Aplicaciones de la integral multiple

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO CALCULO II

“UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO” FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL Y ARQUITECTURA

ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TEMA: APLICACIÓN DE INTEGRALES MULTIPLES EN ING. CIVIL

CURSO:

CALCULO II

DOCENTE :

LIC. JUANA ZABALETA GOMEZ

ALUMNOS : CABANA MONZON WALTER ELIAS

TRABAJO DE INVESTIGACION

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UNIVERSIDAD UNIVERSIDAD NACIONAL DEL D EL ALTIPLANO CALCULO II

Contenido PRESENTACION ................................................................................................. 3

INTRODUCCION ................................................................................................. 4 OBJETIVOS OBJETIVOS .......................... ........................................ .......................... .......................... ............................ ............................ .......................... ............ 5 MARCO TEORICO............................................................................................... 6 CONCLUSIONES ............................................................................................... 20 BIBLIOGRAFIA ................................................................................................. 21


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El presente informe contiene el desarrollo del tema Integrales Dobles y Triples aplicado a la Ingeniería Civil, el cual fue realizado con bastante dedicación y esmero, dicho informe ha sido elaborado con el propósito de mostrar lo bueno y practico que es buscar la relación y la utilidad que proporciona este curso “Calculo II” en nuestra vida futura como Ingenieros Civiles. Finalmente toda la información se puede apreciar en este informe el cual será llevado a exposición, como fines futuros para poder hacer uso de estos conocimientos en un proyecto futuro. Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo período histórico en el que estaba siendo desarrollado el cálculo. Durante los siglos XVII y XVIII existía poca diferencia entre ser un físico o un matemático. partiendo de este principio, utilizamos esta poderosa herramienta para calcular el volumen de un solido, la elasticidad e inelasticidad de un cuerpo, momentos estáticos de un sólido en el espacio, centro de masa de un sólido del espacio, entre otros. En la ingenieria civil, las integrales multiples ocupan un espacio importante, debido a que son el principio matematico para calcular deflexiones en una viga, flechas máximas en vigas en las ramas de Análisis estructural o mecánica de materiales


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El uso de integrales ya sean simples dobles o triples es una de las mejores herramientas matemáticas aplicables en el soporte y análisis teórico de las diversas áreas de la ingeniería civil como la hidráulica, la ingeniería estructural, la programación lineal, la toma de decisiones, la estadística, la mecánica de suelos, la mecánica de sólidos, debido a que mediante estas integrales lograremos cálculos muy precisos y potencialmente ventajosos para el área de trabajo en el que se van a aplicar.


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El objetivo es de capacitar y adiestrar al estudiante en Las diversas aplicaciones que llegan a tener las integrales en la carrera de ingeniería civil.

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Reconocer y comprobar la aplicación de los fundamentos básicos de la ingeniería dentro del análisis de estructuras como sub disciplina de la ingeniería civil.

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Demostrar mediante los datos recopilados que las integrales aplican en la vida diaria, claro, si es que te sometes a la investigación, como por ejemplo en los problemas de física. Si estudias economía o finanzas, o estadística de hecho que tienes que conocer estas herramientas, para describir matemáticamente (y si es matemático, es preciso) los fenómenos económicos o poblacionales y predecir de manera regular que tanto crece una población, si hay devaluación de moneda, inflación, tasas de interés. Por supuesto que para la aplicación a la vida "cotidiana" de estos principios armónicos hay que tener una profesión y, sobretodo ser conscientes que las grandes comodidades de las que disfrutamos hoy en día se debe precisamente a la ciencia-arte de estudiar y dominar las relaciones numéricas....


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INTEGRAL MULTIPLE Una integral múltiple es un tipo de integral definida aplicada a funciones de más de una variable real

Existe el método de doble integración para encontrar de flexiones en una viga, que dice que la doble integral de la ecuación de momento, o la triple integral de la ecuación de cortante te entregan las deflexiones e a lo largo de una viga, claro que a esa integral aún hay que dividirla entre la inercia del área transversal y el módulo de elasticidad del material, con esto se pueden determinar las áreas de vigas para obtener una deflexión Y en el punto X, y dimensionar el área o escoger el material. Con estas fórmulas se llega a la fórmula de las flechas máximas en vigas, cuando estas tienen cargas repartidas, pero si quieres encontrar la deflexión en un punto x de la viga esta se obtiene por el método de doble integración (Álvarez, 2004).

También varias cuestiones de análisis estructural provienen de integrales, como el esfuerzo, incluso la inercia y los momentos se pueden resolver por métodos que incluyen integrales, recuerda que todo en este mundo tiene una explicación matemática. En mecánica de materiales y analisis estructural haces muchas aplicaciones indirectas (porque ya muchas se han ido estandarizando con fórmulas pero sus orígenes son con estas integrales) y mas a fondo cuando haces analisis de mecánica del medio continuo, y estudios mas profundos en el comportamiento estructural en el que tienes que aplicar calculo multivariable etc, para optimización del comportamiento, de esfuerzos de pesos, se aplican métodos con bases en integrales multivariadas y dobles, algunos en dinámica estructural, pero pos para no ir tan lejos, chécate la deducción de algunas ecuaciones de mecánica de materiales.


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Además las integrales dobles te sirven para encontrar áreas y las triples volúmenes o sólidos de revolución. (Burgos, 1993) Integrales triples: Cálculo de las coordenadas del centro de masas de un sólido.

También tienen aplicación en hidráulica cuando sacas centros de gravedad en presas, y la presión de líquidos, centros de masa y momentos de inercia y en general existen muchas aplicaciones.


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En la generación de sistemas de vacío y de resistencia de materiales. También se ve mucho en física, estática y resistencia de la columna, para determinar los centros de gravedad yd emás complicaciones.

MECANICA DE MATERIALES: Méto do de Doble Integración. Es el más general para determinar deflexiones. Se puede usar para resolver casi cualquier combinación de cargas y condiciones de apoyo en vigas estáticamente determinadas e indeterminadas. Su uso requiere la capacidad de escribir las ecuaciones de los diagramas de fuerza cortante y momento flector y obtener posteriormente las ecuaciones de la pendiente y deflexión de una viga por medio del cálculo integral. El método de doble integración produce ecuaciones para la pendiente la deflexión en toda la viga y permite la determinación directa del punto de máxima deflexión. (Nakos, 1999) Recordando la ecuación diferencial de la elástica:

El producto ‘E·I’ se conoce como la rigidez a flexión y en caso de que varíe a lo largo de la viga, como es el caso de una viga de sección transversal variable, debe expresarse en función de ‘x’ antes de integrar la ecuación diferencial. Sin embargo, para una viga prismática, que es el caso considerado, la rigidez a la flexión es constante. Podemos entonces multiplicar ambos miembros de la ecuación por el módulo de rigidez e integrar respecto a ‘x’. Planteamos: TRABAJO DE INVESTIGACION

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Donde ‘C1’ es una constante de integración que depende de las condiciones de frontera, como se explicará más adelante. Como la variación de las deflexiones es muy pequeña, es satisfactoria la aproximación:

De modo que con la expresión anterior se puede determinar la inclinación de la recta tangente a la curva de la elástica para cualquier longitud ‘x’ de la viga.


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Integrando nuevamente en ambos lados de la expresión anterior, tenemos:

Mediante esta expresión podemos conseguir la deflexión para cualquier distancia ‘x’ medida desde un extremo de la viga. El término ‘C2’ es una constante de integración que, al igual que ‘C1’, depende de las condiciones de frontera. Para poder establecer sus valores, deben conocerse la deflexión y/o el ángulo de deflexión en algún(os) punto(s) de la viga. Generalmente, es en los apoyos donde podemos recoger esta información. En el caso de vigas simplemente apoyadas y vigas empotradas en un extremo, por ejemplo, tenemos las siguientes condiciones:

Del apoyo en ‘A’ puede establecerse: x = LA→ y = 0 Y, debido al apoyo en ‘B’ : x = LB → y = 0

Debido al empotramiento ‘A’ :


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x = LA→ y = 0 x = LA → θ = 0

EN EL ANALISIS ESTRUCTURAL En nuestra propuesta de enfoque estructural funcional del tratamiento del Cálculo Integral, éste será tratado en primera instancia en el desarrollo de la teoría de la Integral Definida, y con posterioridad se irá generalizando dicho enfoque de invariante por el propio estudiantado y se aplicará al desarrollo de las restantes variantes (integral doble. triple, de línea, y de superficie). A continuación describiremos nuestro invariante y la lógica de su aplicación a las distintas variantes descritas. Componentes relativas al enfoque estructural-funcional de la teoria de integracion: 1.- Definición de integral. 2.- Teorema de Newton - Leibnitz. 3.- Teorema sobre el cambio de variable en la integral. Después de tratada la teoría de la integral definida, se va generalizando y aplicando el anterior sistema aquí obtenido, a las restantes variantes. Este proceso no lo mostraremos en la primera componente del sistema (definición de integral), pues las ideas que permiten dicho proceso de generalización descansan en el TRABAJO DE INVESTIGACION

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enfoque estructural - funcional del concepto general de integral desarrollado por la Dra. H. Hernández que presentando sus respectivas componentes. Aplicación del invariante a la variante de las Integrales Múltiples. Se debe llevar a los estudiantes a generalizar el TEOREMA DE NEWTON-LEIBNITZ que en esencia refiere que: Siendo F(x) una primitiva de f(x) (la derivada de F(x) es f(x) ) Para ello se referirá que al pasar a la teoría bidimensional se produce un cambio cuantitativo que origina un cambio cualitativo, se produce una negación dialéctica, se vuelve sobre el mismo punto, pero sobre un nivel cualitativamente superior. Se aprovechará entonces la analogía con la derivación, en la cual la expresión se determina calculando la derivada parcial respecto a y considerando a x constante, y derivando con posterioridad respecto a x la expresión así obtenida. Lo anterior conduce de forma natural al concepto de integral iterada de segundo orden (se integra primero respecto a una variable considerando la otra constante y después respecto a la restante), quedando sólo por precisar los límites de integración en que se debe evaluar dicha integral iterada. Tomando una región de integración regular respecto a y: y teniendo en cuenta que los puntos a y b en que se evalúa la primitiva en el Teorema de Newton - Leibnitz, son los extremos de la región de integración o lo que es lo mismo, estos puntos constituyen la frontera de dicha región, resultaría natural evaluar la integral iterada en la frontera de la región de integración. Basado en la heurística anterior, que debe ser desarrollada a través del trabajo grupal estudiantil, en la que el docente jugaría el rol de facilitador, se obtiene el Método de cálculo de la integral doble para regiones regulares respecto a la variable y: De forma análoga se obtiene la expresión equivalente para regiones regulares con respecto TRABAJO DE INVESTIGACION

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a x. El cálculo de integrales sobre regiones que no sean regulares respecto a ninguna de las variables se lleva a cabo tomando una partición de dicho región en subregiones regulares respecto a x o respecto a y, aplicándose con posterioridad la propiedad de aditividad de la integral con respecto a la región de integración. Los métodos de cálculo de la integral triple son análogos a los descritos para la integral doble. El teorema del cambio de variable (tercera componente del enfoque estructural funcional de la teoría de integración) debe ser generalizado aquí también, de la integral definida a la integración múltiple. El señalado teorema en el caso de la integral definida en esencia refiere que:

Si pretendemos variable

en

la

integral doble introducir el cambio de e inducir en este caso su expresión, debemos

hallar la forma del elemento matemático que generalice a , siendo natural en este caso considerar como tal al módulo del siguiente jacobiano (determinante de la matriz jacobiana):

(Este tipo de generalización fue vista ya por el estudiante cuando se estudió el proceso de extensión de la derivada de una función definida de forma implícita por una ecuación, a la derivada parcial de una función definida de forma implícita por un sistema de ecuaciones, en la cual, las derivadas ordinarias son sustituidas por los respectivos jacobianos). En consecuencia, el teorema sobre la transformacion de coordenadas en la integral doble, en esencia nos aportaría la siguiente expresión: TRABAJO DE INVESTIGACION

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con la cual, con posterioridad el estudiantado podrá deducir la expresión de la integral al realizar cambio de coordenadas a polares, las que deben ser introducidas apoyados en preceptos geométricos. El tratamiento del cambio de variables en la integral triple es análogo al de la integral doble, y aquí, de forma similar, los alumnos podrán inferir, con la ayuda mínima indispensable del profesor, la expresión de la integral triple al realizar los respectivos cambios de coordenadas a cilíndricas y esféricas, también introducidas por vías geométricas.

CÁLCULO DE VIGAS DEFORMABLES A TRAVÉS DE CARGAS PUNTUALES Las deformaciones de vigas pueden encontrarse en diferentes situaciones ya que al realizar el análisis interno de dicho cuerpo suelen dividirse en vigas hipostática o hiperestatica. Recordemos que esta división corresponde a las condiciones de apoyo que presente el cuerpo al analizar. Por otra parte si realizamos y observamos que la viga tiene un número igual o inferior a tres incógnitas en sus reacciones, bastara con aplicar las condiciones de equilibrio estático para resolverla. ∑ Fx = 0

∑ Fy = 0

∑ M = 0

∑ Fx → sumatoria de fuerzas en x ∑ Fy → sumatoria de fuerza en y ∑ M → sumatoria de momentos Para vincular el análisis de las vigas hiperestaticas o estáticamente indeterminadas se dará como resultado el estudio de las deformaciones de las vigas luego de ser aplicadas distintas fuerzas generando así tensión de corte y flexión en la barra logrando deformar la viga. Sin embargo nuestros principales objetivos, uno seria el poder obtener nuevas condiciones planteadas en ecuaciones que demuestre resolver las ecuaciones en vigas hiperestaticas; por otra parte las deformaciones las deformaciones deben ser limitadas. Las armaduras de madera o acero por ejemplo pueden quedar excelentemente diseñadas por resistencia lo que vale decir, no se grietaran bajo la carga, pero podrán TRABAJO DE INVESTIGACION

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deformarse mas allá de lo permitido, lo que llevarían el colapso de elementos de terminación como cielos falsos o ventanales. No Obstante La deformación de una viga puede expresarse en muchas deformaciones y no por la resistencia de dicho cuerpo.

Flecha de una viga En coordinación de la flecha desde la posición no deformada. Se puede medir desde la superficie neutra de la viga deformada hasta la posición original de dicha superficie. La figura acoplada por la superficie neutra deformada se conoce como curva elástica de la viga

Momento flector de una viga Es la suma algebraica de momentos de las fuerzas externas a un lado de una sección cualquiera de la viga respecto a un eje que pasa por dicha sección.

∑M (AB)+∑M (BC)+∑M (CD)+∑(n...) Aplicando la teoría de la estática, la figura se encuentra empotrada a una pared, produciendo un momento de nombre PL. Se procede hallar las reacciones que ejerce la pared sobre la barra, lo que se consigue fácilmente, ya que la viga esta empotrada con un momento PL en sentido negativo aplicando a la barra una carga p hacia arriba. Por lo tanto el momento flector en la sección x es: M = -PL + Px La ecuación diferencial de la elástica es: EId²y = M dx² Sustituyendo el valor de M tenemos: EId²y = -PL + Px dx²

ec(a)


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Esta ecuación se integra fácilmente, obteniendo: EIdy = -PLx + Px² + c1 ec(b) dx 2 Al obtener la primera integral nos arroja la ecuación de la pendiente. Pues la viga esta perfectamente empotrada, por tanto:(dy/dx)=0, sustituyendo en ella la condición para x=0 se tiene 0=0+0+c1 ó c1=0. Integrando nuevamente la ecuación anterior se tiene: EIy = -PLx² + Px³ + c2 ec(c) 2 6 Se puede denotar que c2 es una segunda constante de integración. Aplicando la misma definición de la primera integral obtenemos que c2=0 ya que esta empotrado al muro, reemplazando en la ecuación se tiene que (y)x=0 vemos que 0=0+0+c2 ó c2=0. Así pues las ecuaciones b y c con c1=c2=0 dan la pendiente (dy/dx) en un punto cualquiera x de la viga. El sentido es máximo en el extremo derecho x=L, bajo la carga P, donde la ecuación c que se halla es: EI(y)max= - PL³ 3 En la que el signo negativo indica que este punto esta, en la curva deformada por debajo de la superficie. Si se desea calcular la magnitud de la flecha máxima en x=L, se suele representar por ∆:

∆max= PL³ 3EI Criterio de los Signos Se conservaran los criterios de signos de los momentos flectores adoptados. Los valores E e I que aparecen en la ecuación anterior son indudablemente positivas, por lo que si M se expresara en sentido positivo para un cierto valor de X, (d²y/d²x) será positivo. Con este criterio de signos de los momentos flectores es necesario considerar TRABAJO DE INVESTIGACION

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la coordenada X positiva hacia la derecha a lo largo de la viga. Una vez aplicada estas reglas de signos algebraicos puede integrarse la ecuación. Se puede decir que las deformaciones son pequeñas comparadas con las dimensiones de la sección de la viga, admitiendo que la viga es recta antes de la aplicación de las cargas.

Ley de Hooke Esta ley propuesta por Hooke nos permite crear una relación entre la tensión y la deformación unitaria como una constante, la cual se denota con el nombre de modulo de elasticidad. E= τ ε E→Elasticidad (Kg/cm²)

τ→Tension (Kg/cm²) ε→Deformacion Unitaria Otra manera de calcular la tensión aplicada a la viga seria:

τ =MV I

τ→Tension (Kg/cm²) M→Momento Flector (Kg.cm) V→Distancia desde la fribra neutra a la fibra más traccionada o comprimida (cm) I→Inercia (cm4)

Método de la doble integración para el cálculo de la elástica o viga deformable EI d²y = M dx² E: modulo de elasticidad del material TRABAJO DE INVESTIGACION

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I: modulo de inercia de la sección respecto al eje neutro M: momento de la viga Es la ecuación diferencial de la elástica de una viga. El producto EI, que se llama rigidez a la flexión es totalmente constante a lo largo de viga. Teniendo en cuenta que dy/dx es muy pequeña, su cuadrado es despreciable frente a la unidad, por lo que se puede denotar despejando EI de la formula inicial obtenemos: d²y = M dx² EI Integramos la ecuación aplicando la atribución que EI es constante nos da: EI dy = ∫ M dx + c1 dx De allí obtendremos la ecuación de la pendiente y que permite determinar la ecuación de la misma, M no es un valor del momento, sino la ecuación del momento flexión de x,y c1 es una constante a determinar por las condiciones de apoyo. Integrando de nuevo la ecuación obtendremos EIy = ∫ ∫ M dx dx + c1x + c2 Es otra constante de integración a determinar también por las condiciones de sucesión de la viga. Si las condiciones de carga varían a lo largo de la vida, la ecuación de momentos también tendrá la variación correspondiente. Esto permite una ecuación de momentos entre cada dos puntos sucesivos de discontinuidad de cargas (cargas aisladas, comienzo o terminación, o cambio de forma en las cargas repartidas), lo que daría lugar a dos integraciones para cada tramo y, por consiguiente, dos constantes para cada tramo también. La determinación de esas constantes se hace muy laboriosa y se esta expuesto a errores. Afortunadamente, estas complicaciones pueden evitarse escribiendo una única ecuación de momentos valida para toda la viga, pese a las discontinuidades de carga.

Curva elástica TRABAJO DE INVESTIGACION

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La curva elástica o elástica es la deformada por flexión del eje longitudinal de una viga recta, causada por la aplicación de cargas transversales en el plano x,y sobre la viga.

Conclusiones Ha quedado demostrado a través de métodos numéricos la existencia de soluciones sin resultados exactos. Por medio del método de la doble integración se pudo demostrar que al integrar la ecuación de la elástica nos dará como resultado la pendiente de dicha ecuación, evitando crear datos no existentes que generen el error. Por otra parte las cargas o fuerzas puntuales aplicadas en una viga creara tensiones provocando flexión en la viga por el cual tomando valores en la sumatoria de momentos lo que es igual hablar del momento flector del cuerpo se obtendrá el valor de la tensión apoyada en el cuerpo. Los sistemas de cargas distribuidas bien sea cargas activas, externas y momentos existentes en las vigas serán los determinantes de la ecuación de la elástica.


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Después de elaborado este informe se concluye que muchas de las teorías del diseño estructural se basan en cálculo integral y diferencial, límites y todo lo que nos enseñan en cálculo de diseño estructural de estructuras metálicas y vienen desarrolladas las fórmulas de las teorías de diseño.

Por otra parte es necesario aclarar que el cálculo de las integrales sirve en cualquier rama de la ingeniería solo para deducir ciertas fórmulas, sobre todo en en el análisis de estructuras civiles entendiendo que después de esas deducciones es necesario aprender a usar los resultados, no se usa en otros ámbitos, en los más cotidianos almenos.


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- S. Álvarez Contreras, Estadística Aplicada. Teoría y Problemas. Editorial CLAGSA (2004). - A. de la Villa, G. Rodrígez Sánchez et al, Cálculo I: Teoría y Problemas de Análisis Matemático en una Variable, Tercera Edición, Ed. CLAGSA (2007). - A. de la Villa, Problemas de Algebra lineal con esquemas teóricos (3ª edición). Editorial CLAGSA (1994). - B. Kolman, Álgebra lineal con aplicaciones y MATLAB. Prentice Hall (1999). - J. Burgos, Álgebra Lineal. Ed. MacGraw-Hill (1993). - G. Nakos, D. Joyner, Álgebra Lineal con aplicaciones. International Thompson Editores (1999)


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