Teorema del transporte de Reynolds. Definiciones Definiciones importantes: Sistema: La forma y el tamaño de un sistema pueden cambiar durante un proceso pero nada de masa cruza sus límites.
Sistema cerrado: se define como una cantidad de materia de masa fija. Sistema abierto o volumen de control: se define como una región en el espacio elegida para su estudio. La masa entra o sale de sus límites, los cuales se conocen como superficie de control.
Propiedad: es cualquier característica de un sistema como por ejemplo, la presión, la temperatura, el volumen, entre otros.
Propiedad extensiva: son aquellas cuyos valores dependen del tamaño o extensión del sistema. Ejemplo, la masa.
Propiedad intensiva: son aquellas que no dependen de la cantidad de sustancia o del tamaño de un sistema, por lo que el valor permanece inalterable al subdividir el sistema inicial en varios subsistemas, por este motivo no son propiedades aditivas.
Obtención del Teorema de transporte de Reynolds Expresa la relación entre las razones de cambio con respecto al tiempo de una propiedad extensiva para un sistema y para un volumen de control, el cual, proporciona el vinculo entre los enfoques de sistema y de volumen de control. Considere el flujo de izquierda a derecha por una porción divergente (en expansión) de un campo de flujo. Los límites superior e inferior del fluido que se consideran son líneas de corriente del flujo y se supone que éste es uniforme a través de cualquier sección transversal entre estas dos líneas. Se elige un volumen de control como un volumen fijo entre las dos secciones (1) y (2) del campo de flujo. Tanto la sección (1) como la (2) son normales a la dirección del flujo. En algún instante inicial (t), el sistema coincide con el volumen de control y por lo tanto, los dos son idénticos (la región sombreada de color verde). Durante el intervalo de tiempo ∆t, el sistema se mueve en la dirección del flujo, con velocidades uniformes
̅ en la sección (1) y ̅2
en la sección (2). El sistema en este instante está indicado por la región sombreada con rectas
inclinadas. La región descubierta por el sistema durante este movimiento está designada como la sección I (forma parte del VC) y la nueva región cubierta por el sistema está designada como sección II (no forma parte del VC). Por lo tanto, en el instante (t + ∆t), el sistema consiste en el mismo fluido pero ocupa la región (VC – I + II). El volumen de control está fijo en el espacio y en todo instante continúa siendo la región sombreada de color verde que se ha marcado como VC.
Figura 1. Sistema en movimiento (región sombreada en rectas inclinadas). Represente por (B), cualquier propiedad extensiva (como la masa, la energía o la cantidad de movimiento) y sea (b), la propiedad intensiva correspondiente (b = B/m). Cuando se observe que las propiedades extensivas son aditivas, la propiedad extensiva B del sistema, en los instantes (t) y (t + ∆t) se pueden expresar como:
, = , ,(+∆) = ,(+∆) − ,(+∆) ,(+∆) Cuando se resta la primera ecuación de la segunda y se divide entre ∆t queda:
,(+∆) − , = ,(+∆) − , − ,(+∆) ,(+∆) ∆ ∆ ∆ ∆ Se toma el límite cuando ∆t
0 y se utiliza la definición de derivada se obtiene:
→
= − ̇ ̇ ̇
O bien:
= − ̅ ̅ 2 2 2 2
(Ecuación 1)
Puesto que:
,(+∆) = ,(+∆) = ̅,(+∆) = ̅∆ ,(+∆) = 2,(+∆) = 22̅,(+∆) = 22̅2∆2 Además:
̅∆ = ̅ ̇ = ̇ = ∆→ lim ,(+∆) = lim ∆ ∆→ ∆ ̅ ,(+∆) 2 2 ̇ = ̇ = ∆→ lim ∆ = ∆→ lim ∆2∆2 = 2̅2 2 Donde: A1 y A2 son las áreas de las secciones transversales en las ubicaciones 1 y 2. La ecuación (1), expresa que la razón de cambio respecto del tiempo de la propiedad B del sistema es igual a la razón de cambio de B respecto del tiempo del volumen de control más el flujo neto de B hacia fuera de este volumen debido a la masa que cruza la superficie de control. Esta es la relación deseada ya que relaciona el cambio de una propiedad de un sistema con el cambio de esta propiedad para el volumen de control. Esta ecuación se aplica en cualquier instante, en donde se supone que el sistema y el volumen de control ocupan el mismo espacio en este instante particular. En este caso, el flujo de entrada y de salida de la propiedad B, son fáciles de determinar ya que sólo se tiene una entrada y una salida y las velocidades son normales a las superficies en las secciones (1) y (2). Sin embargo, en general se pueden tener varias entradas y salidas y puede ser que la velocidad no sea normal a la superficie de control en el punto de ingreso. Asimismo, puede ser que la velocidad no sea uniforme. Con la finalidad de generalizar el
) sobre la superficie de control y se
proceso, se considera un área superficial diferencia (
⃗. El gasto de la propiedad (b) a través de () es: ⃗ .⃗ ; ya que, el producto punto ⃗ .⃗, da como resultado la componente normal denota su vector normal exterior unitario por
de la velocidad. Entonces, por integración se determina que la razón de flujo de salida a través de toda la superficie de control (SC) es:
Figura 2. Masa que entra y sale del volumen de control.
̇ = ̇ − ̇ = ∫ ⃗ .⃗
(Ecuación 2)
Un aspecto importante de esta relación es que de manera automática se resta el flujo de entrada del de salida, como se explica a continuación. El producto del vector de velocidad en un punto de la superficie de control y el vector normal exterior en ese punto es:
⃗ .⃗= ⃗ ⃗||; en donde, , es el ángulo entre esos dos vectores.
Flujo de entrada.
Flujo de Salida.
Figura 3. Flujo de entrada y salida de masa a través del área diferencial de una superficie de control.
Se tiene:
< 90°, entonces > 0; flujo de salida Si > 90°, entonces < 0; flujo de entrada. Si = 90°, entonces = 0; ningún flujo. ⃗ .⃗ , es positiva para la masa que fluye hacia fuera Por lo tanto, la cantidad diferencial Si
del volumen de control y negativa para la masa que fluye hacia dentro de ese volumen y su integral sobre la superficie completa de control da la razón de flujo neto de salida de la propiedad B debido a la masa que cruza la superficie. En general, dentro del volumen de control, las propiedades pueden variar con la posición. En ese caso, la cantidad total de la propiedad B dentro del volumen de control debe determinarse por integración:
= ∫ (Ecuación 3) ⁄, de la ecuación (A) es igual a ∫ , y representa la Por lo tanto, el término razón de cambio respecto del tiempo del contenido de la propiedad B en el volumen de control. Un valor positivo de
⁄, indica un aumento en el contenido de B y uno negativo
indica una disminución. Con la sustitución de las ecuaciones (2) y (3) en (1) se llega al teorema
del transporte de Reynolds conocido también como transformación de sistema a volumen de control para un volumen fijo de control.
= ⃗ .⃗ CONSERVACIÓN DE LA MASA Este principio para un volumen de control se puede expresar como: la transferencia neta de masa hacia adentro de un volumen de control o hacia afuera de éste durante un intervalo ∆t es igual al cambio neto (aumento o disminución) en la masa total que está dentro de ese volumen en el transcurso de ∆t, es decir: (masa total que entra al VC durante ∆t) – (masa total que sale del VC durante ∆t) = (c ambio neto durante ∆t en la masa que está dentro del VC)
− = ∆ Donde:
∆ = − Es el cambio en la masa del volumen de control durante el proceso. Esto también puede expresarse en la forma de razón como:
̇ − ̇ = ⁄ Donde:
̇,̇; son las razones totales de flujo de masa hacia dentro y hacia fuera del volumen de control. A estas ecuaciones se les puede llamar Balance de masa. Considere un volumen de control de forma arbitraria, como se muestra en la figura:
Figura 4. Volumen de control y superficie diferencial de control usados en la deducción de la relación de conservación de la masa. La masa de un volumen diferencial
, que este dentro del volumen de control es = .
Por integración se determina que la masa total dentro del volumen de control en cualquier instante (t ) es: Masa total dentro del VC:
=
Entonces la razón de cambio de la cantidad de masa dentro del volumen de control se puede expresar como:
= Para el caso especial en el que nada de masa cruza la superficie de control (es decir, el volumen de control asemeja un sistema cerrado), el principio de conservación de la masa se reduce al de un sistema que se puede expresar como:
⁄ = 0 . Esta relación es válida si
el volumen de control está fijo, en movimiento o deformándose.
Considérese ahora el flujo de masa hacia afuera o hacia adentro del volumen de control a
, sobre la superficie de control de un volumen fijo. ⃗ la velocidad del flujo en , Sea⃗ el vector unitario hacia afuera de , normal a esta y en relación con un sistema fijo de coordenadas. En general la velocidad puede cruzar , y través de un área diferencial
forma un ángulo q con el normal de ésta y la razón de flujo de masa es proporcional a la
⃗ = ⃗ ; que va desde un flujo máximo hacia afuera ⃗ para = 0 para = 0 ( el flujo es normal a ), pasando por un mínimo de con velocidad cero para = 90° ( el flujo es tangente a ), hasta un flujo máximo hacia adentro con ⃗ para = 180° ( el flujo es normal a , pero en dirección opuesta). Cuando se velocidad componente normal de la velocidad
aplica el concepto del producto punto entre dos vectores, la magnitud de la componente normal de la velocidad se puede expresar como:
̅ = ̅ = ⃗ .⃗ La razón de flujo de masa a través de , es proporcional a: ̇ = ̅ = ̅ = ⃗ .⃗ Componente normal de la velocidad:
La razón de flujo de masa hacia adentro o hacia afuera del volumen de control a través de la superficie completa de control se obtiene cuando se integra sobre esa superficie completa de control. Si se redondea la ecuación como:
⁄ ̇ − ̇ = 0
Entonces se puede expresar la relación de conservación de la masa para un volumen fijo de control como:
⃗ .⃗ = 0 Esta expresa que la razón de cambio respecto al tiempo de la masa que está dentro del volumen de control más la razón neta de flujo de masa a través de la superficie de control es igual a cero. También se puede deducir la relación general de conservación de la masa para un volumen de control con la aplicación del teorema del transporte de Reynolds, cuando se toma B como la masa y b = 1, ya que cuando se divide la masa entre la masa de un sistema es constante y su derivada con respecto al tiempo es cero.
= ⃗ .⃗ BALANCE DE MASA PARA FLUJO PERMANENTE Para flujo permanente, la cantidad total de masa contenida dentro de un volumen de control no cambia con el tiempo (
= ). Entonces, el principio de conservación de la
masa exige que la cantidad total de masa que entra en un volumen de control sea igual a la cantidad total de masa que sale de él. El principio de conservación de la masa para un sistema general de flujo permanente con entradas y salidas múltiples se puede expresar como:
∑̇ = ∑̇
Si se tiene una entrada y una salida, la ecuación se reduce para una sola corriente a:
̇ = ̇2 = ̅ = 2̅2 2 Para flujo incompresible: Con una sola corriente:
̅ = ̅2 2 =
