Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e derivación e integración integración de de una función función son son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas matemáticas denominada denominada análisis matemático o matemático o cálculo. El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes Arquímedes,, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Newton, Isaac Barrow y Barrow y Gottfried Leibniz en Leibniz en el siglo XVIII y XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas áreas y y volúmenes,, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al volúmenes demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación. Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo , y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de indefinida de la función al ser integrada. Intuición geométrica
El área rayada en rojo puede ser calculada como h × f(x) × f(x),, o si se conociera la función A(X) función A(X),, como A(x+h) − A(x). Estos valores son aproximadamente aproximadamente iguales para valores pequeños de h. Supóngase que se tiene una función continua y = f( x x ) y que su representación gráfica es una curva. Entonces, para cada valor de x tiene tiene sentido de manera intuitiva pensar que
existe una función A( x ) que representa el área bajo la curva entre 0 y x aún sin conocer su expresión. Supóngase ahora que se quiere calcular el área bajo la curva entre x y x +h. Se podría hacer hallando el área entre 0 y x +h y luego restando el área entre 0 y x . En resumen, el área de esta especie de "loncha" sería A( x +h) − A( x ). Otra manera de estimar esta misma área es multiplicar h por f( x ) para hallar el área de un rectángulo que coincide aproximadamente con la "loncha". Nótese que la aproximación al área buscada es más precisa cuanto más pequeño sea el valor de h. Por lo tanto, se puede decir que A( x +h) − A( x ) es aproximadamente igual a f( x ) · h, y que la precisión de esta aproximación mejora al disminuir el valor de h. En otras palabras, ƒ( x )·h ≈ A( x +h) − A( x ), convirtiéndose esta aproximación en igualdad cuando h tiende a 0 como límite. Dividiendo los dos lados de la ecuación por h se obtiene
Cuando h tiende a 0, se observa que el miembro derecho de la ecuación es sencillamente la derivada A’( x ) de la función A( x ) y que el miembro izquierdo se queda en ƒ( x ) al ya no estar h presente. Se muestra entonces de manera informal que ƒ( x ) = A’( x ), es decir, que la derivada de la función de área A( x ) es en realidad la función ƒ( x ). Dicho de otra forma, la función de área A( x ) es la antiderivada de la función original. Lo que se ha mostrado es que, intuitivamente, calcular la derivada de una f unción y "hallar el área" bajo su curva son operaciones "inversas", es decir el objetivo del teorema fundamental del cálculo integral. Primer teorema fundamental del cálculo
Dada una función f integrable sobre el intervalo por es derivable en y F'(c) = f(c).
. Si f es continua en
, definimos F sobre , entonces F
Consecuencia directa del primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal es:
Siendo f(t) una función integrable sobre el intervalo [a(x),b(x)] con a(x) y b(x) derivables. Demostración Lema
Sea integrable sobre
y
Entonces
Demostración del lema
Está claro que
para toda partición
. Puesto que inmediatamente.
, la desigualdad se sigue
Demostración
Por definición se tiene que
.
Sea h>0. Entonces Se define
y
. como: ,
Aplicando el 'lema' se observa que
. Por lo tanto,
Sea
. Sean , .
Aplicando el 'lema' se observa que
. Como
, entonces, . Puesto que
, se tiene que
. Y como es continua en c se tiene que
, y esto lleva a que
. Ejemplos
Segundo teorema fundamental del cálculo
El segundo teorema fundamental del cálculo integral (o regla de Newton-Leibniz, o también regla de Barrow , en honor al matemático inglés Isaac Barrow, profesor de Isaac Newton) es una propiedad de las funciones continuas que permite calcular fácilmente el valor de la integral definida a partir de cualquiera de las primitivas de la función. Enunciado
Dada una función f(x) continua en el intervalo [a,b] y sea F(x) cualquier función primitiva de f, es decir F '(x) = f(x). Entonces
Demostración
Considere la siguiente primitiva de definida en el intervalo
.:
. esto debido al primer teorema fundamental del cálculo el cual establece que:
. Como
y
son primitivas de , entonces .
Observe que
y de eso se sigue que
; por lo tanto, .
Y en particular si
:
Ejemplos
Como se puede integrar inmediatamente.
