Teorema del valor medio El teorema del valor medio o de Lagrange dice Lagrange dice que:
Sea f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), existe un punto c
(a, b) tal que:
La interpretación geométrica del teorema del valor medio nos di ce que hay un punto en el que la tangente es paralela a la secante.
El teorema de Rolle es un caso particular del teorema del valor medio , en el que f(a) = f(b).
Ejemplos
1. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a f(x) = 4x 2 − 5x + 1 en [0, 2]?
f(x) es continua en [0, 2] y derivable en (−1, 2) por tanto se puede aplicar el teorema del valor medio :
2. ¿Se puede aplicar el teorema de Lagrange a Lagrange a f(x) = 1/ x 2 en [0, 2]?
La función no es continua en [−1, 2] ya que no definida en x = 0.
3. En el segmento de la parábola comprendido entre los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) hallar un punto cuya tangente sea paralela la cuerda.
Los puntos A = (1, 1) y B = (3, 0) pertenecen a la parábola de ecuación y = x 2 + bx + c.
Por ser la función polinómica se puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo [1, 3].
4. Calcular un punto del intervalo [1, 3] en el que la tangente a la curva y = x 3 − x 2 + 2 sea paralela a la recta determinada por los puntos A(1, 2) y B(3, 20). ¿Qué teorema garantiza la existencia de dicho punto?
Hallamos la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos.
Por ser y = x 3 − x 2 + 2 continua en [1, 3] y derivable en (1, 3) se puede aplicar el teorema del valor medio :
5. Determinar a y b para que la función
cumpla las hipótesis del teorema de Lagrange en el intervalo [2, 6].
En primer lugar se debe cumplir que la función sea continua en [2, 6].
En segundo lugar se debe cumplir que la función sea derivable en (2, 6).
Teorema del valor medio
El teorema
del
valor
medio
para
integrales o teorema
de
la
media dice que:
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del intervalo tal que:
Ejemplos
1. Hallar el valor de c, del teorema de la media , de la función f(x) = 3x 2 en el intervalo [−4, −1].
Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.
La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.
2. ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el intervalo [0, 1]?
Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.
Teorema del Valor Medio para integrales Valor promedio de una función Es sencillo hallar el promedio de un conjunto de números dados, sólo debemos realizar el siguiente cálculo y prom
. ¿Cómo calculamos la temperatura promedio durante un día si se puede tener numerosas lecturas de temperaturas? ¿Qué pasa si queremos hallar el promedio de un número infinito de valores? ¿Cómo calculamos el valor promedio de la función f(x) x3en el intervalo [1, 2]? ¿Cómo calculamos el promedio de cualquier función aunque no sea positiva? Estamos en presencia de un tipo de promedio "continuo".
Se propone calcular el valor promedio de la función y f(x), a x b. Dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos iguales, cada uno con longitud
x
. Si ti es un punto cualquiera del i-ésimo subintervalo, entonces el promedio aritmético o medio de los valores de la función en los c i viene dado por:
Multiplicamos y dividimos por (b a) y resulta:
La expresión
es una suma de Riemann para f en [a, b].
Podemos asegurar que el promedio de los n valores es veces la suma de Riemann de f en [a, b]. A medida que incrementamos la cantidad de subintervalos ( x 0, n ) se obtiene, teniendo en cuenta la definición de integral definida:
.
El valor promedio de f sobre el intervalo [a, b] resulta
f prom
.
El concepto del valor promedio de una función en un intervalo es solamente uno de los muchos usos prácticos de las integrales definidas para representar procesos de suma. TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA INTEGRALES Este teorema es importante porque asegura que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.
Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b], existe un número c en este intervalo tal que
f(c)(b a) Demostración: Primer caso: Si f es constante en el intervalo [a, b] el resultado es trivial puesto que c puede ser cualquier punto. Segundo caso: Si f no es constante en [a, b] elegimos m y M como el menor y mayor valor que toma f en el intervalo. Dado que
m f(x) M x [a, b] por el teorema de conservación de desigualdades.Aplicando propiedades:
m(b a)
M(b a)
entonces
m
M.
Dado que f es continua el teorema del valor intermedio asegura que f alcanza cada valor entre su mínimo y su máximo. Por lo tanto permite deducir que debe alcanzar el valor en algún punto c del intervalo. [a, b]. Queda demostrado que existe algún c tal que f(c)
.
Interpretación gráfica del teorema para una función positiva:
rectángulo inscripto (área menor que la de la región)
rectángulo del valor medio (área igual que la de la región)
rectángulo circunscripto (área mayor que la de la región)
El valor de c no es necesariamente único. Este teorema no especifica cómo determinar c. Solamente garantiza la existencia de algún número c en el intervalo. Permite una interpretación interesante para el caso en
que f es no negativa en [a, b]. En este caso es el área bajo la gráfica de f entre a y b. El teorema asegura que existe un valor c del intervalo al que está asociado f(c) que corresponde a la altura del rectángulo de longitud de la base (b a) y su área coincide con la de la región.
A
f(c)(b a)
El valor de f(c) hallado según el teorema del valor medio para integrales coincide con el valor promedio o medio de una función por eso a f(c)
se lo llama valor medio de f en el intervalo [a, b].
Ejemplo: halle el valor promedio de f(x) 3x2 2x en el intervalo [1, 4]. Calculamos:
f prom 1) 16
(64 16 1 +
Sabemos que el área de la región es igual al área del rectángulo cuya altura es el valor promedio. Se puede observar gráficamente. Problema Suponga que la población mundial actual es de 5 mil millones y que la población dentro de t años está dada por la ley de crecimiento exponencial p(t) e0,023t. Encuentre, la población promedio de la tierra en los próximos 30 años. Es importante tener en cuenta este valor dado que permite hacer planes a largo plazo de las necesidades de producción y en la distribución de bienes y servicios. Para resolver este problema debemos hallar el valor promedio de la población P(t) desde t 0 hasta t 30
Valor promedio
Valor promedio
Valor promedio 7,2 miles de millones Problema Se inyecta una dosis de 2 miligramos de cierta droga en el torrente sanguíneo de una persona. La cantidad de droga que queda en la sangre 0.32t . Encuentre la cantidad después de t horas está dada por f(t) 2 e promedio de la droga en el torrente sanguíneo durante la segunda hora.
Para responder este problema debemos encontrar el valor promedio de f(T) en el intervalo desde t 1 a t 2.
Valor promedio
Valor promedio 1,24 La cantidad promedio de la droga en el torrente sanguíneo es de aproximadamente 1,24 miligramos. Teorema de roll En cálculo diferencial, el teorema de Rolle demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual una función derivable se anula cuando el valor de esta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a sus aplicaciones.
Enunciado[editar ] Se puede enunciar de la siguiente manera,
Si
es una función continua definida en un intervalo cerrado
intervalo abierto Existe al menos un punto
y
, derivable sobre el
, entonces: perteneciente al intervalo
tal que
.
Demostración[editar ] Se sabe que existen tres posibilidades, o bien la función que consideramos es constante, o bien tiene algún punto x donde el valor de la función es mayor o bien este valor es menor que en los extremos. Para el primer caso es trivial que en algún punto la función tiene derivada nula (en la definición de derivada el cociente incremental es cero).
Gracias a la continuidad de f , la imagen de [a, b], es un conjunto conexo de R, y por lo tanto es un intervalo, el intervalo imagen.
La imagen por una función continua de un conjunto compacto es un conjunto compacto, y por lo tanto el intervalo imagen es cerrado y de longitud finita: es de la forma [m, M ], con m el valor mínimo de f y M su valor máximo.
Si m = M , la función es constante, y cualquier punto c de (a, b) conviene. Descartado este caso, m ≠ M significa que uno de los dos no es igual a f (a) =f (b). Supongamos que sea M . Entonces M > f (a) = f (b), y por lo tanto el máximo M está alcanzado en el interior del intervalo.
Sea c en [a, b] tal que f (c ) = M . Por definición del máximo, M = f (c ) ≥ f ( x ) para todo x de [a, b]. Entonces el cociente (f (c ) - f ( x )) / (c - x ) es positivo cuando x < c (porque su numerador es siempre positivo y su denominador es positivo no nulo), y es negativo cuando x > c (el denominador se vuelve negativo no nulo). Pero f '(c ) es por definición el límite de este cociente
-
cuando x tiende hacia c . El límite por la izquierda, f '(c ), tiene que ser igual al límite por la +
derecha, f '(c ). Por lo tanto este límite común es nulo, o sea f '(c ) = 0. La demostración es muy similar si es el mínimo que está alcanzado en ( a, b).
Demostración gráfica[editar ] En el siguiente gráfico se observan las tres condiciones: la función es continua en el intervalo cerrado [a,b], es derivable y los valores que toma la función en los puntos a y b son iguales, es decir, f (a) = f (b). Existe, por lo tanto, al menos un punto c que pertenece al intervalo abierto (a,b) en el cual la derivada de la función es igual a cero. Vale observar que c es distinto de a y de b. No debemos confundir c con f (c ), que sí puede ser igual a f (a) y f (b).
En la ilustración se ve una función constante, pero el teorema no sólo se cumple en este caso. Se pueden dar tres casos en los que f (c ) es distinto de f (a) yf (b), a saber: Caso 1. El punto máximo es igual a f (a) y f (b) y el punto mínimo es d i s t i n t o de ambos, lo cual implica que la curva es cóncava hacia arriba. El punto mínimo es m = f (c ), y la derivada de la función en este punto es 0.
Caso 2. El punto mínimo es igual a f (a) y f (b) y el punto máximo es
d i s t i n t o de
ambos, lo cual
implica que la curva es cóncava hacia abajo (o convexa). El punto máximo es M = f (c ), y la derivada de la función en este punto es 0.
Caso 3. Tanto el punto mínimo como el punto máximo son d i s t i n t o s a f (a) y f (b). Esto significa que dentro del intervalo cerrado [a, b] la función alcanza un punto máximo M = f (c 2) mayor al valor de la función en los extremos a y b y un punto mínimo m = f (c 1) menor a los mismos. Tanto en el punto máximo como en el punto mínimo, la derivada de la función es nula. Es decir, f '(c 1) = 0 y f '(c 2) = 0.
Teorema de Rolle
El teorema de Rolle dice que:
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c
(a, b) en el que f'(c) = 0.
La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos d ice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos
1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?
La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.
2. Estudiar
si
la
función
f(x)
=
x
−
x3 satisface
las
condiciones
del teorema de Rolle en los intervalos [−1, 0] y [0, 1]. en caso afirmativo determinar los valores de c.
f(x) es una función continua en los intervalos [−1, 0] y [0, 1] y derivable en los intervalos abiertos (−1, 0) y (0, 1) por s er una función polinómica.
Además se cumple que:
f(−1) = f(0) = f(1) = 0
Por tanto es aplicable el teorema de Rolle.
3. ¿Satisface la función f(x) = 1 − x las condiciones del teorema de Rolle en el intervalo [−1, 1]?
La función es continua en el intervalo [−1, 1] y derivable en (−1, 1) por ser una función polinómica.
No cumple teorema de Rolle porque f(−1) ≠ f(1).
4. Probar que la ecuació n 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 = 0 tiene una única solución.
Vamos a demostrarlo por reducción al absurdo.
Si la función tuviera dos raíces distintas x 1 y x 2 , siendo x 1 < x 2 , tendríamos que:
f(x 1 ) = f(x 2 ) = 0
Y como la función es continua y derivable por ser una función polinómica, podemos aplicar el teorema del Rolle , que diría que existe un c
(x1 , x 2 ) tal
que f' (c) = 0.
f' (x) = 2 + 6x + 12x 2 f' (x) = 2 (1+ 3x + 6x 2 ).
Pero f' (x) ≠ 0, no admite soluciones reales porque el discrimínante es negativo:
Δ = 9 − 24 < 0.
Como la derivada no se anula en ningún valor está en contradicción con el teorema de Rolle, por lo que la hipótesis de que existen dos raíces es falsa.
5. ¿Cuántas raíces tiene la ecuación x 3 + 6x 2 + 15x − 25 = 0? La función f(x) = x 3 + 6x 2 + 15x − 25 es continua y derivable en
·
Teorema de Bolzano.
f(0) = −25
f(2) = 37
Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 2).
Teorema de Rolle .
f' (x) = 3x 2 + 12x +15
Dado que la derivada no se anula, ya que su discriminante es negativo, la función es estrictamente creciente y posee una única raíz.
6. Demostrar que la ecuación 2x 3 − 6x + 1 = 0 una única solución real en el intervalo (0, 1).
La función f(x) = 2x 3 − 6x + 1 es continua y derivable en
·
Teorema de Bolzano.
f(0) = 1
f(1) = −3
Por tanto la ecuación tiene al menos una solución en el intervalo (0, 1).
Teorema de Rolle.
f' (x) = 6x 2 - 6 6x 2 - 6 = 0 6(x − 1) (x + 1) = 0
La derivada se anula en x = 1 y x = −1, por tanto no puede haber dos raíces en el intervalo (0, 1).
Teorema de Rolle y Teorema del Valor Medio
Teorema de Rolle: Si una función es continua en el intervalo [a,b] y es derivable en el intervalo abierto (a,b) y si f(a) = f(b), entonces f’(c) = 0 para al menos un número c en (a,b). Ejemplos:
4
2
1) Sea f(x) = x - 2x . Demuestra que f satisface la hipotésis del teorema de Rolle en el intervalo [-2,2] y halla todos los números c en el intervalo abierto (-2,2) tal que f’(c) = 0. Solución: Como f es una función polinómica entonces es continua y derivable para todo valor x. Por tanto, es continua en [-2,2] y derivable en el intervalo (-2,2). Además, 4
2
4
2
f(-2) = (-2) - 2(-2) = 16 - 8 = 8 y, f(2) = (2) - 2(2) = 16 - 8 = 8. Por lo tanto, f(-2) = f(2) = 8. 3
Luego, f’(x) = 4x - 4x 2
= 4x(x - 1) = 4x(x + 1)(x - 1) Por lo tanto, c = 0, -1, 1. Así que, en el intervalo abierto (-2,2) la derivada es cero en esos tres puntos, esto es: f’(0) = 0, f’( -1) = 0 y f’(1) = 0. Gráficamente se puede observar que en los puntos (0,0), (-1,-1) y (1,-1) la recta tangente es horizontal.
2) ¿Se podrá aplicar el teorema de Rolle en f(x) = abs(x) en el intervalo [2,2]? Solución: No, porque la función no es derivable en x = 0. No sostiene toda la hipotésis del teorema, por tanto, no se satisface la conclusión. 2
3) Determina el intervalo para f(x) = x - 3x + 2 en donde se puede aplicar el teorema de Rolle. Halla el valor c en el intervalo tal que f’(c) = 0.
Solución: Como f es continua y derivable por ser una función polinómica, entonces el teorema de Rolle garantiza la existencia de al menos un valor c. Para hallar el intervalo se iguala la función a cero y se factoriza. Esto es: 2
x - 3x + 2 = 0 (x - 2)(x - 1) = 0 x - 2 = 0, x - 1 = 0 x=2,x=1 Por tanto, el intervalo es (1,2). Luego, f’(x) = 2x - 3 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 1.5 Así que c = 1.5.
Teorema del valor medio: Si f es una función continua en [a,b] y derivable en el intervalo abierto (a,b), existe un número c en (a,b) tal que:
3
Ejemplo: Si f(x) = x - 8x - 5, demuestra que f satisface la hipotésis del teorema del valor medio en el intervalo [1,4] y halla un número c en el intervalo abierto (1,4) que satisfaga la conclusión del teorema. Solución: Como f es polinómica, es continua y derivable en todos l os números reales. Entonces, es continua en [1,4] y derivable en el intervalo abierto (1,4). De acuerdo con el teorema existe un número c en el intervalo abierto (1,4), tal que:
Entonces:
Ejercicio para entregar: 1. 2.
Señala porqué el teorema de Rolle no se puede aplicar a la función f(x) = x2 - 2x + 1 en el intervalo [-2,1]. Decide si el teorema del valor medio es aplicable a la función f(x) = x 2 + 2x en el intervalo [-2,2]. Verifica tu respuesta.
Esta sección esta dedicada a el desarrollo de los teoremas que giran alrede dor del tema de máximos y mínimos. En especial, se recomienda no omitir el teorema de Rolle ya que este teorema es uno de los más importantes para construir los conceptos de máximos y mínimos de una función.
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La derivada del extremo.
Sea una función f continua en algún intervalo [a,b]. Por ser continua es derivable. Es intuitivo pensar que si la función esta definida en tal inte rvalo entonces también debe de haber un máximo para dicha función. Es decir
para todo x en [a,b]. Podemos además decir que si c no es ni a ni b, es decir si c esta en el intervalo abierto (a,b), entonces el gráfico será el siguiente:
Resulta lógico entonces suponer que la tangente al gráfico en (c,f(c)) es paralelo al eje x .
Sin embargo, si el máximo se e ncuentra en un punto terminal, a o b entonces la derivada no tiene por que ser igual a cero.
Cuando el punto máximo o mínimo ocurre en un punto interior del intervalo podemos hacer referencia al siguiente teorema:
Teorema del extremo interior
Sea f una función definida al menos en un intervalo abierto ( a,b). Si f toma un valor extremo en un punto c de ese intervalo y si existe f´(c) entonces
f´(c) = 0
Para construir el concepto de máximo o de mínimo es necesario construir la definición de cuerda de f .
Definición de cuerda de f . Un segmento que une dos puntos del gr áfico de una función f se le llama cuerda de f.
Podemos observar, nuevamente de manera intuitiva que si existe al m enos una tangente horizontal. Por ello presentamos el siguiente enunciado conocido como el teorema de Rollo (matemático del siglo XVII)
Teorema de Rolle: Sea f una función sobre un intervalo cerrado [a,b], con derivadas en todo x del intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al menos un punto c en (a,b) tal que:
f´(c) = 0
Ejemplo:
2
Verificar el teorema de Rolle para f(x)=x +1 en el intervalo cerrado [-1,1].
Primero sabemos que la función, con dominio todos los números reales, y der ivable en todo punto.
la derivada de esta función es: f´(x)=2x
lo que nos conduce a obtener la posición en la que f´(x)=0.
´(x)=2x=0
entonces x=0 lo cual indica que la función tiene un máximo o un mínimo en dicho
intervalo.
El presente teorema permite re alizar una generalización del teorema de Rolle. Como se había mencionado el teorema de Rolle garantiza que si el grafico de una cuerda es horizontal entonces la función tiene una derivada a paralela al eje de las x´s.
Teorema del valor medio:
Sea f una función continua en algún intervalo cerr ado [a,b], y derivable en (a,b). Entonces existe al menos un punto c en el intervalo abierto (a,b) tal que:
Nota: Esta idea intuitiva es muy similar a la generada para construir el concepto de derivada, a través del concepto de Leibnitz.
en el gráfico (a,f(a)) y (b,f(b)) son puntos terminales de la cuerda, mas o bjetivamente si la cuerda y la tangente son paralelas entonces, ambas tienen la misma pendiente y basta con observar la pendiente en una de ellas para determinar e l valor de la derivada. Por ejemplo observemos el triangulo formado:
Ejemplo:
2
Verificar el teorema del valor medio para f(x)=x +2x+1 para a=1 y b=2
2
(1)=1 +2+1=4 y 2
(2)=2 +2(2)+1=9
De acuerdo al teorema del valor medio hay al menos un número c entre a=1 y b=2 tal que:
Encontremos explícitamente el valor de la derivada
’(x)=2x+2
lo que conduce a resolver la e cuación:
´(x)= 2x+2 = 5
por lo que en x =3/2 por lo que existe un valor c para el que se cumple el teorema de Rolle.
