Teorema fundamental fundamenta l del álgebra Artículo de la Enciclopedia Libre Universal Un iversal en Español.
El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente: Todo polinomio de grado
n,
con coeficientes complejos, tiene exactamente
n
raíces, no forzosamente distintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad. Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo): x3 í 2 x2 í 4 x + 8 = ( x x í 2)2( x x + 2)
tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces. En otras palabras, todo polinomio:
se puede factorizar completamen co mpletamente, te, así: , con los zi complejos, y
.
Los números complejos fueron inventados justamente para encontrar raíces de polinomios reales: i es por construcción una raíz de x2 + 1. Lo extraordinario del teorema es que no hace falta inventar un número para cada polinomio real que se quiera factorizar, porque con todas las combinaciones lineales entre
i
y
1
(es decir con los
a
+ bi) se puede factorizar
todos los polinomios reales, y también complejos. Esa propiedad significa que el cuerpo de los complejos es algebra icamente cerrado: errado: no se puede salir de él buscando raíces de polinomios, que es la operación algebraica por excelencia. Se tardaron dos siglos para completar la prueba de este teorema, del diecisiete al diecinueve. Figuras destacadas en esta labor fueron d'Alembert y Gauss, este último encontró distintas pruebas. En algunos países el teorema lleva el
nombre de
teorema de d'Alembert Gauss
(o en el orden inverso, o con un
solo apellido). Hoy en día la prueba más elegante está basada en la inducción, y su primer paso es demostrar que un polinomio no constante (es decir de grado superior o igual a uno) debe tener una raíz, gracias al teorema de Liouville aplicado a la función inversa del polinomio, que es una función holomórf ica, es decir derivable en el sentido complejo. Luego se factoriza la función P ( x) por x í r , donde r es la raíz que acabamos de encontrar, y se repite la operación con el cociente:
que es un polinomio de grado menor al de P ( x). Existen pruebas puramente algebraicas, que no emplean herramientas tan elaboradas (y posteriores al teorema).
Teorema del residuo y del factor Antecentes
Para hacer comprobaciones sobre lo que se verá en éste tema se puede usar nuestra calculadora de división sintética. Si dividimos el polinomio 3 2 2x - 4 x - 3x + 2 entre el polinomio x - 3
2
encontramos que el cociente es 2x + 2x + 3 y que el residuo es 11. Por otra parte, si evaluamos numéricamente la función polinomial (x) 3 2 correspondiente al polinomio 2x - 4 x - 3x + 2 para el valor de x = 3, se obtiene ( x) = 2x3 - 4x2 - 3x + 2 ( 3) = 2( 3)3 - 4( 3)2 - 3( 3) + 2 ( 3) = 2( 27) - 4(9 ) - 9 + 2
( 3) = 54 - 36 - 9 + 2 ( 3) = 11 No
es ninguna casualidad que el residuo de la división anterior entre x - 3 y la evaluación numérica para ( 3 ) ambas den como resultado respectivamente residuo y valor numérico de 11. La explicación de esta c oinc idenc ia se encuentra en el Teorema del residuo . ¿Todavía tienes dudas sobr e este tema?
Teorema del residuo
Si se divide la función polinomial (x) entre el binomio x número real, el residuo es igual a ( a ).
a
donde
a
es un
El teorema del residuo indica que el resultado de evaluar numéricamente una función polinomial para un valor a es igual al residuo de dividir el polinomio entre x - a . Un ejemplo de esto se ilustra en la parte de arriba. Se recomienda que el lector realice otras comprobaciones. Una conclusión muy importante del teorema del residuo es se puede evaluar numéricamente una función polinomial usando la división sintética. A partir de lo anterior, si ( a ) = 0 , entonces x - a es un factor del polinomio porque el residuo es cero. Cuando se encuentra un valor de x para el cual (x) = 0 se ha encontrado una raiz del polinomio, en el supuesto anterior, a es una raiz del polinomio.
Si un polinomio se divide entre el binomio real o complejo, entonces el residuo es .
, donde es cualquier número
El teorema es muy útil en la factorización de polinomios: si (el residuo) es cero, entonces es un factor de . Nota: a este corolario del teorema del residuo se le llama teorema del factor. Instancia de uso: si queremos factorizar , buscamos por prueba y error el número que lo anula; después de uno o más intentos se ve que resulta en f(-1)=0; concluimos que es un factor de . (Para efectivamente lograr la factorización es necesario hacer la división de entre : el cociente es ; por tanto .) ¿Todavía tienes dudas sobr e este tema?
Teorema del factor
Si a es una raiz de (x), entonces x - a es un factor del polinomio, donde un número real.
a
es
Aqui podemos observar la importancia de conocer el valor del residuo, ya que si éste es igual a cero, nos va a indicar que hemos encontrado un factor del polinomio y con él, una raiz del polinomio (una solución a la ecuación polinomial (x) = 0 ). División sintética Procedimiento La división sintética es un procedimiento por medio del cual se puede dividir un polinomio de solo una indeterminada, de orden n, entre un polinomio de orden 1 de la forma x - a donde x es la indeterminada y a es un número. Este procedimiento es puramente numérico (no se requiere manejo de literales) y resulta más facil que la división de polinomios convencional. Después de realizada la división se obtiene como cociente un polinomio de orden n - 1 y el residuo que es un número.
Para ilustrar el procedimiento diviremos el polinomio 2x 4 entre el polinomio x - 3.
-
3x 3
-
15x 2 - 10 x + 6
1. Para comenzar se obtienen los coeficientes del polinomio en orden decreciente y se escriben horizontalmente separados por espacios. Si falta el término de correspondiente a algún orden, se coloca cero en su lugar. Se escribe a la izquierda separado por una línea vertical el valor de a (que es el término independiente del divisor). Se dibuja una línea horizontal por debajo de a. Con esto queda planteada la división sintética, como se muestra en la figura.
2. El primer término del polinomio se escribe tal cual debajo de la línea horizontal.
3.
Se multiplica el divisor por el número que se acaba de escribir debajo de línea horizontal. El producto se escribe arriba de la línea horizontal en la fila correspondiente al orden siguiente.
4. Se suma el coeficiente del polinomio que está justo arriba del número obtenido en el paso anterior a ese número. El resultado se escribe debajo de la línea horizontal.
5. Se repiten los pasos 3 y 4 hasta terminar escribiendo debajo de la línea horizontal la suma correspondiente al último orden.
6. Se interpreta el resultado de la división. El último número es el residuo y los números anteriores son los coeficientes del cociente de orden n - 1.
Cociente: 2 x 3 + 3 x 2 - 6 x - 28 . Residuo: - 7 8 . 2x 4 - 3x 3 - 15x 2 - 10 x + 6 = (x - 3) ( 2 x 3 + 3 x 2 - 6 x - 28 )
- 7 8
Se recomienda al lector comprobar haciendo la división convencional de polinomios y realizando el producto y la suma para verificar la igualdad escrita arriba.
Ejemplo. Dividir el polinomio x 4 - 11x 3 2 .
+
2 2 6 x + 44 x - 12 0 entre el polinomio x +
Los coeficientes del polinomio son [ 1 -11 2 6 44 12 0] y í ( í2) = x í a. La división sintética queda así:
a = í 2 porque x +
2 = x
Cociente: x 3 - 13x 2 + 52x - 60 . Residuo: 0 . la división es exacta, por eso el residuo es cero. Ejemplo. Dividir el polinomio x 3 + 1 entre el polinomio x í 1. Los coeficientes del polinomio son [1 0 0 1] (observar como se insertan ceros en las posiciones de los términos con x 2 y x ) y a = 1. La división sintética queda así:
Cociente: x 2 + x + 1. Residuo: 2 . http://schollaris.com.mx/010106divsintetica.php
