SEP
TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TOLUCA UNIDAD I: Teorema Fundamental del Cálculo 1.1 Teorema Fundamental Fun damental del Cálculo Ingeniería Mecatrónica Cálculo Integral Grupo: 160202 Profesor: Ramírez Ruíz Francisco Javier Alumna: González Cuenca Rocío Lizet
Metepec, Estado de México, 9 de marzo de 2015
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO
El Teorema fundamental del Cálculo, como su nombre lo indica es un importante resultado que relaciona el Cálculo Diferencial con el Cálculo Integral. La conexión que hay entre integración y derivación es, de algún modo, análoga a la que hay entre 'elevar al cuadrado' y la 'raíz cuadrada'. Si elevamos al cuadrado un número positivo y después tomamos la raíz cuadrada del resultado, obtenemos el número original. De igual modo, si integramos una función continua obtenemos una nueva función (una integral indefinida de f) y si diferenciamos esta función obtenemos la función original. Esta conexión entre diferenciación e integración es muy sorprendente. La integración está relacionada con la suma de muchos números pequeños (por ejemplo, cuando calculamos un área, la longitud de una curva, etc.) y la diferenciación es la tasa de variación instantánea (una interpretación gráfica de la derivada es la pendiente de la tangente a la curva). El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que estos dos conceptos están íntimamente relacionados.
Teorema Fundamental del Cálculo (Pt-1) Sabemos que si f es integrable, entonces F(x) [una integral indefinida] es continua. Nos podemos preguntar qué ocurre cuando la función original f es continua. Resulta que F es diferenciable (y que su derivada es especialmente simple).[Spivak] Sea f una función integrable en [a, b], y definimos una nueva función F en [a, b] por:
Si c pertenece a [a, b] y f es continua en c, entonces F es diferenciable en c, y
Una demostración visual conocida asume que la función f es continua en un entorno del punto. Si c es un punto de (a, b), mirando la imagen podemos aceptar que:
Si h es suficientemente pequeño (h tendiendo a 0):
Dividiendo entre h:
Si f tiene mejores propiedades, por ejemplo, si f es continua en todos los puntos de [a, b], entonces F es diferenciable en todos los puntos de (a,b) y
Ó
La idea es empezar con una función f:
Considerando una integral indefinida F:
En un punto diferenciamos esta función F (gráficamente estamos considerando la pendiente de la recta tangente):
Entonces:
Este Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que toda función continua tiene una antiderivada y nos muestra cómo construir una usando una integral indefinida. Incluso funciones no diferenciables con esquinas, tales como el valor absoluto tienen una antiderivada. Muchas veces el problema es cómo encontrar una antiderivada de una función, es decir, dada una función f(x), encontrar una función F(x) tal que F'(x) = f(x).
Demostración Sea integrable sobre
y
Entonces:
Por definición se tiene que:
.
Sea h>0, entonces:
.
Se define
y
como:
Aplicando el 'lema' se observa que
. Por lo tanto:
Sea
.
Sean:
.
Aplicando el 'lema' se observa que
.
Como
Entonces: .
Puesto que
, se tiene que
.
Y como es continua en c se tiene que:
,
Y esto lleva a que:
Teorema Fundamental del Cálculo (Pt-2): Cálculo de integrales definidas El Primer Teorema Fundamental del Cálculo afirma que se puede construir una primitiva de cualquier función continua por integración. Cuando esto se combina con el hecho de que dos primitivas de la misma función son iguales salvo por una constante, se obtiene el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. (Apostol) El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo dice: Supongamos que f es continua en un intervalo abierto I, y sea P cualquier primitiva (una integral indefinida, P'=f) de f en I. Entonces, para cada a y cada b en I , tenemos que
La demostración no es difícil, sea:
Entonces, por el Primer Teorema del Cálculo:
Existe una constante C tal que:
Podemos calcular C pues:
Entonces C es:
Podemos escribir:
Esta expresión es verdadera para x=b, y ya hemos obtenido el resultado buscado:
Este teorema nos dice que podemos calcular el valor de una integral definida simplemente restando, si conocemos una primitiva (antiderivada) F. El problema de calcular una integral se transfiere a otro problema, el de calcular una primitiva F de f. Podemos leer cada fórmula de derivada al revés y nos dará un ejemplo de primitiva de una función f y esto nos dará una fórmula para integrar esa función. (Apostol) El Segundo Teorema Fundamental del Cálculo nos proporciona una poderosa herramienta para calcular integrales definidas exactamente pero es útil solo si podemos encontrar una primitiva para la función que queremos integrar. Algunas veces esto es una tarea sencilla pero otras veces es difícil. Para poder usar este teorema para calcular integrales definidas debemos desarrollar procedimientos que nos ayudan a encontrar primitivas. A esto se le llama Técnicas de integración . “
Un ejemplo básico:
”
Otro ejemplo sencillo: sabemos que Arquímedes fue capaz de calcular el área de un segmento parabólico. Ahora podemos usar el Teorema Fundamental del Cálculo para calcular esta área:
Lo primero que tenemos que hacer es encontrar la de la parábola (un polinomio de segundo grado):
Queremos evaluar el área usando la integral:
El cálculo es sencillo pues es una función polinómica:
Hemos considerado un Segundo Teorema Fundamental del Cálculo con unas hipótesis sencillas. En cualquier buen libro de cálculo se puede ver que este teorema aplica a todas las funciones integrables (no necesariamente continuas). Con esta hipótesis el teorema es más difícil de probar.
Demostración Considere la siguiente primitiva de definida en el intervalo . Esto debido al primer teorema fundamental del cálculo el cual establece que:
. Como
y
son primitivas de , entonces .
Observe que
y de eso se sigue qué
; por lo tanto, .
Y en particular si
:
Fuentes de referencia: http://www.matematicasvisuales.com/html/analisis/ftc/ftc2.html http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_fundamental_del_c%C3%A1lc ulo#Demostraci.C3.B3n http://www.ieseugeni.cat/pluginfile.php/56255/mod_resource/content/1/Integrals% 20i%20teorema%20fonamental%20del%20c%C3%A0lcul.pdf http://www.wikimatematica.org/index.php?title=Teorema_fundamen tal_del_c%C3%A1lculo
