APLICACIONES de La Integral en La Ingenieria

UNIVERSIDAD CATOLICA DE SANTA MARIA FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERIAS FISICAS Y FORMALES PROGRAMAM PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA ELECTRICA Y MECATRONICA

CURSO: CALCULO INTEGRAL

APLICACIONES DE LA INTEGRAL EN LA INGENIERIA

REALIZADO POR:

MARQUEZ VARGAS, STING PROFESOR:

PALZA DELGADO, WALTHER 

SEMESTRE III AREQUIPA - PERU 2011

Introducción Estos temas te van a servir para entender un poco las aplicaciones que tienen las integrales para el uso matemático en la ingeniería primordialmente. Es una herramienta muy útil para el cálculo de áreas difíciles de solucionar mediante los métodos convencionales o por tener formas poco ortodoxas. Esto no quiere decir que sólo con la realización de estos sea entendi!le el  amplio campo que a!arcan todas estas aplicaciones" ya que sólo se logrará esto mediante la práctica constante y minuciosa de cada caso. #as derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación  pero en este caso en particular me refiero a los !eneficios que se o!tienen mediante el uso de las integrales. $ara llevar a ca!o estas aplicaciones es necesario tener conocimiento claro y preciso de las siguientes herramientas elementales% •

#as integrales definidas y 

•

El &eorema 'undamental del (álculo Integral 

 )l tener el conocimiento necesario so!re estos dos puntos se podrá llevar a ca!o cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas sumado claro con las reglas individuales de cada caso en mención.

 )$#I()(I*+E, -E  #) I+&E/)#  0rea de una región entre dos curvas (on pocas modificaciones podemos extender la aplicación de las integrales definidas para el cálculo de una región situada por de!a1o de una curva al área comprendida de una región entre dos curvas. ,i como en la figura 2.2 las gráficas de am!as f y g se localizan por encima del e1e x  podemos interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región situada de!a1o de la gráfica f menos el área de la región situada de!a1o de la gráfica de g como muestra la figura 3.2.

,i !ien en la figura 3.2 muestra las gráficas de f y g so!re el e1e x esto no es necesario y se puede usar el mismo integrando [f(x) – g(x)] siempre y  cuando f y g sean continuas y g(x) ≤  f(x) en el intervalo [a, b]. ,e resume el  resultado en el teorema siguiente.

 ÁREA DE UNA REGIÓN ENTRE DOS CURVAS 

Si f y g son continuas en [a, b y g!"# ≤  f!"# $a%a to&o " en [a, b entonces e' (%ea &e 'a %egi)n 'i*ita&a $o% 'as g%(ficas &e f y g y 'as '+neas e%tica'es  " -a y " - b es b A = ∫ a [f(x) – g(x)] &" -emostración% $artimos en el intervalo [a, b] en su!intervalos cada uno de anchura ∆ x y di!u1amos un rectángulo representativo de anchura ∆ x y  altura f4x  5i  6 g4x  5 i  de donde x está en el i6ésimo intervalo tal como lo muestra la figura 2.7. El área de este rectángulo representativo es ∆Ai = (altura)(anchura) = [f(x i) - g(xi)] ∆x

,umando las áreas de los n rectángulo s y tomando el límite cuando 88∆|| → 0 (n → ∞), tenemos n

 

∑  [f(xi) - g(xi)] ∆x

lim

n

→  ∞  i=1

$or ser f y g continuas en el intervalo [a, b]  f6g tam!ién es continua en dicho intervalo y el límite existe. $or tanto el área ) de la región dada es n

 ) 9 lim

 ∑  

∆ x 9 :f4x  5i  6 g4x  5; i 

b

∫ a

:f4x5 < g4x5; dx 

n → ∞ i=1

,e usan los rectángulos representativos en diferentes aplicaciones de la integral. =n rectángulo vertical 4de anchura ∆x) implica integración respecto a  x mientras un rectángulo horizontal 4de anchura ∆y) implica integración con respecto a y.

E1emplo 2.2 >allar e área de la región limitada por las gráficas de y 9x ? @? y 9 6x x 9A y  x 9 2.

,olución% >acemos g4x5 96x y f4x5 9x ?@? entonces g4x5 [0, 1],  como

≤ 

f4x5 para todo x en

muestra la figura. $or tanto el área del rectángulo representativo

es ∆A = [f(x) - g(x)] ∆x = [(x2+ 2) – (-x)] ∆x A =

b

∫ a

 [f(x) – g(x)] x

1

= ∫   [(x2 + 2) – (-x)]x = [x! "! + x2 "2 + 2x]10 = 1"! + # + 2 =

1" !

#as gráficas de f4x5 9x ?@? y g4x5 9 6x no se cortan y los valores de a y  ! están dados explícitamente. =n tipo de pro!lema más común involucra el  área de una región limitada por dos gráficas que se interceptan de!iendo por  tanto calcularse los valores de a y !.  )plicación El consumo total de gasolina para el transporte en los Estados =nidos desde 2BCA hasta 2B3B sigue un modelo de crecimiento descrito por la ecuación% f4t5 9AAAAD77t ? @ AABC?t @ ?3C"

62A

≤ 

t ≤  B

-onde se mide f4t5 en miles de millones de !arriles y en t en aos correspondiendo t 9 A al primero de enero de 2B3A. -e!ido al aumento drástico de los precios del crudo a finales de los aos setenta el modelo de crecimiento del consumo cam!ió y comenzó a seguir esta otra forma% g4t5 9 6AAAF72t ? @ A2G?t @ ?F2"

B

≤ 

t ≤  2C

(omo muestra la siguiente figura. (alcular la cantidad total de gasolina ahorrada desde 2B3B hasta 2BFG como resultado de este cam!io en los modelos que expresan estos ritmos de consumo. ,olución% )l estar situada la gráfica del modelo que regía hasta 2B3B por  encima de la del modelo posterior en el intervalo [$, 1%] la cantidad de gasolina ahorrada viene dada por la integral siguiente% f4 t) g(t)  [(AAAAD77t ? @ AABC?t @ ?3C5 < 4 6AAAF72t ? @ A2G?t @ ?F25 ] dt 

1!

∫  #

9

1!

∫  #

4AAAF3D7t ? < AAGGFt < AAG5 dt 

9[(AAAF3D7t 7 H7 564AAGGFt ? H?56AAGt  ]1!# ≈  DGF

miles de millones de !arriles $or tanto se ahorraron DGF miles de millones de

!arriles de gasolina que a razón de D? galones por  !arril supuso un ahorro de A? !illones de galones.