ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA DOCENTE: ING. CLAUDIO VELAZQUEZ ACEVEDO ING: MECANICA
ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA - 2
Contenido
Introducción al análisis dimensional…………………………………...3 Teorema de Buckingham…………………………………... ..................3 Números adimensionales…………………………………......................6 Números de Euler …………………………………............................. ....7 Números de Froude…………………………………............................ ...8 Números de Reynolds…………………………………..........................10 Números de Weber …………………………………...…………………11 Números de Match…………………………………...............................12 Correlación de datos experimentales……………………………………12 Modelos y Semejanzas Dinámicas……………………………………....13
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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA - 3 ANÁLISIS DIMENSIONAL El análisis dimensional es una herramienta conceptual muy utilizada en la física, la química y la ingeniería para ganar comprensión de fenómenos que involucran una combinación de diferentes cantidades físicas. Es además, rutinariamente utilizada para verificar relaciones y cálculos, así como para construir hipótesis razonables sobre situaciones complejas, que puedan ser velicadas experimentalmente.
TEOREMA DE BUCKINGHAM (EXPRESIÓN MATEMÁTICA) Dado un problema físico en el que el parámetro dependiente es función de n1 parámetros independientes, se puede expresar la relación entre las variables de manera funcional como:
donde q1 es el parámetro dependiente y q2 ,q3 ,...,qn son n-1 parámetros independientes. Matemáticamente se puede expresar la ecuación anterior como:
donde g es una función no especificada, pero diferente de f . El Teorema de Buckingham establece que dada una relación entre n parámetros de la forma
los n parámetros pueden agruparse en n-m parámetros adimensionales independientes (o parámetros ) que se expresan de manera funcional como:
o de otra forma
El número m usualmente (pero no siempre) es igual al número mínimo de dimensiones independientes que se requieren para especificar las dimensiones de todos los parámetros q1 ,q2 ,...,qn. El teorema no predice la forma funcional de G o G1. Estas deben ser determinadas experimentalmente.
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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA - 4 Procedimiento para el empleo del Teorema p de Buckingham en un análisis dimensional. El análisis dimensional de un problema se lleva a cabo en tres etapas. Dentro de la segunda de estas etapas se aplica el Teorema p de Buckingham para obtener los parámetros adimensionales que el problema requiera. La aplicación del Teorema de Buckingham consta de seis pasos.
1. Establecer una lista apropiada de parámetros. 2. Obtener los parámetros adimensionales usando el teorema de Buckingham. 3. Listar todos los parámetros significativos. (Sea n el número de parámetros). 4. Seleccionar un conjunto fundamental (primario) de dimensiones. 5. Listar las dimensiones de todos los parámetros, expresándolos en función de las dimensiones primarias. (Sea r el número de dimensiones primarias). 6. Seleccionar de la lista de parámetros que se elaboró en el Paso 1, aquellos que se repetirán en los parámetros adimensionales que se han de formar. Estos parámetros que se repiten deberán ser iguales en número a las dimensiones primarias y deberá evitarse omitir alguna de ellas. (Sea m el número de parámetros que se repiten). 7. Establecer las ecuaciones dimensionales que combinen los parámetros que se repiten y que se seleccionaron en el Paso 4 con cada uno de los parámetros restantes, buscando formar parámetros adimensionales. (Sean n-m el número de ecuaciones que se obtendrán). Resolver estas ecuaciones dimensionales para obtener los n-m parámetros adimensionales. 8. Verificar que cada parámetro obtenido resulte adimensional. Ejemplo de Aplicación. En el tema VII de Ondas se vio que la velocidad de propagación de una onda es función de la longitud de onda (l ) y la frecuencia (f) de dicha onda y en el caso de ondas estacionarias generadas en el laboratorio también era función de la fuerza (F) aplicada a una cuerda y de la densidad lineal (m ) de dicha cuerda para generar la onda.
1. .... 2. . 1. V f F n = 5 parámetros 2. Dimensiones primarias: [M], [L] y [T] 3. V f F
r = 3 dimensiones primarias 4. , f, m = r = 3 parámetros repetitivos 4
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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA - 5 2.-Se obtendrán n-m = 2 parámetro adimensionales. Estableciendo la ecuación dimensional
Igualando los exponentes de M, L y T
De manera semejante
Verificando los resultados
La relación funcional es 1=g( 2 ), o bien
La forma de la función g debe determinarse experimentalmente. 1.-Experimentalmente y aplicando teoría se sabe que y si se igualan las expresiones se puede obtener que
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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA - 6 Experimentalmente lo único que tiene que variarse para ver la relación con la V es el cociente (F/ 2 f 2 ) lo cual se puede obtener con sólo variar la fuerza aplicada o con sólo variar la frecuencia
NÚMEROS ADIMENSIONALES
Número de Arquímedes Número de Brinkman Número de capilaridad Número de Dean Número de Deborah Número de Eckert Número de Ekman Número de Eötvös Número de Fourier Número de Graetz Número de Grashof Número de Hagen Número de Karlovitz Número de Knudsen Número de Laplace Número de Lewis Número de Marangoni Número de Morton Número de Nusselt Número de Ohnesorge Número de Péclet Número de Prandtl Número de Rayleigh Número de Richardson Número de Schmidt Número de Sommerfeld Número de Stefan Número de Stokes Número de Strouhal Número de Weissenberg Número de Womersley
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NÚMERO DE EULER El Número de Euler llamado así en honor al matemático suizo Leonhard Euler posee dos formulaciones, una matemática y otra física.
Formulación matemática En matemáticas, en el área de la teoría de números, los números de Euler son una secuencia E n de números enteros definidos por el siguiente desarrollo de la serie de Taylor:
donde t es el ángulo del coseno hiperbólico. Los números de Euler aparecen como un valor especial en los polinomios de Euler. Para valores impares, los valores de las series obtenidas son todos ceros; mientras que para valores pares, los números obtenidos tienen los signos alternados. Algunos valores son: E 0 = 1 E 2 = −1 E 4 = 5 E 6 = −61 E 8 = 1.385 E 10 = −50.521 E 12 = 2.702.765 E 14 = −199.360.981 E 16 = 19.391.512.145 E 18 = −2.404.879.675.441
Algunos matemáticos alteran los desarrollos para así poder evitar los ceros derivados de los valores impares y para convertir todos los valores en números positivos. Los números de Euler aparecen en los desarrollos de Taylor de la secante y de la secante hiperbólica.
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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA - 8 Formulación física El Número de Euler (Eu) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos. Expresa la relación entre una pérdida de presión (por ejemplo un estrechamiento) respecto a la energía cinética por volumen del flujo. Se usa para caracterizar pérdidas de carga en el flujo. Se define como:
En donde:
ρ es la densidad del fluido. p(0) es la presión aguas arriba. p(1) es la presión aguas abajo. V es la velocidad característica del flujo.
Con una estructura parecida pero con un significado diferente existe el número de cavitación.
NÚMERO DE FROUDE El número de Froude (Fr) es un número adimensional que relaciona el efecto de las fuerzas de inercia y la fuerzas de gravedad que actúan sobre un fluido. Debe su nombre al ingeniero hidrodinámico y arquitecto naval inglés William Froude (1810 1879). De esta forma el número de Froude se puede escribir como:
Descripción Las fuerzas de inercia ( F ), en base al segundo principio de la dinámica, se define como el producto entre la masa (m) y la aceleración (a), pero como nos referimos a un fluido escribiremos la masa en como densidad por volumen. En forma dimensional se escribe:
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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA - 9 Para simplificar la definición de fuerzas de inercia en nuestro sistema escribiremos
Donde l y t serán, respectivamente, una distancia y un tiempo característicos de nuestro sistema.
El peso (P) resulta ser el producto entre la masa y la aceleración de la gravedad.
Que igualmente, para simplificar reescribiremos así: 3
P = ρgl
Entonces la relación entre las fuerzas de inercia y de gravedad se puede escribir así:
Entonces se define el número de Froude:
ρ - masa volumétrica o densidad [kg/m³] l - parámetro de longitud [m] t - parámetro temporal [s] v - parámetro de velocidad [m/s] g - aceleración de la gravedad [m/s²]
Número de Froude en canales abiertos
El número de Froude en canales abiertos nos informa del estado del flujo hidráulico . 2 El número de Froude en un canal se define como:
Siendo:
1
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v - velocidad media de la sección del canal [m/s]
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y - Altura de la lámina de agua, medido perpendicular desde la solera o la superficie
del canal [m] g - aceleración de la gravedad [m/s²]
En el caso de que:
Sea Fr > 1 el régimen del flujo será supercrítico Sea Fr = 1 el régimen del flujo será crítico
Sea Fr < 1 el régimen del flujo será subcrítico
NUMERO DE REYNOLDS El número de Reynolds relaciona la densidad, viscosidad, velocidad y dimensión típica de un flujo en una expresión adimensional, que interviene en numerosos problemas de dinámica de fluidos. Dicho número o combinación adimensional aparece en muchos casos relacionado con el hecho de que el flujo pueda considerarse laminar (número de Reynolds pequeño) o turbulento (número de Reynolds grande). Desde un punto de vista matemático el número de Reynolds de un problema o situación concreta se define por medio de la siguiente fórmula:
o equivalentemente por:
Dónde: ρ: densidad del fluido Vs: velocidad característica del fluido D: diámetro de la tubería a través de
la cual circula el fluido o longitud característica del
sistema μ: viscosidad dinámica del fluido ν: viscosidad cinemática del fluido
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NÚMERO DE WEBER El número de Weber (We) es un número adimensional utilizado en mecánica de fluidos y que es útil en el análisis de flujos en donde existe una superficie entre dos fluidos diferentes. Es una medida de la importancia relativa de la inercia del fluido comparada con su tensión superficial. Por ejemplo, este número es útil en analizar flujos multifásicos en superficies curvadas, flujos de capas finas y en la formación de gotas y burbujas. Se denomina así en honor a Moritz Weber (1871-1951) y se escribe como:
en donde:
ρ es la densidad del fluido. v es la velocidad del fluido. l es una longitud característica. σ es la tensión superficial.
El número de Weber es un parámetro importante en atomización de un líquido. El número de Weber da la razón característica entre las fuerzas aerodinámicas que ejercen el gas sobre una película delgada y las fuerzas de tensión que actúan en la superficie del líquido. La tensión superficial del líquido en la superficie de una gota es lo que mantiene la forma de la misma. Si una gota pequeña es sometida a la acción de un chorro de aire, y existe una velocidad relativa entre el gas y la gota, fuerzas inerciales debido a dicha fuerza hacen que la gotita se deforme. Si el número Weber es demasiado grande, las fuerzas inerciales superan a las fuerzas de tensión superficial, hasta el punto en que la gota se desintegra en gotas aún más pequeñas. A números de Weber pequeños el líquido experimenta separación subcrítica, en la cual la tensión superficial jala la delgada capa líquida hacia una sola columna que después se separa para formar gotas relativamente grandes. A valores supercríticos de Weber, la película líquida se separa de forma aerodinámica en finos tamaños de gotas del orden del grosor de la película L. Por lo tanto, el criterio del número de Weber puede ser útil al pronosticar el tamaño esperado de la gota en la atomización de un líquido, y es un parámetro significativo en la combustión de una turbina de gas y en los cohetes. El número de Weber no interviene si no hay superficie libre excepto si hay cavitación de líquido a valores muy bajos de número de Euler. Por lo tanto, en fluidos viscosos a bajas velocidades sin superficie libre el único parámetro adimensional importante es el número de Reynolds.
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NÚMERO MACH El Número Mach (M), conocido en el uso coloquial como mach (pronúnciese /ˈmɑːx/ o /ˈmɑːk/), es una medida de velocidad relativa que se define como el cociente entre la velocidad de un objeto y la velocidad del sonido en el medio en que se mueve dicho objeto. Dicha relación puede expresarse según la ecuación
V s es equivalente a 1224 km/h, 760 mph o 340 m/s.
Es un número adimensional típicamente usado para describir la velocidad de los aviones. Mach 1 equivale a la velocidad del sonido, Mach 2 es dos veces la velocidad del sonido, etc.
CORRELACIÓN DE DATOS EXPERIMENTALES
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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA - 13 MODELOS Y SEMEJANZAS DINÁMICAS
Análisis Dimensional y Semejanza Dinámica:
Los parámetros adimensionales profundizan en forma significativa nuestro entendimiento sobre los fenómenos del flujo de fluidos en forma análoga al caso del gato hidráulico. Donde la relación entre los diámetros del pistón. Un número adimensional que es independiente del tamaño real del gato, determina la ventaja mecánica. Estos parámetros permiten que resultados experimentales limitados sean aplicados a situaciones que involucran dimensiones físicas diferentes y a menudo propiedades fluidas diferentes. Es posible llevar a cabo menos, aunque altamente selectivos, experimentos con el fin de descubrir las facetas escondidas del problema y por lo tanto lograr importantes ahorros en tiempo y dinero. Los resultados de una investigación pueden presentarse también a otros ingenieros y científicos en forma más compacta y significativa con el fin de facilitar su uso. Es igualmente importante el hecho de que, a través de esta presentación incisiva y ordenada de información, los investigadores puedan descubrir nuevos aspectos y áreas sobre el conocimiento del problema estudiado. Este avance directo de nuestro entendimiento de un fenómeno se debilitaría si las herramientas del análisis dimensional no estuvieran disponibles.
Muchos de los parámetros adimensionales pueden ser vistos como la relación de un par de fuerzas fluidas, cuya magnitud relativa indica la importancia relativa de una de las fuerzas con respecto a la otra. Si algunas fuerzas en una situación de flujo particular son mucho más grandes que las otras, a menudo es posible despreciar el efecto de las fuerzas menores y tratar el fenómeno como si estuviera completamente determinado por las fuerzas mayores. Esto significa que se pueden utilizar procedimientos matemáticos y experimentales más simples, aunque no necesariamente fáciles, para resolver el problemas. En aquellas situaciones con varias fuerzas con la misma magnitud, tales como las fuerzas inerciales, viscosas y gravitacionales, requieren técnicas especiales. Después de una discusión de dimensiones, se presentan el análisis dimensional y los parámetros adimensionales, la similitud dinámica y los estudios en modelos. Estudios en Modelos y Similitud.
Frecuentemente se emprenden estudios sobre modelos de estructuras y máquinas hidráulicas propuestas como una ayuda en el diseño. Éstos permiten una observación visual del flujo y hacen posible obtener cierta información numérica, por ejemplo, calibraciones de vertederos y compuertas, profundidades de flujo, distribuciones de velocidad, fuerzas sobre compuertas, eficiencias y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presión y pérdidas. 13
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Si se desea obtener información cuantitativa acertada de un estudio con un modelo, debe existir similitud dinámica entre el modelo y el prototipo. Esta similitud requiere (1) que exista similitud geométrica exacta y (2) que la relación de presiones dinámicas en puntos correspondientes sea una constante. Este segundo requerimiento también puede expresarse como una similitud cinemática, es decir, que las líneas de corriente deben ser geométricamente similares.
La similitud geométrica se extiende a la rugosidad superficial real del modelo y el prototipo. Si el modelo tiene un décimo del tamaño del prototipo en cualquier dimensión lineal, la altura de las proyecciones de la rugosidad debe tener la misma relación. Para que las presiones dinámicas tengan la misma relación en puntos correspondientes del modelo y el prototipo, las relaciones de los diferentes tipos de fuerzas deben ser las mismas en puntos correspondientes. Por consiguiente, para una similitud dinámica estricta, los números de Mach, Reynolds, Froude y Weber deben ser los mismos tanto en el modelo como en el prototipo. Cumplir estrictamente con estos requerimientos, generalmente, es algo imposible de alcanzar, excepto para el caso de una relación de escala 1:1. Afortunadamente, en muchas situaciones solamente dos de las fuerzas tienen la misma magnitud. Como ayuda para entender los requerimientos de la similitud se puede considerar el análisis del flujo alrededor de una esfera en un laboratorio; las esferas prototipo (mundo real) y modelo se muestran en la figura. Por supuesto, la similitud geométrica se asegura si el modelo también es una esfera. Adicionalmente cada dimensión lineal debe cumplir con la relación de Dm/Dp. Esto incluye también las proyecciones de la rugosidad de pequeña escala. Figura: Similitud Geométrica y Dinámica para el Flujo sobre una Esfera Similitud geométrica Similitud cinemática = Similitud dinámica
La similitud dinámica se asegura haciendo que los polígonos de fuerza en el modelo y en el prototipo sean similares. Sobre cada esfera están actuando tres fuerzas netas, la fuerza de presión, fp; la fuerza viscosa o de corte, ft y la fuerza inercial debida a la aceleración. Fi. Estas fuerzas deben formar un polígono cerrado tal como se muestra para el prototipo de la figura. El polígono de fuerzas para el modelo debe ser similar al del prototipo en el sentido de que debe ser cerrado y escalado linealmente. Para asegurar tal similitud, la relación de cada lado debe mantenerse. El asegurar la igualdad entre los polígonos de fuerzas de modelo y prototipo, se consigue igualar los números adimensionales entre modelo y prototipo. Cumplir estrictamente con estos requerimientos generalmente es algo imposible de alcanzar, a menos que la relación de escala sea 1:1. 14
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