FÍSICA
unidad
1
Análisis Dimensional DIMENSIONES Es parte de la FÍSICA que estudia las relaciones entre las magnitudes fundamentales y derivadas, en el Sistema Internacion cional al de Unid Unidad ades es,, el cual cual cons consid ider era a sie-te magnitudes fundamentales. as as magn magnititud udes es funda fundamen menta tale less son! son! lonlongitud, masa, tiempo, temperatura, intensidad dad de corr corrie iente nte el"ctr el"ctrica ica,, inten intensid sidad ad luminosa y cantidad de sustancia. as magnitudes derivadas son! #rea, volumen, densidad, velocidad, aceleraci$n, fuer%a, tra&a'o, potencia, energ(a, etc. SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES
)A*+IU FÍSICA +om&re ongitud
U+IA
+om&re S(m&olo metro m
/ )asa
)
0ilogramo
1 iempo
segundo
s
2 ,emperatura 3
0elvin
4
5 Intens Intensida idad d de corriente el"ctrica
I
ampere
A
6 Intens Intensida idad d uminosa
7
candela
cd
8 Cantid Cantidad ad de de Sustancia
-imens.
0g
dame damen ntal tales. es. a I)E I)E+S +SI: I:+ + de una mag mag-nitud f(sica se represen senta del siguiente modo! Sea A la la magnitud f(sica. ;A< ! se lee, dimensi$n dimensi$n de la la magnitud magnitud f(si-ca A. FÓRMULAS DIMENSIONALES BÁSICAS . ;ongitud< = /. ;)asa< = ) 1. ;iempo< = 2. ;em ;empe pera ratu tura ra<< = 3 5. ;Inten ;Intensid sidad ad de de la corrie corriente nte el"ctr el"ctrica ica<=I <=I 6. ;Int ;Inten ensi sida dad d lum lumin inos osa< a< = 7 8. ;Can ;Cantitida dad d de de sus susta tanc ncia ia<< = + >. ;+?mero< = /
@. ;rea< = 1 B. ;olume ;olumen< n< = D1 . ;ensidad< ;ensidad< = ) D /. ;elocidad< ;elocidad< = D/ 1. ;Aceleraci ;Aceleraci$n< $n< = D/ 2. ;Fuer%a< ;Fuer%a< = ) ) / D/ 5. ;ra&a' ;ra&a'o< o< = ) / D/ 6. ;Energ(a< ;Energ(a< = ) / D1 8. ;otencia< ;otencia< = ) D D/ >. ;resi$n< ;resi$n< = ) @. ;er(odo< ;er(odo< = D
+
mol
mol
FÓRMULA DIMENSIONAL Es aque aquelllla a igua iguald ldad ad mate matem# m#titica ca que que muestra la relaci$n que e9iste entre una magnitud derivada y las magnitudes fun-
/B. ;Frecuenci ;Frecuencia< a< = D /. ;eloci ;elocidad dad angular< angular< = //. ;ngul ;ngulo< o< = 1 D
/1. ;Cauda ;Caudal
/6. ;Iluminaci ;Iluminaci$n< $n< = 7 7
FÍSICA
PRINCIPIO DE HOMOGENEIDAD DIMENSIONAL
En una f$rmula f(sica, todos los t"rminos de la ecuaci$n son dimensionalmente iguales. /
A D = D /
Entonces! ;A< = ; < =
2. PROPIEDAD DE LOS EXPONENTES os e9ponentes son siempre n?meros, por consiguiente la dimensi$n de los e9ponentes es igual a la unidad. Ejemplo:
C
En la siguiente f$rmula f(sica, Gallar la dimensi$n de 4. 14f 9=A onde! f ! frecuencia
C D
Ejemplo:
Resolución:
En la siguiente f$rmula f(sica! / G = a H &t H ct onde! G ! altura t ! tiempo allar la dimensi$n de a, & y c.
a dimensi$n del e9ponente es igual a la unidad! ;14f< = ;1<;4<;f< = D ;4
Resolución:
rincipio de Gomogeneidad dimensional!
3. PROPIEDAD DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
/
En las peraciones dimensionales no se cumplen las reglas de la adici$n y sustracci$n. H= ... KL ) D ) = ) ... K/L
;G< = ;a< = ;&Jt< = ;cJt < I II III e KIL! e KIIL! e KIIIL!
= ;a< = ;&< = ;c<
/
D
;&< = , ⇒ ⇒
D/
;c< = ,
APLICACIONES:CASOS ESPECIALES 1 . PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS os #ngulos son n?meros, en consecuencia la dimensi$n de los #ngulos es igual a la unidad. Ejemplo:
Ejemplo:
allar la dimensi$n de M en la siguiente f$rmula f(sica! / / M = K0DtLK4 HaLKa D&L onde! t ! tiempo Resolución:
rincipio de Gomogeneidad dimensional!
;4<
= ;t<
En la siguiente f$rmula f(sica, Gallar la dimensi$n de 9. A = 4 Cos K/π 9tL onde! t ! tiempo
= ;4 < = ;a<
Resolución:
=
/
/
/
= ;a < = ;&< 2
a dimensi$n del #ngulo es igual a la uni- Anali%ando la f$rmula tenemos! 2 2 dad! [R] = [K t] [K + a] [a b] ;/π 9t< = ;/π <;9<;t< = ;9
−
D
;9< =
;M< =
J
/
J
2
;M< =
8
4. FÓRMULAS EMPÍRICAS Son aquellas f$rmulas f(sicas que se o&tienen a partir de datos e9perimen-
FÍSICA
tales conseguidos de la vida cotidiana o en el la&oratorio de ciencias.
;E< =
x y [m ][V ]
[2]
Ejemplo:
9
La energía cinétca E de un cuerpo
;E<
depen-de de su masa "m" y de la rapidez
)/ D/ = )9y Dy
A &ases iguales le corresponden e9ponen-tes iguales! ara )! 9 = ara ! y = / uego! K9HyL = 1
lineal V.
E = mx Vy ⋅
2
allar! 9Hy Resolución:
Aplicando el principio de Gomogeneidad dimensional.
PROBLEMAS 1. De las siguientes proposiciones, indicar verdadero V! o "also #!$ ()
%.
[Densidad] & ' * (1 () %%. [+resin] & *' ) (1 %%%. [Caudal] & ' -
a! VV#
b! #VV
c! V##
d! VVV
e! V#V
2. De las siguientes proposiciones indicar verdadero V! o "also #!$ %. 'a cantidad de calor y el tra ao tienen la misma "r/ mula dimensional. %%. 'a velocidad de la lu0 y la velocidad del sonido tienen di"erente "rmula dimensional. %%%. 'a dimensin del nmero es igual a cero$ [nmero]&
a! #VV
b! V#V
c! VV#
d! VVV
e! V##
). 3n las siguientes ecuaciones, determinar la dimensin de$ 4565C. %. 78 metros 9 4 & 1 :m %%. 2 :g ( 6 & 8 gramos %%%. 12 ;oras 9 C & 2 d
a! '
b! '*
c! '*-
2 (2
d! 1
e! ' -
=. 3n la siguiente "rmula "
m $ masa > V $ velocidad > # $ "uer0a > t $ tiempo a! '
2
)
b! -
D y
= ) J K L
()
c! '-
()
d! *'
e! *
FÍSICA
8. 3n la siguiente "rmula " t $ tiempo = 2 ) b! ' e! ' a! ' c! ' d! ' 6. En la siguiene fórmula sica !allar la dimensión de .
K&
x) y
a! '
> ; $ distancia
b! '
2 ;!y + )x!
−
2
c! -
)
)
d! '
e! '
?
7. 3n la siguiente "rmula "
2
K
(2
b! '-
−
2 4
> V $ velocidad 2 (1
2 (2
c! ' -
d! ' -
(1
e! '-
@. 3n la siguiente "rmula "
n
m. K & b 9 8m5n
2
Donde$ : $ longitud a! '
2
b! '
)
c! '
=
?
d! -
()
e! '
A. 3n la siguiente ecuacin, ;allar la dimensin de K. Cos 2π Kt! & 1
> t $ tiempo
2
a!
b! 1
(1
c! -
d! -
(2
e! -
1. 3n la siguiente "rmula " " $ "recuencia (1 (2 c! ' d! 'a! 'b! 'e! $$. En la siguiene fórmula sica deerminar el %alor de "&". x
d & Een )F5g5t d $ distancia > g $ aceleracin > t $ tiempo a! 1 b! 2 c! ) d! (2
e! (1
12. 3n la siguiente "rmula "
a! 1
x & 4 'og 2 π 6! > x $ longitud 2 () b! ' d! 'c! ' e! *
1). Gallar la dimensin K, en la siguiente ecuacin$ a ⋅ : y & 'og
V
a $ aceleracin > V $ velocidad 2 ) a! b! c! -
(2
d! '
(2
e! '-
FÍSICA
1=. 3n la siguiente "rmla " " $ "recuencia (1
(2
a! ')
c! -
b! ' (2
d! '
e! -
18. 3n la siguiente "rmula " t $ tiempo a! ') b! - () c! '2- () d! ')- () e! ')- (2
TAREA 1. 3n la siguiente "rmula " " $ "recuencia a! ' b! c! '2d! '-2 e! '2. 3n la siguiente "rmula "
Een )O!a d $ distancia > a $ aceleracin > V $ velocidad
a! 1
b! 2
c! (1
d! (2
e! )
). 3n la siguiente "rmula "
d! -
e! *
2
c! -
2
=. 3n la siguiente "rmula "
&
V $ volumen > ; $ altura a! (2 b! (1 c! 1
d! 2
e! )
8. 3n la siguiente "rmula " D $ densidad 2
)
a! '
d! *'
)
b! ' ()
e! '
c! '-
2
FÍSICA
6. En la siguiene fórmula sica !allar la dimensión de . )Kt
4 & 6 "$ "recuencia > 6 $ nmero > t $ tiempo (2 (1 b! c! a! 2
d! -
e! -
7. 3n la siguiente "rmula " x $ masa 2 B P =:! 2 x P 2y!y H )B! = 2 ) b! * e! * a! * c! * d! * @. 3n la siguiente "rmula "
d! 3
c! 3
7
)
e! 3
A. Determinar la dimensin de K en la siguiente "rmula " # $ "uer0a > t $ tiempo c! a! ' b! * 2
d! '
1. 3 $ trabao > )
a! '
2
d! *
)
e! *
3n la siguiente "rmula "
e! '-
CLAVES
. e /. e 1. c
2. e 5. & 6. d 8. d >. & @. d B. d . & /. & 1. a 2. c 5. d
. e /. & 1. & 2. e 5. & 6. a 8. &
>. c
@. & B. c
