El análisis dimensional trata de las relaciones matemáticas de las dimensiones de las magnitudes físicas y constituye otra herramienta muy útil de la mecánica de fluidos. La caracterización de cualquier fenómeno mediante grupos adimensionales, se lleva cabo mediante un método denominado análisis dimensional. En toda ecuación que exprese una relación física entre magnitudes debe verificarse la igualdad al sustituir las magnitudes por sus valores numéricos y también por sus dimensiones. Todas las relaciones físicas pueden reducirse a una relación entre las magnitudes fundamentales, fuerza F, longitud L, y tiempo T. La consecuencia de tal relación es múltiple, debido a que ahora es posible describir el fenómeno completamente y no se restringe a la discusión del experimento especializado realizado. Por consiguiente, es posible llevar a cabo menos, aunque altamente selectivos, experimentos con el fin de descubrir las facetas escondidas del problema y por lo tanto lograr importantes ahorros en tiempo y dinero. Los resultados de una investigación pueden presentarse también a otros ingenieros y científicos es forma más compacta y significativa con el fin de facilitar su uso. Es igualmente importante que a través de esta presentación incisiva y ordenada de información, los investigadores puedan descubrir nuevos aspectos y áreas sobre el conocimiento del problema estudiado. Este avance directo de nuestro entendimiento de un fenómeno se debilitaría si las herramientas del análisis dimensional no estuvieran disponibles.
Dimensiones y Unidades Las dimensiones de la mecánica son: Fuerza, Masa, longitud y tiempo; este se relacionan mediante la segunda ley de movimiento de Newton: F = m.a
Para todos los sistemas físicos, probablemente sería necesario introducir otras dos dimensiones, una relacionada con el electromagnetismo y la otra con los efectos térmicos. En la mayoría de los casos no es necesario incluir una unidad térmica, debido a que las ecuaciones de estado relacionan presión, densidad y temperatura. En forma dimensional, la segunda ley de movimiento de Newton es: F = MLT
-2
La cual demuestra que únicamente tres dimensiones son independientes. F es la dimensión de fuerza, M la dimensión de masa, L la dimensión de longitud y T la dimensión de tiempo. Un sistema común utilizado en el análisis dimensional es el sistema MLTθ, donde θ es la dimensión de temperatura. La siguiente tabla indica algunas de las cantidades utilizadas en el flujo de fluidos, junto con sus símbolos y dimensiones. Para evitar confusiones, se ha denominado la temperatura como T”.
Método de Rayleigh Si una expresión es de la forma x = a + b + c + d + … + n será necesario que todas y cada una de las variables tengan las mismas dimensiones. Si se tiene un conjunto de variables que representan un fenómeno dado y si todas o algunas de ellas, tienen dimensiones diferentes, una función que las relacione debe ser un producto de estas variables elevadas a determinadas potencias, de forma que se cumpla el principio de homogeneidad. α
β
γ
ϗ
X = a * b *c *…*z Ejemplo
Se sabe que la velocidad de salida de un fluido por un orificio practicado en la pared de un tanque, que contiene un fluido cualquiera, es una función de: la altura del fluido dentro del tanque y de la aceleración de la gravedad. Determinar la forma de la ecuación para la velocidad. V = F(g, H) Sistema MLT -1
-2
[V] = [ L T ][g] = [L T ][H] = [L] Según Rayleigh V = C g b H a -1
-2
LT = C[L]a [LT ]b Se debe cumplir que la suma de los exponentes de las dimensiones de la derecha sean iguales a la suma de los exponentes respectivos de la izquierda. Para L 1= a+b Ϸ a = 1-b Para T -1= -2b Ϸ a = ½ y b = ½ Por lo tanto
V=CG
1/2
1/2
H
V =
, Cuando se aplica la ecuación de la energía o de Bernoulli se obtiene: V = C V por lo tanto C debe tener como mínimo a CV √ , sin tener en cuenta el fluido dentro del tanque y las características del orificio (diámetro y forma).
Teorema Π (Método de Buckingham) El método de análisis dimensional de Rayleigh fue mejorado por Buckingham con una amplia generalización que se conoce como el teorema Π. El teorema de Buckingham prueba que en un problema físico que incluye n cantidades en las cuales hay m dimensiones las cantidades pueden reordenarse en n – m parámetros adimensionales independientes. Sean A 1, A2, A3, …, An las cantidades involucradas, tales como presión, viscosidad, velocidad, etc. Se sabe que todas las cantidades son esenciales para la solución y por consiguiente debe existir alguna relación funcional F(A1, A2, A3, …, An) = 0 Si Π1, Π2, …, representan agrupaciones adimensionales de las cantidades A 1, A2, A3, …, entonces con las m dimensiones involucradas, existe una ecuación de la forma f(Π1, Π2, Π3, …, Π n-m) = 0 el método para determinar los parámetros Π consiste en seleccionar m de las A cantidades, con diferentes dimensiones, que contengan entre ellas las m dimensiones, y utilizarlas como variables repetitivas junto con una de las otras cantidades A para cada Π. Las dimensiones de las cantidades A se sustituyen y los exponentes de M, L y T se igualan a 0 respectivamente. Esto produce tres ecuaciones con tres incógnitas para cada parámetro Π, de tal manera que se pueden determinar los exponentes x, y, z y, por consiguiente, el parámetro Π. Si solamente están involucradas dos dimensiones, entonces se seleccionan dos de las cantidades A como variables repetitivas y se obtienen dos ecuaciones para los exponentes desconocidos, desconocidos, para cada termino Π. En muchos casos la agrupación de los términos A es tal que el numero adimensional es evidente mediante inspección. El caso más simple es cuando dos de las cantidades tienen las mismas dimensiones, por ejemplo, longitud, la relación de los dos términos es el parámetro Π. Los pasos en el análisis dimensional pueden resumirse así: 1. Seleccionar las variables pertinentes. Esto requiere algún conocimiento del proceso.
2. Escribir las relaciones funcionales, por ejemplo, F(V, D, ρ, μ, c, H) = 0 3. Seleccionar las variables repetitivas. (No incluir la cantidad dependiente como una variable repetitiva). Estas variables deben contener todas las m dimensiones del problema. Usualmente se escoge una variable porque especifica la escala y otra porque especifica l as condiciones cinemáticas. 4. Escribir los parámetros Π en función de exponentes desconocidos, por ejemplo, 1
x1
y1
z1
-1 x1
y1
-3 z1
-1 -1
Π = V D ρ μ = (LT ) L (ML ) ML T
5. Para cada una de las expresiones Π, escribir las ecuaciones de los exponentes, de tal manera que la suma de los exponentes de cada dimensión sea cero. 6. Resolver simultáneamente las ecuaciones. 7. Sustituir nuevamente en las expresiones Π del paso 5, los exponentes para obtener los parámetros adimensionales Π. 8. Establecer la relación funcional F1(Π1, Π2, Π3, …, Π n-m) = 0 9. Recombinar, si se desea, para alterar las formas de los parámetros Π, manteniendo el mismo número de parámetros independientes.
Parámetros Adimensionales Un parámetro adimensional es un conjunto de variables agrupadas de tal forma que su dimensión es 1, es decir, no tiene dimensiones. Los parámetros adimensionales están íntimamente relacionados con el análisis dimensional y semejanza. Básicamente, el análisis dimensional está relacionado con la reducción del número de variables utilizadas en la modelización de un fenómeno físico. Numero de Reynolds (VD ρ/μ) Parámetro adimensional en mecánica de fluidos que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas viscosas. Un numero de Reynolds critico distingue los diferentes regímenes de flujo, tales como laminar o turbulento en tuberías, en la capa limite, o alrededor de objetos sumergidos. El valor particular depende de la situación.
Numero de Froude( V l √ ) Parámetro adimensional en mecánica de fluidos que relaciona las fuerzas de inercia con las fuerzas gravitatorias. Con un flujo a superficie liquida libre la naturaleza del
flujo depende de si el numero de Froude es mayor o menor que la unidad. Este número es útil en cálculos de resalto hidráulico, en el diseño de estructuras hidráulicas y de barcos. 2
Numero de Weber ( V l ρ/σ) Parámetro adimensional que relaciona las fuerzas de inercia con la tensión superficial del fluido. Tiene especial importancia cuando la curvatura de la superficie del fluido es comparable con la profundidad del fluido a estudio. Por eso es de consideración sólo cuando toma valores inferiores o iguales a la unidad. En caso contrario se pueden despreciar los efectos producidos por la tensión superficial.
ρ) Numero de Mach (V l Parámetro adimensional que relaciona las fuerzas inerciales y las fuerzas elásticas. Cuando se eleva al cuadrado y se multiplica por ρA/2 en el numerador y el denominador, el numerador es la fuerza dinámica y el denominador la fuerza dinámica a la velocidad del sonido. También se puede demostrar que es una medida de la relación de la energía cinética del flujo con respecto a la energía interna del fluido. Es el parámetro correlacionante más importante cuando las velocidades están cerca o por encima de las velocidades locales del sonido.
Similitud y Estudio de Modelos Frecuentemente se emprenden estudios sobre modelos de estructuras y maquinas hidráulicas propuestas como una ayuda en el diseño. Estos permiten una observación visual del flujo y hacen posible obtener cierta información numérica, por ejemplo, calibraciones de vertederos y compuertas, profundidades de flujo, distribuciones de velocidad, fuerzas sobre compuertas, eficiencias y capacidades de bombas y turbinas, distribuciones de presión y perdidas. Si se desea obtener información cuantitativa acertada de un estudio con un modelo, debe existir similitud geométrica entre el modelo y el prototipo. Esta similitud requiere que exista similitud geométrica exacta y que la relación de presiones dinámicas en puntos correspondientes sea una constante. Este segundo requerimiento también puede expresarse como una similitud cinemática, es decir, que las líneas de corriente deben ser geométricamente similares. La similitud geométrica se extiende a la rugosidad superficial real del modelo y el prototipo. Si el modelo tiene un decimo del tamaño del prototipo en cualquier dimensión lineal, la altura de las proyecciones de la rugosidad deben tener la misma relación. Para que las presiones dinámicas tengan la misma relación en puntos correspondientes del modelo y el prototipo, las relaciones de los diferentes tipos de fuerzas deben de ser las mismas en puntos correspondientes. correspondientes. Por consiguiente, para una similitud dinámica estricta, los numero de Mach, Reynolds, Froude y Weber deben ser los mismos tanto en el modelo como en el prototipo.
Cumplir estrictamente con estos requerimientos, generalmente, es algo imposible de alcanzar, excepto para el caso de una relación de escala 1:1. Afortunadamente, en muchas situaciones solamente dos de las fuerzas tienen la misma magnitud. Como una ayuda para entender los requerimientos de la similitud se puede considerar el análisis del flujo alrededor de una esfera en un laboratorio. Por supuesto, la similitud geométrica se asegura si el modelo también es una esfera. Adicionalmente cada dimensión lineal debe cumplir con la relación de D m/D p. Esto incluye también las proyecciones de la rugosidad de pequeña escala. La similitud dinámica se asegura haciendo que los polígonos de “fuerza” en el modelo y en el prototipo sean similares. Pruebas en túneles de viento y agua Este equipo se utiliza para examinar las líneas de corriente y las fuerzas que son inducidas a medida que el fluido pasa alrededor de un cuerpo completamente sumergido. El tipo de prueba realizada y la disponibilidad del equipo determinan qué tipo de túnel debe ser usado. Debido a que la viscosidad cinemática del agua es alrededor 1/10 de la del aire, un túnel de agua puede utilizarse para estudiar modelos con números de Reynolds relativamente altos. A velocidades muy altas los efectos de compresibilidad, y consecuentemente el numero de Mach, deben tenerse en consideración y ciertamente pueden ser la razón principal para llevar a cabo la investigación.
Flujo en Tuberías En el flujo permanente en una tubería las fuerzas viscosas e inerciales son las que tienen consecuencias importantes; por consiguiente, cuando se cumple la similitud geométrica, tener el mismo número de Reynolds en el modelo y el prototipo asegura la similitud dinámica. Los diferentes coeficientes de presión correspondientes son los mismos. Para pruebas con fluidos que tienen la misma viscosidad cinemática en modelo y prototipo, el producto, producto, VD, debe ser el mismo. Frecuentemente esto requiere velocidades muy altas en modelos pequeños.
Estructuras hidráulicas abiertas Estructuras tales como vertederos, piscinas de disipación, transiciones en canales y vertederos, generalmente tienen fuerzas debidas a la gravedad y fuerzas inerciales que son mayores que las fuerzas viscosas y de esfuerzo constante turbulento. En estos casos la similitud geométrica y el mismo valor del número de Froude en el modelo y el prototipo producen una buena aproximación a la similitud dinámica.
Maquinaria hidráulica La velocidad rotacional de la maquinaria hidráulica introduce una variable extra. Las partes móviles en una maquina hidráulica requieren un parámetro extra para asegurar que los patrones de líneas de corriente sean similares en el modelo y en el
prototipo. Este parámetro debe relacionar el flujo que pasa a través, con la relación de las partes móviles.
Bibliografía
Mecánica de Fluidos e Hidráulica, Ranald V. Giles. Editorial Mc Graw Hill.
Mecánica de los Fluidos, Novena Edición, Víctor L. Streeter. Editorial Mc Graw Hill.
Páginas Web
http://ingenieriahidraulicausmp.blogspot.com/2012/01/analisisdimensional-y-semejanza.html
www-eupm.upc.es/~mmt/tem4.doc
www.uantof.cl/facultades/cs www.uantof.cl/facultades/csbasicas/fisica/.../fisic basicas/fisica/.../fisica/.../guia06.pd a/.../guia06.pdf f
