un
de un
g ioi o n n t
g ioi o n n t
do
do
u rv rv a
u rv rv a
urva bajo na urva se exti extien ende de si sfue sfue zo regi region ones es co rend rend da do un ione ione co tinu tinuas as en el nter nterva va [a b].
ed nt entre
nteg ntegra rale le
defi defini nida da
en
F IG IG U R A 6 .
lJ
Rectangulo Rectangulo representat representative ive Altura: Anchura:
~x l>
dx
l>f(X)
dx
g(x) dx
F IG IG U R A 6 .
f(x,)
':
"",,~~t<1
~ . . . - - - - - ---- ~ - x Xi
F IG IG U R A 6 .
462
mas [a, en ub nter nterva va lust lustra ra Fi ur 6.3, 6.3, or
s, cada cada un de Uo de an hu Ento Entonc nces es como como os un ecta ectang ng lo representativo de anch anchur ur
463
are
altura donde Xi rectangulo representativo es
z-esimo
(altura)(anchura) rectangulos --+
11,111
-+
co), obtenemo [f(x
Ifm
g(x,.)]Ax
11-+ : : 1 : _ '
Como fy
nt nu
[a,
Area
lim 1'1-
ar bi
eg
im te
)]Ax i=
es sirv cuando x.
cu st nc no es so continua
es ri
EI
nt gr nd
(x.f(x))
)-
--
.-
'a
(x.g(x))
F IG U R
La altura de un rectangul representativ es sea cual se la posicion relativa x, co rnue tr la igur 6.4. ,Nota.
os re an ul
pr en at os
X,
y.
il an
6.
va as ap ic io es largo Ax) implica integracion ,1y) implica
464
ApJ cacone
Cap ul
d e I s n te gr a
E JE M P L
Ca
Sean g(x)
Salucilin:
-x
2. Entonces g(x)
I(x) Asi
lA
[(x
2,
0,
:; x) para od
en
(-x)]Llx
2)
F IG U R A 6 . R e g o n a co ta d p a
g ra f c a d e f,
g ra f c a d e
[(x
I.
2)
(-x)]dx
J.
=-+-+2
cortan
Ar I(x)
g(x)
los
-x
valores lo EJEMPLO
ha
se cortan de de se calculados previa en e.
U n a e g o n d e e rm in a d o p a d o g ra f c a
qu
ot
II
I(x) g(x)
x.
Solucion:
os de nterse cion jamos x.
Pa 2-
determ na ==
la x)
despe-
c a g(x)
Factorizar
1)
-2
R e g i o n a co ta d p a a s g ra t c a d e
g(x)
Expresar en orma can6nica
_x
F IG U R A 6 .
es os un os hace os r(x)
Despejar
As pues 1. Com g(x) ::;;ex -2 ectang lo repres ntativ tien area .M
para todo
del intervalo [-2,
x]Llx
Secdon
6,}
A re a d e u n
egon en
465
d o c um s
2XJl
x]dx
EJEMPLO
Una
g io n d e e rm in ad a p o d o g ra f c a
qu
c on a
La graficas seno ne de area iguale (vease igur 6.7), Solucuin:
sen
Igualar f(x)
sen
GUR
U n a d e a s r eg io n e a co ta d a s p o r a s g r a f i c a s d e a s u n c o n e s en o
cos
Dividi pa
cos
coseno.
tg 2][
Despejar
Po tanto,
): cos
[sen
f(x)
os
Identidad trigonomctrica
x=-o-,
EJEMPLO
g(x)
Cu
conan
ue
3x
cos x]dx
sen
J5"/4
m a d e d o p un io s
g(x)
2x.
_x
Para ernpezar igualamo fex) x, la coordenada to
g(x)
Solucion:
3x
-cos
lO
3x
12x
3x(x
4)
_x
2x
Igualar f(x)
con g(x)
Expresar en form can6nica Factorizar
-2
,2
Despejar
466
A p /i ca c io n e s d e la i n t e g r a l
C a pr tu l
-2,0 Y 2
en [-2,
en [0 2]
or onsi uiente
[-2, 0]
(3
-12x)dx
(-3x
3x
3X4
(-12
F IG U R
En
2 , 0 ] g(x)
:s
((x).
e n 0 , 2],f(x)
:s
12x)dx
6x
4)
6. g(x)
Nota.
En el Ejempl
ct
(3x
in
12x)dx
Si una fronteJ:a.dela_.[e_gi6_I}~s_]J.D_qJl,lnfi2D.ik.l,e l se rectangulos representativo horizontales ble y.
'1
onvenien
us
Rectangulos verticales en la variable
[( urva derecha)
curv
qu rda) dy
Rectangulos horizontalcs
y,
en la variable
donde (Xl' YI) vas unto
EJEMPLO
(Xl'
R e c ta n g ul o
CUf-
2)
fnea fronte
specif cadas.
r e p re se n ta t v o s h o r z o nt al e
-y4
de]x
Consideremos g(y) cuando -2 cuando nter alo, iene Solucion:
F IG U R
6.
y2
y) g(y)
R e c t a ng u lo s h o r iz o n t al e ( in te g r ac i 6 co
e sp ec t
I!).
I.
f(y)]L\y
[(
(y
l)]L\y
S e cc i6 n 6 .
Area
legion entre
467
curva,\
l)]dy
2)dy -2
2-
F IG U R A 6 .1 0 R e c ta n g u lo s v e rt ic a le s ( in t eg r ac i6 n c o n r es p ec t
el em Nota. hubierar os integrad
fl
r),
eg ar ie
en x,
[(x-
aria le
1)+ ~]dx+
(~+~)dx
rectangulo como elemento representatioo. de apitul constr iremos elem nt ep esenta iv cada nuev
or ul
tegral
um nd
so el
ento
Elemento representati vo
Formul conocida anterior al Calcul
cc
(altura)(anchura)
]d
adecuado
ti izando
epresent tivos.
Nuev formul de integracion
468
Cap ul
A p J c ac io n e
de
n te gr a
-10
15
10
20
1970)
F IG U R A 6 .1 1 E n tr e 1 9 6
1 9 79 , e l c on su m o d e p e r o e o e n E E .U U . s ig u i a p ro x im a d am e n t
e l p re c
d e l c ru d o s ub i d n is t c am e n t
e l c om p o a m ie n
u n a n e a r ec ta . A I f in a l d e o s s e e n a , s i e m b ar go ,
d e c on su m o c am b ia , c om o e co g e l d ia g a m a d e b a r r a s
( F ue n te : U S . E n e rg y I n fo r m a t o n A d m i ni st ra ti on ,
EJEMPLO
C o n u m o d e p e 6 le a
afio (vease Figura 6.11).
dm 18
J(t)
5,38,
do de get)
-0,0029t
0,149/
23
18,38,
2,42t
1993 co
Solucion:
-4 23
F IG U R A 6 .1 2
j: R i m o d e c on ju n g : R i m o d e c on ju n
Fuel ahorrado
a n e , d e 1 97 9
g(t)]dt
d e p ue s d e 1 97 9
Usand
para 23
Fuel ahorrado
(0,0029t
0,149t 23
0,0007 5t
0,049667
lon lon
1,3t
13t
E je rc ic io s d e
E j e rc ic io s d e
e c c i6 n 6 .
lo ejercici 1-6, form la la integral de inid area de la region. f(x)
6x
g(x)
S ec c o n 6 .
qu da el
2x g(x)
Aproximaciones En lo Ejercicio valo ap oxim ejor el g. graficas de no haciendo calculos.)
2x
-2
2.
g(x)
I, b)
f(x)
f(x)
(x
)2
c)
e)
g(x)
:lx,
a)
d)
c)
rafica
2, determinar qu
II
la funcio es algebraica
calc la
su area
13. f(x) 4. f(x)
4x g(x)
_x
2x
14. f(x)
g(x)
15.
g(x)
f(x)
16. f(x) 17.
I,
2x _x
2,
4x
x,
g(x) g(x)
x,
18. --....·x
I,
19. f(x)
g(x)
20. lex) 3(x
x)
g(x)
6. f(x) g(x)
(x
1)3
3x
g(x)
1(Y) 22
1(Y)
23
fey)
24
fey)
-y
I,
y2
-I,
g(y)
5. f(x)
26
0,
g(y)
I,
4,
g(x)
En lo Ejercicio 7-10,
io ic
io
puesta. x(x
3x
I, g(x)
2x 29.
30.
4x X4
2x
g(x)
3,
la usar integra-
470
Ca
31.
lex)
X4
4x
g(x)
32.
f(x)
X4
4x
g(x)
33.
I(x)
1/(l
34.
I(x)
6xl(x
En lo Ejercicios 49 4x
g(x)
),
de la funcio indicado.
_x
I),
ca cu ar la in gr
de la
grafica
49. f(x)=x ,(1,1)
:(
It+7
5.
50, escribir
Para pensar
51.
X4
2X2
co an tr nt in tr as as puede al ar na Explicar c6mo formular es unica integral.
36.
el ea te al
ap graficas de la funcione
37.
I(x)
.r
trascendente
(x
cos
lica te
x,
xe-",
r-
no
ea
tg x,
g(x)
sen
3"
calc la
:(
lo
simetria
re
ci io
te
ecuaciones,
En los Ejereicio 41-44, ep af as en al ul or
ta la 6n ac ad ar te ac on la
as ra al
53.
54.
.)1
56, ca
41.
lex)
sen
sen
0,
:(
42.
I(x)
sen
cos 2x,
0,
:(x
43.
f(x)
"lei"
0,
In
44. lex)
tt.
55.
:(
ar in eg
io
Xi
la
i/
fu
-2
(4iln)
e",
del triangulo
co (a
0,
ve ices 0), (b c)
li
(4
donde
Xi
Ax
lc la
lo
pr
el
R,
Y2 reduccion
0,
41n
lngresos
x=3
46.
es-
i=i
lo ano 2000 (t
45.
te
i=
0,
c)
la eJ
xf)
Ifm
1!lI~O
donde
46, a) ep en calc ad region acotad po la graficas de las eeuaeiones, b) formular mano") ea
[x],
lfrnite.
1!lI~O
integral esti
para escribir un sola
a.
54 hallar
2x
g(x)
x)dx
57.
espe if ca R2
7,21
0,58t
7,21
0,45t
7,21
0,26r
7,21
O,lt
0,02t 0,01t
previsto entr da lo previsto si hubies ingresos
Ejercicios
i"
59.
l s S e c c ic i n
Consum de vacuno
63.
Iibras) en EE.UU. siguio el
J(t)
siendo
471
odel
0,361, 21,00
Area
10 14
0,27!,
I
"'
eI
1985. (Fuente: U.S. Department of Agriculture.
-2
a) b)
-1 -2
so anos
60
Coste del combustible
de
bl
(en =:
los afios 2000
20
es 568,50
0,08x
a) b)
k.
Hallar
i-
7,15f
donde
correspondiendo
modelo 525,60
6,43t afios,
61
Beneficios
de edificio
no
Y5
a)
coordenada
rectangular.
b)
prediccion.
a).
2004.
plique la respuesta.
P ro pu cs t
66.
Ana
Diseii
de edificio
