Aplicaciones del Teorema de Bernoulli INTRODUCCIÓN Cuándo la velocidad de un fluido en cualquier punto dado permanece constante en el transcurso del tiempo, se dice que el movimiento del fluido es uniforme. Esto es, en un punto dado cualquiera, en un flujo de régimen estable la velocidad de cada partícula de fluido que pasa es siempre la misma. En cualquier otro punto puede pasar una partícula con una velocidad diferente, pero toda partícula que pase por este segundo punto se comporta allí de la misma manera que se comportaba la primera partícula cuando pasó por este punto. Estas condiciones se pueden conseguir cuando la velocidad del flujo es reducida. Por otro lado, en un flujo de régimen variable, las velocidades son función del tiempo. En el caso de un flujo turbulento, las velocidades varían desordenadamente tanto de un punto a otro como de un momento a otro. ECUACIÓN DE BERNOULLI La dinámica de los líquidos, está regida por el mismo principio de la conservación de la energía, el cual fue aplicado a ellos por el físico suizo Daniel Bernoulli (1700-1782), obteniendo como resultado una ecuación muy útil en este estudio, que se conoce con su nombre.Para ello se puede considerar los puntos 1 y 2, de un fluido en movimiento, determinando la energía mecánica de una porción de éste, a lo largo del filete de fluido en movimiento que que los une.Si m es la porción de masa considerada, considerada, su rapidez, la altura sobre el nivel tomado tomado como base, la presión y la densidad en cada uno de los puntos, se puede escribir escribir utilizando el teorema trabajo-energía cinética:
Si ahora se divide a todos los términos de los dos miembros, entre la masa considerada, se obtendrá la ecuación de Bernoulli, que corresponde a la ley de la conservación de la energía por unidad de masa. Si el fluido es incompresible, como supondremos en lo sucesivo, donde PEGAR IMAGEN 2500
la ecuación de Bernoulli adopta la forma: Así como la estática de una partícula es un caso particular de la dinámica de la partícula, igualmente la estática de los fluidos es un caso especial de la dinámica de fluidos. Por lo tanto, la ecuación (6.10) debe contener a la ecuación (6.5) para la ley de la variación de presión con la altura para un fluido en reposo. En efecto, considerando un fluido en reposo, reposo, y reemplazando en la ecuación de Bernoulli, se obtiene:
que es precisamente la ecuación fundamental de la estática de fluidos.Ejemplos:
1. La presión del agua que entra a un edificio es 3 atmósfera, atmósfera, siendo el diámetro diámetro de la tubería tubería 2[cm] y su rapidez de . Si el baño de un departamento del 4º piso está a 6[m] de la entrada y la tubería tiene un diámetro de 4 [cm], calcule:a. La presión y rapidez rapidez del agua en el baño,b. baño,b. La presión en el baño si si se corta el agua a la entrada.olución.a. entrada.olución.a. Usando la ecuación de Bernoulli a la entrada entrada (región 1) y en el baño del 4º piso (región):
y la ecuación de continuidad,
onde encontramos:
b. Si el agua se corta en la entrada, donde donde V 1 = 0 ,
APLICACIONES DEL TEOREMA DE BERNOULLI JUNTO CON EL TUBO DE VENTURI.-
La utilización de un tubo de Venturí en el carburador de un automóvil , es un ejemplo familiar del teorema de Bernoulli. La presión del aire, que pasa a través del cuerpo del carburador, disminuye cuando pasa por un estrangulamiento. La disminución de presión permite que fluya la gasolina, se vaporice y se mezcle con la corriente de aire.
- TUBO DE VENTURI Un venturi es un dispositivo que clasicamente incorpora una simple convergencia y divergencia a travez de una sección y usa los principios de Bernoulli para relacionar la velocidad con la presión del fluido. Este principio se basa en que cuando el gas o liquido en movimiento, baja su presión y aumenta su velocidad. Un tubo de venturi es usado para medir la velocidad del flujo de un fluido. En la garganta, el area es reducida de A1 a A2 y su velocidad se incrementa de V1 a V2. En el punto 2, donde la velocidad es máxima, la presión es mínima. Esto lo sabemos de la ecuación de Bernoulli.
Este dispositivo se utiliza para medir el gasto de una tubería. Al escurrir el fluido de la tubería a la garganta,
la velocidad aumenta notablemente, y en concecuencia, la presión dismiuye; el gasto transportado por la tubería en el caso de un flujo incompresible esta en función de la lectura del manómetro. Las presiones en la seccion 1 y en la garganta (sección 2) son presiones reales, en tanto que las velocidades correspondientes obtenidas en la ecuación de Bernoulli sin un término de pérdidas son velocidades teóricas. Si se consideran las pérdidas en la ecuación de la energía entonces se trata de velocidades reales. En lo que sigue se obtendrá primero la velocidad teórica en la garganta al aplicar la ecuación de Bernoulli sin el término de pérdidas. Multiplicando este valor por el coeficiente Cv, se determinará la velocidad real. Esta última, multiplicada por el área real de la garganta, permite obtener el gasto que circula por la tubería. Nota: Para obtener resultados precisos, el tubo de Venturi debe estar precedido por una longitud de al menos diez veces en diametro de la tubería.
Donde V1, V2, p1 y p2 son las velocidades y presiones en las secciones 1 y 2 respectivamente. Esta ecuación incorpora la concervación de la energía para fluidos. Usaremos la ecuación de continuidad para flujo de fluidos. Esta se basa en que con ausencia de pérdida de masa, el flujo de fluido que entra en una región dada debe ser igual al que sale.
Para flujo incompresible: Juntando la ecuación de Bernoulli con la de continuidad, se tendrá:
Por otro lado la diferencia manométrica h se puede relacionar con la diferencia de presiones al escribir la ecuación del manómetro. De este modo se obtiene una expresión para el gasto. Donde S0 es la gravedad específica del liquido en el manómetro y S1 es la gravedad específica del líquido a travez de la tubería. Esta expresión que constituye la ecuación del tubo de venturi para flujo incompresible. El gasto depende de la diferencia manométrica h. El coeficiente Cv se determina mediante un método de calibración (número de Reynolds).
- Aplicando la ecuación de Bernoulli y continuidad en los puntos 1 y 2, los cuales están a una misma altura:
Reemplazando (2) en (1), encontramos:
Despejando, por ejemplo, , se tiene: tiene:
Por otro lado, usando usando el manómetro para determinar la diferencia de presiones , encontramos que como los niveles A y B están a una misma altura:
Por lo tanto,
que al reemplazar en ecuación (3) resulta:
- AERODINÁMICA Daniel Bernoulli (1700 -1782) fue el primero en desarrollar una teoría y una fórmula matemática para mostrar la relación entre la velocidad y la presión de un fluido: cuando la velocidad del flujo aumenta, la presión disminuye, y cuando la velocidad disminuye, la presión aumenta. Esto fue un descubrimiento muy importante. Más personas comenzaron a experimentar con el vuelo, y a estas personas les fue posible utilizar el teorema de Bernoulli para diseñar los perfiles aerodinámicos. El teorema muestra cómo se crea la sustentación cuando una corriente aérea pasa sobre una ala. Ésta fue la información vital requerida para hacer el vuelo posible.
El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una línea de corriente. corriente . Fue expuesto por Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738 1738)) y expresa que en un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido. La energía de un fluido en cualquier momento consta de tres componentes: 1.- Cinético: es la energía debida a la velocidad que posea el fluido. 2.- Potencial gravitacional: es la energía debido a la altitud que un fluido posea. 3.- Energía de flujo: es la energía que un fluido contiene debido a la presión que posee. La siguiente ecuación conocida como "Ecuación de Bernoulli" (Trinomio de Bernoulli) consta de estos mismos términos.
donde:
•
V = velocidad del fluido en la sección considerada. g = aceleración gravitatoria z = altura en la dirección de la gravedad desde una cota de referencia. P = presión a lo largo de la línea de corriente.
•
ρ = densidad del fluido.
• • •
Para aplicar la ecuación se deben realizar los siguientes siguientes supuestos: •
Viscosidad (fricción interna) = 0 Es decir, se considera que la línea de corriente sobre la cual se aplica
se encuentra en una zona 'no viscosa' del fluido. • • •
Caudal constante Fluido incompresible - ρ es constante. La ecuación se aplica a lo largo de una línea de corriente. corriente .
Aunque el nombre de la ecuación se debe a Bernoulli, Bernoulli, la forma arriba expuesta fue presentada en primer lugar por Leonhard Euler. Euler . Un ejemplo de aplicación del principio lo encontramos en el Flujo de agua en tubería .
