DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA DE TRANSPORTE DE REYNOLDS
Considerando la figura:
Se denotará por B como una propiedad extensiva que se está analizando, y como b a la propiedad intensiva de dicha propiedad intensiva, se relacionan a través de: b=B/m, donde m es la masa del sistema. El volumen de control se considerará fijo y viene limitado por la frontera de líneas puntuadas grises. El sistema en cambio, al contener la misma masa en todo momento, se moverá en dirección al flujo de fluido. Para un tiempo t , el sistema y el volumen de control coinciden, por lo tanto la propiedad extensiva en su región será la misma.
, = , TODO EL CONTENIDO DE ESTA DEMOSTRACIÓN, HA SIDO EXPLICADO EN BASE A LA INFORMACIÓN (ECUACIONES Y FIGURAS) DE “Mecánica de fluidos. Fundamentos y aplicaciones” Yunus A Çengel .
Pasado un Δt , el sistema se moverá y ya no coincidirá con el volumen de control, pero dicha propiedad extensiva que ahora contiene puede ser expresada en base a la propiedad extensiva del volumen de control a través de:
,+∆ = +,∆ − ,+∆ ,+∆ Restando las expresiones anteriores, y dividiendo entre Δt .
,+∆ − , = ,+∆ − , − ,+∆ ,+∆ ∆ ∆ ∆ ∆ Llevando al límite la expresión anterior cuando Δt -> 0:
= − ̇ ̇ Donde:
: representa la razón de cambio de la propiedad extensiva B en el sistema. : representa la razón de cambio de la propiedad extensiva B en el volumen de control. Los otros dos términos de la expresión, matemáticamente son semejantes.
= ∗ = ∗ ∗ = ∗ ∗ ⃗ ∗ ∆ ∗ b: Propiedad intensiva de la propiedad extensiva B. (unidad de propiedad/kg) A: Sección recta atravesada por flujo de fluido (m2).
⃗ : Velocidad perpendicular a la sección recta (m/s). Δt: intervalo de tiempo (seg). ρ: densidad del fluido (kg/m 3).
Para cada caso:
= ∗ 1 ∗ ⃗1 ∗ ∆ ∗ = ∗ 2 ∗ ⃗2 ∗ ∆ ∗ Introduciendo a la expresión:
= − ∗ 1 ∗ ⃗1 ∗ ∗ 2 ∗ ⃗2 ∗ TODO EL CONTENIDO DE ESTA DEMOSTRACIÓN, HA SIDO EXPLICADO EN BASE A LA INFORMACIÓN (ECUACIONES Y FIGURAS) DE “Mecánica de fluidos. Fundamentos y aplicaciones” Yunus A Çengel .
Donde A1 y A2 son las secciones transversales de las ubicaciones 1 y 2, y V 1 y V2 son las velocidades con las que cruza el flujo de fluido las secciones transversales 1 y 2 respectivamente. La resultante de estos dos elementos de la ecuación representa el flujo neto de la propiedad B consecuencia de la transferencia de masa. Con la finalidad de generalizar la expresión para situaciones donde por ejemplo, la velocidad no sea perpendicular a la sección transversal y además definir una conveniencia de signos para cuando el flujo sea hacia dentro o hacia fuera del volumen de control, se definirá un vector externo unitario (adimensional), el cual es perpendicular a la sección transversal por donde cruza el flujo de fluido, para generalizar se designará dicha sección como dA.
⃗
Entonces el producto punto de este vector con el vector velocidad generará el módulo de la componente de la velocidad perpendicular a la sección transversal, y además el signo que generen será positivo si va hacia fuera, y será negativo si el flujo va hacia dentro del volumen de control.
Entonces el término de los flujos hacia dentro y hacia fuera del volumen de control, se puede generalizar con la integral:
̇ − ̇ = ∫ ∗ ∗ ⃗ ∗⃗ ∗ Por último, la cantidad total de una propiedad extensiva sobre un volumen de control puede expresarse bajo la integral:
= ∫ ∗ ∗ Donde: dV: diferencial de VOLUMEN (NO CONFUNDIR CON VELOCIDAD). Cómo se necesita la razón de cambio, se aplica la derivada:
= ∫ ∗ ∗ TODO EL CONTENIDO DE ESTA DEMOSTRACIÓN, HA SIDO EXPLICADO EN BASE A LA INFORMACIÓN (ECUACIONES Y FIGURAS) DE “Mecánica de fluidos. Fundamentos y aplicaciones” Yunus A Çengel .
Reemplazando quedará:
= ∫ ∗ ∗ ∫ ∗ ∗ ⃗ ∗⃗ ∗ Existen casos particulares donde la expresión puede simplificarse o modificarse: a) Cuando el volumen de control no es fijo, sino móvil, se debe utilizar en la integral la velocidad relativa del flujo de fluido con respecto al volumen de control:
= ∫ ∗ ∗ ∫ ∗ ∗ ⃗ ∗⃗∗ b) Cuando el volumen de control no tiene forma fija (se deforma), la densidad puede verse alterada, por tanto se modifica el primer término de la expresión:
= ∫ ( ∗)∗ ∫ ∗ ∗⃗ ∗⃗∗ c) Cuando la propiedad sobre la región del volumen de control es estacionaria, entonces el primer término es igual a cero quedando:
= ∫ ∗ ∗ ⃗ ∗⃗∗ De preferencia, cuando el número de entradas y salidas es finito, se prefiere trabajar con los valores promedio de velocidad, valor promedio de la propiedad intensiva a lo largo de la sección transversal y valor de la sección transversal. Cuando ocurre esto la integral se puede sustituir por una sumatoria:
∫ ∗ ∗ ⃗ ∗⃗ ∗ = ∑ ∗ ∗ ⃗ ∗ − ∑ ∗ ∗ ⃗ ∗
Reemplazando esta última expresión se obtendrá:
= ∫ ∗ ∗ ∑ ∗ ∗ ⃗ ∗ − ∑ ∗ ∗ ⃗ ∗
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Y como generalmente se trabaja en el régimen estacionario:
= ∑ ∗ ∗ ⃗ ∗ − ∑ ∗ ∗ ⃗ ∗
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