EL TEOREMA DEL TRANSPORTE DE REYNOLDS
Con frecuencia, en la termodinámica y la mecánica de los sólidos, se trabaja con un sistema (también llamado sistema cerrado), que se define como una cantidad de materia de masa fija. En la dinámica de fluidos es más común que se trabaje con un volumen de control (también conocido como un sistema abierto), el cual se define como una región en el espacio elegida para su estudio. El tamaño y la forma de un sistema pueden cambiar durante un proceso, pero nada de masa cruza sus límites. Por otra parte, en un volumen de control se permite que la masa entre o salga a través de sus límites, los cuales se conocen como superficies de control. Un volumen de control también puede moverse y deformarse durante un proceso, pero numerosas aplicaciones del mundo real se relacionan con volúmenes de control fijos e indeformables. En la figura 4-52 se ilustra un sistema y un volumen de control para un desodorante que se rocía desde una lata. Cuando se analiza el proceso de atomización, una elección natural para el análisis es el fluido en movimiento y deformación (un sistema) o el volumen limitado por las superficies interiores de la lata (un volumen de control). Estas dos selecciones son idénticas antes de atomizar el desodorante. Cuando se descarga algo del contenido de la lata, en el enfoque de sistema se considera la masa descargada descargada como parte de ese sistema y se le sigue el rastro (una labor en verdad difícil); por lo tanto, la masa del sistema permanece constante. Desde el punto de vista conceptual, esto equivale a sujetar un globo sin inflar a la boquilla de la lata y dejar que el líquido atomizado lo infle. La superficie interior del globo ahora se convierte en parte del límite del sistema. Sin embargo, en el enfoque de volumen de control no se tiene interés en lo absoluto acerca del desodorante que ha escapado de la lata (otro interés que no sea el de sus propiedades a la salida) y de donde la masa del volumen de control disminuye durante este proceso, en tanto que su volumen permanece constante. Por lo tanto, en el enfoque de sistema se trata el proceso de atomización como una expansión del volumen del propio sistema, en tanto que en el de volumen de control se le considera como una descarga de fluido a través de la superficie de control de ese volumen que se considera fijo.
En la mecánica de fluidos, con frecuencia es más conveniente trabajar con volúmenes de control y, por lo tanto, surge la necesidad de relacionar los cambios en un volumen de control con los cambios en un sistema. La relación entre las razones de cambio respecto del tiempo de una propiedad extensiva para un sistema y para un volumen de control se expresa por el teorema del transporte de Reynolds (RTT, Reynolds transport theorem), el cual proporciona el vínculo entre los enfoques de sistema y de volumen de control (Fig. 4-53). El RTT recibe ese nombre en honor al ingeniero inglés Osborne Reynolds (1842-1912), quien realizó un gran esfuerzo por avanzar su aplicación en la mecánica de fluidos.
La forma general del teorema del transporte de Reynolds se puede deducir cuando se considera un sistema con una forma e interacciones arbitrarias, pero la deducción es bastante complicada. Para captar el significado fundamental del teorema, primero se le deduce de manera directa, usando una configuración geométrica sencilla y, a continuación, generalizando los resultados. Considere el flujo de izquierda a derecha por una porción divergente (en expansión) de un campo de flujo como se ilustra en la figura 4-54. Los límites superior e inferior del fluido que se considera son líneas de corriente del flujo y se supone que éste es uniforme a través de cualquier sección transversal entre estas dos líneas. Se elige el volumen de control como un volumen fijo entre las secciones (1) y (2) del campo de flujo. Tanto la sección (1) como (2) son normales a la dirección del flujo. En algún instante inicial t, el sistema coincide con el volumen de control y, por lo tanto, los dos son idénticos (la región sombreada de color gris en la figura 4-54).
Durante el intervalo de tiempo Δt, el sistema se mueve en la dirección del flujo, con velocidades uniformes V1 en la sección (1), y V2 en la sección (2). El sistema en este instante ulterior está indicado por la región sombreada con rectas inclinadas. La región descubierta por el sistema durante este movimiento está designada como sección I (forma parte del VC) y la nueva región cubierta por el sistema está designada como sección II (no forma parte del VC). Por lo tanto, en el instante t +Δt, el sistema consiste en el mismo fluido, pero ocupa la región CV- I +II. El volumen de control está fijo en el espacio y en todo instante continúa siendo la región sombreada de color gris que se ha marcado como CV. Represente por B cualquier propiedad extensiva (como la masa, la energía o la cantidad de movimiento) y sea b=B/m la propiedad intensiva correspondiente. Cuando se observe que las propiedades extensivas son aditivas, la propiedad extensiva B del sistema, en los instantes t y t +Δt se puede expresar como: (el sistema y el VC (volumen de control) coinciden en el instante t)
Cuando se resta la primera ecuación de la segunda y se divide entre Δt da:
Se toma el límite cuando Δt → 0, y se utiliza la definición de derivada, se obtiene:
la componente normal de la velocidad. Entonces, por integración se determina que la razón neta de flujo de salida a través de toda la superficie de control (SC) es (Fig. 4-55):
Por tanto, el término dB CV/dt de la ecuación 4-38 es igual a
RTT, VC fijo:
RTT alternativo, VC fijo:
Velocidad relativa:
Donde V → SC es la velocidad local de la superficie de control (Fig. 4 -57). De donde, la forma más general del teorema del transporte de Reynolds es:
RTT, VC no fijo:
Durante el flujo estacionario, la cantidad de la propiedad B que está dentro del volumen de control permanece constante en el tiempo y la derivada respecto del tiempo de la ecuación 4-44 resulta cero. Entonces el teorema del transporte de Reynolds se reduce a:
RTT, flujo estacionario:
Note que, a diferencia del volumen de control, el contenido de la propiedad B del sistema inclusive puede cambiar con el tiempo durante un proceso estacionario. Pero, en este caso, el cambio debe ser igual a la propiedad neta transportada por la masa a través de la superficie de control (un efecto convectivo en lugar de un efecto no estacionario). En la mayoría de las aplicaciones prácticas del RTT a la ingeniería, el fluido cruza el límite del volumen de control en un número finito de admisiones y salidas bien definidas (Fig. 4-59). En esos casos, es conveniente cortar la superficie de control directamente a través de cada admisión y cada salida, y reemplazar la integral de superficie de la ecuación 4-44 con expresiones algebraicas aproximadas en cada una de ellas, basadas en los valores promedios de las propiedades del fluido que cruza la frontera. Defina ρ prom, b prom y Vrprom como los valores promedio de ρ, b y Vr, respectivamente, a través de una admisión o de una salida con área A de la sección transversal.
Entonces, se tiene una aproximación de las integrales de superficie del RTT, cuando se aplican sobre una admisión o una salida de área A de la sección transversal, extrayendo la propiedad b de la integral de superficie y reemplazándola con su promedio. Ésta conduce a:
Donde ṁr es el gasto de masa a través de la admisión o de la salida en relación con la superficie de control (en movimiento). La aproximación en esta ecuación es exacta cuando la propiedad b es uniforme sobre el área A de la sección transversal.
RTT aproximado para admisiones y salidas bien definidas:
