Teorema fundamental del álgebra
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Teorema fundamental del álgebra El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y con coeficientes complejos, tiene tantas raíces
[1]
dado un polinomio complejo
como indica su grado, contando las raíces con sus multiplicidades. En otras palabras, de grado
, la ecuación
tiene exactamente
soluciones
complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente: • El cuerpo cuerpo de los complej complejos os es cerrado cerrado para para las operac operaciones iones algebra algebraicas. icas. • Todo Todo polin polinomi omio o comp complej lejo o de grado grado n se puede expresar como un producto de
n polinomios de la forma
. El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: Todo polinomio en una variable de grado n ≥ 1 con coeficientes reales o complejos tiene por lo menos una raíz (real o compleja).
[2]
Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales. El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema del análisis matemático que del álgebra.
Historia Pedro Rothe (Petrus (Petrus Roth), Roth), en en su libro Arithmetica polinómica de grado
Philosophica (publicado en 1608), escribió que una ecuación (con coeficientes reales) puede tener soluciones. Alberto Girardo, en su libro L'invention
nouvelle en l'Algebre (publicado en 1629), aseveró que una ecuación de grado
tiene
soluciones, pero no
menciona que dichas soluciones deban ser números reales. Más aún, él agrega que su aseveración es válida "salvo que la ecuación sea incompleta", con lo que quiere decir que ninguno de los coeficientes del polinomio sea igual a cero. Sin embargo, cuando explica en detalle a qué se está refiriendo, se hace evidente que el autor piensa que la aseveración siempre es cierta; en particular, muestra que la ecuación
a pesar de ser incompleta, tiene las siguientes cuatro soluciones (la raíz 1 tiene multiplicidad 2):
Leibniz en 1702 y más tarde Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrario. Como se mencionará de nuevo más adelante, se sigue del teorema fundamental del álgebra que todo polinomio con coeficientes reales y de grado mayor que cero se puede escribir como un producto de polinomios con coeficientes reales del cual sus grados son 1 ó 2. De todas formas, en 1702 Leibniz dijo que ningún polinomio de tipo (con
a real y distinto de 0) se puede escribir en tal manera. Luego, Nikolaus Bernoulli hizo la misma afirmación
concerniente al polinomio
, pero recibió una carta de Euler en 1742 en el que le decía
que su polinomio pasaba a ser igual a: con α igual a raíz cuadrada de 4 + 2 √7. Igualmente mencionó que:
El primer intento que se hizo para demostrar el teorema lo hizo d'Alembert en 1746. Su demostración tenía un fallo, en tanto que asumía implícitamente como cierto un teorema (actualmente conocido como el teorema de Puiseux) que no sería demostrado hasta un siglo más tarde. Entre otros Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) y Laplace (1795) intentaron demostrar este teorema.
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A finales del siglo XVIII, se presentaron dos nuevas pruebas, una por James Wood y otra por Gauss (1799), pero ambas igualmente incorrectas. Finalmente, en 1806 Argand publicó una prueba correcta para el teorema, enunciando el teorema fundamental del álgebra para polinomios con coeficientes complejos. Gauss produjo otro par de demostraciones en 1816 y 1849, siendo esta última otra versión de su demostración original. El primer libro de texto que contiene la demostración de este teorema fue escrito por Cauchy. Se trata de
Course
d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prueba es la debida a Argand, pero sin embargo en el texto no se le da crédito. Ninguna de las pruebas mencionadas más arriba son constructivas. Es Weierstrass quien por primera vez, a mediados del siglo XIX, menciona el problema de encontrar una prueba constructiva del teorema fundamental del álgebra. En 1891 publica una demostración de este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser consigue otra prueba de este estilo, que luego sería simplificada por su hijo Marin Kneser en 1981.
Demostración Sea
un polinomio de grado
positivo
Si
.
es una función entera. Para cada constante positiva
tal que
no tiene raíces, la función
real
, es una función entera con la propiedad de que para cualquier número
mayor que cero, existe un número positvo
Concluimos que la función acotada, entonces, De manera que
donde
, existe un número real
tal que
es acotada. Pero el teorema de Liouville dice que si
es una función entera y
es constante y esto es una contradicción.
no es entera y por tanto
es una raíz de
y
tiene al menos una raíz.
es un polinomio de grado
se puede escribir por tanto como el producto
. Por el argumento anterior, el polinomio
a su
vez tiene al menos una raíz y se lo puede factorizar nuevamente. Repitiendo este proceso
donde
...
veces,
son las raíces de
[3]
concluimos que el polinomio p puede escribirse como el producto
(no necesariamente distintas) y
es una constante.
Corolarios Como el teorema fundamental del álgebra puede ser visto como la declaración de que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado, se sigue que cualquier teorema concerniente a cuerpos algebraicamente cerrados aplican al cuerpo de los números complejos. Se muestran aquí algunas consecuencias del teorema, acerca del cuerpo de los números reales o acerca de las relaciones entre el cuerpo de los reales y el cuerpo de los complejos: • El cuerpo de los números complejos es la clausura algebraica del cuerpo de números reales. • Todo polinomio en una variable con
con coeficientes reales es el producto de un polinomio constante de la forma
real, y polinomios de la forma
mismo que decir que el polinomio • Toda función racional en una variable
con
,
,y
(que es lo
, con coeficientes reales, se puede escribir como la suma de una función
números reales), y funciones racionales de la forma ,
reales y
no tiene raíces reales).
polinómica con funciones racionales de la forma
natural, y
y
son números reales tales que
(donde
es un número natural, y (donde
y
es un número
). Un corolario de esto es que toda
función racional en una variable y coeficientes reales tiene una primitiva elemental.
son
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• Toda extensión algebraica del cuerpo de los reales es isomorfa al cuerpo de los reales o al cuerpo de los complejos.
Referencias [1] Se dice que el número
es una raíz de un polinomio
si
.
[2] J. Rey Pastor, P. Pi Calleja, C. A. Trejo. Análisis matemático. I. Buenos Aires: Kapelusz. §18-1. El texto dice: Toda ecuación algebraica en
una incógnita z de grado n ≥ 1.... La cita fue adaptada al contexto del artículo. [3] En el último paso, lo que queda es un polinomio de grado uno multiplicado por una constante
Enlaces externos • Fundamental Theorem of Algebra (http:/ / www.cut-the-knot.org/ do_you_know/ fundamental2.shtml) — a collection of proofs (en inglés) • D. J. Velleman: The Fundamental Theorem of Algebra: A Visual
Approach, PDF (unpublished paper) (http:/ /
www.cs.amherst.edu/ ~djv/ ), visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs (en inglés) • Weisstein, Eric W. « Fundamental Theorem of Algebra (http:/ / mathworld.wolfram.com/ FundamentalTheoremofAlgebra.html)» (en inglés). MathWorld . Wolfram Research.
Fuentes y contribuyentes del artículo
Fuentes y contribuyentes del artículo Teorema fundamental del álgebra Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=62830610 Contribuyentes: .Sergio, Anstarpo3, Arapajoe, Ascánder, Bermudob, Cdomarchi, Davidsevilla, Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Eli22, Farisori, GermanX, Ggenellina, Grillitus, Helmy oved, Humberto, Ialad, Ingenioso Hidalgo, Isha, JacoboCA, Jhnieto, Jkbw, JorgeGG, Joseaperez, Joselarrucea, Jtico, Juan Mayordomo, Luis Cortés Barbado, Markoszarrate, Marsal20, Moriel, Mpagano, Petronas, Raulshc, Revenga10V, Romero Schmidtke, Rovnet, Sabbut, Schummy, Soteke, Sylfred1977, Tentenpie, Tomatejc, Youssefsan, 97 ediciones anónimas
Licencia Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported //creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/
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