TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL La asociación de la distribución normal con el Teorema del Límite Central, es útil para realizar inferencias sobre variables aleatorias, aun sin conocer qué clase de distribución sigue la población original, cuando la muestra es lo suficientemente grande. La definición del Teorema del Límite central es: La distribución de la media muestral (x), tomada de una muestra aleatoria grande de una distribución con varianza finita, seguirá una distribución normal prescindiendo de la distribución de la población original. La media muestra (xb), está distribuida normalmente con una media (x); y, una varianza (2 x/n). xb -
Z=
/ n Este teorema es de importancia fundamental para la estadística porque justifica el uso de métodos de curva normal en una gran variedad de problemas; se aplica a poblaciones infinitas y también a poblaciones finitas cuando n , a pesar de ser grande, no constituye más que una pequeña porción de la población, por lo regular n= 30 es lo suficientemente alto. El teorema no solo nos proporciona un método para calcular la distribución de una sima de variables aleatorias, sino que además nos ayuda a explicar el hecho observable de que las frecuencias empíricas de un gran número de poblaciones existentes en la naturaleza exhiban una forma acampanada (es decir normal).Si se considera que un error de medición es la consecuencia de un gran número de pequeños errores independientes, el teorema central de limite implica que si distribución será aproximadamente normal ejemplos de ellos seria la altura de los hijos de una pareja, medición astronómica, errores humanos entre otros.
EJEMPLO 1
¿Cuál es la probabilidad de que el error sea menor que 5, cuando se usa una media de una muestra aleatoria de tamaño n =64 para estimar la media de una población infinita con = 20? Z=
-5 20/ 64
= -2
Z=
-5 20 / 64
Z= 2.00 = 0.4772 0.4772+ 0.4772 = 0.9544
= 2
Por lo tanto, la probabilidad es “como mínimo de 0.75” por una aseveración mas firme de que la probabilidad es aproximadamente de o.95 (de que la media de una muestra aleatoria de tamaño n= 64 de la población de referencia difiera de la población por menos de 5).
EJEMPLO 2
Una compañía aseguradora de automóviles tiene, 10 000 (= 104) asegurados. Si el gasto anual que un asegurador ocasiona a la compaña tiene por media 260 dólares con una desviación típica de 800 dólares, aproxime la probabilidad de que el gasto total que la compañía debe afrontar en un año sobrepase 2.8 millones (= 2.8 x 106) de dólares. Media = 104 x 260 = 2.6 x 106 = 800 104 = 800 102 = 8 x104 P(x> 2.8 x 106 ) = P {
x- 2.6 x106 > 2.8x 106 – 2.6 x106 } 8 x 104
= P { z > 0.2 x 106
8 x 104 }
8 x 104 =P{
20 } 8
= P { z > 2.5 } = 0.0062 Esto quiere decir que, existen 6 posibilidades sobre 1000 de que el coste anal total que debe afrontar la compañía sobrepase 2.8 millones de dólares.
REFERENCIAS Freud, J.E, Simon, G.A (1994) Estadística elemental (8° ed) México Pearson.
Editorial
Ross, S (2005) Introducción a la estadística (2° ed.)San Diego, USA Editorial Reverté. Morales, E (2001) Introducción a la econometría. ( 1° ed.) Quinto, Ecuador Editorial Abyayala.
