UNIVERSIDAD NACIONAL NACIONAL DE TRUJILLO FACULTAD DE INGENIERIA E.A.P. INGENIERÍA CIVIL
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA HIDROSTÁTICA EN LA REPRESA GRAND COULEE Curso: Matemáticas II
Docente: Milton Cortez
Integrantes: Ventura Sánchez Brenly
TRUJILLO-PERÚ
2018
Facultad de Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil
UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA EN PROBLEMAS RELACIONADOS CON LA HIDROSTÁTICA EN LA REPRESA GRAND COULEE 1. INTRODUCCIÓN El estudio de las matemáticas es un factor muy importante para el desarrollo de la vida, ya que los cálculos
matemáticos
están
presentes
en
cada
momento de nuestra vida. Esta ciencia se encuentra divida en varias ramas como lo es: la aritmética, el álgebra, la trigonometría, la geometría, el cálculo diferencial e integral, etc. El cálculo integral, es el
Represa Grand Coulee
proceso de integración o anti derivación, es muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución. Además de ser empleado en otras ramas como la física la química la biología etc. En este proyecto se hablará de las aplicaciones del cálculo integral (integrales definidas) en la rama de la hidráulica ya que juega un papel fundamental en las construcciones civiles, pues es la encargada de intervenir en la conducción abastecimiento, almacenamiento y manejo de los recursos del agua. Para este caso se trabajará de la mano del cálculo integral, pues se quiere hallar la fuerza ejercida sobre la cortina de una presa, y como estos cálculos en la vida de un ingeniero civil, facilitan la solución de problemas dando a entender como esto afecta de forma directa a los habitantes cercanos de la represa.
2. JUSTIFICACIÓN Con este proyecto de quiere demostrar la importancia que tiene el cálculo integral en el campo de la ingeniería civil basándose en los conocimientos adquiridos a través del semestre en el curso de cálculo integral; pues para el progreso de la formación de la carrera de la ingeniería civil el conocimiento sobre este cálculo y la aplicación de los ejercicios matemáticos es de vital importancia para el desarrollo de habilidades y destrezas en la solución de problemas; pues bien se sabe que cuando llegue el momento de salir a la vida laboral, se estará en situaciones similares. Los conocimientos que se irán adquiriendo se verán aplicados en la hidráulica, y en este caso concentrara en específico en el cálculo de la fuerza ejercida hacia una presa puesto que en la vida real los cálculos y diseños de una presa efectivas son de suma
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importancia para la comunidad. a nuestra vida cotidiana, el cual será de gran utilidad para como parte del proceso de formación como futuros ingenieros civiles y vital importancia para el desarrollo de destrezas en solución creativa de problemas.
3. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ¿Cómo resolver problemas de ingeniería mediante la aplicación de sistemas de conocimientos de cálculo integral con énfasis en la integral definida? Un ingeniero es el encargado de la construcción de una presa la cual será la encargada de regular el caudal de ríos cercanos, para su aprovechamiento en el abastecimiento de poblaciones cercanas. Se sabe que tiene un gran peso encima pues si se llegara a calcular algo mal, muchas personas serian afectada por esa decisión es por eso que se quiere calcular la fuerza por medio del cálculo integral que está haciendo el agua sobre una presa con forma de trapecio para lograr si el muro es lo suficiente resistente.
4. OBJETIVOS
a. General calcular la fuerza ejercida por la presión del agua sobre una presa con forma de trapecio por medio del cálculo integral.
b. Especifico lograr aplicar de forma efectiva los conocimientos adquiridos a través del semestre de cálculo integral, en el cálculo de fuerzas ejercido por la presión hidrostática. Entender la importancia de la aplicación del cálculo integral en la vida real, y específicamente de su aplicación en la ingeniería civil.
5. MARCO TEÓRICO Presión: la presión es la magnitud escalar que relación la fuerza con la superficie sobre la que actúa, es decir, equivale a la fuerza que actúa sobre la superficie. Cuando sobre una superficie plana (AREA) se aplica una fuerza normal de manera uniforme, la presión viene dada por la siguiente forma.
=
En un caso general donde la fuerza puede tener cualquier dirección y no estar distribuida uniformemente en cada punto la presión se define como:
= ∫ Matemática II 3
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Donde: P: es la presión en P.a. F: es la fuerza en N A: es el área en m²
Fig. N°01: líneas de fuerzas hidrostáticas perpendiculares a la superficie
Fuerza de gravedad:
es aquella que hace que los cuerpos sean atraídos hacia la
superficie de la Tierra. Por ejemplo, cuando saltamos, volvemos a caer al suelo en vez de salir volando.
Densidad:
es
una magnitud
escalar referida
a
la
cantidad
de masa en
un
determinado volumen de una sustancia. Usualmente se simboliza mediante la letra rho ρ del alfabeto griego. La densidad media es la relación entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa.
= ∫ Donde: P: densidad g/cm 3 m: masa en g v: volumen en cm3
|
Fig. N° 02: relación de densidad del material vs compacto
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Profundad:
Distancia entre el fondo de algo y el punto tomado como referencia
Presión hidrostática: Es la fuerza que el peso de un fluido en reposo puede llegar a provocar. Se trata de la presión que experimenta un elemento por el sólo hecho de estar sumergido en un líquido.
=ℎ Donde: P: Presión hidrostática Ρ: Densidad h: Profundidad
Superficies verticales: En las superficies verticales, la presión hidrostática no es constante, sino que varía con la profundidad (h)
Fig. N° 03: aumento de presión conforme aumenta la profundidad
Para calcular la f uerza hidrostática equivalente hay que integrar los diferentes valores de la presión hidrostática a lo largo de toda el área de la superficie vertical.
Integral definida: Dada la función f(x) y un intervalo [a, b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas y las rectas verticales x=a y x=b.
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Fig. N° 04: representación gráfica de la integral
La integral definida se representa por:
= ∫ () 6. ANÁLISIS Y DESARROLLO Desarrollo: Datos de la represa Grand Coulee. Ancho de la base: 152,40 m Altura hidráulica: 115,82 m Altura estructural de la presa: 1667,64 m
Usando la fórmula planteada:
=∫..ℎ.
Aplicando los valores de la presa Grand Coulee:
∫ = ∫ ..(116−).152
Organizando la integral:
∫ =152∫ (116−)
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Integrando:
116 = 152116 − 2 .| 0
Resolviendo los límites:
= 152×6,728
Multiplicando:
= 1.022,656
Reemplazando los valores constantes:
= 1.022,656∗10 ∗ 9,8
Dando solución:
= 1,00220288×10
Usando la fórmula para hallar la presión:
= Siendo el área:
= 17,632 Se obtiene:
= 1,00220288×10 17,632 Solucionando, tenemos la presión:
= 568.400
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Analizando los resultados: La fuerza hidrostática en la parte posterior de la represa “Gran Coulee” fue de
= 1,00220288×10 Con una presión hidrostática de:
= 568.400 En estos resultados se muestra claramente la capacidad del enorme muro de hormigón de la represa “Gran Coulee” para soportar la presión ejercida por el fluido de agua del rio Columbia.
7. CONCLUSIONES Gracias a la integral definida logramos calcular la fuerza hidrostática que ejerce el agua del rio Columbia sobre la represa Grand Coulee para así demostrar por qué es una de las repesas más reconocidas de Estado Unidos y el mundo. La presión es proporcional a la densidad, ya que, a mayor profundidad, mayor es la presión. La aplicación de muchas fuerzas pequeñas hace una grande.
BIBLIOGRAFÍA Aplicación de las integrales dobles: [https://www.clubensayos.com/TemasVariados/APLICACION-DEL-CALCULO-INTEGRAL-EN-LA-INGENIERIACIVIL/3895473.html] Aplicación de la integral doble en la ingeniería civil: [https://www.clubensayos.com/Temas-Variados/APLICACION-DEL-CALCULOINTEGRAL-EN-LA-INGENIERIA-CIVIL/3895473.html]
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