Métodos Numéricos
Unidad 5: Resolución de ecuaciones no lineales
Prof. Karin Saavedra / 2014-1
Unidad 5: Resolución de ecuaciones no lineales
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Capítulo 0: Introducción
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Ecuaciones no lineales
•
Estudiaremos algunos métodos básicos de resolución de ecuaciones no lineales.
•
El problema consiste en:
- dada f : R
•
→
R
(no lineal), encontrar
x
tal que f (x) = 0
∈
La solución x se denomina raíz de la función f .
3
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Ecuaciones no lineales f (x) = ax 2 + bx + c = 0
•
Solución analítica ( no siempre)
x=
−b ±
√
b2
2a
− 4ac raíces
•
Métodos gráficos (poco precisos)
•
Método de prueba y error (fortuitos)
•
Métodos sistemáticos iterativos
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Capítulo 1: Método de convergencia garantizada 1. Método de la bisección
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Método de convergencia garantizada Teorema del valor intermedio:
Sea f : [a, b]
→
R una función continua en el intervalo
[a, b] y supongamos
que f (a) < f (b) . Entonces, para cada valor intermedio α
•
∈
z
tal que f (a) < z < f (b), existe
( a, b) tal que f (α) = z . La misma conclusión se obtiene para el caso que f (a) > f (b).
En particular, si f (a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces valor intermedio y, por lo tanto, existe por lo menos una raíz
z
= 0 es precisamente un
de f en el intervalo (a, b).
f (b)
f (a) 6
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Método de bisección
• •
Está basado en el teorema del valor intermedio y tiene una convergencia garantizada Algoritmo: 1. Escójase los valores iniciales
xa
y
xb
tales que f sea contínua y cambie de signo
sobre el intervalo. Esto se puede verificar asegurándose que f (xa )f (xb ) < 0 2. La primera aproximación a la raíz xr
=
xa
x
es:
+ xb 2
3. Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos: a) f (x )f (x ) = 0 por lo tanto, f (x ) = 0 y finaliza el proceso a
r
r
b) f (x )f (x ) < 0 por lo tanto, f tiene una raíz en (x
se define
xb
=
xr
c) f (x )f (x ) > 0 por lo tanto, f tiene una raíz en (xr , x b ) y se define
xa
=
xr
a
a
r
a
, xr ) y
r
4. En los casos (b) y (c) , f tiene una raíz en el nuevo intervalo (xa , x b ). Por lo tanto, el proceso se vuelve a repetir desde (2) con el nuevo intervalo (xa , x b ), hasta que se satisfaga algún criterio de detención.
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Método de bisección xr = 0, 75
xr = 0, 5
0
1
0
0, 5
1
xr = 0, 625
0 8
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Método de bisección
•
Si
es la raíz de la ecuación, entonces los valores
x
k r
calculados en cada paso
(donde k denota el número de iteración) satisfacen:
k r
y, por lo tanto,
x
x
k r
Obs:
•
La cota del error
en el método de la bisección se reduce a la mitad en
cada paso
•
El método puede ser demasiado lento, pero al menos es un método en el que la convergencia está garantizada
•
El método es sólo aplicable al caso escalar (de una sola ecuación), y no se generaliza al caso de sistemas de ecuaciones
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Capítulo 1: Método de convergencia veloz 1. Método de Newton Raphson 2. Método de la secante
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Métodos de convergencia veloz Definición: Una sucesión {xk }k∈N que converge a
si:
para alguna constante C
•
se dice convergente con orden p ≥ 1 ,
> 0.
Si p = 1 se dice que la sucesión converge linealmente a
; si
p = 2
, que converge
cuadráticamente; etc
!
Cuanto mayor es , más velozmente se reduce el error. 11
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Capítulo 1: Método de convergencia veloz 1. Método de Newton Raphson 2. Método de la secante
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Método de Newton-Raphson
•
Se basa en usar una recta tangente a la gráfica de f para aproximar esta gráfica cerca del punto donde la función se anula.
•
Supongamos que tenemos la aproximación
xk
a la raíz
α
de f (x). Trazamos la
recta tangente a la curva en el punto (xk , f (xk )) :
x1
2 x3
(desarrollo de Taylor de primer orden)
•
x0
y = 0
Esta recta cruza al eje de abscisas en un punto xk+1 que será nuestra siguiente aproximación a la raíz . 13
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Método de Newton-Raphson
•
El punto xk+1 donde la recta tangente
corta al eje de abscisas queda determinado por:
•
El método define entonces la sucesión de aproximaciones a
de la manera siguiente:
a partir de una aproximación inicial x0 dada y siempre que f (x0 ) 6 =0 0
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Método de Newton-Raphson
•
La convergencia del método de Newton-Raphson depende de la aproximación inicial (no es incondicional). Si x0 es suficientemente cercana a la solución
x0
, entonces la
convergencia está asegurada. !
•
Sin embargo, no hay una forma práctica de verificar esto.
Es posible demostrar que el error del método de Newton está dado por: f 00 (α) |α − xk+1 | = 0 |α − xk |2 f (α)
entonces, si el método de Newton–Raphson converge, lo hace cuadráticamente (es decir, con orden p = 2 ). 15
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Método de Newton-Raphson
•
Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación
2 x
− 2 = 0 con un error inferior a
−5 10
Solución exacta: α
= 1.414213562373095
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Capítulo 1: Método de convergencia veloz 1. Método de Newton Raphson 2. Método de la secante
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Método de la secante
•
Cuando la derivada de la función f se anula o es difícil de evaluar, conviene utilizar el método de la secante en lugar del de Newton–Raphson.
•
Éste simplemente consiste en reemplazar la 0
derivada f (xk ) por el cociente:
x2
es decir,
x3
x1
x0
y = 0
para k = 1, 2, ... con x0 , x1 dados. 18
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Método de la Secante
•
Como en el método de Newton–Raphson, la convergencia del método de la secante no está siempre garantizada (depende de la elección inicial
x0
), pero cuando tiene
lugar es bastante veloz, con un orden levemente inferior al de Newton–Raphson.
•
Se puede demostrar que:
con
y
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Capítulo 3: Sistemas de ecuaciones no lineales 1. Método de Newton
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Sistemas de ecuaciones no lineales
•
El problema consiste en:
- dada
(no lineal), encontrar
tal que
, para el caso de un sistema de ecuaciones.
•
Una de las ventajas del método de Newton–Raphson además de su velocidad de convergencia, es que se puede generalizar fácilmente a sistemas de ecuaciones no lineales. Esta generalización se conoce como método de Newton.
•
Al igual que en el método de Newton–Raphson, buscamos una aproximación de la solución mediante un desarrollo de Taylor. 21
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Método de Newton
•
Supongamos que que
•
es la solución del sistema de ecuaciones, y es dos veces diferenciable.
Entonces, aplicando el desarrollo de Taylor de primer orden para funciones de varias variables de
en torno a una aproximación de la raíz
, se
tiene que:
donde
es la matriz Jacobiana de
en
:
22
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Método de Newton
•
Si además la matriz jacobinana raíz
•
es invertible, entonces podemos aproximar la
despejándola en la ecuación anterior:
El método de Newton consiste en: dada la aproximación de la solución como nueva aproximación
donde
, tomar
el valor de la expresión anterior:
es la aproximación inicial. 23
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Método de Newton
•
En la práctica no es necesario (ni conveniente) invertir la matriz
, sino que se
utiliza un método menos costoso: resolver en cada iteración el sistema de ecuaciones lineal
•
Así, llamando
, se obtiene el siguiente algoritmo:
24
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Método de Newton
•
La estimación del error del método de Newton–Raphson se pueden generalizar al caso de sistemas de ecuaciones, reemplazando el valor absoluto por una norma vectorial. Así, se obtiene que:
donde
es una constante positiva que depende de las derivadas primeras y
segundas de .
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Método de Newton
•
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones con un error inferior a
−5 10
Graficamente:
•
Funciones a utilizar:
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Método de Newton
•
Algoritmo:
•
Resultados obtenidos:
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