Analisis Dimensional y Semejanza Hidraulica

LUIS ARTURO GÓMEZ TOBÓN INGENIERO CIVIL

ESPECIALISTA EN INGENIERÍA AMBIENTAL CON ENFASIS EN SANITARIA Y RECURSOS HIDRAULICOS, HIDRAULICOS, PROFESOR ASISTENTE

SEDE MANIZALES FACULTAD DE INGENIERIA Y ARQUITECTURA

ANÁLISIS DIMENSIONAL DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS

M

El programa de Mecánica de los Fluidos dictado en la UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES, contiene un capítulo denominado: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA donde el estudiante se orienta al modelaje de obras hidráulicas, concepto indispensable que se mantiene hoy en día a pesar de existir herramientas matemáticas tales como elementos finitos, diferencias finitas, métodos de las características, algebra matricial, etc. que permiten mediante modelos matemáticos resolver un sinnúmero de problemas. Sin embargo, ellos no siempre sustituyen el modelaje físico, pues este último, dentro de su marco de referencia, es una medida de la realidad. El trabajo que aquí se presenta sirve también como base a la línea de profundización en hidráulica y ambiental. Este trabajo es un resumen que se puede complementar en la medida que sea necesario puesto que existe abundante literatura que profundiza cada tema en forma detallada.

Ing. Luis Arturo Gómez Tobón

1


M

El programa de Mecánica de los Fluidos dictado en la UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MANIZALES, contiene un capítulo denominado: ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRAULICA donde el estudiante se orienta al modelaje de obras hidráulicas, concepto indispensable que se mantiene hoy en día a pesar de existir herramientas matemáticas tales como elementos finitos, diferencias finitas, métodos de las características, algebra matricial, etc. que permiten mediante modelos matemáticos resolver un sinnúmero de problemas. Sin embargo, ellos no siempre sustituyen el modelaje físico, pues este último, dentro de su marco de referencia, es una medida de la realidad. El trabajo que aquí se presenta sirve también como base a la línea de profundización en hidráulica y ambiental. Este trabajo es un resumen que se puede complementar en la medida que sea necesario puesto que existe abundante literatura que profundiza cada tema en forma detallada.


1


M

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA INTRODUCCIÓN La teoría matemática y los resultados experimentales han desarrollado soluciones prácticas de muchos problemas hidráulicos. En la actualidad, numerosas estructuras hidráulicas se proyectan y construyen sólo después de haber efectuado un amplio estudio sobre modelos. La aplicación del análisis dimensional y de la semejanza hidráulica permite al ingeniero organizar y simplificar las experiencias así como el análisis de los resultados obtenidos. A]

ANÁLISIS DIMENSIONAL

El análisis dimensional trata de las relaciones matemáticas, de de las dimensiones de las magnitudes físicas y constituye una herramienta muy útil de la moderna mecánica de los fluidos. Por otra parte, se sabe que en la resolución de problemas en mecánica de los fluidos, cuando interviene el movimiento, se necesitan datos experimentales. Para poder conducir más lógicamente los datos, se deben tener guías y conocer las cantidades que intervienen en el movimiento, como también la forma de las ecuaciones en las cuales se van a determinar algunos coeficientes. trata de deducir la forma que tendría la fórmula de un proceso cinemático o dinámico cuando se sabe qué cantidades físicas intervienen en el proceso y en el cual se deben hallar experimentalmente algunos coeficientes. El ANÁLISIS DIMENSIONAL

Teniendo en cuenta esto y suponiendo una forma general, se deben hallar algunos exponentes, quedando algunos coeficientes por determinar en la ecuación. Ejemplo 11: Determinar una expresión para la FUERZA CENTRÍFUGA, sabiendo que intervienen las siguientes magnitudes: masa velocidad y radio Solución: Para saber qué magnitudes intervienen, se requiere alguna FAMILIARIDAD con el fenómeno físico en si. Por ejemplo, si un cuerpo está girando alrededor de un punto, se ejercerá una fuerza que tiende a separar la masa del punto. Si la velocidad varía, esa fuerza varía, y si el radio varía, la fuerza también varía. Así: 1

Mecánica de los fluidos e hidráulica, Giles.


2

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS

∴

a

b

M

(k= parámetro adimensional)

c

Fc = k m v r

Con base en esto, se establecen las ecuaciones dimensionales: M L T −2

= M

a

b

b

c

L T − L

Igualando exponentes que correspondan a unas mismas bases, se tiene: Para M : 1 = a Para L : 1 = b + c Para ∴

T : - 2 1 2

= −b

∴

b

=

2 ; a

=1

, y c

= −1

1

Fc = k m v r − Fc =

k m v 2 r

Ejemplo 22: Desarrollar una expresión para la frecuencia de un péndulo simple, (N) sabiendo que es función de la longitud, la masa del péndulo y de la gravedad. Solución: N = f (l , m, g )

T −1 = kl x m y g z

Así:

1

T −

x

y z

= L M

Para

T :

∴

⇒

−1 = −2 Ζ

Para M : Para L :

2 z

L T −

0 = Y 0

⇒

= X + Z

⇒

Z =

1

2 Y = 0 X = − Z

∴

X = − 1

2

N = kL−1 2 m 0 g 1 2 N = kg1 2l −1 2

2

Mecánica de los fluidos White.


3


N = k

M

g l

El método de análisis dimensional no sólo permite encontrar relaciones entre variables, sino que es una herramienta muy útil de análisis que permite reducir el número de parámetros necesarios para representar un fenómeno físico. Por ejemplo, la fuerza de arrastre F debida al oleaje sobre el casco de un barco depende de la velocidad del navío v ; de la longitud del casco Lo ; de la densidad del fluido, ρ y de la aceleración de la gravedad g . F = f (v, Lo, ρ , g )

Para analizar este fenómeno por medio de experimentos, sería necesario encontrar la fuerza de arrastre F , mientras se varía una sola de las cantidades entre el paréntesis, tomando las demás, valores fijos, con lo cual se obtendrían gráficas como las siguientes:

FOX y Mc DONALS, señalan en su libro: INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DE LOS FLUÍDOS, que una investigación de un fenómeno donde intervengan CUATRO VARIABLES y se requiera para definirlo apropiadamente de diez valores de cada

variable, requerirá 104 ensayos diferentes, mientras que por los métodos del análisis dimensional, sólo dos grupos adimensionales bastarían para ilustrar el fenómeno . Para el ejemplo que nos ocupa, son F

ρ v 2 Lo 2

=

 v  ϕ    gLo 

Lo que se demostrará más adelante. De acuerdo con los grupos formados en el ejemplo, se puede hacer una gráfica como la siguiente: Ing. Luis Arturo Gómez Tobón

4


M

Los parámetros son adimensionales, lo que asegura, además, que la gráfica resultante es completamente general, sin importar el sistema de unidades que se haya escogido. Es bueno recordar que quién este dedicado a este tipo de investigaciones debe seguir, si quiere llegar a resultados completos, los pasos consignados en el método científico, a saber: MÉTODO CIENTÍFICO 1º]. OBSERVACIÓN 2º]. FORMULACIÓN DE HIPÓTESIS 3º]. EXPERIMENTACIÓN 4º]. MEDICIÓN 5º]. OBTENCIÓN Y CLASIFICACIÓN DE DATOS 6º]. CREACIÓN DE UNA LEY 7º]. CONCLUSIONES, y 8º]. COMUNICACIÓN DE LO INVESTIGADO

EJEMPLO 33 Asumiendo que la potencia desarrollada por una bomba es una función del caudal Q ; de la cabeza desarrollada H ; y del peso específico del fluido , establecer la ecuación por medio del análisis dimensional. P

=

f (Q, H , γ )

P = K Q a H bγ c ∴

F L T −1

3a

= L

a

b

c

3c

T − L F L−

Igualando exponentes que correspondan a unas mismas bases, se tiene: Para F : 1 = c ∴ c =1 Para L : 1 = 3 a + b − 3 c ⇒ b = 1 3

Mecánica de los fluidos, Giles.


5

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS Para

T : - 1 = -a P

∴

=

∴

a

M

=1

Q γ H

EJEMPLO 44 Para un líquido ideal, expresar el caudal Q a través de un orificio, en términos de la densidad del líquido ρ : del diámetro del orificio d ; y de la diferencia de presión ∆ p . Solución: Q

=

f ( ρ , d , ∆ p )

Q = ρ x d y ∆ p z 3

−1

∴ L T

x

x y

z

z

z

L−3 L M T −2 L−

= M

Igualando exponentes que correspondan a unas mismas bases, se tiene: Para M :

0 = x + z

Para L :

3 = -3 x + y − Z

Para ∴

∴

x=−

−1

= ρ

2

Q = K d 2

d 2 ∆ p

y

=

⇒ Z =

T : - 1 = 2 Z

Q

∴

1

1

2 2 1 2

2

∆ p

ρ

TEOREMA π DE BUCKINGHAM INTRODUCCIÓN: Cuando el número de variables o cantidades físicas son cuatro o más, el Teorema Pi de Buckingham constituye una excelente herramienta, mediante la cual pueden agruparse estas cantidades en un número menor de grupos adimensionales significativos, a partir de los cuales puede establecerse una ecuación. Los grupos adimensionales se llaman grupos o números Pi. Sí en el fenómeno físico en 4

Mecánica de los fluidos, Giles.


6


M

cuestión intervienen n cantidades físicas q , de las cuales k son dimensiones fundamentales (por ejemplo fuerza, longitud y tiempo, o bien masa, longitud y tiempo) y otras q tales como velocidad, densidad, viscosidad, presión, área, etc. entonces, matemáticamente: f 1 (q1 , q2 , q3 ,.........qn ) = 0

Ecuación que puede reemplazarse por la relación: ϕ [π 1 ,π 2 , π 3 ,.......π n − k ] = 0

Donde cualquier número π no depende más que de (k + 1) cantidades físicas q y cada uno de los números π son funciones monómicas independientes, adimensionalmente, de las magnitudes q . PROCEDIMIENTO: 1. Se escriben las n cantidades físicas q que intervienen en el problema particular, anotando sus magnitudes fundamentales y el número k de magnitudes fundamentales. Existirán (n − k ) números π . 2. Seleccionar k de estas cantidades físicas, sin que haya ninguna sin dimensiones, ni dos que tengan las mismas dimensiones. Todas las magnitudes fundamentales deben incluirse colectivamente en las cantidades físicas seleccionadas. 3. El primer grupo π puede expresarse como el producto de las cantidades físicas escogidas, elevadas cada una a un exponente desconocido y una de las otras cantidades físicas elevadas a una potencia conocida (normalmente se toma igual a 1). 4. Mantener las cantidades físicas escogidas en 2. como variables REPETIDAS y escoger una de las restantes variables para establecer el nuevo número π . Repetir el procedimiento para obtener los sucesivos números π . 5. En cada uno de los grupos π determinar los exponentes desconocidos mediante el ANÁLISIS DIMENSIONAL. RELACIONES UTILES: a) Si una magnitud es adimensional, constituye un grupo π sin necesidad de aplicar el procedimiento anterior.


7


M

b) Sí dos cantidades físicas cualesquiera tienen las mismas magnitudes fundamentales, su cociente será un número adimensional π . Por ejemplo L , es adimensional y, por tanto, un número π . L c) Cualquier número π puede ser sustituido por una potencia del mismo, incluido π 1 ; o π 32 ; o π 2 , por 1π . −

2

d) Cualquier número π puede sustituirse por su producto por una constante numérica. Por ejemplo, π 1 puede reemplazarse por 3 π 1 . e) Cualquier número π puede expresarse como función de otro número π . Por ejemplo, si hay dos números π , π 1 = φ (π 2 ) . f) No se debe escoger la cantidad física que se quiere encontrar en el proceso, como variable de repetición. EJEMPLO 55 Resolver el problema de la fuerza de arrastre F (pendiente), utilizando el Teorema π de Buckingham. Solución: ∴

f (F, Lo, v, ρ , g ) = 0

Donde:

F=F

n=5

∗ Lo = L

K = 3 −1

∗ v = LT ∗ ρ =

g

(1)

+2

∴ −4

F T L −2

= LT

n − K = 2 (se buscarán 2 grupos π )

*: VARIABLES DE REPETICIÓN 3, porque K = 3

Por consiguiente la ecuación (1) puede reemplazarse por: φ [π 1, π 2 ] = 0

5

π 1

=

v x Lo y ρ z F1

(2)

π 2

=

v a Lob ρ c g 1

(3)

Introducción a la Mecánica de los fluidos, Rafael Beltrán.


8


M

Así, π 1 : F0 L0T 0

x

− x

= L T

y z z z L F T +2 L−4 F1

Para F : 0 = Z + 1

⇒

Para L :

∴

Para

0 = x + y - 4Z

π 1

π 1

=

=

0 = x + y + 4 , así :

y

=

-2

⇒ x = +2(- 1) = −2

T : 0 = −x + 2 Z

∴

Z = -1

v −2 Lo−2 ρ −1F1 F

v 2 Lo 2 ρ

, que con el debido chequeo, se demuestra que es adimensional.

Y, π 2 : Para F0 L0T 0

2

4

1

T − a Lb FcT + c L− c L F

a

= L

-2

Para F : 0 = c Para L : 0 = a + b − 4c + 1

⇒ 0 = a + b +1

Para T : 0 = −a + 2c − 2

⇒ 0 = −a − 2

∴

π 2

π 2 =

=

b =1

a = −2

v −2 Lo1 ρ 0 g

gLo v

∴

∴

2

−

1

ó π 2 2

=

v gLo

Finalmente: φ F v 2 ρ Lo2 , v ∴

F 2

v ρ Lo

2

= φ

gLo

=

0

v gLo


9


M

EJEMPLO 66 El caudal

a través de un tubo capilar horizontal depende de la caída de presión

Q

por unidad de longitud ∆ p l ; del diámetro d , del tubo y de la viscosidad dinámica µ . Encontrar la forma general de la ecuación.

Solución:  

f  Q,

∆ p

l

 

, d , µ  = 0 (1)

Donde: 3

n=4

−1

∗ Q = L T ∗

∆ p

K = 3 =

l ∗ d = L ∗ µ =

−3

F L

∴

n − K = 4 − 3 = 1 (se busca un grupo π )

*: VARIABLE DE REPETICIÓN 3, porque

F TL−

K = 3

2

La ecuación (1) se reemplaza por: φ [π 1 ] = 0 π 1 = Q a [∆ p l ] d c µ 1 b

F 0 L0T 0

3a

= L

a

b

3b

c

1

1

2

T − F L− L F T L−

⇒

Para F : 0 = b + 1

Para L : 0 = 3a − 3b + c − 2 Para T : 0 = −a + 1

b = -1 ∴

0 = 3+3+c − 2 ⇒

c = -4

⇒ a =1

−1

 ∆ p  − 4 ∴ π 1 = Q  l  d µ   1

6

Mecánica de los fluidos, Streeter.


10


M

Qµ

∴

π 1

=

∴

Q

= π 1

 ∆ p  4  l  d  

 ∆ p  4  l  d µ  

π 1 Se determinará experimentalmente.

EJEMPLO 77 En un canal abierto se coloca un vertedero triangular de ángulo θ , por el que fluye un líquido que pasa por el canal. El caudal es función de la elevación de la superficie libre del líquido por encima del vértice h ; de la gravedad g ; y de la velocidad de aproximación va . Determinar la forma de la ecuación que da el caudal. Solución: f (Q, h, va , g ,θ ) = 0

(1)

Donde: Q

3

n=5

−1

= L T

K = 2

∗ h = L

va

∴

−1

= LT

n − K = 5 − 2 = 3 (se buscan 3 grupos π )

* Variables de repetición 2, porque

−2

K = 2

∗ g = LT

θ = adimension al

La ecuación (1) puede ser reemplazada por: φ [π 1 , π 2 , π 3 ] = 0

Así: π 1 = ha g bQ1 o

o

L T 7

a

b

−2 b

= L L T

3

1

L T −



11


Para L : Para

0

a+b+3

=

∴

π 1

π 1

=

=

h

2

=

a− 1

⇒ b = −1

T : 0 = -2 b − 1 −5

0

∴

2

+3

⇒ a = −5

M

2

2

1

g 2Q

Q gh

5

Ahora: π 2 π 2

=

x

1

y

h g va

0

x y

0

Para L : Para

2y

T − LT −

∴ L T = L L

1

0 = x + y +1 ⇒ 0 = x - 1

T : 0 = -2y + 1

∴

π 2

π 2

=

π 3

= θ

=

h

−

1

2

g

−1

2

⇒ y =-1

2

+1

⇒ x=−1

2

2

va

va gh

Y: Por ser adimensional

 Q  va , ,θ  ∴ φ   g h 5 g h  Q

∴

g h5

Q

=

,

 va

= φ 

 va  g h

0



 g h

g h5φ , 

=

,θ 





,θ 




12


M

EJEMPLO 88 La pérdida de energía mecánica por unidad de longitud hf l en una tubería lisa con flujo turbulento, depende de la velocidad v , del diámetro d , de la gravedad g , de la viscosidad dinámica µ , y de la densidad ρ . Determinar la forma general de la ecuación. Solución:  hf  , v, d , g , µ , ρ  = 0  l 

f 

hf

=

l

(1)

Donde:

a dim ensional

n=6

∗ v = LT

K = 3

∗ d = L

∴

−1

* VARIABLES DE REPETICIÓN 3, porque

−2

g

= LT

−1

∗ µ = ML


K = 3

−1

T

ρ = ML−3

π 1

=

hf l ,

π 2

=

v x d y µ z g1

M 0 L0T 0

por ser adimensional

x

− x

= L T

y

Z

z

z

L M L− T − L1T −2

Para M : 0 = Z Para L :

0 = x + y - z +1

⇒ 0 = -2 + y - 0 + 1

Para T : 0 = -x - z - 2 ⇒ x = -0 - 2 ∴

8

π 2

=

∴

∴

y

= +1

x = -2

v −2 d 1 µ 0 g



13

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS π 2

=

0

0

M

dg

v2 π 3 = vα d β µ γ ρ 1 0

M L T

α

= L

α β

γ

γ

γ

3

T − L M L− T − ML−

M : 0 = γ + 1

⇒ γ = -1

L : 0 = α + β - γ − 3

⇒

0 = 1 + β + 1 - 3

T : 0 = -α + γ

⇒

α = 1

π 3

∴

∴

π 3

∴

=

=

1

1

∴

β = 1

−1

v d µ ρ

v d ρ

µ

 hf d g v d ρ  , 2 , =0 l v µ  

f 

 hf v 2 v d ρ  ó f 1  , ,  µ  2 l d g 

Pero:

v d ρ

µ

0

NÚMERO DE REYNOLDS

= N R

 hf v 2  , N R  f 1  ,  l 2 g d 

=

=

0

 v2  = φ  N R ,  2 g d  l 

hf

hf l

=

v2

2 g d

ϕ , N R ,

hf


=

l v2 d 2 g

ϕ , N R

14


M

EJEMPLO 99 Un cierto estado de flujo depende de la velocidad v ; de densidad ρ ; de tres dimensiones lineales l , l1 y l2 ; de la caída de presión ∆ p ; de la gravedad g ; de la viscosidad dinámica µ ; de la tensión superficial σ ; del módulo de elasticidad volumétrico Κ . Determinar, por aplicación de análisis dimensional a estas variables, un conjunto de parámetros adimensionales π . f (v, ρ , l , l1 , l2 , ∆ p, g , µ ,σ , Κ ) = 0

Solución:

Donde:

−1

∗ v = LT

n = 10

−3

∗ ρ = ML

K = 3

∗ l = L

l1

= L

l2

= L

∴


VARIABLES DE REPETICIÓN 3, porque K = 3 −2

1

L−

∆ p = MT −2

g

= LT

µ = ML−1T -1 σ = MT −2 K

−2

1

L−

= MT

a b c v ρ l ∆p1

π 1

=

∴

M L T

0

0

0

a

−a

= L T

M : 0 = b + 1

b

3b

c

2

1

M L− L MT − L−

⇒ b = −1

L : 0 = a − 3 b + c − 1

⇒ 0 = -2 + 3 + c - 1

T : 0 = −a − 2

⇒ a = −2

π 1 9

=

∴

c=0

v −2 ρ −1l 0 ∆ p



15


π 1

=

π 2

=

0

0

M

∆ p

v 2 ρ d e f v ρ l g 1

d

0

∴ M L T = L

d

e

3e

f

T − M L− L LT −

2

M : 0 = e L : 0 = d − 3 e + f + 1

⇒

T : 0 = −d − 2 ∴

π 2

π 2

=

0

0

=

0 = −2 − 0 + f + 1 ⇒

∴

f

=1

d = −2

v −2 ρ 0l 1 g

lg

v2 π 3 = v h ρ i l j µ 1 0

M L T

h

−h

i

L : 0 = h − 3 i + j - 1

1

1

∴

0 = -1 + 3 + j - 1 ⇒ j = -1

⇒ h = −1

T : 0 = −h − 1

−1 −1

π 3

=

v ρ l µ

π 3

=

µ v ρ l

π 4

=

v ρ l σ 1

0

0

k

j

⇒ i = -1

M : 0 = i + 1

−1

3i

M L− L ML− T −

= L T

m n

0

K

∴ M L T = L

M : 0 = m + 1

K

m

3m

n

2

T − M L− L MT −

⇒

L : 0 = k − 3 m + n T : 0 = −k − 2 ⇒

m = −1 ∴

0 = -2 + 3 + n

⇒

n = −1

k = −2


16


π 5

π 4

=

v −2 ρ −1l −1σ

π 4

=

σ v 2 ρ l

=

p

q r

M

1

v ρ l K p

p

q

q

M 0 L0T 0

= L

M : 0

q +1 ⇒ q

=

r

T − M L−3 L MT −2 L−1 = −1

L : 0 = p − 3q + r − 1 T : 0 = - p − 2 ⇒

∴

p

0 = -2 + 3 + r - 1

∴

r

=

0

= −2

v −2 ρ −1l 0 K

π 5

=

π 5

=

π 6

=

∴

f 

K v 2 ρ l l1

Y

π 7

=

l l2

[cocientes adimensionales]

 ∆ p l g µ σ K l l  , , , , , ,  2 2 2 2 ρ ρ ρ ρ v v v l v l v l1 l2  

=

0

Al organizar algunos de estos parámetros y tomar la raíz cuadrada de π 5 , se tiene.

∴

 2  2 v v vl v l v l l ρ ρ  ρ  f 1  , , , , , , =0 l1 l2 ∆ p σ g l µ K   ρ  

Donde:

v 2 ρ

=

∆ p

v gl

=

Número de Euler : N E ó Número de Froude : N F ó


17

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS vl ρ

Número de Reynolds : N R ó

=

µ v 2 ρ l

=

σ v

M

Número de Weber : N W ó

=

Número de Mach : N M ó

=

 l l   N E , N F , N R , N W , N M , ,  = 0 l1 l2  

K g

∴

f 1

SIGNIFICADO DE LOS NÚMEROS ADIMENSIONALES NÚMERO DE EULER

N E :

se define como la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de presión: Ma ρ L3 LT −2 : 2 ∆ pA ∆ pL

NÚMERO DE FROUDE

=

v 2 ρ ∆ p

= N E

N F :

es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de gravedad:

Ma

=

ρ L3 LT −2

W

Mg

ρ L3 LT −2 = ρ L3 g

=

v2 Lg

= N F

2

NÚMERO DE REYNOLDS N R : es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de viscosidad: Ma

τ A

=

NÚMERO DE WEBER

ρ L3 LT −2 µ

dv dy

A

ρ L3 LT −2 = µ LT −1 L−1 L2

=

ρ Lv vL ó µ σ

= N R

N W :

es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de tensión superficial:


18


ρ L3 LT −2 = σ L σ L

Ma

ρ Lv 2 = σ

M

= N W

NÚMERO DE MACH N M : es la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas de elasticidad: Ma

=

KA

ρ L3 LT −2 2

KL

=

ρ v 2 K

=

v2 K

= N M

2

ρ


19

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS B]

M

SEMEJANZA HIDRÁULICA

Se refiere a métodos que se han desarrollado para poder predecir mediante un MODELO a escala, generalmente reducido, el comportamiento de una estructura hidráulica que se denomina PROTOTIPO. ”En hidráulica, el término MODELO corresponde a un sistema que simula un objeto real llamado PROTOTIPO”10. Así, el fenómeno que en definitiva se desea estudiar ocurre en el prototipo y su reproducción se realiza en el modelo. Hay muchos factores en un proceso hidráulico que no pueden calcularse por medios matemáticos y sólo pueden analizarse prácticamente, de allí la necesidad de experimentar con estructuras reducidas, donde se pueden variar los factores y con base en esto diseñar la estructura real. Se utilizan en muchos casos: transiciones en canales, entradas en ellos, obras de salida, aliviaderos de exceso, obras de defensa en ríos, puertos, propagación de oleajes, acción de oleajes sobre embarcaciones, erosión, sedimentación de cauces, control de avenidas, obras de toma, cárcamos de bombeo, conducción de agua a presión, maquinaria hidráulica (bombas y turbinas), determinación de coeficientes de descarga en orificios y vertederos, etc. PRINCIPIOS DE SIMILITUD

La similitud entre modelo y prototipo puede tomar tres formas diferentes, a saber: a) Similitud geométrica b) Similitud cinemática, y c) Similitud dinámica. a) SIMILITUD GEOMÉTRICA:

Implica semejanza de forma y se obtiene cuando existen las mismas relaciones entre las LONGITUDES HOMÓLOGAS de modelo y prototipo. b) SIMILITUD CINEMÁTICA:

Implica semejanza de movimiento y se obtiene si las líneas de corriente de partículas homólogas son GEOMÉTRICAMENTE semejantes y si existen relaciones iguales para las velocidades de partículas homólogas.

10

Miguel A. Vergara S. En T écnicas de modelación en hidráulica, México 1993.


20


M

c) SIMILITUD DINÁMICA:

Implica semejanza de fuerzas y se obtiene si existe similitud GEOMÉTRICA y CINEMÁTICA y si las relaciones de las fuerzas que actúan sobre partículas homólogas son iguales. Sin embargo, a veces se hacen modelos DISTORSIONADOS, recurriéndose a dos escalas, una horizontal y otra vertical. CANTIDADES FÍSICAS QUE INFLUYEN EN CADA UNA DE LAS TRES SIMILITUDES. 1º] EN LA SIMILITUD GEOMÉTRICA : Se tienen que considerar similitudes de LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES. NOTA: los subíndices m y p , se refieren a modelo y prototipo respectivamente. Llamando Lr a la relación de longitudes entre modelo y p rototipo, se tiene: Lr =

Lm

(La escala) (LONGITUD)

Lp

Ar = Lr 2

= Lm

Vr = Lr 3

= Lm

2

3

Lp 2

(ÁREA)

Lp3

(VOLÚMEN)

2º] EN LA SIMILITUD CINEMÁTICA : Entra el concepto de tiempo, además de los anteriores. Las cantidades físicas que hay que considerar, son las que implican movimiento, a saber: Tr = Tm Tp Vr =

ar

=

ω r

=

Lr

=

Lm Lp

Tr Lr 2

Tm Tp

=

Tr

1 2

Tr

=

Lm Lp Tm 2 Tp 2

1 Tm Tp

(VELOCIDAD)

(ACELERACIÓN)

(VELOCIDAD ANGULAR)


21


α r

=

Qr =

1 Tr 2

Lr 3

1

=

(ACELERACIÓN ANGULAR)

Tm 2 Tp 2

=

Lm 3 Lp 3

Tr

M

(CAUDAL)

Tm Tp

3º] EN LA SIMILITUD DINÁMICA

En esta similitud, la relación de fuerzas homólogas es igual; entran fuerza, masa, trabajo, potencia, peso específico, densidad, etc. Fr = Fm Fp

Fr = Mr ar

= Mr

Lr

Tr 2

(Relación de fuerzas de inercia)

En función de la densidad, sería: 3

Fr = ρ r Lr

Lr Tr 2

Tr = Fr Lr =

Ρ r =

ρ r

=

γ r

=

Fr Lr Tr Mr Lr 3 Fr Lr 3

=

ρ r Lr 4 Tr 2

Fm Lm * Fp Lp

(TRABAJO)

(POTENCIA)

(DENSIDAD)

(PESO ESPECÍFICO)

En un problema determinado, para buscar una relación cualquiera se aplica la fórmula correspondiente. Para conocer las relaciones correspondientes, es necesario conocer qué fuerzas están predominando. En general el ingeniero estudia únicamente los efectos de la fuerza predominante. En la mayoría de los problemas de flujos fluidos son fuerzas predominantes las de gravedad, viscosidad y/o elasticidad, pero no necesariamente de forma simultánea. Ing. Luis Arturo Gómez Tobón

22


M

Se tratarán los casos en que una sola fuerza esté predominando en la configuración del flujo, mientras que el resto de las fuerzas producen efectos despreciables o se compensan. Sí son varias las fuerzas que simultáneamente influyen en las condiciones del flujo, el problema se complica en exceso, quedando fuera del propósito de esta asignatura. No obstante lo anterior, se hará un problema con simultaneidad de fuerzas predominantes. Considerando el caso en que las fuerzas predominantes sean las de gravedad, como las de inercia siempre están presentes, entonces la relación de fuerza de inercia a fuerza de gravedad debe ser igual en modelo y prototipo; así, según lo analizado anteriormente, los números de FROUDE deben ser iguales en modelo y prototipo, a saber: N Fm

=

N Fr ∴

N Fp

=1

vr

g rlr

O sea que:

=1

Lr

=1

Tr g r Lr

∴

Tr =

Lr g r

Fijando la relación de fuerzas queda fija la relación de tiempos. Análogamente, si las fuerzas predominantes son las de viscosidad, como las de inercia siempre están presentes, entonces la relación de fuerzas de inercia a fuerzas de viscosidad, debe ser igual en modelo y prototipo. Así las cosas, en el número de REYNOLDS deben ser iguales en modelo y prototipo; a saber: N Rm

=

N Rp

N Rr = 1 ∴

O sea que:


vr ρ r Lr

=1

µ r Lr ρ r Lr =1 Tr µ r

23

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS Tr =

Lr 2 ρ r

µ r

ó

M

Lr 2

υ r

Se podrán hacer los mismos análisis con predominancia de otras fuerzas, (elasticidad, tensión superficial, presión, etc. EJEMPLO 1011 A través de una acequia de 0,60m de anchura se va a construir un modelo de aliviadero a escala 1:25. El prototipo tiene 12,5m de altura y se espera una altura de carga máxima de 1,5m . a] Qué altura y qué carga debe utilizarse en el modelo? b] Si el caudal vertido sobre un modelo es de 20 L.P.S, con una carga de 6,0cm , ¿Qué caudal por metro de vertedero en el prototipo puede esperarse? c] Si en el modelo aparece un resalto hidráulico de 2,5cm . ¿Qué altura tendrá el resalto en el prototipo? d] Sí la energía disipada en el resalto hidráulico del modelo es de 0,15 c.v , ¿Cual será la energía disipada en el prototipo?, y e] Sí la caída de presión medida entre dos puntos del modelo es de 2 ∆ p = 0,40 kg cm , ¿cual será la caída entre los puntos correspondientes del prototipo? Solución: Este tipo de problema en vertederos hace que las fuerzas predominantes sean las de gravedad, vale decir, el sistema modelo – prototipo se rige por las leyes del modelo de FROUDE. a] Lr =

1

(dato del problema)

25 h p = 12,5 m

Zp

hr

= 1,5 m

=

Zr =

11

1 25

1 25

⇒

⇒

hm

hm

→

Zm = ?

=

h p

Zm Zp

1

=

?

→

∴

hm

25

=

1 25

∴

=

Zm =

hp

=

25 Zp

25

12,5m

=

25

=

1,5m 25

=

0,5m

0,06m

O sea 6.0 cm.

Mecánica de los fluidos e Hidráulica, Giles.


24


3

b] Qr =

∴

3

Lr

Lr

=

Tr 5

Qr = Lr

2

Qm

∴

pero

,

Lr g r

g r

1  25   

=

Qp

5

M

=1

2

∴

Qp

=

25

5

2

* Qm

Qp = 3125 * 20 l.p.s. = 62500 l.p.s. = 62,5 m3 seg

Pero se pide por cada metro del prototipo. Para el efecto se debe conocer qué ancho tiene el prototipo, así: 1

ar

=

a p

=

∴

25

d]

1

=

∴

=

a p

25

a p

25 am

25 * 0,6 = 15m

Qp

=

62,5 15

m

c] Rr

am

⇒

1

=

Fr Lr

Ρ r =

3

Rm

⇒

25

m seg / m ⇒

=

R p

=

1

Tr 2Tr

Tr

=

=

m

Rr

∴

25

Mr Lr Lr

Qp

4,17 m3 seg / m

= Rm

* 25 = 2,5cm * 25 = 62,5cm

ρ r Lr 3 LrLr Tr 3

=

7

7

2

=

Ρ m

⇒

=

Fr 2

=1

=

7

[25] 2

1

(5)7

(5)7 * 0,15 c.v = 11718,75 c.v =

Mr ar

Lr

Porque ρ r = 1 y

1

=

Ρ p

(5)7 * Ρ m

e] p r

g r

2

2

1 ∴ Ρ r =  25    ∴ Ρ p =

3

Lr

Pero ρ r = 1 , se trata de un mismo líquido, y ∴ Ρ r = Lr

ρ r Lr 5

2

Lr

g r

=

ρ r Lr 3 Lr 2

2

Tr Lr

=

Lr 2 Lr

2

= Lr

=1


25

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS ∴

pm

=

p p

1  25   

⇒

=

p p

25 pm ⇒ p p

=

25 * 0,4

= 10

M

kg cm

2

EJEMPLO 1112 La resistencia media en agua fresca γ 0 = 1000 kg m3 de un modelo de barco de 2,40m de longitud, moviéndose a 2,0 m seg , es de 4, 4kg . a] ¿Cual será la velocidad correspondiente en un prototipo 38,4m de longitud? b] ¿Qué fuerza es necesaria para conducir el prototipo en agua salada?

[γ = 1025 kg

m

s

3

]

Son predominantes las fuerzas de gravedad. Solución: a] N Fr ∴

Pero

vr

Lr =

∴

Ahora:

=

v p =

b] Fr =

Fr =

12

(g r = 1)

2

2,4

=

=

38,4

Lp

vm

v p

1

= Lr

=

=1

Lr g r

Lm

vr

vr

⇒

=1

1

(0,0625) 2 ⇒

0,25

0,0625

=

0,25

v p

vm

=

=

2,0 m seg

0,25

0,25

, porque

g r

γ r Lr 3 , porque g r

=1

=

8

m seg

8,0 m seg Mr Lr Tr 2

ρ r Lr 4 Lr

=

ρ r Lr 3 Lr

 Lr     g r  =

2

=1

, se tiene

Mecánica de los fluidos y Maquinas Hidráulicas, Claudio Mataix.


26


∴

1000 * (0,0625)

3

Fm

=

Fp

=

1025

Fp

∴

M

Fm

=

Fp

2,38 * 10

=

−4

2,38 * 10 − 4

4,4kg 2,38 * 10− 4

= 18472,96 kg

= 18,13 KN

EJEMPLO 1213 Un modelo de VENTURÍMETRO tiene dimensiones lineales 1/5 de las del prototipo. El prototipo trabaja con agua a 20 ºC y el modelo con agua a 100 ºC, para un diámetro de garganta de 0,6m y una velocidad en ella de 6,0 m seg en el prototipo, ¿Qué caudal será necesario disponer en el modelo? Predominan las fuerzas de viscosidad. DATOS: γ 0

a 20º C

998 kg m

=

γ 0 a 100º C

3

⇒ υ 0

= 1,007 *10

958 kg m3 ⇒ υ 0

=

=

−6

2

m seg

0,296 *10 −6 m 2 seg

(Los datos anteriores fueron sacados de tablas) Solución: Qr =

Lr 3 Tr

=

Lr 3 2

Lr

= υ r Lr

υ r ∴

∴

Qr =

Qr Qp

=

0,296 *10−6 1,007 *10

−6

*

1

=

5

0,0588

0,0588 ⇒ Qm = 0,0588 * Qp 2

Pero

Qp

∴

= Ap v p =

π (0,6 )

Qm = 0,0588 *1,7 m.c.s Qm = 0,1 m3 seg

13

4

* 6 = 1,70 m3 seg =

Por continuidad

0,09996 m3 seg

ó Qm = 100 l.p.s.

Mecánica de los fluidos y Maquinas Hidráulicas, Claudio Mataix.


27


M

EJEMPLO 1314 Un modelo de bomba a escala 1:6 trabaja con agua de µ m = 5 * 10 4 kg * seg m2 . La bomba en el modelo tiene una potencia de 2,25 kg * m seg . El prototipo trabaja con un aceite de µ p = 10 3 kg * seg m2 . Calcular: a] La potencia que desarrollará el prototipo, y b] La diferencia de presiones entre la sucesión y la descarga de la bomba en el prototipo, cuando esta diferencia en el modelo es de 0,015 kg cm2 . Predominan las fuerzas de viscosidad. −

−

Solución: DATOS: γ 0

a]

= 1000

Ρ r =

FrLr

(modelo)

kg m

3

γ oil

900 kg m

=

FrLr

=

=

2

Fr υ r

Lr

Tr

(Prototipo)

3

=

Lr

Fr µ r Lr ρ r

υ r ∴ Ρ r =

Mr ar µ r

Ρ r =

Lr ρ r

ρ r Lr 3 Lr µ r = 2 Tr Lr ρ r 3

Lr 3 µ r

µ r = 2 2 Lr ρ r  Lr 2 ρ r     µ r 

Ρ r =

∴ Ρ p =

b]

14

Ρ m

0,6075 ⇒

Ρ m

=

∆ pr =

2

Lr

=

2

=

(0,5)3 * 6 * [0,9]2

0,6075

=

0,6075 Mr ar 2

Lr

=

µ r 3 = 2 Lr γ r

g r 2

2,25 kg * m seg

0,6075 Fr

=

Ρ p

2

Tr

Lr

3

∴

=

µ r 3 γ r 2

=

 5 * 10 −4   6   900  Ρ r =     −3   10   1  1000 

Lr 3µ r

ρ r Lr 3 Lr 2

2

=

Tr Lr

3,7

kg * m seg

ρ r Lr 2

(Tr )2

Mecánica Elemental de Los Fluidos, Bolinaga.


28

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS γ r Lr 2

∆ pr =

 Lr 2  g r    υ r  γ r µ r 2 2 2 γ r

∆ pr =

Lr

=

2

2

2

 5 *10 −4   6   900  =     −3   10   1  1000 

µ r 2 = 2 Lr γ r

2

g r

∆ pm

⇒

∆ pr = 8,1

∴ ∆ p p =

2

γ r  µ r  =  2 2  Lr Lr  ρ r 

γ r υ r 2

M

∆ pm

=

∆ p p

= 8,1

0,015 kg cm2

8,1

8,1

=

0,0019

kg cm2

EJEMPLO 1415 Se desea fabricar un modelo de un estanque que contendrá petróleo υ = 1,25 *10 4 m2 seg , para estudiar el movimiento del líquido dentro de él. Se ha determinado que tanto las fuerzas de gravedad como las de viscosidad están predominando. Para el modelo se usará agua de υ = 1*10 6 m2 seg . Calcular la escala a la que se ha de fabricar el modelo. −

−

Solución: N Fr ∴

=

N Rr

vr

=

Lrg r 3

Así:

Lr 2 ∴

vr Lr

υ r

= υ r

Lr = υ r

3

g r

=1

2

υ  Lr =  m  υ p 

15

porque

2

3

 10 −6  = −4  1,25 *10 

2

3

10 −2  =    1,25 

2

3

Mecánica Elemental de Los Fluidos, Bolinaga.


29

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA HIDRÁULICA MECÁNICA DE LOS FLUIDOS Lr = 0,04 =

4

1

=

100

M

25

Respuesta: escala 1:25

EJEMPLO 1516 Evalúe la escala de la velocidad y la relación de pérdida de cabeza para flujo con fuerzas viscosas y de gravedad predominantes. Solución: Cuando sólo un número es igual en modelo y prototipo, se pueden elegir escala y fluido. Cuando son dos los números iguales en modelo y prototipo, sólo se puede escoger uno de los dos; es más conveniente elegir un fluido. En este caso, la relación de número de FROUDE y de REYNOLDS se iguala, pues ambos son iguales a 1, por lo tanto: vr

=

Lr g r

vr Lr

υ r

, porque

g r

=1

3

υ r = Lr 2 2

∴ Lr = υ r

3

Se escoge un fluido que dé una escala conveniente. vr Lr

=1

∴

vr

=

Lr = υ r

1 3

Si se emplea el número de Reynolds vr

=

υ r Lr

=

υ r υ r

2

3

= υ r

1 3

EJEMPLO 1617 Se desea realizar un modelo de un barco tanquero a una escala 1:100. Determine cuál debe ser la viscosidad cinemática del fluido a utilizarse en el modelo para que exista similitud de Reynolds y Froude simultáneamente. 16 17

Mecánica Elemental de Los Fluidos, Bolinaga. Mecánica Elemental de Los Fluidos, Bolinaga.


30


M

Solución: υ p

= 1*10

vr

−6

=

vr Lr

υ r

Lr g r

∴

 1  υ r =  2  10 

∴

υ m υ p υ m

=

3

−9

3

⇒ Lr 2

= υ r

2

=

0,001

⇒ υ m

0,001

= 10

(Dato del problema)

m 2 seg

=

0,001*υ p

=

0,001*10−6 m 2 seg

2

m seg

NOTAS VARIAS: Los cinco parámetros adimensionales, a saber: N E , N R , N F , N W y N M , son de importancia para correlacionar los valores que se obtienen en experiencias: NÚMERO DE REYNOLDS: Se usa para correlacionar coeficientes de aforos, rozamiento en tuberías y resistencias. En el flujo de fluidos compresibles desempeña un papel secundario frente al N M . NÚMERO DE FROUDE: Cuando existe una superficie libre, la acción de la gravedad es importante en la determinación de la naturaleza del flujo. El N F es útil en los cálculos de resaltos hidráulicos y en el proyecto de canales abiertos y de estructuras hidráulicas. También es importante en el proyecto de barcos. NÚMERO DE WEBER: Su análisis es importante donde existan chorros pequeños, formación de gotitas y la formación de pequeñas ondas capilares. El coeficiente de desagüe en las fórmulas de presas estándar depende del N W para alturas pequeñas.


31


M

NÚMERO DE MACH: El efecto de la variación del N M sobre el flujo a altas velocidades en tuberías o sobre los proyectiles a alta velocidad ó en el movimiento de misiles es mucho más pronunciado que el efecto de la variación de los N R , N F ó N W . CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS a) Según fluido utilizado. - Hidráulicos. - Eólicos. b) Según comportamiento del material de que están hechas las fronteras, cuando el flujo está en movimiento: - Fondo fijo. - Fondo móvil. c) Según escalas de líneas con respecto a 3 ejes coordenados: - Distorsionado. - No distorsionado. d) Según la similitud escogida para seleccionar escalas: - Froude. - Reynolds. - Otros.


32


M

Dimensiones de las variables físicas usadas en hidráulica

VARIABLE

SIMBOLO

DIMENSIONES MLT FLT

CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS Longitud L L Perímetro mojado Pm L Área A L2 Volumen V L3 PROPIEDADES DE LOS FUIDOS Masa m M Densidad ρ ML-3 Peso específico γ ML-2 -2 n Viscosidad cinemática L2T-1 Viscosidad dinámica μ ML-1 -1 Módulo de elasticidad volumétrico o elástico Kv ML-1 -2 Tensión superficial σ MT-2 CARACTERÍSTICAS DEL FLUJO Velocidad v LT-1 Aceleración a LT-2 Presión p ML-1T-2 Fuerza F MLT-2 Esfuerzo cortante τ ML-1 -2 Gasto (caudal) Q L3T-1 Trabajo, Energía W, E ML2T-2 Momento M ML2 -2 Potencia P ML2 -3 Impulso I MLT-1 OTRAS Angulo α ninguna Pendiente S ninguna Velocidad Angular, Frecuencia ω, f T-1 Velocidad del sonido c LT-1 Aceleración de la gravedad g LT-2 Tiempo t T Temperatura* T θ 2 -2 -1 Calor especifico cp , cv LT θ Transporte de sedimento, en peso Gs MLT-3 Transporte de sedimento, en volumen Q s L3T-1 Peso w MLT-2 * La dimensión θ está referida a la dimensión de temperatura.


L L L2 L3 FT2L-1 FT2L-4 FL-3 L2T-1 FTL-2 FL-2 FL-1 L -1 L -2 FL-2 F FL-2 L3 -1 FL FL FL -1 FT ninguna ninguna T-1 L -1 L -2 T θ 2 -2 -1 LT θ FT-1 L3 -1 F

33

Analisis Dimensional y Semejanza Hidraulica

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