ANTIDERIVADAS

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ANTIDERIVADAS Formulario de integrales útiles en la resolución de los lo s siguientes ejercicios:

El formulario completo descárgalo en: http://www.maestronline.com/Formulas%20integrales.pdf




y = 3 x ( 7 x + 4 x 2

7/ 2

) = 21x

∫ 21 x dx+ ∫12 x 21∫ x dx+ 12∫ x 3

11/ 4

dx

3

11/ 4

dx

4


3

11/ 4

+ 12 x

15/ 4

x x + C 21 + 12 15 4 4

21 x 4

4

15/ 4

48 x

+

21 x4

Y ( x) =

h( x ) =

∫3 3∫

4

+

16 x15/ 4

x

∫

− xdx− 3 x

∫

xdx− 3

x 3 −3 3 2 4

3/ 4

3 x 2

3/ 4

−

5

3 x 3 − 3 x1/ 4

x 2

2

+ C

15

dx

−1/4

dx

x

x−1/ 2 ( 3 x3/ 2 − 3 x1/ 4 ) = 3 x− 3 x−1/ 4

+ C

12 x 3

H( x) =

1/4

=

+ C

3 x 2 2

+ C −4

x3/ 4 + C



y = (2 x − 3)2 = 4 x 2 − 12 x + 9

∫ 4 x dx−∫ 12 x dx+ ∫ 9 4∫ x dx−12∫ x dx+ 9∫ 4

x3

3

2

dx

2

dx

x2

− 12

+ 9 x + C

2

4 x3

Y ( x) =

−6

3

x2 + 9 x+ C

h( x) = (3 x− 5)( 4 + x) = 12 x + 3 x 2 − 20 − 5 x = 3 x 2 + 7 x − 20

∫ 3 x dx+ ∫ 7 xdx− ∫ 20 dx 3∫ x dx+ 7 ∫ xdx − 20 ∫ dx 2

2

3

x

3

3

+7

x

2

− 20 x + C

2

H( x) = x + 3

7 x 2 2

− 20 x +

C

f ( x) = x−2 ( x2 − 1) = 1 − x −2

∫1 dx − ∫ x 1∫ dx − ∫ x

−2

−2

x −

x −1 −1

dx

dx

+ C

x + x −1 + C F ( x) = x +

1 x

+C



3

a. h( x) = 2 3

h( x) = 2

∫2

x 7 = 2 x 7 3

73

x =2

H( x) = C = −

x 7 , considera que H(1)=0

∫

6 10

6 10 3 x10 3 + C= x =2 x + C 10 10 3 7 3

10 3

(1)

+

C= 0

3 5

H ( x) = 2 x10 3 + C = 2 x10 3 −

3 5

b. g ( x) = x 2 ( 6 x + 2x5/ 2 ) , considera que G(0)=1 g ( x) = x

∫

2

( 6x + 2x ) = 6x 5/ 2

∫

3

92

6 x dx+ 2 x dx=6

G ( x) =

3 2

4

x +

4 11

3

∫

G ( x) =

3 2

4

x +

4 11

x dx+ 2

x +C =

C = 1

11

x 2 +1

∫

3

11 2

9 2

+ 2x

3 2

( 0)

4

x 4

x x dx= 6 + 2 11 4 2 9 2

+

4 11

11

( 0) 2

+ C = 1

11

2

+

C



c. f ( x) =

f ( x) =

1

∫2

2

−

2 x

3

3 x 2

=

∫

1 2

x 2 dx− 3 x−2 dx=

F ( x) =

1

x

( 0)

5

2

5 C = 1

F ( x) =

1 5

x

5

2

+ 3x

+ 3 ( 0)

1 5

x

5

2

−1

−1

−1

2 x

−1

x2 x

2

1

3

+C

+1

−

3 x 2

−2

−3 x

=

, considera que F(0)=1

1 2

3

x 2 − 3 x−2 5

2∫

+ C = 1

+ 3x

x 2

∫

x 2 dx− 3

−1 1 x 2 x 2 52 −2 x dx= x + 3 x−1 + C −3 = 2 5 −1 10 2



Resuelve los siguientes problemas utilizando la antiderivada: d. La velocidad de un objeto está dada por v (t ) =

t 2 − t

2

m/min. Encuentra su

ecuación de posición y considera que s (1)=4 m. Si integramos a la ecuación de la velocidad, nos dará la ecuación de posición. Recordar que en la materia de física, la velocidad se considera como distancia velocidad= tiempo O sea que si a la velocidad la integramos con respecto al tiempo, obtenemos la función de posición. t2 − t

v (t ) =

t2

∫2 1

2

dt −

=

t2

2

−

t

2

t

∫ 2 dt 1

t dt − ∫ t dt 2∫ 2 2

1t

3

2 3 t3

6

−

2

−

1 t

2 2

t 2

+ C

4

t3

s ( x) = s (1) =

1 6

−

1 4

6

(1)

t 2

−

4

3

−

6

4

1

1

6

+

+ C

(1)

+ C =

C = 4 − C =

+ C

4

2

+ C = 4

4

49 12

s ( x) =

t3

6

−

t 2

4

+

49 12



e. La aceleración de un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta está dada por a (t ) = 4t − 5 en metros por segundo al cuadrado. Encuentra las ecuaciones para su velocidad y posición, considera que la velocidad inicial es de 2 m/seg. y la posición inicial es de 3 m. Si integramos a la ecuación de la aceleración, nos dará la ecuación de velocidad. Recordar que en la materia de física, la aceleración se considera velocidad como aceleración= tiempo O sea que si a la aceleración la integramos con respecto al tiempo, obtenemos la función de velocidad y si a ésta la integramos, obtendremos obtendremos finalmente la función de posición.

a (t ) = 4t − 5

∫ 4t dt − ∫ 5 dt 4 ∫ t dt − 5∫ dt 2

4

t

2

− 5t + C

2

v ( t ) = 2t − 5t + C 2

v ( 0 ) = 2 ( 0 ) − 5 ( 0 ) + C = 2 C = 2 v ( t ) = 2t 2 − 5t + 2

∫ 2t dt − ∫ 5t dt + ∫ 2dt 2 ∫ t dt − 5∫ t dt + 2 ∫ dt 2

2

2

t

3

3

2

−5

t

2

+ 2t + C



Lo anterior fue l función de velocidad, si a dicha función le aplicamos de nuevo la integración obtendremos la función de posición. s (t ) = 2 s ( 0) =

t3

3

−5

2 ( 0) 3

t 2

2

3

−

+ 2t + C

5 ( 0) 2

2

+ 2 ( 0 ) + C = 3

C = 3

s (t ) = 2

t3

3

−5

t 2

2

+ 2t + 3


f.


Una empresa ha encontrado que el costo marginal ( C ′ ) de fabricar x número de artículos está dada por C ′( x) = 1.5 x + 2 , encuentra la función de costo (C(x)), considera que el costo fijo es de $10,000, C (0)=10,000.

El coste marginal o costo marginal es el cambio en el coste total que surge cuando la cantidad producida cambia por una unidad, es decir, al incremento del coste total que supone la producción adicional de una unidad de un determinado bien.

C ′( x) = 1.5 x + 2

∫ 1.5 x dx+ ∫ 2 dx 1.5∫ x dx+ 2 ∫ dx 1.5

x 2

2

+ 2 x + D

C ( x) = C ( 0) =

3 x 2 4

3 ( 0)

4 D = 10000

C ( x) =

+ 2x + D

3 x 4

2

+ 2 ( 0 ) + D = 10000

2

+ 2 x + 10000



g. La población de cierta especie de animales está creciendo a una razón de cambio de r (t ) = 4t 2 − t − 2 animales/año. Encuentra la ecuación para la población y considera que la población inicial es de 100 animales. ¿Cuál será la población dentro de 10 años? Notar que la r (t ) significa una razón de cambio, o sea número de animales con respecto a un intervalo de tiempo. Esto quiere decir una velocidad de crecimiento de población para un tiempo dado. Si a esta función la integramos con respecto al tiempo, se obtendría simplemente simplemente el número de animales para un tiempo dado y lo denotamos como p ( t ) r (t ) = 4t 2 − t − 2

∫ 4t dt − ∫ t dt − ∫ 2dt 4∫ t dt − ∫ t dt − 2∫ dt 2

2

4

t3

3

−

t 2

− 2t + C

2

p( t) = p ( 0 ) =

4t 3 3

t 2

−

4 ( 0)

2

− 2 t+

3

3

−

( 0) 2

C

2

100 − 2 ( 0 ) + C = 10

C = 100

p( )t =

4t 3

p (10 ) =

3

−

t 2

2

4 (10 ) 3

t 10 0 −2 +

3

−

(10) 2

2

− 2 (10 ) + 100 =

4090 3

≈ 1363



h. El área de un lago está disminuyendo con una razón de cambio dada por r (t ) = −t 2 − 2 metros cuadrados/año. Encuentra la ecuación para el área del lago, considera que el área inicial del lago es de 1000 m 2.

Aquí la razón de cambio es el área que ocupa el lago con respecto a un intervalo de años, que significa la velocidad con la que decrece el área por año. Si a esta función la integramos con respecto al tiempo, obtendríamos únicamente el área para un determinado año. r (t ) = −t 2 − 2

∫ −t dt − ∫ 2dt 2

−

t 3

3

− 2t + C

a(t) = −

t 3

3

− 2t + C

( 0)

a ( 0) = −

3

3

− 2 ( 0 ) + C = 1000

C = 1000

a(t) = −

t 3

3

− 2t + 1000

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