ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA

1

Se escriben las n cantidades físicas q que intervienen en el problema particular, anotando sus magnitudes fundamentales y el número k de magnitudes fundamentales. Existirán (n-k) números π .

2

Seleccionar k de estas cantidades físicas, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las magnitudes fundamentales deben incluirse colectivamente en las cantidades físicas seleccionadas

3

El primer grupo π puede expresarse como el producto de las cantidades físicas escogidas, elevadas cada una a un exponente desconocido y una de las otras cantidades físicas elevadas a una potencia conocida (normalmente se toma igual a 1).

5

4

Mantener las cantidades físicas escogidas en 2. como variables REPETIDAS y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo número π . Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números π .

En cada uno de los grupos π determinar los exponentes desconocidos mediante el ANÁLISIS DIMENSIONAL

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MECANICA DE FLUIDOS I
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ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA
ANALISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA

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1
Se escriben las n cantidades físicas q que intervienen en el problema particular, anotando sus magnitudes fundamentales y el número k de magnitudes fundamentales. Existirán (n-k) números π .
2
Seleccionar k de estas cantidades físicas, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las magnitudes fundamentales deben incluirse colectivamente en las cantidades físicas seleccionadas
3
El primer grupo π puede expresarse como el producto de las cantidades físicas escogidas, elevadas cada una a un exponente desconocido y una de las otras cantidades físicas elevadas a una potencia conocida (normalmente se toma igual a 1).
4

Mantener las cantidades físicas escogidas en 2. como variables REPETIDAS y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo número π . Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números π .
5
En cada uno de los grupos π determinar los exponentes desconocidos mediante el ANÁLISIS DIMENSIONAL

INTRODUCCION
La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de muchos problemas hidráulicos. En la actualidad, numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen sólo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos.
La aplicación del análisis dimensional y de la semejanza hidráulica permite al ingeniero organizar y simplificar las experiencias así como el análisis de los resultados obtenidos.
Además muchas estructuras hidráulicas son construidas sólo después que han sido estudiadas en modelos; en el modelo se reproducen naturalmente las características reales del prototipo.
Con el objeto de simplificar las experiencias se usan parámetros adimensiona1es, como el número de Reyno1ds por ejemplo. Estos parámetros facilitan también la comunicación entre los experimentadores e investigadores, lo que permite el intercambio de resultados y el avance consiguiente.
El análisis dimensional es un método que permite reducir el número y complejidad de las variables que describen un fenómeno físico.

OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
Desarrollar, explicar el Análisis Dimensional y la Semejanza Hidráulica, aplicados en el campo de la carrera de Ingeniería Civil y la Investigación Experimental.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS.
Explicar el concepto de Análisis Dimensional.
Exponer la Homogeneidad Dimensional.
Desarrollar y explicar el teorema de BUCKINGHAM.
Explicar la Semejanza Geométrica, Cinemática y Dinámica, que existe entre los modelos y los prototipos.
Demostrar los números de Reynolds, Froude, Euler, Mach y Weber.
Explicar algunos ejemplos de aplicación del análisis dimensional y la semejanza hidráulica.
JUSTIFICACIÓN.
Este trabajo es realizado como muestra del aprendizaje y desarrollo de la mecánica de fluidos I; así mismo, por el interés en el curso, por la investigación de la formación del futuro ingeniero civil, y para alcanzar la capacidad de demostrar los parámetros adimensionales y la aplicación dentro del campo de la Ingeniería Civil

ANALISIS DIMENSIONAL
El análisis dimensional es un método que permite reducir el número y complejidad de las variables que intervienen en la descripción de un fenómeno físico dado, para lo que se utilizan una serie de técnicas. Su resultado fundamental, el teorema π de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema.
VENTAJAS:
La primera es un enorme ahorro de tiempo y dinero
Un segundo aspecto favorable del análisis dimensional consiste en que nos ayuda a pensar y planificar un experimento o teoría.
Una tercera ventaja del análisis dimensional es que proporciona las leyes de escala que pueden convertir los datos obtenidos sobre un pequeño modelo en información para el diseño de un prototipo grande.

Supongamos que se sabe que la fuerza F sobre un cuerpo inmerso en la corriente de un fluido depende sólo de su diámetro D, de la velocidad de la corriente V, de la densidad del fluido ρ y de su viscosidad μ; esto es:
F= f (D, V, ρ, μ)
Supongamos además que la geometría y las condiciones del flujo son tan complicadas que las ecuaciones en forma integral y diferencial no pueden resolverse para obtener la fuerza. En ese caso debemos determinar experimentalmente la función f (D, V, ρ, μ).

El trabajo experimental para evaluar la función f sería el siguiente:
Determinar la influencia de cada una de las 4 variables (ρ, μ, V, D) en F, manteniendo fijos los valores de las 3 variables restantes.
Repetir cada prueba al menos para 10 valores diferentes de la variable.
FρV2D2=f(ρVDµ)
No es necesario cambiar los valores de D, V, ρ o μ separadamente, basta con variar el grupo ρVL/μ. Esto se puede hacer variando, por ejemplo, sólo la velocidad V en los ensayos del túnel aerodinámico o canal hidrodinámico; pero no es necesario construir 10 cuerpos de tamaño diferente ni utilizar 10 fluidos diferentes con 10 densidades y 10 viscosidades distintas. El coste es ahora mucho más bajo, sólo 10 Euros.

DIMENSIONES DE UNA MAGNITUD FISICA
Antes de presentar la técnica del análisis dimensional se presentan las magnitudes físicas básicas, todas las magnitudes presentan una relación de MASA, LONGITUD Y TIEMPO, y están relacionadas por la segunda ley de NEWTON.

F=ma
En términos de dimensiones:
F=MLT2

Así pues se ve que es suficiente utilizar solo tres dimensiones básicas: M-L-T en el sistema absoluto.
Mientras que en el sistema gravitacional: F, L, T.

PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
El principio de homogeneidad dimensional es un principio de buena formación de las expresiones que relacionan magnitudes físicas de manera algebraica. Es decir, es un principio de consistencia matemática que postula solo es posible sumar o restar entre sí magnitudes físicas de la misma naturaleza. En consecuencia, no podemos sumar longitud con tiempo, o masa con longitud, etc.

El principio puede ilustrarse, con el ejemplo, de la energía de un cuerpo que es la suma de su energía cinética más su energía potencial:

Expresando la energía cinética y potencial tendremos:

Expresando la velocidad y la aceleración según las magnitudes fundamentales:

Expresado en forma dimensional:

Como puede verse tanto la energía cinética: un medio de la masa por la velocidad al cuadrado y la energía potencial: la masa por la gravedad y por la altura, es en ambos casos energía con la misma ecuación dimensional.
Si una ecuación expresa correctamente una relación entre variables de un proceso físico, debe ser dimensionalmente homogénea; esto es, todos sus sumandos deben tener las mismas dimensiones.

El análisis dimensional menciona que todas las ecuaciones deben tener las mismas dimensiones, esto se logra gracias al principio de homogeneidad dimensional, por ejemplo la ecuación de Bernoulli:

V122g+P1γ+Z1=V222g+P2γ+Z2

Podemos expresarlo de manera adimensional:

V122gZ1+P1γZ1+1=(V222gZ2+P2γZ2+1)Z2Z1

De este modo queda descrito el objetivo del análisis dimensional, el cual es reducir variables y agruparlas de manera adimensional.
Los estudiantes deben tener en cuenta la homogeneidad dimensional y utilizarla para comprobar sus resultados cuando no puedan recordar una ecuación durante un examen, por ejemplo:

S=12gt2 O S=12g2t ?
Claramente será: S=12gt2
TEOREMA DE VASCHY-BUCKINGHAM
Nos servirá para determinar las reducciones que se van a hacer, así se va a establecer un procedimiento eficiente y se demostrara la posibilidad de éxito en todo caso:
H=fQ, N, D, ρ, Eθ, μ, ϵ,g……1
Fq1,q2,q3,…,qn=0……2
πi=q1α1q1β1q1γ1……q1λ1……3
φπ1,π2,π3……πϵ=0……(4)
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:
Los parámetros adimensionales πi están formados por las distintas magnitudes que aparecen en las expresiones anteriores, y en todos estos productos, intervienen repetidamente las magnitudes N, D, ρ. Esta observación es importante: los productos adimensionales se construyen con las magnitudes del problema, usando un grupo como base en forma repetida, con una de las restantes. Se representan pues simultáneamente varias dificultades que se pueden enunciar y clasificar la siguiente manera:
¿Cómo saber de antemano, cuales magnitudes físicas intervienen en él y cómo escogerlas, esto es, cómo, a priori, escribir una relación funcional del tipo (1) o (2)?
Suponiendo que se haya logrado el punto anterior, ¿cómo escoger, las magnitudes que servirán de base? , esto es, ¿saber cuáles y cuantas de ellas se han de tomar para este propósito?
¿Cuál procedimiento sistemático seguir para obtener los parámetros adimensionales πi sin error?
¿Cómo asegurar que una función de la forma (4) es la expresión más general de la o las funciones reducidas buscadas?
Estas dificultades están contenidas y planteadas Teorema de Vaschy-Buckingham. Aquí procederemos sin embargo, a responderlas una por una, sin perjuicio de dar posteriormente el teorema y su demostración.

Magnitudes que intervienen:
Dado un fenómeno físico, los factores que en el intervienen son en parte conocidos, en parte de la apreciación y del grado de precisión buscado. La lista de las magnitudes por incluir no será rígida: Si hay más de la cuenta, la experiencia dirá cuales no son necesarias, si faltan, también la experiencia lo indicará (tras hacer intervenir el factor olvidado y observar una variación de los resultados) la necesidad de su inclusión.
Así por ejemplo, si se trata de establecer la lista de factores que intervienen en la resistencia de avance (fuerza de arrastre) que actúa sobre un buque de forma dada, se podrá establecer la siguiente lista:
L U μ ρ g L U μ ρ g FarrastreFarrastre
L U μ ρ g
L U μ ρ g
Farrastre
Farrastre
Una longitud L característica del tamaño del buque.
Su velocidad U.
La viscosidad del agua μ .
La densidad ρ.
La gravedad g.
Si se agregara a esta lista algún factor que realmente no interviene, como la masa del buque, por ejemplo, la experiencia se encargaría, a posteriori, de indicar su redundancia. Al contrario si alguno de los factores indicados se hubiese olvidado, por ejemplo la viscosidad μ, al probar con distintos fluidos se pondría al descubierto la necesidad de incluirlo.
Escogencia de las magnitudes de base
Las magnitudes de base habrán de ser escogidas de manera que en conjunto abarquen todas las dimensiones físicas que se presentan en el problema. Así por ejemplo en un problema de cinemática habrá dos dimensiones (longitud y tiempo), en uno de dinámica 3 a saber, longitud, masa y tiempo. Dicho esto, no cabe duda que una estructura dimensional sencilla para las magnitudes base no puede sino facilitar los cálculos. Por eso, una buena regla consiste en escogerlas de manera sucesiva, con una dimensión adicional cada vez.

Veamos un ejemplo. Partiendo de (1) se puede escoger como magnitudes base, las siguientes:
El diámetro D de la bomba , de dimensiones D=L
La velocidad angular N N=T-1
La densidad ρ, de dimensiones ρ=ML-3
Es evidente que con este procedimiento, cualquier otra magnitud mecánica habrá de poder expresarse en la forma (3) particularizada:
πi=qiDαNβργ……(5)
Determinación de los parámetros adimensionales πi
Para sistematizar los parámetros de πi, se recomienda hacer un cuadro de dimensiones de todas las magnitudes que aparecen en un problema, empezando por las que se han escogido como base.
Así por ejemplo, en el caso de la ecuación de una bomba (1), si cada qi es del tipo:
qi=Lai1Mai2Tai3

Se obtiene el siguiente cuadro dimensional:
Magnitud
Símbolo
Exponente de L
Exponente de M
Exponente de T
Diámetro
Veloc. Ang.
Densidad
Caudal
Módulo de compr.
Viscosidad
Rugosidad
Gravedad
Carga
D
N
ρ
Q
Eθ
μ
ϵ
g
H
1
0
-3
3
-1
-1
1
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
-1
0
-1
-2
-1
0
-2
0

Hecho esto, la trasformación de las πi, según (5) es inmediata. En efecto, puesto que esos productos han de ser adimensionales, la expresión
πi=QDα1Nβ1ργ1
Implica la ecuación dimensional
L0M0T0=L3M0T-1Lα1T-β1L-3γ1Mγ1
Se notara que este sistema solo tendrá raíces independientes si el determinante
=10000-1-310=1 0
Siendo este, el determinante formado con los coeficientes a1 correspondientes a la base.
En el ejemplo actual, puesto que =1, se obtiene:
α1=-3; β1=-1; γ1=0
Es decir que
πi=QD-3N-1=QND3
Es un parámetro adimensional, comprobándose así uno de los resultados de πi.
Parámetros adimensionales. Método general
Para establecer la metodología general, a la luz del ejemplo anterior partamos de (2), suponiendo que el número de dimensiones Fi es m a saber
F1,F2,F3…… Fm……(6)
Las distintas magnitudes que intervienen en el problema pueden entonces, expresarse en la forma
qi= F1ai1F2ai2F3ai3……Fmaim……7
Y por consiguiente el cuadro de los exponentes aij forma una matriz A
A=a11 a1m an1 anm……8
Obtenida del cuadro de dimensiones siguientes,
Símbolo
Exponente de
F1
Exponente de
F2

… …
Exponente de
Fm
q1
q2
.
.
.
qi
.
.
qn
a11
a21
.
.
.
ai1
.
.
an1
a12
a22
.
.
.
ai2
.
.
an2

a1m
a2m
.
.
.
aim
.
.
anm
Tal como se hizo en el ejemplo anterior.
La escogencia de las magnitudes de base se hará ahora entre qn que interviene en el problema mediante el procedimiento siguiente, el cual se justificara a posteriori
Puesto que n m, escoger una submatriz mxm de A, por ejemplo la formada por las m primeras filas, y formar e determinante de dicha submatriz.
Si este determinante es distinto de cero, las magnitudes correspondientes pueden formar una base para expresar las demás en términos de ellas.
Si el determinante es nulo, se buscaran los determinantes de las otras submatrices del mismo orden (poniendo una fila distinta cada vez). Si alguno de ellos es distinto de cero, se tiene el caso anterior. Si todos los determinantes de orden mxm son nulos, se hará lo mismo con las matrices de orden (m-1)m. Si al menos uno de los determinantes correspondientes es distinto de cero, las qi correspondientes son independientes y pueden servir de base, sino, se repiten los pasos anteriores.
Para formar ahora los parámetros adimensionales πi, partimos de esta manera escribiendo:
πi=qiq1a1q2a2q3a3……qnan, k Donde se a supuesto que la k primeras magnitudes son independientes y han sido tomadas por base. Esta expresión postula que cada una de las magnitudes restantes puede formar un producto adimensional con las k primeras.
El teorema de Vaschy-Buckingham consiste en decir que las n magnitudes en consideración, de las cuales m han sido escogidas como base, es siempre posible formar n-m productos adimensionales y escribir relaciones funcionales en forma de funciones reducidas del tipo.

PROCEDIMIENTO:

PARAMETROS ADIMENSIONALES
Un parámetro adimensional o magnitud de dimensión uno es una cantidad sin una dimensión física asociada, siendo por tanto un número puro que permite describir una característica física sin dimensión ni unidad de expresión explícita, y que como tal, siempre tiene una dimensión de 1.

Nos ocuparemos principalmente de los efectos de los números de Reynolds, Mach, Euler y Froude, que caracterizan la mayoría de los flujos.

Numero de Reynolds, Re:
En la ecuación de continuidad no aparece ningún parámetro. La ecuación de cantidad de movimiento contiene sólo uno, considerado, generalmente, como el más importante en Mecánica de Fluidos:

Re=ρVLμ=Fuerza inercialFuerza viscosa

Su nombre se debe a Osborne Reynolds (1842-1912), un ingeniero británico que fue quien lo introdujo en 1883 (Referencia 4 del Capítulo 6). El número de Reynolds es siempre importante, haya o no superficie libre, y su efecto sólo puede despreciarse fuera de las regiones donde hay gradientes altos de velocidad; por ejemplo, lejos de las superficies fijas, chorros o estelas.

Número de Froude, Fr:

Fr=V2Lg=Fuerza inercialFuerza de gravedad

Su nombre se debe a William Froude (1810-1879), un arquitecto naval británico que, junto con su hijo Robert, desarrolló la idea de utilizar modelos de barcos en canales y propuso leyes de semejanza para flujos con superficie libre (resistencia de barcos, ondas superficiales, canales abiertos). El número de Froude tiene un efecto dominante en flujos con superficie libre y su efecto sólo puede despreciarse cuando no hay superficie libre, excepto si hay posibilidad de cavitación del líquido a valores muy altos de Eu

Por tanto, en flujos viscosos a bajas velocidades sin superficie libre, el único parámetro adimensional importante es el número de Reynolds.

Numero de Euler, Eu:
Expresa la relación entre la energía asociada a una pérdida de presión por unidad de volumen (por ejemplo un estrechamiento) respecto a la energía cinética por unidad de volumen del flujo. Se usa para caracterizar pérdidas de carga en el flujo: por ejemplo, a un flujo horizontal sin fricción le corresponde un número de Euler nulo, y cuanta más pérdida de carga se produzca en su movimiento, mayor será su número de Euler. El inverso del número de Euler (relación entre las fuerzas de inercia y las de presión diferencial) se conoce como número de Ruark, de símbolo Ru.

Eu=ΔpρV2=Perdida de presionEnergia cinetica

Número de Mach, MA:
En flujos de gases a altas velocidades hay cambios significativos de presión, densidad y temperatura que deben relacionarse por medio de una ecuación de estado tal como la ley de los gases perfectos. Estos cambios termodinámicos introducen un nuevo parámetro adimensional:

MA=VC=Fuerza inercialFuerza de compresibilidad

El número de Mach debe su nombre al físico austriaco Ernst Mach (1838-1916). El efecto de γ es sólo moderado, pero el número de Mach, si es mayor que alrededor de 0,3, determina los efectos de compresibilidad en el flujo.

Fuerza inercial=ρL2V2

Fuerza viscosa=μLV

Fuerza de gravedad=ρL3g

Fuerza de compresibilidad=ρc2L2

EJEMPLOS DE APLICACION DEL ANALISIS DIMENSIONAL
Si la velocidad en un fluido depende de la tensión superficial σ, densidad ρ, y un diámetro d, demuestre que esto implica que el número de weber V2dρσ es constante.
Solución:
V=f (σ, ρ, d)
Tenemos n=4 variables y verificamos sus respectivas dimensiones.

[V]=LT , [σ]=MT2 , [ρ]=ML3 , [d]=L

Contiene j=3 dimensiones básicas (M, L, T), entonces n-j=4-3=1 termino π:

π1=f(π20)

Se escogen variables dimensionalmente independientes:
V, ρ, d

Combinamos estas tres variables con la restante para hallar π1:

π1=Vaρbdcσm

π1=[V]a[ρ]b[d]c[σ]m

π1=(LT-1)a(ML-3)b(L)c(MT-2)m

Como π1 es adimensional podemos escribirlo de la siguiente manera:

M0L0T0=Mb+mLa-3b+cT-a-2m
M: 0=b+m
L: 0=a-3b+c
T: 0=-a-2m
Calculamos a, b, c y m
Si m=1 entonces:
a= -2
b= -1
c= -1
Reemplazamos en:
π1=V-2ρ-1d-1σ1
π1=σρV2d
Reemplazamos en la función:

σρV2d=fπ20=constante

La caída de presión ΔP en la tubería de la figura depende de la velocidad promedio, de su diámetro, de la viscosidad cinemática, su longitud L, la altura de las rigurosidades de su pared e y la densidad del fluido. Halle una expresión para ΔP.
+ ΔP+ ΔP
+ ΔP
+ ΔP

Solución:
ΔP =f (V, d, υ, L, e, ρ)


[ΔP]=MLT2 , [L]=LT , [d]=L, [υ]=L2T , [L]=L, [e]=L, [ρ]=ML3

Contiene j=3 dimensiones básicas (M, L, T), entonces n-j=7-3=4 términos π:

π1=f(π2,π3,π4)

V, ρ, d

Combinamos estas tres variables con la restante para hallar los términos π:
π1=Va1ρb1dc1ΔPm1

π1=Va1ρb1dc1ΔPm1

π1=[V]a1[ρ]b1[d]c1[ΔP]m1

π1=(LT-1)a1(ML-3)b1(L)c1(ML-1T-2)m1


M0L0T0=Mb1+m1La1-3b1+c1-m1T-a1-2m1
M: 0=b1+m1
L: 0=a1-3b1+c1-m1
T: 0=-a1-2m1
Calculamos a1, b1, c1 y m1
Si m1=1 entonces:
a1= -2
b1= -1
c1= 0
Reemplazamos en:
π1=V-2ρ-1d0ΔP1

π1=ΔPρV2

π2=Va2ρb2dc2υm2
π2=Va2ρb2dc2υm2

π2=[V]a2[ρ]b2[d]c2[υ]m2

π2=(LT-1)a2(ML-3)b2(L)c2(L2T-1)m2


M0L0T0=Mb2La2-3b2+c2+2m2T-a2-m2

M: 0= b2
L: 0= a2-3b2+c2+2m2
T: 0= -a2-m2

Si m2=1 entonces:
a2= -1
b2= 0
c2= -1
Reemplazamos en:
π2=V-1ρ0d-1υ1

π2=υVd

π3=Va3ρb3dc3Lm3
π3=Va3ρb3dc3Lm3

π3=[V]a3[ρ]b3[d]c3[L]m3

π3=(LT-1)a3(ML-3)b3(L)c3(L)m3


M0L0T0=Mb3La3-3b3+c3+m3T-a3
M: 0=b3
L: 0=a3-3b3+c3+m3
T: 0=-a3
Si m3=1 entonces:
a3= 0
b3= 0
c3= -1
Reemplazamos en:
π3=V0ρ0d-1L1

π3=Ld

π4=Va4ρb4dc4em4
π4=Va4ρb4dc4em4

π4=[V]a4[ρ]b4[d]c4[e]m4

π4=(LT-1)a4(ML-3)b4(L)c4(L)m4


M: 0=b4
L: 0=a4-3b4+c4+m4
T: 0=-a4

Si m4=1 entonces:
a4= 0
b4= 0
c4= -1
Reemplazamos en:
π4=V0ρ0d-1e1

π4=ed
Reemplazando en la función:
π1=f(π2,π3,π4)

ΔPρV2=fυVd, Ld, ed

Elija un conjunto apropiado de variables que influyan en la fuerza de retardo FD, en una superficie aerodinámica y escriba la forma final en función de parámetros sin dimensiones.

SOLUCION:
FD=f (V, ρ, µ, c, h, r, ø, w, α)


[FD]=MLT2 , [V]=LT, [ρ]=ML3 , [µ]=MLT , [c]=L, [h]=L, [ø]=1, [w]=L, [α]=1

Contiene j=3 dimensiones básicas (M, L, T), entonces n-j=10-3=7 términos π:

π1=f(π2,π3,π4,π5,π6,π7)

V, ρ, c

Combinamos estas tres variables con la restante para hallar los términos π:
π1=Va1ρb1cc1FDm1

π1=Va1ρb1cc1FDm1

π1=[V]a1[ρ]b1[c]c1[FD]m1

π1=(LT-1)a1(ML-3)b1(L)c1(ML1T-2)m1


M0L0T0=Mb1+m1La1-3b1+c1+m1T-a1-2m1
M: 0=b1+m1
L: 0=a1-3b1+c1+m1
T: 0=-a1-2m1
Si m1=1 entonces:
a1= -2
b1= -1
c1= -2
Reemplazamos en:
π1=V-2ρ-1c-2FD1

π1=FDρV2c2

π2=Va2ρb2cc2µm2
π2=Va2ρb2cc2µm2

π2=[V]a2[ρ]b2[c]c2[µ]m2

π2=(LT-1)a2(ML-3)b2(L)c2(ML-1T-1)m2


M0L0T0=Mb2+m2La2-3b2+c2-m2T-a2-m2

M: 0=b2+m2
L: 0= a2-3b2+c2-m2
T: 0= -a2-m2

Si m2=1 entonces:
a2= -1
b2= -1
c2= -1
Reemplazamos en:
π2=V-1ρ-1c-1µ1

π2=µρVc

π3=Va3ρb3cc3hm3
π3=Va3ρb3cc3hm3

π3=[V]a3[ρ]b3[c]c3[h]m3

π3=(LT-1)a3(ML-3)b3(L)c3(L)m3


M: 0=b3
L: 0=a3-3b3+c3+m3
T: 0=-a3
Si m3=1 entonces:
a3= 0
b3= 0
c3= -1
Reemplazamos en:
π3=V0ρ0c-1h1

π3=hc

π4=Va4ρb4cc4rm4
π4=Va4ρb4cc4rm4

π4=[V]a4[ρ]b4[c]c4[r]m4

π4=(LT-1)a4(ML-3)b4(L)c4(L)m4


M: 0=b4
L: 0=a4-3b4+c4+m4
T: 0=-a4

Si m4=1 entonces:
a4= 0
b4= 0
c4= -1
Reemplazamos en:
π4=V0ρ0c-1r1

π4=rc
π5=Va5ρb5cc5øm5
π5=Va5ρb5cc5øm5

π5=[V]a5[ρ]b5[c]c5[ø]m5

π5=(LT-1)a5(ML-3)b5(L)c5(1)m5


M0L0T0=Mb5La5-3b5+c5T-a5

M: 0=b5
L: 0= a5-3b5+c5
T: 0= -a5

Si m5=0 entonces:
a5= 0
b5= 0
c5= 0

Reemplazamos en:
π5=V0ρ0c0µ0

π5=ø

π6=Va6ρb6cc6wm6
π6=Va6ρb6cc6wm6

π6=[V]a6[ρ]b6[c]c6[w]m6

π6=(LT-1)a6(ML-3)b6(L)c6(L)m6


M: 0=b6
L: 0=a6-3b6+c6+m6
T: 0=-a6
Si m6=1 entonces:
a6= 0
b6= 0
c6= -1
Reemplazamos en:
π6=V0ρ0c-1w1

π6=wc
π7=Va7ρb7cc7αm7
π7=Va7ρb7cc7αm7

π7=[V]a7[ρ]b7[c]c7[α]m7

π7=(LT-1)a7(ML-3)b7(L)c7(1)m7


M0L0T0=Mb7La7-3b7+c7T-a7

M: 0=b7
L: 0= a7-3b7+c7
T: 0= -a7

Si m7=0 entonces:
a7= 0
b7= 0
c7= 0
Reemplazamos en:
π7=V0ρ0c0α0

π7=α

Reemplazando en la función:
π1=f(π2,π3,π4,π5,π6,π7)

FDρV2c2=fµρVc, hc, rc,ø,wc,α

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA

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