ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA
El estudio de la teoría aduiKttskroal permite aplicar resultados experimentales obte- nidos en condiciones limitadas a situaciones de diferentes condiciones geométricas y en mucho* casos con propiedades diferentes de los fluidos a las que se tuvieron en las condiciones iniciales. De esta manera se pueden generalizar resultados experimentales. permitiendo describir y verificar fenómeno* que de otra manera seria imposible predecir. Un ejemplo destacado de las muchas aplicaciones que permite la teoría, son los modelos físicos que se pueden desarrollar sobre presas de almacenamiento de agua, para analizar las consecuencias geodinámicas, hidráulicas y estructurales que conlleva la construcción de una obra de ingeniería como esta. De esta manera se pueden conocer y predecir los poobles problemas que pueden generarse, adoptar oportunamente los correctivos necesarios, disminuyendo asi los riesgos de la construcción y minimizar los costos. El estudio de la teoría adimensional, relaciona mstemábeamente las dimensiones de magnitudes físicas fundamentales, de tal forma que se puedan establecer relaciones para la construcción de modelos físicos que intenten representar fielmente el comportamiento de un prototipo, reproduciendo a escala, las características geométricas y las restricciones de semejanza cinemática y dinámica. De esta forma la teoría del análisis dimensional, establece semejanzas geométricas, cinemáticas y dinámicas entre dimensiones correspondientes, que reflejen adecuadamente los distintas variables en cada situación en particular. Igualmente permite establecer relaciones entre las ñierzas de inercia debidas a la presión, las ftierzas viscosas, las gravitatorías, las elásticas y las de tensión superficial, determinando
una
serie
de
parámetros
adimensionales
que
describen
el
comportamiento (te los fluidos, como los números de Eukr, Reynolds, Weber, Match y Froudc. PNMOM Demostrar mediante los métodos del análisis dimensional que la energía cinética (Ec) de un cuerpo es igual a K.M.V. Ec a F(M.V.) MV* » KMV
donde K es coeficiente adimensional, deserminado generalmente por experimentos, o por experimentos físicos. M' (LT-*)»-KM'V» M1 LT^KM'L^T* Igualando tos exponentes de M, L, T,: a-1 b-2
Y-b - -2 doodeb-2
Sustituyendo los valoras Ec - K M (L* T1) Ec-KM(L*r') Ec - KMV*
Pnbiaa Mediante los métodos del análisis dimensional probar que la fuerza centrifuga viene dada por K-M.Wt Fe - flMV'r) 9 La fuena centrifuga (Fe) viene dada por MLT* ICX*-KMlV"ta* MLT^-Knf OX*)PL* MLT* - Km* L*** F •* Igualando las eeuackmes: •
•I
l»2b+c -2--2b b-1 I
»2+c
C--1 Reemplazando en Fe FcKMVr^Fc^
Problema Un cuerpo cae libremente una distancia X partiendo dd repoco. Dcsanolhr una ecuación pan la velocidad. AquJ:a-g Area bajo la curva ■ distancia recorrida ^ _ ¿«ex altura
5_(t-oXr-o)
'V Además: AV
y-o v Al 1-0 l
donde: /»a Remplazando 2aS= V* VSjTF Pero a - g V2 romo ^2 = e/e. = Af K-KV¡S
FNMOM Un cuerpo cae libremente durante un tiempo T partiendo del reposo. Desarrollar una ecuación para la velocidad. V.kfc Elevando al cuadrado:
Problema Desarrollar una expresión que dé la frecuencia de un péndulo simple, suponiendo que es función de la loogitud. de la masa del péndulo y de la aceleración de la gravedad. F m - mg 0 « ~(mg/L)s K mmg/L (V%<,+L>+*--J%+*-)+2' 'a2*i/7í Se puede llamara — como constante. 2M
Problema
Suponiendo que ei caudal Q sobre un vertedero rectangular varia directamente con ta longitud L, y es función de la altura de carga total H y de la aceleración de la gravedad g. establecer la fórmula del vertedero. Q-LF(H*.gb) L*T* - (L) (L*KLbt ■**) Para Ti *1 •- 2b i.i 2 Para L: 3 ■ I ♦ •♦b I 3-1. j-t • -3/2 Q-KLHV*
Problema Establecer la fórmula que da la distancia recorrida S por un cuerpo que cae libremente. suponiendo que dicha distancia depende de la velocidad inicial V.el tiempo T y la aceleración de la gravedad g S-F(V.Tg)-K(V\*P,g9 S = K (L,T^(T%) (L* T*) PV T» - (L« T*) (T) (L# T*0 I -a*o 0"-a + b-2c=>l-e"a -l+c+b-2c-0 •l-e + b-0 c-b-1 1 -(b-l) = a 2-b-a
Problema Establecer la expresión del número de Fraude al ser ¿ste fruición de la velocidad, la aceleración de la gravedad y de la loogitud NF-f(V*L) NF - K (V*. g* L*) P° L° T° ■ (L„T - 2*) (LO 0*i+b+c
0--a-2b • •-2b -2b+b*c - 0 ■b+C"0 -b"-c b“c •
♦2a-0
•
-*2c
NF ■ K. (V^ L*) Problema Establecer ri la expresión del número de Webcr, es ftmción de la velocidad, la den* sidad, de la longitud y de la tensión superficial. N. ~ f (VJVL/j) P L*T*«(LT,y (Fl-T‟y (L/ (FL*)* P L*T® = (Fw)(L^***4)(r^*) b+d = 0 b * - d -a + 2b = 0->a”>2d •
-4b + c-d"0^c»«d P L* T» - (LT'r** (Ft*T*X< (L^4 (FLT Nw-V-MP4L-„
Problema Establecer un número adimensional que sea función de la aceleración de la grave* dad g, la tensión superficial, la viscosidad absoluta ^ y la densidad p. «-FPL4 Absoluta |i = FTL3 Densidad: Viscosidad: Tensión superficial: T-FLr* Gravedad g~ LT* FLT - K (gVjip) FU - K(LT*) (FLU) (FL-»T) (FT L**) FLT-(LT*0(F*t/*)(FT^L***)(F*T* I/*) i»MMt ra^a pvtH 0>a-b-2c-4d 0-4K«t9d N,-K (oVgíi*r
Problema Suponiendo que la faena de arrastre o resistencia de un barco es función de la viscosidad absoluta |t y de densidad p del fluido, de la velocidad V, te aceleración de la gravedad g y del tamaflo (longitudinal L) del barco. Establecer la (Simula que da la resistencia. P-FL*
FL* - (FTL*) (PT*L-*> (L5T4) (LJ T*) (L")
|l—FTL* Va FA-COPA — Resistencia o F de arrastre es C. „ _ „ V* F-(2KR¿pL* — p-FPL -
a--b, c--b, d--b
En el número de (ronde interviene la gravedad V*
V
NF = —=>NF»-i» *L
VgL
■ F«(2KRiV»L,“ «HerK f«k(r- n? pv j O)
Problema Resolvere! problema anterior incluyendo loa efecto* de la compresibilidad mediante la magnitud celeridad c, velocidad de propagación del sonido. F ■ (p, M, L, V, W) F - K1 (p*. M\ L*. V4, W*) P L* T* -» (P T* L-*) (P T L-») (Lé T*) (L* T^)L* y l"a+b;CH-4a»2b + e + d+e;0“2a + b-d-e a-l-b;
d-2-b
c-2-b;
Luego:
P - K* R* Nj* pA W,
c-l-b
Problema Demostrar que para orificios geométricamente semejantes, la relación de velocidades es esencialmente igual a la rafe cuadrada de la relación de alturas de carga. r-jm H y, v 2 m j 557 vSvhT ü . ‟ / f T _ v L . VhT y,~T% v, "JET
Problema Demostrar que las relaciones de tiempo y de velocidades, cuando la magnitud predominante es la tensión superficial, vienen dadas por V m J * re*pectivanentc L.Pr T T.=
V¡7L?T r = T
v
* 'Í5:*„JS-*ÍF'Í?'V
Problema Democtrar que laa relaciones de tiempos y velocidades cuando los efecto* predominantes son loo elásticos, vienen dadas por , y v. */ i* M T- = laTL*líH*E-Lí {d*ai„i<“) F» A* E.A. F, B,A, p, L/ T, Igualando las fuerzas obtenidas E, VE, T.- L' 7. Dividiendo porT2:
Tr* yrLr* ___ Lr* __
p, l l ( ... Er
JE,
L
— r * » -- r^comoVr ■—-entonces— V, =>Vr ■ ——=>Vr*.f—i Tr* EiTir"*
Tr1
Er J
y, )p.
Problema El moddo de un aliviadero se construye a una escala 1:36. Sien d modelo la velocidad y caudal desaguado son respectivamente 0.40 m'scg. y 621/scg. Cuáles son los valores correspondientes en el prototipo? Longitud dd modelo .
,
-——— = LoogJleal = Lr Longitud del prototipo *u-3 Qp. 62 (¿r Qp » 482112 L/s. 1000L Qp-482.1 »y
Problema 2. 8A qué velocidad debe ensayarse en uo túnel aerodinámico un modelo de ala •vite de 15 an. de cuerda pan que el número de ReynoMs tea el mismo que en prototipo de 90 cm de cuerda y que se mueve •
UM
velocidad de 150 IcmAi? En d túnel el aire está a li
presión atmosférica. Por wmqaaa geométrica catre d modelo y el prototipo T modelo . L prototipo * Entre el modelo y prototipo existe semejanza cinemática Luego la relación será: JÜ5"! ---------val V prototipo Igualmente en los números de Reynolds para el modelo y prototipo se utilizan unidades iguales pan la velocidad y la longitud VmLm ■ VpLp
Vm n
y
P¿P . 150Km/hx90cm. * Lm
I5cm
Lm ym
-**>*%»
Problema A través de una tubería de 15 cm de diámetro fluye un aceite (r -5.65 x I04 mVs) a una velocidad de 4 taf%. A qué velocidad debe circular agua a 15* C a través de una tubería de 30 cm de diámetro para que los números de Reynolds sean iguales? „ Am 15cm 1.10x10“ ra1/* K, =—je—— x ------- —— «0.41tn/s 1
* 30c« 5.65 x 10 m (s
Problema A 15* C fluye gasolma a 4 m/s por una tubería de 10 cm. Qué diámetro debe tener una tubería para transportar agua a 15* C a una velocidad de 2 mJi para que los números de Reynolds sean los mismos? Gasolina: (T*“ I5*C) v« 0.683 x 10* mVs v"4mfa d • 10 cm. *0.1 m. xO.l m/s.x 1.142 x 10* m: f s j m ——--- j -------------------- - 0.33 cm. 2%x0.683x\0*m2ts
Problema Agua a 15º C fluye a 4 m/s a través de una tubería de 15cm. Para que exista semejanza dinámica, (a) ¿A qué velocidad debe fluir un fuel-oil medio a 27ºC por una tubería de 30 cm? (b). Qué diámetro de tubería utilizaría si la velocidad del fuel-oil fuera de 20 m/s?
Problema Un modelo es ensayado en atmósfera de aire normal a 20ºC y a una velocidad de
30.0 m/s. ¿A qué velocidad debe ensayarse sumergido totalmente en el agua a 15ºC de un canal hidrodinámico para que se satisfagan las condiciones de semejanza dinámica? Número Re para aire = Re para agua Entonces por semejanza dinámica V„-230^ Frtbkrn Un navio de superficie de 155 m de longitud ha de moverse a 7 m/s. A qué velocidad ha de ensayarse un modelo geométricamente semejante de 2.50 m de longitud?
Problema ¿Qué AMRS por metro de longitud se ejercerá sobre un muro de contención del agua de mar, si un modelo a escala 1:36 de una longitud de lm experimenta una Hiena de las olas de 12 kg? 4^-WrLr* Fp Lr ■ Long.dc la escala F
Pni ^
I2kg
WpLp» P fpmr\Y 1 V lpmar A W Fp-15.550%
Problema Un cuerpo anclado esté sumergido en agua dulce a I5.5*C, que fluye a una velocidad de 2¿ nv's. La resistencia medida sobre un modelo de escala 1:5 en un túnel aerodinámico en condiciones normales es de 2 kg. ¿Qué fuerza actúa sobre el prototipo si se dan las condicione* de semejanza dinámica? Vm Lm _ Vp Lp F > Usm
' -
'«Wm'2kg
Problema
Determinar las expresiones de las relaciones o escalas de velocidades y pérdidas de carga entre modelo y prototipo para un flojo en que las (berzas dominantes son las viscosas y las debidas a U presión.
Problema Obtener una expresión que dé el coeficiente de friocióo f, si se sabe que depende del diámetro de la tubería d, de la velocidad media V, de la densidad dd fluido p. de la viscosidad dd fluido |i y de la rugosidad absoluta de la tubería e. Utilizar d teorema de P¡ de Buckingham. H f aF(d,Wí)'0 Existen 5 magnitudes físicas. 3 dimensiones fundamentales (5-3) • 2 números* D-L V-Lr 1 p-Ft »L 4 «-L.L* Escogidas p, t, como magnitudes físicas proporcionan las 3 dimensiones F, L, T JT* (¿' XL'r4 XF*, r1* L*n XFTL*) de donde los números jt son: *
Ate. de Reynolds