V. TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA

V. TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA

OBJETIVO

El alumno explicará las estructuras básicas y las suposiciones de un
sistema de líneas de espera, identificará los modelos donde sea factible
utilizarlo para determinar las características y obtener el número óptimo
de servidores.

Introducción

La teoría de colas incluye el estudio matemático de las colas o líneas de
espera. La formación de líneas de espera es un fenómeno común que ocurre
siempre que la demanda actual de un servicio excede a la capacidad actual
de proporcionarlo. Con frecuencia deben tomarse decisiones respecto a la
cantidad de capacidad que debe proporcionarse. Sin embargo, muchas veces es
imposible predecir con exactitud cuándo llegarán las unidades que buscan el
servicio y/o cuánto tiempo será necesario para dar ese servicio.
Proporcionar demasiado servicio implica costos excesivos. Por otro lado,
carecer de la capacidad de servicio suficiente causa colas excesivamente
largas en ciertos momentos. Las líneas de espera largas también son
costosas, ya sea por un costo social, por un costo causado por la pérdida
de clientes, por el costo de empleados ociosos o por algún otro costo
importante. Entonces, la meta final es lograr un balance económico entre el
costo de servicio y el costo asociado de esperar por ese servicio. La
teoría de colas contribuye con información vital que se requiere para tomar
las decisiones concernientes, prediciendo algunas características sobre la
línea de espera, como el tiempo de espera promedio. También proporciona un
gran número de modelos matemáticos para describir una situación de línea de
espera.

La línea de espera se forma por la llegada aleatoria de clientes que entran
a un establecimiento para recibir un servicio proporcionado por un
servidor. La naturaleza de los clientes, el establecimiento y los servicios
varían con la organización de que se trate.

La cuantificación de una línea de espera se puede hacer a través de un
análisis matemático o de un proceso de simulación. El primer enfoque
produce resultados óptimos. Sin embargo, requiere de suposiciones muy
estrictas en cuanto a la naturaleza de las llegadas de clientes, el tipo de
servicio, el número de servidores y la estructura del sistema. El proceso
de simulación tiene una aplicación más general que el análisis matemático,
ya que prácticamente se le puede utilizar para cualquier sistema. Su
desventaja es que no produce valores óptimos y es mucho más costoso.

Estructura básica de un modelo de colas

Proceso básico de colas

Los clientes que requieren un servicio se generan a través del tiempo en
una fuente de entrada. Estos clientes entran al sistema de colas y se unen
a una cola. En determinado momento se selecciona un miembro de la cola,
para proporcionarle el servicio, mediante alguna regla conocida como
disciplina de la cola (o disciplina del servicio). Enseguida, en un
mecanismo de servicio se lleva a cabo el servicio requerido por el cliente
para después salir éste del sistema de colas. En la figura 5.1 se muestra
el proceso.

Figura 5.1. Sistema de colas

Fuente de entrada

Una característica de la fuente de entrada es su tamaño. El tamaño es el
número de clientes que pueden requerir servicio en determinado momento, es
decir, el número total de clientes potenciales distintos. Esta población a
partir de la cual surgen las unidades que llegan se llama población de
entrada. Puede suponerse que el tamaño es infinito o finito (de modo que
también se dice que la fuente de entrada es ilimitada o limitada)

También se debe especificar el patrón estadístico mediante el cual se
generan los clientes a través del tiempo. La suposición normal es que se
generan de acuerdo a un proceso Poisson, es decir, el numero de clientes
que llegan hasta un tiempo específico tiene una distribución Poisson.

Cola

Una cola se caracteriza por el número máximo permisible de clientes que
puede admitir. Las colas pueden ser finitas o infinitas, según si este
número es finito o infinito. La suposición de una cola infinita es la
estándar para la mayor parte de los modelos.

Disciplina de la cola

La disciplina de la cola se refiere al orden en el que se seleccionan sus
miembros para recibir el servicio. Por ejemplo, esta disciplina puede ser:
primero en llegar, primero en salir, aleatoria, de acuerdo a algún
procedimiento de prioridad o de algún otro orden.

Mecanismo de servicio

El mecanismo de servicio consiste en una o más instalaciones de servicio,
cada una de ellas con una o más canales paralelos de servicio, llamados
servidores. Si existe más de una instalación de servicio, puede ser que se
sirva al cliente a través de una secuencia de ellas (canales de servicio en
serie).

Un modelo de colas debe especificar el arreglo de las instalaciones y el
número de servidores (canales paralelos) en cada una. Los modelos más
elementales suponen una instalación, ya sea con uno o con un número finito
de servidores.

El tiempo que transcurre desde el inicio del servicio para un cliente hasta
su terminación en una instalación se llama tiempo de servicio (o duración
del servicio). La distribución del tiempo de servicio que más se usa en la
práctica es la distribución exponencial.

Las líneas de espera pueden clasificarse:

1. El número de clientes que pueden esperar en la cola. Estos pueden ser
finitos o infinitos.
1. La fuente que genera la población de clientes. Esta fuente puede tener
una producción finita o infinita.
1. A la manera como esperan los clientes (en una cola o en varias, con o
sin opción a cambiarse de cola)
1. El tiempo transcurrido entre la llegada de un cliente y el
inmediatamente anterior.
1. El tiempo de servicio. Este intervalo de tiempo puede ser una constante
o una variable aleatoria.
1. La disciplina de la cola. Se puede utilizar una política en la cual el
primero que llega a la cola es el primero al que se le proporciona
servicio.
1. El número de servidores uno o más.
1. La estructura de las estaciones de servicio. Estas pueden estar en
serie, en paralelo o mixtas.
1. La estabilidad del sistema, que puede ser estable o transitoria.

Cuando se formulan estos problemas en términos de un modelo, las variables
de decisión correspondientes por lo general son s (numero de servidores en
cada instalación), ( (tasa media de servicio por servidor ocupado) y (
(tasa media de llegada en cada instalación)

Funciones de distribución de Poisson y Exponencial

Proceso de llegada (distribución de Poisson)

El proceso de entrada, se conoce por proceso de llegada. La llegada son los
clientes. En todos los modelos que se estudian, se supone que sólo hay una
llegada en un instante dado. En el caso de un restaurante es una suposición
muy poco irreal.

Los modelos en los que las llegadas se toman de una población pequeña se
llaman modelos de origen finito. Otro caso en el que el proceso de llegada
depende del número de clientes, se tiene cuando la rapidez a la que llegan
los clientes a la instalación disminuye cuando esta demasiado concurrida.
Por ejemplo, si una persona ve que el estacionamiento del banco está lleno,
podrá pasar e ir otro día al banco. Si un cliente llega, pero no puede
entrar al sistema, se dice que el cliente se pierde.

Si los tiempos entre llegadas son exponenciales, la distribución de
probabilidad del numero de llegadas que se tienen en cualquier intervalo de
tiempo t está dada por el siguiente teorema:

" Los tiempos entre llegadas son exponenciales con parámetro ( si y sólo si
el número de llegadas que suceden en un intervalo t sigue una distribución
de Poisson con parámetro (t ".

Una variable aleatoria discreta N tiene una distribución de Poisson con
parámetro ( si, para n =0,1,2,...,(

Si N es una variable aleatoria de Poisson, se puede demostrar que E(N) =
var (N) = ( Si hacemos que Nt sea el número de llegadas que suceden durante
cualquier intervalo de tiempo de longitud t, el teorema anterior establece
que:

Como Nt es de Poisson con parámetro (t, E(Nt) = var (Nt) = (t. Un
promedio de (t llegadas que suceden durante un intervalo de tiempo de
longitud t y, entonces se puede pensar que ( es el número promedio de
llegadas por unidad de tiempo, o rapidez de llegadas.

Ejemplo. El número de refrescos pedidos sigue una distribución de Poisson
con un promedio de 10 refrescos por hora. Determinar:

a) La probabilidad de que se pidan exactamente 20 refrescos entre las 10
p.m. y las 12 de la noche.
b) El promedio y la desviación estándar del número de refrescos entre las 9
p.m. y la 1 a.m.

Proceso de servicio (distribución exponencial negativa)

Para describir el proceso de salida, que con frecuencia se llama proceso de
servicio, en general se especifica una distribución de probabilidad: La
distribución del tiempo de servicio, que gobierna el tiempo de servicio a
un cliente.

Aquí se verán dos acomodos de servidores: servidores en paralelo y
servidores en serie. Los servidores están en paralelo si todos ellos dan el
mismo tipo de servicio y un cliente sólo necesita pasar por un servidor
para completar su servicio. Por ejemplo, los cajeros de un banco están
organizados generalmente en paralelo; cualquier cliente sólo necesita ser
atendido por un cajero, y cualquier cajero puede llevar a cabo el servicio
deseado. Los servidores están en serie si un cliente debe pasar por varios
de ellos antes de completar el servicio. Un ejemplo de un sistema de cola
en serie es una línea de ensamble.

Se supone que los tiempos de servicio de distintos clientes son variables
aleatorias independientes y que el tiempo de servicio para cada
cliente está regido por la

variable aleatoria S que tiene una función de densidad s(t). Definimos 1/(
como el tiempo promedio de servicio a un cliente. Por lo tanto,
La variable 1/( tendrá como unidades horas por cliente; por lo tanto, (
tiene como unidades clientes por hora. Por esta razón se le llama a ( la
rapidez de servicio. Como en el caso de los tiempos entre llegadas, se
espera que los tiempos de servicio se pueden modelar con exactitud como
variables aleatorias exponenciales. Nótese también, que si los tiempos de
servicio siguen una densidad exponencial s(t) = (e - ( t, entonces el
tiempo promedio de servicio a un cliente será 1/( .

Si Z representa el tiempo aleatorio de servicio, con distribución
exponencial negativa, la probabilidad de que este tiempo sea mayor a t
unidades esta dado por:

Ejemplo. Del ejemplo de la sección anterior, calcular la probabilidad de
que el tiempo entre dos pedidos consecutivos sea entre 1 y 3 minutos.

Modelos de líneas de espera

Existen diversos modelos de líneas de espera y los más representativos
(población infinita) se ilustran a continuación:

Una cola un servidor población infinita (M/M/1)

En este modelo hay un solo servidor, sin límite sobre la capacidad del
sistema o de la fuente de llegadas. Este sistema tiene tiempos entre
llegadas exponenciales, que suponemos que la rapidez de llegadas por unidad
de tiempo es ( (llegadas Poisson)

Asimismo se supone que el tiempo de servicio para cada cliente es
exponencial con rapidez (

Terminología:

( = Tasa de llegadas por unidad de tiempo (constante y distribución de
probabilidad Poisson)

( = Numero promedio de terminaciones de servicio por unidad de tiempo
(constante y distribución de probabilidad exponencial)

1/( = Tiempo entre llegadas (tiempo / unidad)

1/( = Tiempo de servicio (tiempo / unidad)

( = Factor de utilización del sistema ((/s()

L = Número promedio de elementos presentes en el sistema.

Lq = Número promedio de elementos presentes en la cola.

W = Tiempo promedio en el sistema.

Wq = Tiempo promedio en la cola.

n = Número de elementos en el sistema.

Modelo matemático (S =1):

Ejemplo 1. Se desea realizar un estudio en una ventanilla de un
autoservicio, a la cual llegan clientes en forma aleatoria siguiendo una
distribución de Poisson con tasa media de 15 clientes por hora. El servidor
ofrece servicio a razón de 3 minutos por cada cliente siguiendo una
distribución exponencial. Calcular los parámetros de la cola.

Datos:
( = 15 clientes / hora
1/( = 3 minutos / cliente
( = 20 clientes / hora
Si (/( = 15/20 = 0.75, por lo tanto el sistema es estable

El número de clientes en el sistema:
L = 15 / (20-15) =
3 clientes

El número de clientes en la cola:
Lq = (15)2 / (20*(20-15)) =
2.25 clientes

El tiempo por cliente en la cola:
Wq = 15 / (20*(20-15)) = 0.15 horas =

9 minutos / cliente

El tiempo por cliente en el sistema:
W = 9 minutos + 1/( = 9+3 =
12 minutos / cliente

El cálculo de las probabilidades dependiendo del numero de elementos del
sistema se muestra a continuación:

Ejemplo 2. Una compañía utiliza sus propios botes camaroneros para pescar
camarón y después lo empaca para enviarlo a otras partes. Cuando estos
botes llegan durante la temporada hay que descargarlos tan rápido como sea
posible para que puedan volver al mar. El gerente de producción de la
compañía estima que el costo de que un bote camaronero permanezca detenido
es $50 por hora (esto incluye los salarios al igual que el tiempo perdido
de pesca). Los trabajadores que descargan los botes ganan $8 por hora ya
sea que estén trabajando o no. Si el patrón de llegadas para los botes
camaroneros es Poisson y el tiempo de descarga es exponencial. ¿ Cuál es el
numero de trabajadores que la compañía debe utilizar para descargar los
botes y que produzca el menor costo total?. Los botes camaroneros llegan a
una tasa promedio de uno por hora y cada trabajador puede descargar medio
bote por hora.

( = 1 bote / hora
( = 1/2 bote / hora
Costo de espera (CE) = $50/hora
Costo de servicio (CS) = $8/hora
Costo total = Costo de espera + Costo del servicio
CT ($/hr) = (W CE + mCS

m (número de trabajadores a contratar)=?

Tabla 5.11. Costo total para diferente número de trabajadores

"m "1 "2 "3 "4 "5 "6 "7 "
"CT ($/hr) "- "- "124 "82 "73.33 "73 "76 "

Figura 5.6. Gráfica del costo total contra el número de trabajadores

Por lo tanto se recomienda utilizar 6 trabajadores a un costo total de
$73/hr.

Utilizando el método analítico, se tiene:

Una cola servidores múltiples en paralelo población infinita (M/M/S)

En este modelo se supone que los tiempos entre llegadas son exponenciales,
con rapidez igual a (, que los tiempos de servicio son exponenciales, con
rapidez ( y que solo hay una cola de clientes esperando su servicio en una
de las ventanillas ó servidores. Si hay n ( s clientes, entonces los n
clientes están en el servicio; si hay n ( s clientes, entonces las s
ventanillas están ocupadas, y hay n-s clientes esperando en la cola. Toda
llegada que encuentre una ventanilla vacía entra al servicio de inmediato,
pero una llegada que no encuentre ventanilla vacía se forma en la cola de
clientes que esperan su atención.

El efecto final de utilizar servidores en paralelo es el de "acelerar" la
tasa de servicio en comparación con el caso de un servidor, permitiendo
que se de servicio a un máximo de s clientes al mismo tiempo.

Modelo matemático (S>1):

Utilización:

S = Número de servidores
n = Número de elementos en el sistema

Nota: El sistema tiene servidores en paralelo con una sola cola.

Ejemplo. Una empresa cuenta con tres servidores en paralelo los cuales
atienden a 20 clientes por hora siguiendo una distribución exponencial. Las
llegadas al sistema son de 40 clientes por hora siguiendo una distribución
Poisson. Determine las características importantes de la cola.

( = 40 clientes/hora
( = 20 clientes/hora
s = 3

(/s( = 40/(3*20) = 0.66
por lo tanto 0.66<1 sistema estable

Se calcula el factor (/( , por lo tanto:
(/( = 2

por lo tanto Po es igual:

Determinación de los parámetros de la cola:

L = 0.888 + 2 = 2.88 clientes

Wq = 0.888/40 = 0.022 hr = 1.33 minutos

W = 0.022 + 1/20 = 0.072 hr = 4.33 minutos

Calcular en número óptimo de servidores que minimice el costo total. El
costo de espera se estima en $12/hora y el costo del servidor en $6/hr.

Costo total ($/hr) = (W CE + SCS

W = 0.0722 hr
CT = (40)(0.0722)(12) + (3)(6) = $52.66/ hr

Para S=4

Po=0.1304
W = 0.00434 + 1/20 = 0.0543 hr
CT = (40)(0.05434)(12) + (4)(6) = $50.08 / hr

Para S=5

Po = 0.1343
W = 0.000992 + 1/20 = 0.0510 hr
CT = (40)(0.05099)(12) + (5)(6) = $54.47 / hr

Tabla 5.13. Costo total para diferente numero de servidores

"S "3 "4 "5 "
"CT ($/hr) "52.66 "50.08 "54.47 "

Figura 5.7. Gráfica del costo total contra el número de servidores

Por lo tanto se recomienda tener 4 servidores

en paralelo a un costo de $50.08/hr.

El cálculo de las probabilidades dependiendo del numero de elementos del
sistema se muestra a continuación (S = 3).

Modelo en serie de K estaciones con capacidad de línea de espera
infinita

Existen muchos casos, como el de la producción de un artículo en una línea
de montaje, que los trámites del cliente no se terminan sino hasta que haya
intervenido más de un servidor.

Al entrar al sistema de la figura 5.8, el cliente pasa por la etapa 1 de
servicio, después de esperar en una cola si todos los servidores de la
etapa 1 están ocupados cuando llega. Después de terminar la etapa 1 de
servicio, el cliente espera y pasa a la etapa 2 de servicio. Este proceso
sigue hasta que el cliente termina la etapa k de servicio.

Figura 5.8. Sistema de K servidores en serie

Si los tiempos de llegadas a un sistema de colas en serie son exponenciales
con rapidez (, los tiempos de servicio para cada trámite en la etapa i son
exponenciales, y toda etapa tiene sala de espera de capacidad infinita,
entonces los tiempos entre llegadas para alcanzar cada etapa del sistema de
colas son exponenciales con rapidez (.

Ejemplo. Una línea de ensamble, consta de 2 estaciones para instalar el
motor y neumáticos de un automóvil. Llega un promedio de 54 autos por hora
y la estación 1 da servicio a 60 autos por hora y consta de un operador. La
estación 2 está compuesta por 3 operadores y cada uno es capaz de dar
servicio a 3 minutos por automóvil. Si las llegadas y los servicios son
exponenciales calcular el tiempo promedio en el sistema y la longitud de
cada estación. En la figura 5.9 se ilustra la estructura del servicio.

Figura 5.9. Sistema de 2 estaciones en serie

( = 54 autos / hora
(1 = 60 autos / hora
(2 = 20 autos /hora
S1 = 1 operador
S2 = 3 operadores

(/S1 (1 < 1 (/S2 (2 < 1
54/(1*60) < 1, sistema estable 54/(3*20) < 1, sistema estable

Estación 1 (modelo M/M/1):

S=1 ( = 54 autos / hora (1 = 60 autos / hora

W1 = 1_ = 1/6 = 0.1666 hr = 10 min
( - (

L1 = (_ = 54/(60-40) = 9 autos
( - (

P0 = 1- ( = 1- 54/60 = 0.1 (10% de probabilidad de que esté vacío)

Estación 2 (modelo M/M/s):

S=3 ( = 54 autos / hora (2 = 20 autos / hora

( = (/(2 = 54/20 = 2.7 P0 = 0.0249

Lq = 7.35 autos
L2 = Lq + ( = 7.35 + 2.7
Wq = Lq / ( = 7.35/54 = 0.1361 hr = 8.166 min
W2 = Wq + 1/( = 8.166 + 3 = 11.16 min

Por lo tanto, el tiempo promedio en el sistema es:

W = W1 + W2 = 10 + 11.16
W = 21.16 min

Líneas de espera con prioridad de servicio

Hay muchos casos en los que a los clientes no se les atiende con el sistema
"el primero que llega es el primero en ser servido". En muchas
organizaciones, el orden en que se atiende a los clientes depende del
"tipo" de cliente. Por ejemplo, las salas de urgencias de los hospitales
dan servicio en general a pacientes muy graves antes de atender a
pacientes que no lo estén. Los modelos en los que un tipo de cliente
determina el orden en el que se atiende a las personas se llaman modelos
de colas prioritarias.

a) Comportamiento prioritario de una línea de espera sin aborto de
servicio

Existen muchos resultados derivados del análisis matemático con
distribución de Poisson y servicio con distribución exponencial, donde los
clientes son atendidos según la clase prioridad que tengan.

Modelo matemático:

Terminología:
S = Número de servidores
( = Promedio de servicio, considerando constantemente para cada
servidor
k = Tipo de prioridad existente entre n clases de la misma, es decir,
k=1,2,3,...,n
(k = Promedio de llegadas en la clase de prioridad k, k=1,2,3,...,n

Los resultados anteriores son válidos para el llamado sistema sin aborto de
servicio: un sistema donde no se suspende el servicio a un cliente por la
llegada de otro, con mayor prioridad, en estos sistemas un cliente con
prioridad mayor al resto de los que esperan, se coloca adelante de la cola,
pero debe esperar a que un servidor se desocupe para que el entre al
servicio.

b) Comportamiento prioritario de una línea de espera con aborto se servicio

Existen resultados para el sistema con aborto de servicio, donde se
suspende el servicio de un cliente para atender a otro con prioridad mayor.
Para un servidor, se tiene el siguiente resultado:

donde:
k=1,2,3,...,n.

k=1,2,3,...,n.

Ejemplo. Suponga que el servicio de emergencia de un hospital recibe
paciente y los clasifica en los siguientes tres grupos prioritarios:

1) Prioridad alta para casos críticos, es decir, casos de vida o muerte.
2) Prioridad media para casos serios, donde el estado de salud se deteriora
rápidamente si no se presta la atención adecuada de inmediato.
3) Prioridad baja para casos estables, donde la espera no deteriora la
condición del paciente.

Un estudio mostró que en el servicio de emergencia del hospital 30% de sus
casos son críticos, 60% son serios y 10% estables. El servicio de
emergencia tiene una política abortiva, es decir, se interrumpe el
tratamiento de un caso estable, para dar cabida a un serio o crítico, o
bien, se suspende un caso serio, para dar entrada a un caso crítico. El
estudio mostró, completamente que en promedio la atención a un paciente
dura 20 minutos, que los casos críticos se presentan en promedio uno cada 5
horas, los serios uno cada 100 minutos y los estables uno cada 50 minutos.
Se tiene:

( = 3 pacientes/hora
(1 = 0.2 pacientes/hora

Por lo tanto

es decir, se recibe un paciente cada 30 minutos, independientemente de su
prioridad. Además:
( = (/( =2/3 = 0.66 0.66 < 1

Se desea describir cuantitativamente el comportamiento de la línea de
espera del servicio de emergencia, para un médico y para dos, bajo una
política abortiva y no abortiva.

Utilizando las fórmulas anteriores se obtiene la tabla 5.16.

Tabla 5.16. Política abortiva contra política de prioridades

" "Política "Política "
" "Abortiva "de prioridades "
" "S=1 "S=1 "S=2 "
"A "4.5 "4.5 "36 "
"B0 "1 "1 "1 "
"B1 "0.933 "0.933 "0.967 "
"B2 "0.733 "0.733 "0.867 "
"B3 "0.333 "0.333 "0.667 "
"W1 "21 minutos "34 minutos "21.5 minutos "
"W2 "29 minutos "39 minutos "22 minutos "
"W3 "82 minutos "74.5 minutos "22.5 minutos "
"Wq1 "1.5 minutos "14 minutos "2 minutos "
"wq 2 "9.5 minutos "19 minutos "2 minutos "
"Wq3 "62 minutos "53 minutos "3 minutos "
"L1 "0.07 pacientes "0.11 pacientes "0.07 pacientes "

Cálculos (política abortiva) S =1

Cálculos (política de prioridades) S=1

A , B1 , B2 , B3 , son iguales al anterior

W1 = _ 1_ __ + 1/3 = 0.5715 hr = 34.3 min
4.5(1)(0.933)

Wq1 = 0.5715 - 1/3 = 0.2381 hr = 14.29 min

L1 = 0.2*0.5715 = 0.1143 pacientes

Se podría concluir cual es el número óptimo de servidores que equilibre el
costo social de espera (en este caso puede tratarse del costo de una vida
humana) y el costo de operar y mantener el servicio.

Aplicaciones

Ejemplo 1. Problema de llamadas telefónicas

El número de llamadas telefónicas que llegan al centro de servicio para
atender preguntas de clientes, sigue una distribución Poisson con una tasa
promedio de aproximadamente diez por hora. El tiempo necesario para
responder a cada llamada sigue una distribución exponencial con un promedio
de cuatro minutos. Determinar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una
hora?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una segunda llamada entre dentro de los
tres minutos posteriores a la llamada anterior?

Ejemplo 2. Problema de señales de compra-venta

Una compañía maneja carteras de acciones comunes. Sus computadoras revisan
los precios de las acciones y, cuando se dan ciertas condiciones, emiten
señales de compra o de venta. Estas señales siguen un proceso de Poisson
con un promedio de una cada 15 minutos. Antes de actuar según las
recomendaciones de las computadoras, un analista financiero evalúa el
escenario y toma una decisión final sobre el número de acciones que debe
comercializar, si hay que hacerlo. El tiempo para realizar esta evaluación
sigue una distribución exponencial con un promedio de 12 minutos. Responda
las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cuatro señales de compra /
venta sean generadas en una hora?.
b) Si las computadoras acaban de emitir una señal de compra / venta, ¿Cuál
es la probabilidad de que la siguiente sea emitida en los diez minutos
siguientes?.
c) Si llega una señal de compra / venta. ¿Cuál es la probabilidad de que el
analista termine la evaluación en 15 minutos? ¿ Cuál es la probabilidad
que el lleve más de 20 minutos?

Ejemplo 3. Problema de una empresa de servicios

Una empresa mantiene instalaciones de servicio para realizar reparaciones
mayores y dar un servicio a sus vehículos. Datos históricos muestran que
(a) los taxis tiene descomposturas mayores de acuerdo con un proceso de
Poisson a una tasa promedio de 2 cada 24 horas, incluyendo los fines de
semana y (b) la cantidad de tiempo requerido por un mecánico para reparar
un taxi sigue una distribución exponencial con un promedio de 16.8 horas.
Sin embargo, la administración puede estar segura de que los mecánicos se
presentarán a trabajar solamente 80% del tiempo, debido a enfermedades y
vacaciones.

El departamento de contabilidad ha indicado que 1) el costo total por hora
de un mecánico, incluyendo salario, prestaciones e impuestos, es de $24, y
que 2) un taxi promedio obtiene un beneficio neto de $100 en un período de
24 horas. Determinar si la compañía deberá tener dos o tres mecánicos
trabajando todos los períodos. También especificar los valores de L, Lq ,
W, Wq y el costo total por unidad de tiempo.

Ejemplo 4. Problema de estaciones en serie

Se tiene un sistema de colas que consiste en tres estaciones en serie.
Cada estación tiene un servidor único, que puede procesar un promedio de 20
trabajos /hr. Los tiempos de proceso en cada estación son exponenciales.
Llega un promedio de 10 trabajos por hora a la estación 1. Los tiempos
entre llegadas son exponenciales. Cuando un trabajo termina su servicio en
la estación 2, hay una probabilidad de 0.1 de que regrese a la estación 1 y
una probabilidad 0.9 de que continúe a la estación 3. Cuando un trabajo
termina su servicio en la estación 3, existen 0.20 de posibilidades de que
regrese a la estación 2 y 0.80 posibilidades de que deje el sistema. Todos
los trabajos que terminan su servicio en la estación 1 pasan de inmediato a
la estación 2.

a) Calcule la fracción del tiempo que cada servidor está ocupado.
b) Determine el número esperado de trabajos en el sistema.
c) Estime el tiempo promedio que pasa un trabajo en el sistema

Figura 5.10. Sistema de 3 estaciones en serie

Ejemplo 5. Problema de revisión de equipaje

En una aerolínea se debe revisar a cada pasajero, así como su equipaje.
Suponga que al aeropuerto llega un promedio de 10 pasajeros /min. Los
tiempos entre llegadas son exponenciales. Para revisar a los pasajeros, el
aeropuerto debe tener una estación que consiste en un detector de metales y
una máquina de rayos X para el equipaje. Una estación puede revisar un
promedio de 12 pasajeros /min. El tiempo para revisar un pasajero es
exponencial. El aeropuerto solo tiene una estación de verificación,
conteste las siguientes preguntas:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un pasajero tenga que esperar para ser
revisado?
b) En promedio, ¿cuántos pasajeros esperan en la cola para entrar a la
estación?
c) En promedio, ¿ cuánto tiempo pasará el pasajero en la estación de
verificación?

Ejemplo 6. Problema de revisión de equipaje

Del problema anterior, suponga que la aerolínea desea determinar cuántas
estaciones de revisión deben trabajar para reducir al mínimo los costos de
operación y los costos de demora de un período de 10 años. Suponga que el
costo de demora de un pasajero durante 1 hora es 10 pesos y que el
aeropuerto abre todos los días, 16 hr./día. Cuesta un millón de pesos,
comprar, operar y mantener un detector de metales y una máquina de rayos
"X" para revisión de equipaje, durante un período de 10 años. Por último,
suponga que es igualmente probable que un pasajero entre a una estación
dada.

Ejemplo 7. Problema de autocinema

Un autocinema tiene tres taquillas, cada una de las cuales atiende a los
clientes. Los automóviles llegan al autocinema a una tasa total de 90
automóviles por hora y cada taquilla puede atender a 40 automóviles por
hora. Tanto las llegadas como los servicios son por completo aleatorios.
Con base en esta información responda las siguientes preguntas:

a) ¿Qué tipo de situación de líneas de espera es esta?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las taquillas, se encuentren
desocupadas?
a) ¿Cuál es la probabilidad de que este atendiendo a tres automóviles o
haya tres automóviles en la fila?
a) ¿Cuál es el número promedio de automóviles en el sistema de líneas de
espera de cada una de las taquillas (esperando y siendo atendidos)
a) ¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil espera antes de llegar a la
taquilla?

Ejemplo 8. Problema de estaciones en serie

En un proceso de producción una pieza al salir de la forja pasa a
troquelado, niquelado y empaquetado. Para cada proceso se cuenta con una
máquina especial. El insumo de todo ese proceso es una barra de acero. Se
reciben un promedio de 150 barras de acero cada hora. Se tiene la siguiente
información en la tabla 5.16.

Tabla 5.16. Tiempo de duración de una pieza en cada actividad

"ACTIVIDAD "FORJA "TROQUELADO "NIQUELADO "EMPAQUETADO "
"Tiempo promedio " " " " "
"de servicio de "1/8 "1/4 "1/5 "1/3 "
"una pieza en " " " " "
"minutos " " " " "

¿Cuál es la probabilidad de que al entrar una abarra de acero al sistema,
existan 2 piezas en forja, ninguna en troquelado, dos en niquelado y
ninguna en empaquetado?. Describa, cuantitativamente a la línea de espera.

Ejemplo 9. Problema de prioridades

Suponga que un aeropuerto considera 4 tipos de prioridades para autorizar
un aterrizaje

a) Prioridad uno o crítica, aterrizaje cuando el aparato tiene un incendio
o el combustible se ha agotado.
b) Prioridad dos o alta, aterrizaje cuando algún instrumento o aparato
crítico del avión muestra una falla.
c) Prioridad tres o media, aterrizaje cuando algún instrumento o aparato no
crítico del avión muestra una falla.
d) Prioridad cuatro o baja, aterrizaje normal.

La llegada de los aviones al aeropuerto es una variable aleatoria con
distribución de Poisson. El aeropuerto recibe un vuelo normal cada 18
minutos, en promedio; un vuelo de prioridad media cada hora, 36 minutos en
promedio; un vuelo de prioridad dos cada 4 horas 48 minutos 10 segundos en
promedio y un vuelo de prioridad crítica cada 333 días 7 horas 55 minutos
12 segundos, en promedio.

El servicio que se presta a la torre de control para que aterricen los
aviones es una variable aleatoria con distribución negativa exponencial y
valor medio de 2 ½ minutos por avión. En la torre de control de tiene un
grupo de controladores por pista de aterrizaje que está en servicio.

Describir cuantitativamente el comportamiento prioritario y abortivo de
estos aviones.

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V. TEORÍA DE LÍNEAS DE ESPERA

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