Analisis Dimensional y Modelado

ESCUELA POLITÉNICA NACIONAL FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA MECANICA DE FLUÍDOS I Nombre:

Jaime Tene Escobar 

Grupo:

GR

Fecha:

2013-05-13

Tema:

 Análisis Dimensional Dimensional y Modelado Modelado

DIMENSIONES Y UNIDADES

Dimensión : Medida de una cantidad física (sin valores numéricos). Unidad: determina Unidad: determina un valor numérico a una dimensión dada. Las dimensiones primarias o fundamentales son masa, longitud, tiempo, temperatura, corriente eléctrica, cantidad de la luz, cantidad de materia.

Dimensiones primarias y unidades en SI

HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL

La ley de la homogeneidad homogeneida d dice: Todo término aditivo en una ecuación debe tener las mismas dimensiones . Por tanto, si en alguna etapa de un análisis se encuentra en una situación en la que dos términos aditivos en una ecuación tienen diferentes dimensiones, se podría decir que se ha realizado un error en alguna etapa del cálculo. Los cálculos solo son validos cuando las unidades también son homogéneas en cada termino aditivo, para lo cual, se debe escribir todas las unidades cuando se realicen cálculos matemáticos y evitar errores.

Eliminación de dimensiones de las ecuaciones La ley de homogeneidad dimensional garantiza que todo término aditivo en la ecuación tiene las mismas dimensiones debido a que si cada término en la ecuación se divide entre un conjunto de variables y constantes cuyo producto tenga estas mismas dimensiones la ecuación que se obtiene es adimensional. Se dicen que la ecuación es normalizada sin los términos adimensionales de esta son de magnitud uno. An álisis por Insp ección : es un proceso de adimensionalidad en una ecuación cuando se encuentran parámetros adimensionales. Parám etro s de Esc alam ient o : se emplea para eliminar dimensiones que deben estar  en base de las dimensiones primarias contenidas en la ecuación original, por ejemplo en problemas de fluidos existen al menos tres tipos de factores de escalamiento sean L, V y Po dado que existen al menos tres dimensiones primarias en el problema general (masa, longitud, tiempo). Para lo cual se debe realizar una lista de las dimensiones primarias de todas las variables y constantes dimensionales del problema; a continuación se usa los parámetros de escalamiento escogidos para eliminar las dimensiones y convertirlas en variables adimensionales. El agrupamiento de las constantes dimensionales determina un parámetro o grupo adimensional por ejemplo el número de Froude.

Ventajas de la Eliminación de dimensiones   

Aumenta la comprensión acerca de las relaciones entre los parámetros clave. Disminuye el número de parámetros en el problema. Permite la extrapolación a valores que no se han puesto a prueba de uno o más de los parámetros dimensionales.

ANALISIS DIMENSIONAL Y SIMILITUD

El objetivo para realizar un análisis dimensional son: 

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Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos sean físicos y/o numéricos y en el reporte de los resultados experimentales. Obtener leyes de escalamiento de modo que se puedan predecir el desempeño del prototipo a partir del desempeño del modelo. Suponer las tendencias en la relación entre parámetros.

Principio de Similitud Existen 3 condiciones necesarias para similitud completa entre prototipo y modelo.

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Sim ili tu d Geo m é tr ic a : el modelo debe tener la misma forma que el prototipo pero se la puede escalar por algún factor de escala constante.

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Sim ilit ud Cin em átic a: la velocidad en cualquier punto en el flujo del modelo deber ser proporcional (escala constante) a la velocidad en el punto correspondiente en el flujo del prototipo. La similitud geométrica se puede considerar como equivalencia en escala de longitud y la similitud cinemática como equivalencia en escala de tiempo. La similitud geométrica es un requisito para la similitud cinemática.

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Sim ilit ud Din ám ic a: se obtiene cuando todas las fuerzas en el flujo del modelo se escalan por un factor constante a fuerzas correspondientes en el flujo del prototipo (equivalencia en escala de fuerza).

La similitud cinemática es una condición necesaria pero insuficiente para similitud dinámica. Por lo tanto, es posible para un flujo de modelo y un flujo de prototipo lograr  tanto similitud geométrica como cinemática, pero no similitud dinámica. Para garantizar  similitud completa deben existir las 3 condiciones de similitud. Se usa la letra  para denotar un parámetro adimensional. Este parámetro general una función de otras varias  independientes. 



es en

 (     )

     Para garantizar su similitud completa el modelo y el prototipo deber ser  geométricamente similares y todos los grupos  independientes deben coincidir entre modelo y prototipo. El poder de usar análisis dimensional y similitud para un análisis experimental hace que los parámetros dimensionales en un problema sean innecesarias, en tanto, que las correspondientes  independientes se hagan iguales una a otra, la similitud se logra sin importar el medio de prueba del uno con el otro.

MÉTODO DE REPETICION DE VARIABLES Y EL TEOREMA PI DE BUCKINGHAM

El método de repetición de variables para generar los parámetros adimensionales consta de seis pasos útiles que se explican en la siguiente tabla

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Consideraciones: 

Para los parámetros repetitivos se analizan con algunos lineamientos de la siguiente tabla para elegir correctamente estos parámetros. Es aconsejable escoger parámetros comunes como parámetros repetitivos debido a que ellos pueden aparecer en cada uno de sus grupos  adimensionales.

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Los grupos  que se obtienen de este procedimiento son necesariamente adimensionales debido a que se iguala a cero los exponentes generales de las siete dimensiones primarias

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Existen parámetros adimensionales establecidos que mientras sea posible se debe convertir los grupos  en los ya establecidos. Se explican algunos parámetros.

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Si el método de repetición de variables indica cero , o se ha cometido un error  o se necesita reducir -j- por uno o comenzar de nuevo.

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Un parámetro que ya es adimensional ya es

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adimensional por si mismo.