Instituto nacional de México INSTITUTO
Tecnológico
DE
TLAXIACO
CLAVE: 20DIT0004L
MOMBRE:
CARRERA:
GRUPO:
ASIGNATURA:
CATEDRATICO:
Trabajo:
Ciclo escolar: febrero-julio 2015
Tlaxiaco, Oaxaca a 19 de mayo
del 2015.
INTRODUCCIÓN La finalidad de nuestra investigación sobre las integrales indefinidas es Comprender los conceptos básicos del cálculo integral, como también el adquirir destreza en las técnicas de integración. También aplicaremos la integral indefinida en problemas de aplicación de la vida diaria, donde realizaremos ejercicios prácticos, abordaremos las conclusiones a las que hemos llegado y definiremos algunas recomendaciones sobre el tema de nuestra investigación.
Indice INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................
2
INTEGRALES INDEFINIDAS Y SU APLICACIÓN ................................................................. 4 TEOREMA DE VARIGNÓN ....................................................................................................... 5 FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES ....................... 6 LÍMITE DE LA APROXIMACIÓN DE PEQUEÑAS FLEXIONES .......................................... 7 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN .................................................................... 8 CONCLUSIÓN ..........................................................................................................................
10
BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................................
11
CONCEPTO DE INTEGRAL
El cálculo integral es el proceso inverso a la diferenciación. Es decir, es el proceso de determinar la función cuando se conoce su derivada se llama integración, y la función de determinar se denomina la antiderivada o la integral de la función dada, o de otra manera dada la derivada de una función se debe encontrar la función original. Principio.-
Con el objeto de evaluar la antiderivada de alguna función
f (x), debemos
encontrar una función F (x) cuya derivada sea igual a f( x), por ejemplo, supongamos que f(x)= 3x2. Puesto que sabemos que (d/dx) (x 3)= 3x2, concluimos que podemos decir F(x) = x3, en consecuencia, una antiderivada de 3x 2 es x³. El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permite determinar el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos en la suma tiende a infinito. INTEGRALES INDEFINIDAS Y SU APLICACIÓN
No todas las funciones poseen función primitiva, ya que dada una función puede no Existir otra que la tenga por derivada. Ahora bien, cuando una función: ƒ(x), posee función primitiva: F(x), ésta no es única, Sino que existen infinitas funciones primitivas: todas las que difieren de F(x) en una cantidad constante.
En efecto, si F(x) es función primitiva de ƒ(x), se verifica que: F '(x) = ƒ(x) , pues Bien, la función F(x) + C, donde C es un número real cualquiera, también es una función Primitiva de ƒ(x), ya que: [F(x) + C]' = [F(x)]' + [C]' = F '(x) + 0 = F '(x) = ƒ(x) El conjunto formado por todas las funciones primitivas de una función ƒ(x) se Denomina integral indefinida de ƒ(x) dx . La integral indefinida se representa por: ∫ f ( x )dx Se lee: integral de x diferencial de x. ∫ es el signo de integración. f(x) es el integrando o función a integrar. dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra. C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real. Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que: ∫ f(x) dx = F(x) + C
Ya que la constante de integración es arbitraria (es decir, puede ser cualquier número real), la integral así obtenida recibe el nombre más propio de integral indefinida Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar. Sea una función f continua y positiva en el intervalo cerrado [a,b], la medida del área de la región R del plano, acotada por la gráfica de la función y = f(x), el eje x y las rectas x = a y x = b está dada por A
b
f ( x).dx a
Determine, aplicando integrales, el centro de gravedad de una viga de sección triangular de base b y altura h. Verifique con geómetra.
TEOREMA DE VARIGNÓN El momento estático de la resultante de dos o más fuerzas concurrentes respecto a un punto contenido en el plano de las mismas, es igual a la suma algebraica de los momentos estáticos de las fuerzas componentes con respecto al mismo punto.
R. x F1 x . F2.x2 1 Si consideramos que F = A ya que la densidad es constante y trabajamos con secciones planas de área A podremos emplear la expresión de Varignón para encontrar el CENTRO DE GRAVEDAD de figuras planas: n
x g
1
A . x i i n 1
A i
n
y g
1
A . y i i n 1
A i
x g
(8.2).6
2.6 .1
12 16
3,86cm y g
(8.2).1 1,86cm 12 16
2.6 .3
Al momento de inercia es un concepto de gran importancia en toda consideración analítica-estructural. Es un valor dependiente de su sección en función de su posición, tamaño y forma de la misma y determina su capacidad de resistencia a la deformación elástica. Si consideramos dos secciones de igual área pero apoyadas de distinta forma: La sección colocada de canto será capaz de soportar mayor carga porque su forma es más apta para el trabajo de flexión.
FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal. Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican, existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se alargan. Pero hay una línea, denominada eje neutro, que no se acorta ni se alarga. Este eje se encuentra en el centro de gravedad de la sección trasversal. Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y (L) o flecha en función de la fuerza aplicada F , comprobando su relación de proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña. A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable. Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al
Cálculo de la raíz de una ecuación. Integral definida.
Supongamos que
La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable. Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal camb ia muy poco.
En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada
El radio de curvatura de una función y ( x ) es
LÍMITE DE LA APROXIMACIÓN DE PEQUEÑAS FLEXIONES En la figura, se muestra la desviación y/L del extremo libre de la barra en función del parámetro a dimensional α .
En color rojo, los resultados del cálculo, empleando procedimientos numéricos, descrito en el apartado anterior En color negro, la recta y/L=2α /3, aproximación de pequeñas flexiones
Podemos considerar, que la aproximación lineal produce resultados aceptables hasta un cierto valor límite del parámetro α m o bien, hasta un cierto valor máximo de la fuerza aplicada F m en los extremos libre de la barra
VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Suponga que se tiene una región plana y que se la hace girar con respecto a un determinado eje, esta situación provoca que se genere lo que se llama SÖLIDO DE REVOLUCIÓN. 0 360 En primera instancia generalicemos 3 situaciones que se presentan. CASO I. Suponga que se tiene una región plana simple-x, como la que se muestra en la figura. Al girar la región con respecto al eje "x" se formará un sólido de revolución:
El volumen de este sólido de revolución se lo puede calcular de la siguiente manera:
Primero: se determina el volumen del sólido diferencial que se forma al girar el elemento diferencial representativo en torno al eje indicado. Observe que lo anterior también se lo puede ver como que se rebana el sólido y se determina el volumen de una partición. En este caso el sólido diferencial tiene la forma un DISCO, por tanto su volumen está dado por:
Segundo: El volumen de todo el sólido es una suma infinita de los volúmenes de las particiones, es decir:
CONCLUSIÓN Después de la desarrollar la investigación sobre las integrales indefinidas, hemos llegado a las siguientes conclusiones:
Que para la integración indefinida no existen reglas generales, es la práctica sistemática lo que determina la aplicación del método adecuado de integración, según sea el integrando.
BIBLIOGRAFÍA wikipedia.org/wiki/Integración
www.uoc.edu/in3/emath/docs/Integral_Definida.pdf
www.scribd.com/doc/.../Integrales-Indefinidas -
www.scribd.com/.../CALCULO-DIFERENCIAL-E-INTEGRAL-II-FAS2-LA INTEGRAL-INDEFINIDA-
www.upao.edu.pe/new_pregrado/.../12/.../MATEMATICA_II.pdf Feynman, Leighton, Sands. The Feynman Lectures on Physics V-II. Edt. Fondo Educativo Interamericano, págs. 38.15-17. Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Flexión de una barra delgada empotrada en un extremo: Aproximación para pequeñas pendientes. Revista Brasileira de Ensino de Física. 24 (4) Dezembro 2002, págs, 399- 407. Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Large and small defections of a cantilever beam. Eur. J. Phys. 23 (2002) pp. 371-379
