Análisis dimensional y semejanza. Ejercicios Resueltos: 1.- La fuerza axial de una hélice, comletamente sumer!ida en a!ua, se ha "isto #ue deende de: $ %diámetro de la hélice&, ' %"elocidad de deslazamiento&, ( %densidad del fluido&, f luido&, ) %'elocidad de rotaci*n&, ! %aceleraci*n de la !ra"edad& y + %"iscosidad dinámica del fluido&. alcular los arámetros adimensionales, eli!iendo como "ariales reetidas, las indicadas en los rimeros lu!ares, siemre #ue sea osile. Resoluci*n: Como se indica en el enunciado se sabe por la experiencia que la fuerza axial F de una hélice depende de una serie de variables, es decir:
F = f (D, V, ρ, , !, "# $n%ervienen en el proceso & variables de las cuales ' son independien%es )as en%idades o variables f*sicas fundamen%ales son +: , ), - .or %an%o el n/mero de par0me%ros adimensionales es: &1+ = 2 )o fundamen%al primeramen%e es es%ablecer la ecuaci3n de dimensiones correc%a de cada variable del proceso:
F
D
V
ρ
4
"
5
1
1
5
1
1
5
)
5
5
5
1+
1
5
15
-
16
1
15
1
15
16
15
)as variables repe%idas para ob%ener los par0me%ros son: D, V, ρ Con %odo definido, se calcular0n los par0me%ros 7: 85 = F D 9 V
ρᵞ = ; ); -;
76 = D 9< V< ρᵞ< = ; ); -; 7+ = ! D 9 V ρᵞ = ; ); -; 72 =" D9< V< ρᵞ< = ; ); -; >us%i%u?endo las variables por su ecuaci3n de dimensiones: 85 = ) -16 )9 ) -1 -1 ᵞ )1+ᵞ = ; ); -;
@s%ableciendo ? resolviendo las ecuaciones de i!ualdad de exponen%es:
@n : en ): en -:
5AB=; 5 A 9 A 1 +B = ; 16 1 = ;
B = 15 9 = 1+ A 6 15 = 16 = 16
>us%i%u?endo: 75 = F D 16 V16 ρ15 = F D6 V6 ρ De la misma forma se resuelven los res%an%es par0me%ros, resul%ando: 86 = D V 8+ = ! D V 6 , el inverso elevado a E : Froude = Fr = V (!D# 56 82 = " ρ V D , %omando el inverso : n Ge?nolds = Ge = ρ V D " De la funci3n inicial con las variables f*sicas, se pasa a una funci3n con par0me%ros adimensionales: F D6 V6 ρ = ϕ( D V , Fr , Ge # /.- Las érdidas de car!a lineales en una tuer0a de 1 m de diámetro, cuando circula un !as de ( 21,34 5!6 m2 y + 7,7714 8o, siendo su "elocidad media ' /4 m6s, se #uieren determinar mediante una tuer0a modelo con a!ua a /79 y un caudal de 777 l6min. $eterminar la escala !eométrica y la escala de érdidas de car!a, siendo la densidad del a!ua 1777 5!6m2 y la "iscosidad asoluta del a!ua 1 c8o. Resoluci*n: @s%amos en un caso de fluHo en car!a, por ello para que se verifique la semeHanza din0mica, es necesario adem0s de la semeHanza !eomé%rica, la i!ualdad de n/meros de Ge?nolds
Da%os:
.ro%o%ipo D = 5m 4as V = 6K ms M
(%uber*a !as# odelo (<# I = DDJ a!ua a 6; VJ = L MJ = 2;;; lmin
hf
hJf
Ge = VDρ " = VJDJρ< "< Ge = 6K(ms# 5(m# +5,NK (O!m+# 5,Kx5; 12 (O!ms# = K,+;Nx5; ' VJ = MJ (7 DJ 6 2# = (2';# (7 DJ 6 2# = ;,;N2NN DJ 6 Ge = K,+;Nx5; ' = (;,;N2NN DJ 6# ( DJ 5;;; 5; 1+#
Pperando: DJ = ;,;5KQQ m ≅ 5' mm
VJ = ++5,K' ms
)a velocidad VJ es mu? elevada del orden de la onda sonora, se pueden producir variaciones de densidad (compresibilidad# no %enida en cuen%a I = D DJ = 5 ;,;5' = '6,K2 @uler : R. ρ V 6
hf = R. B
R. ρ V 6 ! = R.J ρ< VJ 6 !J
hf V 6 = hJf VJ6
hf hJf = ( V VJ # 6 = ( 6K ++5,K' # 6 = ;,;;K'K
hf J hf = 5&'
→
2.- ;e desea estudiar una resa mediante un modelo a escala 1:<, en donde se mide la "elocidad del a!ua %modelo& y resulta ser 7, m6s. El caudal máximo desa!uado %rototio& or la resa es de 477 m2 6s,. En el modelo se midi* la fuerza ejercida sore la resa resultando ser de /,4 5!. ;e ide calcular: a& Escalas de "elocidades, caudales y fuerzas en funci*n de la escala de lon!itud =. & audal #ue tiene #ue circular en el modelo en l6s. c& 'elocidad del a!ua en la resa en m6s. d& >uerza ejercida sore la resa en ). e& ?@ué condiciones tiene #ue satisfacer el fluido ara #ue la semejanza sea comleta Resoluci*n:
@s%amos en un caso de fluHo en superficie libre, para que se verifique la semeHanza comple%a es necesario adem0s de la semeHanza !eomé%rica, la i!ualdad de n/meros de Ge?nolds, ? de n/meros de Froude Como ?a se han impues%o la escala !eomé%rica, el fluido a u%ilizar (a!ua en modelo ? pro%o%ipo#, ? se %rabaHa en el campo !ravi%a%orio %erres%re, ha? que recurrir a la semeHanza res%rin!ida (como lue!o se ver0# es decir la i!ualdad de n/meros de Froude, adem0s de la semeHanza !eomé%rica ?a que es un caso de fluHo en superficie libre Da%os:
odelo (S# )J
.ro%o%ipo
I = )J) = 52Q
)
VJ = ;,2 ms
V=L
MJ = L
M=K;; m+ s
FJ= 6,K O! a#
Froude: V 6 !D = VJ 6 !DJ
F=L
VJV = ( DJD# 56 = I56
MJM = (VJV#(DJD# 6 = I56 I6 = IK6 FJF = (ρ VJ 6 DJ6 # (ρ V6 D6 # = (VJV# 6 (DJD# 6 = I I6 = I+
b#
MJ = M I K6 = K;; (52Q# K6 = ;,;6Q&K m +s
c#
V = VJI 56 = ;,2 & = 6,N ms
d#
F = FJ I + = 6,K 2Q + = 6Q2566,K O!
e# .ara que la semeHanza sea comple%a, se %iene que verificar, adem0s de la semeHanza !eomé%rica, la i!ualdad de n/meros de Froude ? Ge?nolds, como ?a se ha indicado an%es @s decir fal%a la i!ualdad de /meros de Ge?nolds: Ge = VDT = VJDJT<
T T< = (VVJ#(DDJ# = I 156 I15 = I1+6
T T< = 2Q +6 = +2+ @s decir para que se verifique la semeHanza comple%a, la relaci3n de viscosidades cinem0%icas del fluido de la presa (a!ua# ? del u%ilizado en los ensa?os en el modelo %endr*a que ser: T T< = +2+ T<(modelo# = T (a!ua# +2+
.- La resistencia > al a"ance y el comortamiento de un cuero flotante deende de las si!uientes "ariales: !ra"edad !, lon!itud caracter0stica L, densidad del fluido (, "iscosidad dinámica del mismo +, y de la "elocidad '. a& $educir los arámetros adimensionales #ue inter"ienen en el fen*meno y la ley adimensional de dicho fen*meno. & ;e #uiere hacer un ensayo con un modelo a escala B, de un rototio #ue se re"é #ue esará 1777 5! y na"e!ará en a!ua dulce a /7 9 con una "elocidad de /7 5m6h. ?*mo odrá realizarse el ensayo ?@ué fluido se emleará ?uál dee ser el eso del modelo c& ;i la resistencia media en el modelo es de 47 5! y la otencia #ue consume de /,CC 'D $eterminar la resistencia al a"ance y el rendimiento del rototio. )ota: 'ariales reetidas: (, L, '. Resoluci*n:
a# -al como se indica en el enunciado del problema: F = f (!, ), ρ, ", V # nU de variables = ' n de par0me%ros = + Variables repe%idas: ρ, ), V >
L
F
+
'
G L H
5 5 16
1 5 16
1 5 1
5 1+ 1
5 15 15
1 5 15
)os par0me%ros que se ob%ienen son: 85 = F (ρ V6 )6#
76 = !) V6
7+ = " (VDρ#
)e? adimensional: F (ρ V6 )6 # = f ( Fr , Ge# F = (ρ V 6 )6 # f( Fr , Ge# b#
odelo(S#
.ro%o%ipo
I = W = )J) .eso = L
.eso = 5;;; O!
Fluido = L
X!ua (T = Q,K 5;1& m6 s#
VJ
V = 6; Omh
Gesis%encia =K; O!
G=L
.o%encia = 6,'' CV
.J = L
Y
Y
.ara semeHanza absolu%a se %endr0 que verificar la i!ualdad de n/meros de Froude ? Ge?nolds como indica la le? adimensional Fr = V’2 / gD’ = V2 / Gd
Ge = VJ)JT< = V)T
V’/V = ( D’/D) 1/2 = λ
→
1/2
= 1 /2
T< = T (VJV# ()J)# = TI 56 I = I+6
VJ = V6 = 5; Omh = 5; 5;;; +';; = 6,&N ms T< = Q,K x5; 1& m6 s (52# +6 = 5,6 x5;1& m 6 s mirando en 0baco de viscosidades cinem0%icas en funci3n de la %empera%ura corresponde a: ercurio a 6K C como: F(ρ V6 )6 # = FJ(ρ< VJ 6 )J6 # .esoJ= .(ρ< ρ#I +
.esoJ = .(ρ< ρ#(VJV# 6 ()J)#6
%omando >h! = 5+,'
?
>a!ua = 5
.esoJ = 5;;; 5+,' (52# + = 656,K O! Gesis%encia = GJ (ρ ρ<# (5I# + = K; (55+,'# 2+ = 6+K,+ O! Y = .o%encia u%ilizada .o%encia consumida .o%encia u%ilizada = resis%encia velocidad de desplazamine%o = G V .o%encia consumida = 6,'' CV = 6,'' &K O!ms Y = (K;6,&N O!ms# (6,''&K O!ms# = ;,'Q'& I C<,CJ K
@l rendimien%o es adimensional por %an%o es el mismo en modelo ? pro%o%ipo, cuando ha? semeHanza
4.- $esarrollar una exresi*n #ue de la distancia recorrida en un tiemo H or un cuero #ue cae liremente, suoniendo #ue la distancia deende de la masa del cuero de la aceleraci*n de la !ra"edad y del tiemo:
f (s, Z, !, -# = ; >e enumeran las ma!ni%udes ? sus unidades > = lon!i%ud ()#, Z = fuerza F, ! = aceleraci3n () - 6#, - = %iempo @xis%en 2 ma!ni%udes f*sicas, + de ellas fundamen%ales, de donde (21+# = un n/mero 7 85 = (>x6# (Z?6# (-z6# (!# Xplicando la homo!eneidad de dimensiones F; ); -; = ()x5# (F?5# (-z5# ()-16# $!ualando los exponen%es de F, ), - se ob%iene ?5 = ;, x5 A 5 = ;, z5 [ 6 = ; Gesolviendo: x5 = 15, ?5 = ;, z5 = 6 >us%i%u?endo %enemos: 85 = >15 Z; -6 ! =
W 0 T 2 g S 1
DespeHando s\ ? poniendo
Π 1
= ] se %iene > = ] ! - 6
Como la masa Z %iene exponen%e cero si!nifica que la dis%ancia recorrida es independien%e de la masa el coeficien%e ] se de%ermina por an0lisis f*sico o experimen%al
C.- ;uoniendo #ue la otencia comunicada a una oma es funci*n del eso esec0fico del fluido, del !asto y de la altura comunicada a la corriente, estalecer una ecuaci*n or análisis dimensional.
f (., ^, M, _# = ;
)as ma!ni%udes f*sicas ? sus dimensiones: .o%encia . = F ) - 15 .eso espec*fico ` = F ) 1+ 4as%o M = )+ -15 Car!a _ = ) @xis%en 2 ma!ni%udes f*sicas, + de ellas fundamen%ales, de donde (21+# = un n/mero 7 85 = (M6# (Z6# (_6# (.# 85 = ()+5 -155# (F5 )1+5# ()5# (F)-15# $!ualando los exponen%es de F, ), - se ob%iene ?5 A 5 = ;
+x51+?5 A z5 A 5 = ;
1x515 = ;
Gesolviendo x5 = 15
?5 = 15
z5 = 15
>us%i%u?endo 15
15
15
85 = (M # (^ # (_ # (.# =
P wQH 1
DespeHando .\ ? poniendo
Π 1
= ] se %iene:
.=]^M_ @l coeficien%e ] se de%ermina por an0lisis f*sico o experimen%al
J.- ;uoniendo #ue la fuerza de arrastre ejercida sore un cuero sumer!ido en una corriente fluida es funci*n de la densidad, la "iscosidad y la "elocidad del fluido y de una lon!itud caracter0stica del cuero, desarrollar la ecuaci*n !eneral.
M (F, ρ, ", ), V# = ; )as ma!ni%udes f*sicas ? sus dimensiones son: Fuerza
F=F
Densidad
ρ = F - 6 )12
Viscosidad absolu%a
" = F - ) 16
)on!i%ud
)=)
Velocidad
V = ) - 15
@xis%en K ma!ni%udes f*sicas, de ellas + fundamen%ales, de donde (K [ +# = 6 n/meros 7 @sco!emos la lon!i%ud ), la velocidad V ? la densidad ρ como variables repe%idas con exponen%es desconocidos, se es%ablecen los n/meros 7 como si!ue: 85 = ()a5# ()b5 -1b5# (Fa5-6a5)12a5# (F# $!ualando los exponen%es %enemos: c5 A 5 = ; ,
a5 A b5 1 2c5 = ; ,
1b5 A 6c5 = ;
Gesolviendo c5 = 15 ,
b5 = 16,
a5 = 16
>us%i%u?endo en la ecuaci3n ori!inal 85 = F )6 V6 ρ Xhora resolvemos para 76 76 = ()a6# ()b6-16b# (FC6-6C6)12C6# (F-)16# $!ualando exponen%es se %iene: c6 A 5 = ; ,
a6Ab612c616 = ; ,
1b6 A 6c6 A 5 = ;
Gesolviendo: c6 = 15, b6 = 15, a6 = 15 .or lo %an%o 76 = " ) V ρ
P
76 = ) V ρ "
)a nueva relaci3n escri%a en funci3n de los dos !rupos es: F f 5 ( L 2 V 2 ρ , ()Vρ# "# = ;
Fuerza F = () 6 V6 ρ# f 6 (()Vρ#"# 6
Mue puede escribirse F = (6]G e# ρ )
V 2 2
3.- uando nicamente influyen la !ra"edad y la inercia, demostrar #ue, ara modelo y rototio, la relaci*n de !astos @ es i!ual a la relaci*n de lon!itudes ele"ada a cinco medios. Qm Qv
L 3 m / Tm
=
L 3 v / Tv
=
L 3 r Tr
_a? que es%ablecer la relaci3n de %iempos para las condiciones que influ?en en el fluHo )as expresiones para la !ravedad ? las fuerzas de inercia pueden escribirse como si!ue
Gravedad
Inercia:
$!ualando las relaciones de fuerzas,
De la que despeHamos la relaci3n de %iempos se lle!a a
Como ! es i!ual a la unidad, la sus%i%uci3n en la relaci3n de !as%os conduce a la expresi3n buscada
<.- 8ara una turomá#uina los arámetros adimensionales #ue la ri!en son:
;e tiene una oma #ue mue"e J4 Mm 2 6hN, con una altura de 24 Mm caN y consume una otencia de 12,2 MhN, cuando oera a /<77 MrmN y con un diámetro exterior del rodete de 137 MmmN. ?uáles son sus condiciones de oeraci*n a 2447 MrmN y con el rodete reducido a 1J7 MmmN de diámetro
-ra%0ndose de la misma m0quina que opera baHo o%ras condiciones se da la simili%ud !eomé%rica ? din0mica, en%onces se debe cumplir que los par0me%ros adimensionales correspondien%es %ienen el mismo valor >i el sub*ndice 5 corresponde a las condiciones iniciales ? 6 a las finales, se %iene:
@n%onces:
17.- ;e tiene una lon!itud de la ola L7 de 1<,113 MmN Las relaciones #ue ri!en a las olas son:
d es la profundidad )o lon!i%ud de la ola - per*odo de la ola V velocidad de la ola
Fr de Froud
Des e ando -:
@n%onces la velocidad de la ola es:
@l Froud que %iene es de:
@l modelo de es%e fen3meno es%0 a una escala 5:2;
)a lon!i%ud de onda de la ola del modelo es:
para que se man%en!a la simili%ud
@l per*odo del modelo:
