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Semana 12
Antiderivadas
Facultad de Ingeniería Industrial
1. Antiderivada Dada la función f ( x) = 3x2 ¿Podemos hallar una función F (x ) cuya derivada sea 3x2 ? Por ejemplo d 3 ( x ) = 3x2 dx Entonces la función F ( x) = x3 es la que estábamos esperando. ¿Pero será que hay otra función que cumpla con esta ecuación? Recordemos que la derivada de una constante es cero; así que d x3 + C = 3x2 dx
�
�
para cualquier constante C. Esto da la familia de respuestas F( x ) = x 3 + C A continuación vamos a enfocarnos en el siguiente problema general: dada una función f ( x), tenemos que hallar una función F ( x) tal que F ′ (x ) = f ( x). Llamamos a F ( x) una antiderivada de f ( x). El término antiderivada se refiere al hecho que hallar F ( x) es el proceso opuesto a derivar.
Definición 1.1. (Antiderivada). Sea f una función de x. Una función F es llamada antiderivada de f si F′ ( x) = f (x )
Ejemplo 1.1.
La función F ( x) = x 3
es una antiderivada de
f ( x) = 3x2
porque d 3 ( x ) = 3x2 dx
En realidad, cualquier función de la forma F ( x) = x3 + C donde C es una constante es una antiderivada de f (x ) = 3x2 25 15 20 10 15 5 10
5
-3
-2
-1
1
2
3
-5 -3
-2
-1
Ejemplo 1.2.
1
2
3
Las funciones
F ( x) = x 3 − 7,
G( x ) = x 3 + 5
H ( x) = x 3 + 10
y
son todas antiderivadas de f ( x) = 3x2 porque d 3 ( x − 7) = 3x2 , dx
d 3 (x + 5) = 3x2 dx
y
d 3 ( x + 10) = 3x2 dx
En realidad, cualquier antiderivada particular de una función f es un miembro de una colección infinita de funciones antiderivadas de la forma F ( x) + C, donde C es una constante. La función F (x ) + C se refiere a una antiderivada general de f , y C es la constante de integración . Escribimos como f ( x) dx = F ( x) + C
∫
Cuando el valor de C es conocido, una antiderivada con valor conocido de C es llamada antiderivada específica 2
Definición 1.2. (Antiderivadas generales y específicas). Dada una función f ( x ) y una constante arbitraria C,
∫
f ( x) dx = F ( x) + C
es una antiderivada general de f .
Cuando C es conocida, F (x ) + C se llama antiderivada específica.
Ejemplo 1.3.
Para la función f ( x) = 3x2 , F( x ) = x 3 + C
es una antiderivada general, y F( x) = x 3 ,
F ( x) = x 3 + 2
y
F ( x) = x 3 − 7
son antiderivadas específicas.
A NTIDERIVADA DE POTENCIAS d n La regla para derivar potencias se escribe ( x ) = nxn−1 y se resume dx como
• Multiplicación por n. • Restar 1 del exponente para conseguir el nuevo exponente n − 1. El procedimiento inverso de hallar la antiderivada se resume como
• Sumar 1 al exponente para conseguir el nuevo exponente n + 1. • Dividir el nuevo exponente n + 1. • Sumar la constante de integración + C 3
Teorema 1.1. (Regla de antiderivada para potencias).
∫ Ejemplo 1.4.
para cualquier n̸= − 1
La antiderivada general de f ( x) = x 2 es
∫ Ejemplo 1.5.
x n +1 + C n + 1
x n dx =
x 2+ 1 x3 x dx = + C = + C 2 + 1 3 2
La antiderivada general de f ( x) = x es
∫
x dx =
x 1+ 1 x2 + C = + C 1 + 1 2
A NTIDERIVADA DE FUNCIÓN POR CONSTANTE Debido a que la derivada y la antiderivada están relacionadas, algunas reglas que se aplican para calcular derivadas, también se aplican para calcular antiderivadas. La regla de derivada para producto de constante por función es Si g( x) = k f ( x), entonces g′ ( x) = k f ′ ( x) Una regla similar se aplica para antiderivadas.
Teorema 1.2. (Regla de antiderivada para constante por función).
∫
∫
k f ( x) dx = k
4
f ( x) dx
Ejemplo 1.6.
La antiderivada general de f ( x) = 4x3 es
∫
5x3 dx = 5
∫
x3 dx = 5
x 3+1 5x4 + C = + C 3 + 1 4
Ejemplo 1.7.
La antiderivada general de la función f ( x) = 4 puede ser calculada tratando a f como la potencia f ( x) = 4x0 , pues, x 0 = 1
∫
4x0 dx = 4
∫
x0 dx = 4
x 0+1 + C = 4x + C 0 + 1
A NTIDERIVADA PARA SUMAS Y DIFERENCIAS La siguiente propiedad de antiderivadas puede ser deducida fácilmente de lña regla de la suma y la regla de la diferencia para derivadas.
Teorema 1.3. (Regla de la suma y la diferencia para antiderivadas).
∫ ∫ ∫ [ ( ) + ( )] = ( ) + ( ) ∫ ∫ ∫ f x
g x dx
[ f ( x) − g ( x)]dx =
Ejemplo 1.8.
f x dx
g x dx
f ( x) dx −
g ( x) dx
La antiderivada general de la función f (x ) = 5x3 + x + 3 5
es
∫
(5x3 + x + 3) dx = =
∫
5x3 dx +
� 5x 4
4
∫
x dx +
� �x
+ C1 +
∫
3 dx
2
2
�
+ C2 + (3x + C3 )
5x4 x 2 = + + 3x + C 4 2
Ejemplo 1.9.
La antiderivada general de la función f ( x) = x 4 − 2x
es
∫
(x4 − 2x) dx =
∫
=
�x
x4 dx − 2 5
5
∫
x dx
� �x
+ C1 − 2
2
2
+ C2
�
x5 = − x 2 + C 5
A NTIDERIVADA DE FUNCI ONES POLINÓMICAS Aplicando repetidamete las antiderivadas de constantes, antiderivadas de potencias y antiderivadas de la suma, podemos hallar la fórmula de antiderivada para funciones polinómicas.
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(Tasa de naciEjemplo 1.10. mientos). En una determinada ciudad, el número bebes nacidos cada año, se incrementa lentamente. El último año nacieron 1’185,800 niños en dicha ciudad. Para la siguiente década, la razón de cambio en el número partos por año se pronostica por el siguiente modelo
b (t) = − 1.6t + 87 miles de nacimientos por año donde t se mide en años y t = 0 corresponde al final del último año. (i) Hallar una antiderivada general para la función b(t) = −1.6t + 87. ¿Cuáles son las unidades de medida para la antiderivada general? (ii) Escribir un modelo para el número anual de recien nacidos. (iii) Use la función en la parte (ii) para estimar el número de bebes que deberán nacer durante el último año del modelo para la década.
Solución. (i) La antiderivada general para b (t) = − 1.6t + 87 es B (t ) =
∫
(b(t) = − 1.6t + 87) dt = − 0.8t2 + 87t + C
Multiplicando la unidad de medida de las salidas para b (miles de nacimientos por año), por la unidad de medida de las entradas para b (años), obtenemos la unidad de medida de la salida para B (miles de nacimientos). Para la siguiente década, el número de nacimientos anuales, t años despues del final del último año puede ser modelado como B(t) = − 0.8t2 + 87t + 1, 185.8 miles de nacimientos 7
(ii) Una antiderivada específica para b puede ser calculada usando la información dada para los partos del último año: 1,185.8 miles de nacimientos para el año t = 0. Resolviendo B (0) = 1, 185.8 para C nos da C = 1, 185.8. La gráfica de la antiderivada específica con C = 1, 185.8 se ve en la figura derecha.
B(t
(miles de nacimientos
t años
desde el final del último año
(iii) El número de bebes nacidos durante el décimo año del modelo se estima como B(10) = 1, 975.8 miles de nacimientos.
Ejemplo 1.11.
(Caída de un piano). Un caricaturista quiere asegurar-
se de que sus dibujos animados retraten las leyes de física con exactitud. En una particular caricatura que él crea, un piano cae desde la parte superior de un décimo piso (suponga que un piso equivale a 13 pies) (i) Hallar un modelo para la aceleración, en función del tiempo t. (ii) Hallar un modelo para la velocidad, en función del tiempo t. (iii) Hallar un modelo para la altura del piano, t segundos despues de su caída. (iv) ¿Cuántos segundos debe pasar para que en la caricatura, el piano llegue a tocar el suelo?
Solución. (i) La aceleración de un objeto quer cae se describe de acuerdo al siguiente modelo a(t) = − 32 pies/seg2 8
donde t es el tiempo en segundos. (ii) La velocidad es la acumulación de la aceleración con respecto al tiempo, la cual es dada por la antiderivada de la función aceleración a: v (t ) =
∫
a(t) dt = − 32t + C pie/seg
En este caso, debido a que el piano comienza a caer en el tiempo t = 0, la velocidad en el tiempo t = 0 es cero. Resolviendo v (0) = 0 obtenemos C = 0. El modelo para la velocidad del piano que cae es v(t) = − 32t pie/seg donde t es el número de segundos desde que el piano comienza su caída. (iii) La posición (es la acumulación de la velocidad) es dada por la antiderivada de la función velocidad v: p(t) =
∫
v (t) dt = − 16t2 + C pies
El piano comienza su caída desde los 130 pies de altura. Utilizando p (0) = 130, obtenemos C = 130. El modelo para la posición del piano, t segundos despues de iniciar su caída es p(t) = − 16t2 + 130 pies (iv) Para determinar ¿Cuántos segundos luego de que el piano comienza a caer, deberá tocar el suelo? debemos resolver p (t) = 0 para t (allí existen 2 soluciones y lo que nos interesa es la parte positiva). t ≈ 2.9 segundos O sea, en la caricatura, el piano deberá tocar el suelo 2.9 segundos luego de que el piano comienza a caer.
9
A NTIDERIVADA DE x −1 Ya conocemos la antiderivada para potencias x a con la excepción de 1 x−1 . Sin embargo, la derivada de ln x es x
Teorema 1.4. (Antiderivada para 1/x).
∫ Ejemplo 1.12.
1 dx = ln | x| + C x
La antiderivada general de f ( x) = 3x−1 para x
∫
3x−1 dx = 3
Ejemplo 1.13.
∫
x2 + 1 dx = x
∫
>
0 es
1 dx = 3 ln x + C x
La antiderivada general de f ( x) = ( x2 + 1)/x es
∫ � � 1 x + x
dx =
∫
Ejemplo 1.14.
La razón de cambio para la velocidad promedio de una persona, que camina de una ciudad a otra, puede ser modelada como v′ ( p ) =
para x̸= 0
0.083 m/s por persona p 10
x dx +
∫
x2 1 + ln | x| + C dx = x 2
donde p varía entre 1,300 y 2’200,000 personas. La gráfica para esta función se presenta en la figura de abajo. (i) Hallar una antiderivada general para v ′ con respecto a p. (ii) Hallar un modelo para la velocidad promedio de caminata. Use el hecho que la ciudad de donde parte la persona tiene una población de 268,309 personas, y que la velocidad de caminata es de 1.46 m/s.
0.00006
v (t ( m s por persona ´
0.00004 0.00002 p personas 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5
Solución. Una antiderivada general para v ′ es v( p) =
∫
v′ ( p ) d p = 0.083 ln p + C m/s
(ii) Usando v (268, 309) = 1.46 hallamos que C ≈ 0.42. La velocidad promedio en la caminata en una ciudad de población p puede ser modelada como v( p ) = 0.083 ln p + 0.42 m/s donde p varía entre 1,300 y 2’200,000 personas.
A NTIDERIVADA PARA FUNCIONES EXPONENCIALES Recordemos que la derivada de f ( x) = e x es e x . Similarmente, la antiderivada de f ( x) = e x es también e x más una constante. 11
Teorema 1.5. (Antiderivada para e x ).
∫
e x dx = e x + C
La regla para e x es un caso especial de la antiderivada para funciones exponenciales de la forma a x para cualquier número real a. La derivada de la función a x es ax ln a. El proceso inverso de hallar la antiderivada general para esta función consiste en dividir ax por ln a y sumar una constante.
Teorema 1.6. (Antiderivada para a x ).
∫ Ejemplo 1.15.
ax a dx = + C ln a x
La antiderivada general de la función f ( x ) = 3 (2.7x )
es
∫
x
3(2.7 ) dx = 3
∫
x
2.7 dx = 3
x
� 2.7 � ln2.7
+ C
La derivada de f ( x) = ekx se halla multiplicando e kx por k . El proceso inverso para hallar la antiderivada general consiste en dividir e kx por k y luego sumar una constante. 12
Teorema 1.7. (Antiderivada para e kx ).
∫ Ejemplo 1.16.
ax a dx = + C ln a x
La antiderivada general de la función f ( x) = 5 (e0.3x )
es
∫
5(e0.3x ) dx = 5
Ejemplo 1.17.
∫
e0.3x dx = 5
0.3x
� e � 0.3
+ C
La antiderivada general de la función f ( x) = e 2x )
es
A NTIDERIVADA PARA LOGARITMOS La fórmula de la antiderivada para la función f (x ) = ln x no es intuitiva. Aquí damos el enunciado sin demostración. 13
Teorema 1.8. (Antiderivada para el logaritmo).
∫ Ejemplo 1.18.
ln x dx = x ln x − x + C para x
>
0
(Producción marginal). La producción marginal de
una planta de ensamblaje de autos puede ser modelado como Q′ ( L) = 125 − 54.2 ln L donde L es el número (en miles) de empleados de la planta, 0.5 < L < 12. Con 3000 empleados, es suficiente para que en la planta se produzca 309 autos. (i) Hallar la antiderivada general para la función de producción marginal. (ii) Hallar el modelo para dicha función de producción. (iii) ¿Para qué nivel de trabajo, la producción se maximiza?
Solución. (i) La antiderivada general para la función de producción marginal es Q( L ) =
∫
(125 − 54.2 ln L)dL = 125L − 54.2( L ln L − L ) + C autos
(ii) Usando el hecho que 3000 empleados producen 309 autos y resolviendo Q (3) = 309 para hallar C, conseguimos C ≈ −49.966 14
Entonces la función de producción para autos comerciales puede ser modelado como Q( L) ≈ 125L − 54.2( L ln L − L ) − 49.966 autos donde L miles es el número de empleados de la planta, 0.5
<
L
<
12.
(iii) Para determinar el número de trabajadores que maximiza la producción, debemos hacer que la función de producción marginal se anule, o sea, Q ′ ( L) = 0. Esto nos da L ≈ 10 Esto indica que cuando el número de empleados es 10,000 la producción se maximiza alcanzando a producir Q(10) = 544 autos
A NTIDERIVADA PARA EL SE NO Y COSENO Así como en las reglas de derivación para el seno y el coseno, las antiderivadas para el seno y el coseno también están relacionadas.
Teorema 1.9. (Antiderivada para el seno y el coseno).
∫ ∫
sen x dx = − cos x + C cos x dx = sen x + C
El modelo sinusoidal de la forma f (x ) = a sen(bx + h ) + k es una función compuesta y para determinar la derivada de esta función se emplea la regla de la cadena. La rtegla de la cadena en el caso simple g( x) = sen(bx + h ) es el producto de la derivada de sen u por u = bx + h, o sea, b. 15
El proceso inverso significa que debemos dividir la antiderivada de cos u por b; sen(bx + h ) cos(bx + h ) dx = b
∫
Usando esta antiderivada para cos (bx + h), podemos hallar la antiderivada de j ( x) = a cos(bx + h ) + k
∫
[ a cos(bx + h ) + k ] dx = a
sen(bx + h ) + kx + C b
Similarmente, la antiderivada general de f ( x) = a sen(bx + h ) + k es
∫
[ a sen(bx + h ) + k ] dx = a
− cos(bx + h ) + kx + C b
Teorema 1.10. (Antiderivada para el seno y el coseno).
∫ [ ∫
− cos(bx + h ) + kx + C b sen(bx + h ) [ a cos(bx + h ) + k ] dx = a + kx + C b a sen(bx + h ) + k ] dx = a
16
