INTRODUCCIÓN El teorema de Bernoulli es una aplicación directa del principio de conservación de energía. Con otras palabras está diciendo que si el fluido no intercambia energía con el exterior (por medio de motores, rozamiento, trmica, etc.! esta "a de permanecer constante. El teorema considera los tres #nicos tipos de energía que posee el fluido que pueden cambiar de un punto a otro de la conducción. Estos tipos son$ energía cintica, energía potencial gravitatoria % la energía debida a la presión de flu&o ("idrostática!. 'eorema de Bernoulli, principio físico que implica la disminución de la presión de un fluido (líquido o gas gas!! en movimiento cuando aumenta su velocidad velocidad.. El teorema se aplica al flu&o sobre superficies, como las alas de un avión o las "lices de un barco. as alas están dise)adas para que obliguen al aire aire a a fluir con ma%or velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre esta #ltima es ma%or que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporciona proporciona la fuerza de sustentación sustentación que mantiene al avión en vuelo. *na "lice tambin es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de presión que se produce al girar la "lice proporciona el empu&e que impulsa al barco. El teorema de Bernoulli tambin se emplea en las tobe tobera ras, s, dond donde e se acel aceler era a el flu& flu&o o redu reduci cien endo do el diám diámet etro ro del del tubo tubo,, con con la consiguiente consiguiente caída de presión. presión. +simismo se aplica en los caudalímetros caudalímetros de orificio, tambin llamados enturi, que miden la diferencia de presión entre el fluido a ba&a velocidad que pasa por un tubo de entrada % el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con lo que se determina la velocidad de flu&o %, por tanto, el caudal.
OBJETIVOS
General: Comprobar experimentalmente la validez de la ecuación de Bernoulli. Específicos: -eterminar las transformaciones de energía cintica en energía de presión % viceversa. Evaluar el comportamiento de la presión dinámica a lo largo de una tubería de sección variable. Evaluar el comportamiento de la velocidad a lo largo de una tubería de sección variable. ue el estudiante estudiante conozca la naturaleza de las prdidas de energía que sufre el flu&o de un conducto debido a la fricción, % la fórmula práctica para el cálculo de las mismas.
TEOREMA DE BERNOUI /lu&os incompresibles % sin rozamiento. Estos flu&os cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático % científico suizo -aniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flu&o incompresible % no viscoso (sin rozamiento! es constante a lo largo de una línea de corriente. as líneas de corriente son líneas de flu&o imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flu&o en cada punto, % en el caso de flu&o uniforme coinciden con la tra%ectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad % la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminu%e. Este principio es importante para la medida de flu&os, % tambin puede emplearse para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo. 'eorema de Bernoulli, principio físico que implica la disminución de la presión de un fluido (líquido o gas! en movimiento cuando aumenta su velocidad. /ue formulado en 0123 por el matemático % físico suizo -aniel Bernoulli, % anteriormente por eon"ard Euler. El teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos con flu&o uniforme permanece constante a lo largo de la tra%ectoria de flu&o. 4uede demostrarse que, como consecuencia de ello, el aumento de velocidad del fluido debe verse compensado por una disminución de su presión. El teorema se aplica al flu&o sobre superficies, como las alas de un avión o las "lices de un barco. as alas están dise)adas para que obliguen al aire a fluir con ma%or velocidad sobre la superficie superior que sobre la inferior, por lo que la presión sobre esta #ltima es ma%or que sobre la superior. Esta diferencia de presión proporciona la fuerza de sustentación que mantiene al avión en vuelo. *na "lice tambin es un plano aerodinámico, es decir, tiene forma de ala. En este caso, la diferencia de presión que se produce al girar la "lice proporciona el empu&e que impulsa al barco. El teorema de Bernoulli tambin se emplea en las toberas, donde se acelera el flu&o reduciendo el diámetro del tubo, con la consiguiente caída de presión. +simismo se aplica en los caudalímetros de orificio, tambin llamados enturi, que miden la diferencia de presión entre el fluido a ba&a velocidad que pasa por un tubo de entrada % el fluido a alta velocidad que pasa por un orificio de menor diámetro, con lo que se determina la velocidad de flu&o %, por tanto, el caudal. Cuando una pelota se tira con efecto, su tra%ectoria se curva debido a las fuerzas que surgen al girar sobre sí misma. a superficie rugosa arrastra el aire ad%acente % lo "ace girar. Esto crea una zona de alta presión en un lado % de ba&a presión en el otro$ la diferencia de presiones "ace que su tra%ectoria se curve.
Figura 3.
Ec!aci"n #e Berno!lli Evaluemos los cambios energticos que ocurren en la porción de fluido se)alada en color amarillo, cuando se desplaza a lo largo de la tubería. En la figura, se se)ala la situación inicial % se compara la situación final despus de un tiempo 5 t . -urante dic"o intervalo de tiempo, la cara posterior S2 se "a desplazado v 2 5t % la cara anterior S1 del elemento de fluido se "a desplazado v 15t "acia la derec"a.
Figura 4.
El elemento de masa ∆m se puede expresar como6 ∆m=ρ S2 v2 ∆t=ρ S1v 1∆t= ρ∆V Ecuación 1.
Comparando la situación inicial en el instante t % la situación final en el instante t 75t . 8bservamos que el elemento 5 m incrementa su altura, desde la altura y 1 a la altura y 2 •
a $ariaci"n #e ener%ía po&encial es6 ∆E p9∆m·gy 2 -∆m·gy 1=ρ ∆V· (y 2- y 1 ) g Ecuación 2.
El elemento ∆m cambia su velocidad de v 1 a v 2 , •
a $ariaci"n #e ener%ía cin'&ica es6 ∆E :9
Ecuación 3.
El resto del fluido e&erce fuerzas debidas a la presión sobre la porción de fluido considerado, sobre su cara anterior % sobre su cara posterior6 F 1=p1S1 % F 2= p2 S2 . Ecuación 4.
a fuerza F 1 se desplaza ∆ x 1=v 1∆t . a fuerza % el desplazamiento son del mismo signo. a fuerza F 2 se desplaza ∆ x 2= . a fuerza % el desplazamiento son de signos v 2 ∆t contrarios. •
El &ra(a)o #e las f!er*as e+&eriores es6 W 9F 1 ∆ x 1- F 2 ∆ x 2 = (p1-p2 ) ∆V Ecuación 5.
El teorema del traba&o;energía nos dice que el traba&o de las fuerzas exteriores que act#an sobre un sistema de partículas modifica la energía cintica % la energía potencial del sistema de partículas <9∆E :7∆E pEcuación 6.
=implificando el trmino ∆V % reordenando los trminos obtenemos la ecuación de Bernoulli Ecuación 7.
Efec&o Ven&!ri
Figura 5.
Cuando el desnivel es cero, la tubería es "orizontal. 'enemos entonces, el denominado tubo de enturi, cu%a aplicación práctica es la medida de la velocidad del fluido en una tubería. El manómetro mide la diferencia de presión entre las dos ramas de la tubería. a ecuación de continuidad se escribe v 1S1=v 2 S2 Ecuación 8.
ue nos dice que la velocidad del fluido en el tramo de la tubería que tiene menor sección es ma%or que la velocidad del fluido en el tramo que tiene ma%or sección. =i S1>S2 , se conclu%e que v 1
Ecuación 9.
Como la velocidad en el tramo de menor sección es ma%or, la presión en dic"o tramo es menor. =i v 1p2 . El líquido manomtrico desciende por el lado izquierdo % asciende por el derec"o 4odemos obtener las velocidades v 1 % v 2 en cada tramo de la tubería a partir de la lectura de la diferencia de presión p1-p2 en el manómetro.
Ecuación 10.
DESCRI,CIÓN DE A ,R-CTICA
En la práctica de Comprobación del 'eorema de Bernoulli, se analizó una tubería para lograr determinar caudal, la velocidad en cada sección, la energía cintica en cada sección, la energía total en cada sección, graficar la energía, determinar las transformaciones de energía cintica en presión % viceversa, así mismo graficar un esquema similar al anterior pero con las variaciones de la transformación de la energía a lo largo del tubo. a práctica se realizó de la siguiente manera6 • • •
>acer circular el agua a travs de la tubería 'omar las alturas de las columnas de agua de cada uno de los 00 piezómetros en mm lo cual equivale a la carga (energía! de presión en cada punto >. ?edir el caudal de agua a travs del tubo por medio del mtodo volumtrico de aforo (caudal!, realizando tres veces la medición % verificando el margen de error.
El equipo utilizado6 El equipo consiste en un tubo de sección rectangular de anc"o constante % altura variable, por el cual circula agua con un caudal constante. @ste está dotado de 00 piezómetros separados a una distancia de A mm uno del otro, uno para cada sección analizada, % por medio de ello será posible medir la presión "idrostática equivalente a una columna de líquido.
RESUTADOS
./ De&er0inar el ca!#al 3
V cm Caudal = =[ ] t seg
Dónde: 3
9 volumen ( cm ¿ t 9 tiempo (segundos!
Ta!a "#$ 1: %a&da!
Io. Caudal
olumen( cm
Iumero 0 Iumero A Iumero 2 Error de medición 9
3
Q max
3
3
cm Qmin =77.49 seg
Error de medición G H F
3
cm / seg ¿
! AJJJ AJJJ AJJJ
Q max−Qmin
cm Qmax =83.96 seg
'iempo (=eg! Caudal ( A.30 A.21 A2.3A
D
11.KL 13.32 32.LM
3
cm seg
Caudal promedio 9 3J.JL
1/ De&er0inar la $eloci#a# en ca#a secci"n anali*a#a V =
Q cm =[ ] A seg
Dónde:
9 Caudal promedio + 9 base altura Base 9 1mm 9 J.1 cms 9 constante +ltura 9 "
Ta!a "#$ 2: Ve!#'dad de! !&d# Al&!ra 2 3004
Area 30054
Area 3c054
V678A
0K
L3
J.L3
30.12
02
L0
J.L0
33.JA
0A
3K
J.3K
L.2
00
11
J.11
0JK.JA
0J
1J
J.1
00K.KA
L
M2
J.M2
0A1.0K
0J
1J
J.1
00K.KA
00
11
J.11
0JK.JA
0A
3K
J.3K
L.2
02
L0
J.L0
33.JA
0K
L3
J.L3
30.12
9/ Calc!lar la Ener%ía Cin'&ica en Ca#a Secci"n 2
Ec =
V =[ cm ] 2g
Dónde:
9 velocidad (cm N seg! g9 L30 cm N seg
2
Ta!a "#$ *: Ene+g,a %nt'a No/ 0 A 2 K M 1 3 L 0J 00
/ Ener%ía To&al en Ca#a Secci"n Et = E P+ Ec
D#nde
V678A 30.12 33.JA L.2 0JK.JA 00K.KA 0A1.0K 00K.KA 0JK.JA L.2 33.JA 30.12
Ec 6V581% 2.KJ 2.L K.M2 .0 M.M1 3.AK M.M1 .0 K.M2 2.L 2.KJ
ET =¿
Energía total (cms!
E P=¿
Energía de presión (cms! P E P= γ
9 +ltura del piezómetro EC =¿
Energía cintica (cms!
Ta!a "#$ .: Ene+g,a T#ta! E P
EC
ET
0
3c04 2K.1
3c04 2.KJ
3c04 23.0J
A
22.
2.L
21.K
2
2A.A
K.M2
2M.32
K
2J.1
.0
2M.A0
A3.
M.M1
2.01
M
A.L
3.AK
2K.0K
1
A1
M.M1
22.M1
3
A3
.0
22.0
L
A3.
K.M2
22.02
0J
AL
2.L
2A.L
00
AL.
2.KJ
2A.LJ
No/
;/ Gr
=/ De&er0inar las Transfor0aciones #e Ener%ía Δ EC = Ecf − E ci Δ E P= E pf − E pi
D#nde Δ EC =¿
Cambio de energía cintica (cm!
Ecf =¿
Energia cinetica final
Eci =¿
Energia cinetica inicial
Δ E P=¿
Cambio de energía de presión (cm!
E pf =¿
Energia de presión final
E pi =¿
Energia de presión inicial
Ta!a "#$ /: T+an0#+ma'#ne0 de Ene+g,a
3c04 23.0J
> EC
> E P
J.JJ
J.JJ
2.L
21.K
J.K
;0.AJ
2A.A
K.M2
2M.32
J.ML
;0.2J
K
2J.1
.0
2M.A0
J.33
;0.J
A3.
M.M1
2.01
0.0M
;A.AJ
M
A.L
3.AK
2K.0K
0.1
;A.MJ
1
A1
M.M1
22.M1
;0.1
0.0J
3
A3
.0
22.0
;0.0M
0.JJ
L
A3.
K.M2
22.02
;J.33
J.J
0J
AL
2.L
2A.L
;J.ML
J.J
00
AL.
2.KJ
2A.LJ
;J.K
J.J
E P
EC
ET
0
3c04 2K.1
3c04 2.KJ
A
22.
2
No/
?/ Grafica #e la Variaci"n #e las Transfor0aciones #e Ener%ía
CONCUSIONES
=e comprobó de forma experimental que la ecuación o principio de Bernoulli es válida para fluido perfecto (sin viscosidad ni rozamiento! %a que por medio de los resultados se puede observar que la presión disminu%e en el fluido cuando aumenta su velocidad. •
•
/lu&os incompresibles % sin rozamiento. Estos flu&os cumplen el llamado teorema de Bernoulli, enunciado por el matemático % científico suizo -aniel Bernoulli. El teorema afirma que la energía mecánica total de un flu&o incompresible % no viscoso (sin rozamiento! es constante a lo largo de una línea de corriente. as líneas de corriente son líneas de flu&o imaginarias que siempre son paralelas a la dirección del flu&o en cada punto, % en el caso de flu&o uniforme coinciden con la tra%ectoria de las partículas individuales de fluido. El teorema de Bernoulli implica una relación entre los efectos de la presión, la velocidad % la gravedad, e indica que la velocidad aumenta cuando la presión disminu%e. Este principio es importante para la medida de flu&os, % tambin puede emplearse para predecir la fuerza de sustentación de un ala en vuelo. 'eorema de Bernoulli, principio físico que implica la disminución de la presión de un fluido (líquido o gas! en movimiento cuando aumenta su velocidad. /ue formulado en 0123 por el matemático % físico suizo -aniel Bernoulli, % anteriormente por eon"ard Euler. El teorema afirma que la energía total de un sistema de fluidos con flu&o uniforme permanece constante a lo largo de la tra%ectoria de flu&o. 4uede demostrarse que, como consecuencia de ello, el aumento de velocidad del fluido debe verse compensado por una disminución de su presión.
General: Comprobar experimentalmente la validez de la ecuación de Bernoulli. Específicos: -eterminar las transformaciones de energía cintica en energía de presión % viceversa. Evaluar el comportamiento de la presión dinámica a lo largo de una tubería de sección variable. Evaluar el comportamiento de la velocidad a lo largo de una tubería de sección variable.
ue el estudiante conozca la naturaleza de las prdidas de energía que sufre el flu&o de un conducto debido a la fricción, % la fórmula práctica para el cálculo de las mismas.
E@GRAA
• •
"ttp6NNrabfis0.uco.esN?ec/luidosN4rogramaN*ntitled;0L."tm "ttp6NNeducativa.catedu.esNKK1JJ0MNaulaNarc"ivosNrepositorioNK1JNKL03N"tmlNA2 OteoremaOdeObernoulli."tml
•
"ttp6NNPPP.ecured.cuNindex.p"pN'eoremaOdeOBernoulli
•
"ttp6NNPPP.laPebdefisica.comNdiccNbernoulliN
ANEOS
./ DETERMINACIÓN DE CAUDA 3,RIMERA CORRIDA4 3
V cm Caudal = =[ ] t seg
D"n#e: V 9 volumen (
3
cm ¿
9 AJJJ
cm
3
& 9 tiempo (segundos! 9 A.30 segundos 2000 cm
3
3
cm Caudal = =77.49 [ ] 25.81 seg seg
NOTA: =e efectuó el mismo procedimiento para los demás caudales
•
Error de medición 9
Q max−Qmin Q max
D 3
-onde el caudal mínimo fue de
cm 77.49 seg
-onde el caudal máximo fue de
cm 83.96 seg
3
3
Error de medición 9
3
cm cm 77.49 −83.96 seg seg 3 cm 83.96 seg
9 1.1Q
1/ DETERMINACIÓN DE A VEOCIDAD EN A ,RIMERA SECCIÓN V =
Q cm =[ ] A seg
D"n#e: 3
7 9 Caudal promedio (4romedio de los 2 caudales! 9 3J.JL
cm seg
A 9 Base +ltura •
Base 9 1mm 9 J.1 cm 9 (El cual es constante!
•
Al&!ra 9 " 9 0Kmm (+lturas %a dadas en el instructivo! 9 0.Kcm 3
cm 80.095 seg cm V = =81.73 [ ] ( 0.7 cm ) ( 1.4 cm ) seg
NOTA: =e efectuó el mismo procedimiento para las 00 alturas
9/ CACUAR A ENERGA CINTICA EN UNA SECCIÓN 2
V Ec = =[ cm ] 2g
D"n#e:
V 9 velocidad (cm N seg! 'omando la velocidad Io. 0 9 seg
% 9 L30 cm N
81.73 [
cm ] seg
2
NOTA: =e efectuó el mismo procedimiento para las energías cinticas
/ ENERGA TOTA EN CADA SECCIÓN 3,RIMERA CORRIDA4 Et = E P+ Ec
Don#e: ET =¿
Energía total (cm!
E P=¿
Energía de presión (cm!
P E P= γ
9 +ltura del piezómetro
EC =¿
Energía cintica (cm!
EC =¿
3.40
P E P= =¿ γ •
ET
6
[ cm ]
+ltura del piezómetro 9
3.40
[ cm ] + 34.7 [ cm ] 9
34.7
38.10
[ cm ] -ato tomado en la practica
[ cm ]
NOTA: =e efectuó el mismo procedimiento para cada una de las 00 alturas.
;/ DETERMINAR AS TRANSORMACIONES DE ENERGA 3SEGUNDA CORRIDA4 Δ EC = Ecf − E ci Δ E P= E pf − E pi
Don#e: Δ EC =¿
Cambio de energía cintica (cm!
Ecf =¿
Energia cinetica final
Eci =¿
Energia cinetica inicial
Δ E P=¿
Cambio de energía de presión (cm!
E pf =¿
Energia de presión final
E pi =¿
Energia de presión inicial
,ARA: • •
Δ EC = Ecf − E ci Ecf Eci
¿ 3.95 [ cm ] ¿ 3.40 [ cm ] Δ EC =3.95 [ cm ]− 3.40 [ cm ] =0.54
NOTA: =e realizo el mismo procedimiento para las 00 +lturas
Δ E P= E pf − E pi
,ARA: • •
E Pf E Pi
¿ 33.5 [ cm ] ¿ 34.7 [ cm ]
Δ E P=33.5 [ cm ] −34.7 [ cm ] =−1.20
NOTA: =e realizo el mismo procedimiento para las 00 +lturas
