Matemáticas Discretas II Técnicas de Conteo Las técnicas de conteo son utilizadas para encontrar el número de formas diferentes de arreglar o elegir objetos de un conjunto finito de acuerdo con ciertas reglas especificadas. Las técnicas de conteo tienen amplias aplicaciones en las ciencias de la computación, principalmente en las áreas relacionadas con el análisis de algoritmos, la teoría de la probabilidad y la teoría de la codificación. Las técnicas de conteo se basan en el principio multiplicativo y en el principio aditivo.
Principio Multiplicativo: Si una actividad puede realizarse en K pasos, uno después de otro, en donde el primer paso de la actividad puede efectuarse de t1 formas diferentes, el segundo paso de t2 formas y el K-ésimo paso de tk formas, entonces la actividad puede efectuarse de:
t1*t2*t3*….tk formas diferentes El principio multiplicativo también se puede expresar en términos de conjuntos. Si A1, A2,…, Am son conjuntos finitos, entonces el número de elementos del producto cartesiano de dichos conjuntos, es el producto del número de elementos de cada conjunto. En este caso, el principio multiplicativo se expresa de la siguiente manera:
|A1x A2x…x A | |A1|.|A2|…..|A | Principio Aditivo: Si se desea llevar a cabo una actividad, la cual puede ser realizada de K formas alternativas, en donde la primera alternativa puede realizarse de N1 maneras, la segunda alternativa puede ser realizarse de N2 maneras y la K-ésima alternativa puede ser realizada de Nk maneras, entonces la actividad puede ser llevada a cabo de: N1 + N2 + ...+Nk formas diferentes El principio de la suma también se puede expresar en términos de conjuntos. Si A 1, A2,…, Am son conjuntos disjuntos dos a dos, entonces el número de elementos de la unión de estos conjuntos, es la suma del número de elementos de cada uno de ellos. En este caso, el principio aditivo se expresa de la siguiente manera:
|1 2 …
| |A1||A2| |A |
Ejemplo 1 a) ¿Cuántas cadenas de longitud tres pueden formarse con las letras XYZW, si no se permite repetir letras? Por el principio multiplicativo una cadena de longitud 3 puede formarse en tres pasos sucesivos. En el primer paso, la primera letra puede seleccionarse de 4 formas diferentes. Una vez seleccionada la primera, la segunda letra puede escogerse de 3 formas diferentes y una vez seleccionada la segunda, la tercera puede seleccionarse de 2 formas. Por lo tanto existen: 4 * 3* 2 = 24 cadenas diferentes Estas son: XYZ XYW XZY XZW XWY XWZ YXZ YXW YZW YZX YWX YWZ ZYW ZYX ZWX ZWY ZXY ZXW WYZ WYX WZX WZY WXY WXZ b)
¿Cuántas cadenas de longitud tres pueden formarse con las letras XYZW y que comiencen por la letra Z? La primera letra sólo puede escogerse de una manera, una vez seleccionada la primera, la segunda letra puede escogerse de 3 formas diferentes y una vez seleccionada la segunda, la tercera puede seleccionarse de 2 formas. Por lo tanto existen: 1 * 3* 2 = 6 cadenas diferentes
c)
¿Cuántas cadenas de longitud 3 no comienzan por la letra Z? En a) se encontró que con XYZW se pueden conformar 24 cadenas diferentes de 3 letras y en b) 6 de las 24 cadenas comienzan por Z. Por lo tanto el número de cadenas que no comienzan por Z es igual a: 24 – 6 = 18 cadenas diferentes
Ejemplo 2 a)
¿Cuántas secuencias de bits de longitud 6 que comiencen por 101 pueden formarse? Dado que los 3 primeros bits ya están definidos, el 4 bit se seleccionaría de 2 formas, el quinto de 2 formas y el sexto de 2 formas, es decir que existen: 2 x 2 x 2 = 8 secuencias de 6 bits que comiencen por 101
Estas son: 101000 101001 101010 101011 101100 101101 101110 101111 b)
¿Cuántas secuencias de 6 bits que comiencen por 101 o por 100 pueden formarse? Del ejemplo anterior, si N1 es el número de secuencias que comienzan por 101 y N2 el número de secuencias que comienzan por 100 y dado que los dos conjuntos son disjuntos, entonces por el
principio aditivo el número de secuencias que
pueden formarse es igual a: N1 + N2 = 8 + 8 = 16 Ejemplo 3 a) Suponiendo que no están permitidas las repeticiones, ¿cuántos números de tres dígitos pueden formarse a partir de los cinco dígitos 1, 3, 5, 6, 7 El primer dígito puede seleccionarse de 5 formas, una vez seleccionado el primero, el segundo dígito puede escogerse de 4 formas diferentes y una vez seleccionado el segundo, el tercer dígito puede seleccionarse de 3 formas. Por lo tanto existen: 5 * 4* 3 = 60 números diferentes de 3 dígitos b) Con los dígitos anteriores, ¿cuántos números de 3 dígitos son menores que 500? El primer dígito puede ser 1 o 3, o sea que se puede seleccionar de dos formas diferentes, el segundo dígito se puede seleccionar de los restantes cuatro dígitos y el tercer dígito de los restantes tres dígitos, es decir que el total de números menores que se pueden formar menores que 500 es: 2*4*3 = 24 números menores que 500 c) Cuántos números de tres dígitos son pares? El primer dígito se puede seleccionar de 4 formas diferentes, porque se descarta el número par 6, el segundo dígito se puede seleccionar de los restantes 3 dígitos y el tercer dígito, para que el número sea par, sólo puede ser 6, o sea que sólo se seleccionaría de una manera. El total de números pares es igual a: 4*3*1 = 12
Ejemplo 4 Supóngase que la placa de un vehículo se forma de dos letras seguidas de tres números, de los cuales el primero no puede ser cero. a) ¿Cuántas placas diferentes pueden formarse si en una placa no se permiten repeticiones de letras o de números? La primera letra puede seleccionarse de 26 formas diferentes, la segunda letra de 25 formas, el primer dígito de 9 formas (no se incluye el cero), el segundo dígito de 9 formas (se descarta el número seleccionado para el primer dígito) y el tercer dígito de 8 formas, o sea, que el número de placas diferentes es igual a: 26*25*9*9*8 = 421.200 b) ¿Cuántas placas diferentes pueden formarse si en una placa se permiten repeticiones de letras o de números? Las dos letras pueden seleccionarse de 26 formas diferentes y el primer dígito se puede formar de 9 formas diferentes, y los otros dos dígitos de 10 formas diferentes, siendo el número de placas diferentes 26*26*9*10*10 = 608.400
Permutaciones Dado un conjunto finito y ordenado de n elementos, el número de permutaciones diferentes, denotado por Pn es igual a n factorial. El número de permutaciones de un conjunto de n elementos se puede calcular utilizando el principio multiplicativo. En este caso, existen n formas de escoger el primer elemento, y una vez escogido éste, se tienen (n − 1) formas de escoger el segundo elemento, y así sucesivamente, hasta llegar al elemento k-ésimo, en donde se tienen ( n − k + 1) posibles elementos para escoger, que es igual a:
n*(n - 1)*(n - 2)*…* (n - k+1)*…*2*1 = n! En una permutación interesa el lugar o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen el conjunto de n elementos.
En las permutaciones sin repetición, cada uno de los distintos grupos pueden formarse de tal forma que: cada grupo se compone de n elementos y un grupo se diferencia de otro sólo en el orden de sus elementos. Ejemplo 1 En el conjunto {a, b, c}, el número de posibles ordenaciones o conjuntos resultantes es igual a 3! = 6. Estas son: a, b, c
a, c, b, b, a, c b, c, a c, a, b
c, b, a
Ejemplo 2: ¿Cuántas permutaciones de las letras XYZW contienen las letras YZ juntas y en ese orden? Si se toman las letras YZ como un sólo elemento, el número de posibles permutaciones que se pueden realizar es igual a: 3*2*1 = 6 Estas son: YZXW YZWX XYZW WYZX WXYZ XWYZ Ejemplo 3: ¿Cuántas permutaciones de las letras A, B, C, D, E, F, G contienen: a) la secuencia BCD Se toma BCD como un sólo elemento, siendo entonces el número de elementos a permutar igual a 5 y el número de permutaciones: 5! = 120 b) la secuencia CFGA Se toma CFGA como un sólo elemento y el número de permutaciones igual a 4!= 24. c) las secuencias BA y GF
Se toma BA como un elemento y GF como otro elemento. El número de elementos en este caso es igual a 5 y el número de permutaciones 5!=120. d)
las secuencias ABC y CDE Dado que la letra C se encuentra en ambas secuencias, se debe formar un sólo elemento con las dos secuencias, es decir el elemento será ABCDE. En este caso, el número de elementos a permutar será igual a 3 y el número de permutaciones 3! = 6.
Ejemplo 4: 4 libros distintos de Matemáticas, 5 de Geometría y 3 de Cálculo se desean colocar en un estante. a) ¿De cuántas formas diferentes se pueden ubicar los libros en el estante, si los libros de cada materia deben estar juntos? MMMMGGGGGCCC La forma de ubicar los libros por materia es igual a 3! = 6 Los libros de Matemáticas se pueden organizar de 4! formas Los libros de Geometría se pueden organizar de 5! formas, y los libros de Cálculo de 3!. siendo el número de formas de ubicar los libros en el estante por materia, igual a: 3!*4!*5!*3! = 6 * 24 * 120 * 6 = 103.680
b) ¿De formas diferentes se pueden libroscuántas de Matemáticas deben estar juntos?ubicar los libros en el estante, si sólo los En este caso se toman los libros de Matemáticas como un solo elemento, siendo entonces el total de elementos igual a: 1 + 5 +3 = 9. El número de formas de ubicarlos será igual a: 4! * 9! = 8’709.120 Ejemplo 5: Una junta directiva está conformada por 8 personas. ¿De cuántas formas se pueden sentar si el Presidente y el Secretario siempre deben estar juntos? Se toma el Presidente y el secretario como un solo elemento, siendo entonces el número de formas igual a: 2*7! = 10.080 Ejemplo 6: ¿De cuántas formas diferentes se pueden elegir dos libros de diferente materia, entre 5 libros de Matemáticas, 3 libros de Historia y 2 libros de Filosofía? Se puede elegir 1M y 1H = 5 * 3 = 15 o 1M y 1F = 5 * 2 = 10 o 1H y 1F = 3*2 = 6
El número total de formas de elegir dos libros de diferente materia es igual a: 15 + 10 + 6 = 31
Permutaciones de n en k sin repeticiones Cuando del conjunto de n elementos se van a formar grupos de k elementos, en donde, k ≤ n, se denota por P(n, k). El número de permutaciones generadas en este caso está dado por: P(n, k) = n*(n - 1)*(n – 2)*…*(n – k + 1) o,
Pሺ , ሻ
! ሺ ሻ!
A P (n, k) también se conoce con el nombre de Variaciones de n elementos tomadas de a k elementos. Ejemplo 1: ¿Cuántas claves de acceso se pueden generar con los números 1, 2, 3 si se desea que las claves a formar consten de 2 números? En este caso n = 3 y k = 2. El número de permutaciones generadas es igual a:
Las claves generadas son: 1 2 13 21 23 31 32
ሺ3,2ሻ 3!1!
6
Ejemplo 2: ¿De cuántas maneras se puede seleccionar un presidente, un secretario y un tesorero de un grupo de 10 personas? Indica n=10 y k =3 y el número de permutaciones generadas será igual a: P(10, 3) = 10 * 9 * 8 = 720 o también,
ሺ10,3 ሻ 10!7! 3628800 5040
720
Ejemplo 3: ¿De cuántas formas diferentes se pueden ubicar en una fila 7 hombres y 5 mujeres, si ningún par de mujeres pueden estar juntas? Si se ubican los 7 hombres de la siguiente manera: _H1_H2_H3_H4_H5_H6_H7_ Quedan 8 posiciones para ubicar las mujeres de tal forma que ningún par de mujeres queden juntas. El número de formas en que se pueden ubicar los hombres es igual a 7! y las mujeres, P(8,5)
siendo en total el número de formas igual a: 7!* P(8, 5) = 5040*6720 =33’868.800
Permutaciones con Repetición El número de permutaciones con repetición de n elementos de un conjunto tomados de a k es igual a:
nk
Ejemplo 1: ¿Cuántas claves de acceso se pueden generar con los números 1, 2, 3 si se desea que las claves a formar consten de 2 números y se permiten repeticiones? 2
En este caso n = 3 y k = 2. El número de permutaciones generadas es igual a 3 = 9 Las claves generadas son: 11 12 13 21 22 23 31 32 33 Ejemplo 2: ¿Cuántos números distintos de tres cifras, múltiplos de cinco, se pueden formar con los dígitos 1, 2, 3, 5 y 6, si se permite repetición de dígitos? Para que sea múltiplo de 5 debe terminar en 5. Como se permite repetición, en la primera y en la segunda posición del número puede ir cualquiera de los cinco dígitos El total de números múltiplos de 5 es igual a: 5*5*1= 25
Permutaciones con elementos idénticos El número de permutaciones de n elementos que incluyen n1 elementos idénticos de tipo I, n2 elementos idénticos de tipo II y en general, nk elementos de tipo K, es igual a:
! 1! 2!… !
…
Ejemplo 1: Se tiene una urna con 10 bolas, 5 bolas blancas, 3 bolas rojas y 2 bolas negras. ¿De cuántas formas diferentes se pueden extraer las bolas de la urna? Se consideran iguales las 5 bolas blancas, las 3 bolas rojas y las 2 bolas negras, por lo tanto el número de posibles permutaciones es igual a:
P
10! , 5! , 3!
3628800 2! 120 6 2
2520
En el caso de que existan 15 bolas, 5 blancas, 5 bolas rojas y 5 bolas negras. ¿De cuántas formas diferentes se pueden extraer las bolas de la urna?
,
15! 5!, 5! 5!
756.756
Ejemplo 2: Calcular el número de permutaciones posibles con las letras de la palabra AMA. En este caso se presentan tres letras y dos de ellas iguales. Por lo tanto, el número de permutaciones posibles es igual a:
,
3! 2! 1!
3
Estas son: AMA AAM MAA Ejemplo 3: a)
¿Cuántas claves de acceso se pueden generar con los números 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3? El número 1 se presenta una vez, el número 2 se presenta dos veces y el número 3 cuatro veces.
, b)
7! 1!, 2! 4!
105
¿Cuántas de las claves anteriores empiezan por el número 1 seguido del número 2? Para encontrar el número de permutaciones de los otros números, se tiene que excluyendo el número 1 y un número 2 de las primeras posiciones, el número 2 se presenta una vez, y el número 3 cuatro veces. El número de claves generadas será igual a:
11
,
5! 1! 4!
5
Los dos números 1 de la expresión, indican que existe una sola manera de seleccionar el número 1 y el número 2 que van al principio de cada una de las claves generadas. Las claves son: 1223333 c)
1232333 1233233 1233323
1233332
¿Cuántas de las claves comienzan por el número 2 y terminan en el número 3? Para encontrar el número de permutaciones de los otros números, se tiene que excluyendo un número 2 y un número 3, el número 1 se presenta una vez, el número 2 se presenta una vez y el número 3, tres veces. El número de claves generadas será igual a:
,
1
1 , 1! 5!1! 3!
20
Ejemplo 4: Cuántos números mayores que 400000 pueden formarse con los dígitos 3, 3, 4, 5, 5, 8 Para que un número sea mayor que 40000, el primer dígito debe ser 4, 5 o 8. Cuando 4 (o 8) ocupa el primer lugar, los otros 5 lugares pueden ser ocupados por: 3, 3, 5, 5, 8 (o 3, 3, 4, 5, 5) El total de estos números es:
,
5! 2!, 2!
30
Cuando 5 ocupa el primer lugar, los otros 5 lugares pueden ser ocupados por: 3, 3, 4, 5, 8. El total de estos números es:
,
,
, 5!
60
2! 1! 1! 1!
El total de números mayores a 40000 es igual a: 30 + 30 + 60 = 120
Permutaciones Circulares Una permutación circular consiste en ordenar n objetos alrededor de un círculo. Para encontrar el número de permutaciones circulares que se pueden formar con n objetos distintos de un conjunto, hay que considerar fija la posición de un elemento, para luego realizar permutaciones sobre los n – 1 restantes tomando todas las posiciones sobre la circunferencia relativa al primer punto. El número de formas de ordenar los n objetos es igual a (n – 1)! Ejemplo 1: De cuántas formas se pueden ubicar 6 personas en una mesa circular de 6 sillas? Se fija la posición de la primera persona La segunda en cualquiera de las cinco restantes La tercera en cualquiera de las cuatro restantes La cuarta en las tres restantes La quinta en las dos restantes
y la sexta en la restante. O sea, que el número de formas de sentar las 6 personas en una mesa circular es igual a 5! = 120 formas. Ejemplo 2: Si 6 personas A, B, C, D, E, F se sientan alrededor de una mesa circular, en donde A, B, C son mujeres y el resto hombres a)
¿de cuántas formas diferentes se pueden sentar las 6 personas de tal manera de que dos personas del mismo sexo no se sienten juntas? Si se fija a A en la primera posición, en las posiciones 3 y 5 estarán las otras dos mujeres y en las posiciones 2, 4 y 6 los hombres. El número de formas diferentes en que se podrán situar las mujeres será igual a P(2, 2) = 2 (se excluye a A) y los hombres, P(3,3) = 3!. El número total de formas diferentes será igual a: 2*6 = 12
b)
¿de cuántas formas diferentes se pueden sentar las 6 personas de tal manera de que las personas del mismo sexo se sienten juntas? Si se fija a A en la primera posición, en las posiciones 2 y 3 estarán las otras dos mujeres y en las posiciones 4, 5 y 6 los hombres. También, si se fija a A en la primera posición, en las posiciones 2 y 6 estarán las otras dos mujeres y en las posiciones 3, 4 y 5 los hombres. Y adicionalmente se cumple para A en la primera posición, en las posiciones 5 y 6 las otras dos mujeres y en las posiciones 2 ,3 y 4 los hombres El número de formas diferentes en que se podrán situar las personas del mismo sexo de tal forma que se sienten juntas es igual a: 3*2!*3! = 3*2*6 = 36
Combinaciones Dado un conjunto de n elementos, en donde no interesa el orden o la posición de dichos elementos, el número de combinaciones generadas para formar grupos de k elementos, es igual a:
! ሺ ሻ! !
equivalente a:
ሺ,ሻ !
Las combinaciones de k elementos formadas de n elementos, pueden ser obtenidas a partir de las permutaciones de los k elementos tomados de los n elementos, esto se debe a que como en las combinaciones no interesa el orden de los elementos, entonces si se tienen las permutaciones de esos elementos al dividirlas por k!, se está eliminando el orden. De igual manera, si se conoce el número de combinaciones, el número de permutaciones de n elementos tomados de a k puede ser calculado multiplicando el número de combinaciones por k! Para el caso k = n:
! ! ሺ ሻ! ! 0! !
1
Ejemplo 1: Encontrar el número de combinaciones generadas con los elementos (a, b, c) tomados de a 2. En este caso, n=3 y k=2
3!
Las combinaciones generadas son: ab ac bc
1! 2!
3
Ejemplo 2: Se tiene un grupo de 15 jugadores, cuántos grupos de 3 jugadores se pueden formar?
n=15 y k=3
15! 12! 3!
455
Ejemplo 3: Si en un grupo de 15 jugadores, existen 7 mujeres, cuántos grupos de 4 jugadores tendrán de a 2 mujeres?
n=15 (7 mujeres y 8 hombres) y k = 4 Si el grupo debe contener dos mujeres, entonces los grupos que interesan se componen de dos hombres y dos mujeres. Por lo tanto, el número de grupos que cumplen esta condición es igual a:
7! 8! 5! 2! 6! 2!
588
Ejemplo 4: Dadas 15 personas cuántos comités de 4 personas se pueden conformar? En este caso, n=15 y k=4
Ejemplo 5:
15! 11! 4!
1365
¿De cuántas formas se puede seleccionar de un grupo de 4 hombres y 5 mujeres:
a) Un comité de 2 hombres y 3 mujeres? El número de formas de seleccionar 2 hombres de 4 hombres es:
4! 24 2! 2! 4 5! 120 2! 3! 12
6
El número de formas de seleccionar 3 mujeres de 5 mujeres es:
10
Por el Principio Multiplicativo, el número total de comités es igual a: 6 * 10 = 60 b) Tres personas con al menos una mujer Para que el comité tenga al menos una mujer, es necesario seleccionar dos hombres y una mujer, o un hombre y dos mujeres, o ningún hombre y tres mujeres. Dicha selección puede realizarse de la siguiente manera: C(4,2)*C(5,1) + C(4,1)*C(5,2) + C(4,0)*C(5,3) 6*5+4*10+1*10 = 30 + 40 +10 = 80 c) Tres personas y como máximo un hombre En este caso la selección se realiza entre: un hombre y dos mujeres, o ningún hombre y tres mujeres. C(4,1)*C(5,2) + C(4,0)*C(5,3) 4*10 + 1*10 = 40 + 10 = 50 d) Tres personas que incluyan hombres y mujeres Para que el comité tenga personas de ambos sexos, la selección se debe definir de la siguiente manera: C(4,1)*C(5,2) + C(4,2)*C(5,1) 4*10 +6*5 = 40 + 30 = 70 Ejemplo 6: Para resolver un examen un alumno debe contestar 9 de 12 preguntas,
a) ¿Cuántas maneras tiene el alumno de seleccionar las 9 preguntas? El número de formas de seleccionar 9 preguntas de 12 es igual a:
12! 10 11 12 3! 9! 6
220
b) ¿De cuántas formas puede resolverlo si forzosamente debe contestar las 2 primeras preguntas? Descartando las 2 primeras preguntas, n = 10 y k = 7
10! 3! 7!
8 9 10 6
120
c) ¿De cuántas formas puede resolverlo si debe contestar una de las 3 primeras preguntas?, Para contestar una de las 3 primeras preguntas, se realizan descartando las 3 primeras preguntas quedan 9 para responder 8, o sea, siendo el número de formas igual a: =
! ! ! !!
39
!
27
d) ¿De cuántas formas puede resolverlo si debe contestar como máximo una de las 3 primeras preguntas? En este caso debe seleccionar 0 o 1 de las tres primeras preguntas
=
! ! ! !! !
! ! ! ! ! ሺ1 1ሻ ! ሺ3
9ሻ
27
Combinaciones con Repetición En un conjunto de n elementos, en donde no interesa el orden o la posición de dichos elementos, el número de selecciones de k elementos con repeticiones permitidas es igual a:
ሺ
1,
1ሻ
Ejemplo 1: Dadas las letras {a, b, c, d}, de cuántas maneras es posible seleccionar dos letras del conjunto si se permiten repeticiones y: a)
Importa el orden de las letras: En este caso el número de selecciones está dado por el número de permutaciones k con repetición con n = 4 y k=2, que es igual a n = 16 Estas son:
ሺ
1, ሻ
aa ab ac ad ba bb bc bd ca cb cc cd da db dc dd b)
No interesa el orden de las letras Para encontrar el número de selecciones se aplica entonces la fórmula:
C( n+ k - 1, k) = C( 4 + 2 – 1, 2) = C(5, 2)
Las combinaciones son:
5! 120 3! 2! 12
10
aa ab ac ad bb bc bd cc cd dd Ejemplo 2: Dados 3 montones de bolas rojas, verdes y azules, cada montón contiene al menos 12 bolas. ¿De cuántas formas pueden seleccionarse las 12 bolas? a) Si no se asignan restricciones? Se tienen n = 3 tipos de bolas y k = 12 y dado que no se tienen restricciones es posible que se presenten repeticiones. En este caso, algunas posibles soluciones se pueden representar de la siguiente manera: 10 rojas, 1 verde, 1 azul xxxxxxxxxx | x | x 10 rojas, 0 verdes, 2 azules xxxxxxxxxx | | xx 0 rojas, 0 verdes, 12 azules | | xxxxxxxxxxxx Para cada solución se presentan 14 símbolos (12x y 2 barras), lo que indica que el número de formas de seleccionar las bolas de los 3 montones es igual a C(14, 12) De igual manera si se aplica la fórmula, el número de selecciones es igual a: C(3 + 12 - 1, 12) = C(14, 12) = 91
b)
Si al menos debe seleccionarse una bola verde Se separa la bola verde y se realiza la selección de las otras 11 bolas de los tres tipos incluyendo la bola verde en cada selección. En este caso el número de selecciones es: C( 3 + 11 - 1, 11) = C(13, 11) = 78
c)
Si se deben seleccionar al menos una bola roja, dos verdes y dos azules Se separan una bola roja, 2 verdes y dos azules y se seleccionan las otras 7 bolas de los tres tipos y se incluyen las 5 ya elegidas en cada selección, siendo entonces el número de selecciones igual a:
C(3 + 7 - 1, 7) = C(9, 7) = 36 d)
Si se debe seleccionar exactamente una bola verde En cada selección se incluye una bola verde y se eligen las otras 11 bolas de los montones rojo y azul. El número de selecciones para este caso es: C(2 + 11 - 1, 11) = C(12,11) = 12
e)
Si se debe seleccionar exactamente una bola verde y al menos una bola roja En cada selección se incluye una bola verde y una bola roja, y se eligen las otras 10 bolas de los montones rojo y azul. El número de selecciones para este caso es: C(2 + 10 - 1, 10) = C(11,10) = 11
Ejemplo 3: ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación x1 + x2 +x3 = 9 a)
0
Con la condición de que xi , i=1,2,3 El problema es similar al de colocar k= 9 bolas en n= 3 urnas Si se tiene por ejemplo la solución x1=9, x2=0, x3=0, esta se puede representar como: xxxxxxxxx | | y el número de soluciones será igual a C(11, 9) aplicando la fórmula: C(3 + 9 - 1, 9) = C(11, 9)
b)
2
Con la condición de que xi
2
11! 9! 2!
55
, i=1,2,3
Como xi , se separan 6 bolas para colocar 2 en cada urna y quedan 3 bolas para colocar en las 3 urnas, es decir: C(3 + 3 - 1, 3) = C(5, 3)
5! 120 3! 2! 12
Estos valores son: 522 252 225 432 342 234 423
324 243 333
Ejemplo 4: ¿Cuántas soluciones enteras tiene la ecuación x1 + x2 + x3 < 9 con la condición de que x i
0
, i=1,2,3
10
en este caso, la desigualdad se convierte en una igualdad adicionado a la ecuación, x4>0 de tal forma, que la ecuación se convierte en x1 + x2 +x3+ x4 = 9 con xi , i=1,2,3 y x4
0
1
o sea que de los 9 valores al restar 1 para x4, k = 8 y n = 4 y el número de soluciones será igual a C(4 + 8 - 1, 8) = C(11, 8)
3!11!8!
165
Ejemplo 5: En una cafetería hay 4 tipos de bocadillos para comer. ¿De cuántas maneras distintas se pueden elegir seis bocadillos de entre los 4 tipos? n=4 tipos de bocadillos y k= 6 x | xx| xx| x, en donde se presentan n= 9 símbolos y k= 6 siendo el número de formas diferentes de elegir igual a: C(9, 6)
9! 3! 6!
84
Ejemplo 6: ¿De cuántas formas distintas pueden colorearse 10 bolas usando 4 colores (a -amarillo, z-azul, r-rojo, v-verde) de tal forma que existan al menos 3 bolas de color azul y exactamente dos bolas de color verde? De las 10 bolas se separan 3 azules y dos verdes. Dado que sólo deben existir dos bolas verdes, las otras 5 bolas pueden ser de color amarillo, azul o rojo, o sea que el número de formas distintas en que pueden colorearse será igual a: C(3 + 5 - 1, 5) = C(7, 5)
7! 5040 2! 5! 2 120
21
Principio de la Pichonera (Dirichlet)
Este principio permite resolver en forma rápida numerosos problemas relacionados con el campo de las matemáticas, la geometría y el conteo. Si n pichones se acomodan en m pichoneras y n >k*m, siendo k un número natural, entonces al menos una de las pichoneras contendrá (k + 1) o más pichones. Igualmente, si n objetos se colocan en m cajas y n > m, entonces al menos una caja contendrá dos o más objetos.
Generalización del Principio de la Pichonera: Si se colocan n objetos en m cajas y n > m, entonces una de las cajas debe contener al menos
ቔ ቕ1
objetos, en donde
denota el entero más grande, menor o igual que
x, el cual es un número real. En muchos problemas se pregunta cuál debe ser el mínimo número de objetos tal que al menos k de ellos se encuentre en una de las m cajas. Utilizando la fórmula:
– 1) + 1 n =ቔm(kቕ1 k=
Ejemplo 1 Si se tienen por ejemplo 65 pichones y se distribuyen todos en un palomar de 30 pichoneras, se puede asegurar que al menos 3 de los pichones están en una misma píchonera, ya que:
65 30
11
2.1 1
21
3
Ejemplo 2 Demostrar que en una universidad de 10000 estudiantes, existen al menos 28 estudiantes que cumplen el mismo día. Si n = 10000 m=365 (días del año)
10000 365
11
27.39 1
27 1
Dado que 10000 > 27*365 = 9855, se puede asegurar que en algunos de los días del año existen estudiantes que cumplen el mismo día. Ejemplo 3 Demostrar que en un grupo de 100 personas, existen al menos 9 personas que cumplen el mismo mes. Si n = 100 m=12
100 12
11
8.25 1
Ejemplo 4 De cuántos estudiantes como mínimo se debe componer un curso para garantizar que al menos dos ellos obtengan la misma nota en una prueba si se supone que se califica con una nota de 1.0 a 5.0 con una cifra decimal. El conjunto de notas posibles es: {1.0, 1.1, 1.2, …, 4.8, 4.9, 5.0}, es decir que el número total de notas es igual a 41. Por el principio del palomar, para que se cumpla que dos estudiantes obtengan una misma nota en una prueba,
9
28
n = m(k – 1) + 1 n = 41 + 1 = 42 o sea que n debe ser mayor o igual a 42. Ejemplo 5 Demostrar que en cualquier conjunto de 8 números enteros existen al menos dos números a y b tales que (a - b) es múltiplo de 7. El resto de dividir un número por 7 es uno de los siete números enteros entre 0 y 6. En consecuencia si tenemos un conjunto de 8 números, al menos dos de ellos, a y b, tienen el mismo resto r en la división por 7. Esto es: a = 7q + r y b = 7q' + r , 0
r < 7.
Por lo tanto (a - b) = 7(q - q') es múltiplo de 7. Ejemplo 6 En un cuadrado cuya diagonal es 3 unidades, se marcan 10 puntos al azar. Demostrar que siempre existen al menos dos puntos se encuentran a una distancia menor o igual a 1. Si se divide el cuadrado en 9 cuadrados iguales, como se muestra en la figura:
C1
C2
C3
C4
C5
C6
C7
C8
3
C9
Si n = 10 es el número de puntos y m= 9 es el número de cuadrados cuya diagonal es igual 1, entonces existen al menos dos puntos que se encuentran a distancia menor o igual a 1.
Ejemplo 7 Demostrar que si se colocan 73 canicas en 8 cajas a) Una de las cajas contiene al menos 10 canicas
n = 73 m= 8, entonces k es igual a:
73
8
11
9 1
b) Si dos de las cajas están vacías, entonces alguna de las casas contendrá al menos 13 canicas
10
Si n = 73 m=8 – 2 = 6
73
6
11
12 1
Principio Inclusión-Exclusión (o de la Criba) Si una actividad A1 puede realizarse de N1 formas y una segunda actividad A2 puede realizarse de N2 formas, y las dos tareas se pueden realizar simultáneamente de N12 formas, entonces existen:
N1 + N2 – N12 formas de realizar una de las dos actividades Que es equivalente a:
|
| | || | |
|
Ejemplo 1: Cuántas cadenas de longitud tres pueden formarse con las letras XYZW, que comiencen por la letra X o terminen por la letra Z? Por el principio multiplicativo una cadena de longitud 3 que comience por la letra X, puede formarse de la siguiente manera: La primera letra es X, la segunda letra puede escogerse de 3 formas diferentes y una vez seleccionada la segunda, la tercera puede seleccionarse de 2 formas. Por lo tanto existen: 1 * 3* 2 = 6 cadenas diferentes que comiencen por la letra X Una cadena de longitud 3 que termine por la letra Z puede formarse de la siguiente manera: En el primer paso, la primera letra puede escogerse de 3 formas diferentes. Una vez seleccionada la primera, la segunda letra puede escogerse de 2 formas diferentes y una vez seleccionada la segunda, la tercera letra es Z. Por lo tanto existen: 3 *2* 1 = 6 cadenas diferentes que terminen por la letra Z Una cadena de longitud 3 que comience por la letra X y que termine por la letra Z puede formarse de la siguiente manera: La primera letra es X, la segunda letra puede escogerse de 2 formas diferentes y la tercera letra es Z. Por lo tanto existen:
|
terminen por la letra Z
|
1*2*1= 2 cadenas diferentes que comiencen por la letra X y
Por el principio de inclusión-exclusión, el número de cadenas que comienzan por la letra X, o que terminen por la letra Z, será igual a:
|
|
6 + 6 – 2 = 10 cadenas
Estas cadenas son: XYZ XZY XWZ XZW XYW XWY YXZ YWZ WYZ WXZ
13
Ejemplo 2: En un curso de Matemáticas Discretas hay 30 estudiantes de ingeniería de sistemas, 15 estudiantes de Matemáticas y 10 estudiantes que cursan ambas carreras. Cuántos estudiantes hay en el curso? Sea A = 30, el número de estudiantes de ingeniería de sistemas y B = 15 el número de estudiantes de matemáticas. Entonces, A ∩ B = 10, es el número de estudiantes que cursan ambas carreras. El número de estudiantes que hay en el curso será igual a:
| | | || | | 3015 |
10
Ejemplo 3: En un curso hay 1500 estudiantes, de ellos, 350 estudian medicina, 220 enfermeria y 128 ambas carreras. Cuántos de los estudiantes del curso no estudian ni medicina, ni enfermería? Si A = 350, son los estudiantes de medicina y B = 220 los estudiantes de enfermería, A∩B = 128. El número de estudiantes que cursan medicina o enfermería es igual a: 350 + 220 - 128= 442
| |
El número de estudiantes del curso que no estudian ni medicina, ni enfermería es igual a: 1500 – 442 = 1058
Generalización del Principio Inclusión – Exclusión Sean A1, A2,
|
…,
An un conjunto finito de actividades. Entonces,
…. | ሺ
| |
| 1ሻ
… |
Por ejemplo, si se tienen 3 actividades, el número de formas en que se puede realizar una de las tres actividades es igual a:
|
| || || ||| | ሼ|
||
||
|ሽ
Ejemplo 1: Encontrar el número de enteros entre 1 y 200 (ambos incluídos) que no son divisibles por 2, 3, y 5 Sea el conjunto de los números enteros entre 1 y 200 que son divisibles por 2
35
Sea Sea
el conjunto de los números enteros entre 1 y 200 que son divisibles por 3 el conjunto de los números enteros entre 1 y 200 que son divisibles por 5
El número de enteros que se encuentran en A 1, A2 y A3 es:
ቔ ቕ ቔ ቕ ቔ ቕ
|
|=
=100
|
|=
= 66
|
|=
= 40
El conjunto de enteros entre 1 y 200 que son divisibles por 2 y 3, es decir |A1∩A2| es: |
∩
|=
ቔ ቕ
33
El conjunto de enteros entre 1 y 200 que son divisibles por 2 y 5, es decir | A1∩A3| es: |
∩
|=
ቔ ቕ
20
El conjunto de enteros entre 1 y 200 que son divisibles por 3 y 5, es decir | A2∩A3| es: |
∩
|=
ቔ ቕ
13
El conjunto de enteros entre 1 y 200 que son divisibles por 2, 3 y 5, es decir: |
∩
∩
|=
ቔ ቕ
6
Por el Principio de Inclusión – Exclusión, el número de enteros entre 1 y 200 que son divisibles por 2, 3 y 5 es igual a:
|
|
= {100 + 66 +40} – {33 + 20 + 13} + 6 = 206 – 66 + 6 = 146
O sea que el número de enteros entre 1 y 200 que no son divisibles por 2, 3 y 5 es igual a: 200 – 146 = 54 Ejemplo 2: El principio de la inclusión – exclusión se puede utilizar para determinar el número de primos menores o iguales a un número dado n. Partiendo de que un número compuesto es divisible por un número primo menor o igual que su raíz cuadrada, para encontrar el número de primos menores o iguales a n, el problema se reduce a encontrar la cantidad de números compuestos para luego encontrar la diferencia entre n y dicha cantidad. Si por ejemplo n = 100, los números compuestos menores o iguales que 100 deben ser divisibles por un número primo menor que 10. Los números primos menores que 10 son: 2, 3, 5 y 7. Sea A1: la cantidad de números primos divisibles por 2
A2: la cantidad de números primos divisibles por 3 A3: la cantidad de números primos divisibles por 5 A4: la cantidad de números primos divisibles por 7
|
|ሼ|| || || || ||||| || || | || ሼ||
|
|||| || | |ሽ
100 ቕቔ | ቊቔ100ቕቔ ቕቔ 100 ቕ100 100 100 ቋ 23 25 27 35 37 57 ቄቔ21003 5ቕ ቔ21003 7ቕ ቔ21005 7ቕ ቔ31005 7ቕቅ ቔ2357100 ቕ | ሺ16107642 50332014 | 117 456 ሻሺ3210 78ሻ
+
|
|
0
O sea que la cantidad de números primos menores o iguales que 100 es igual a: 99 – 78 + 4 = 25 El 4 resulta de la cantidad de números primos menores o iguales que 10 (2, 3, 5 y 7). Ejemplo 3:
En una clase de música con 73 alumnos hay 52 que tocan el piano, 25 el violín, 20 la flauta, 17 tocan piano y violín, 12 piano y flauta, 7 violín y flauta y sólo hay 1 que toque los tres instrumentos. ¿Existe algún alumno que no toque ninguno de los tres instrumentos? Sea A1: la cantidad de alumnos que tocan piano A2: la cantidad de alumnos que tocan violín A3: la cantidad de alumnos que tocan flauta
|
| ሺ522520 ሻ ሺ17127 ሻ1
= 97 – 36 + 1 = 62 O sea que la cantidad de alumnos que no tocan ningún instrumento es igual a 73 – 62 = 11 Ejemplo 4: En una academia de artes hay 43 estudiantes que toman cerámica, 57 pintura y 29 escultura. En cerámica y pintura hay 10 estudiantes, 5 pintura y escultura y 5 en cerámica y escultura y 2 en los tres cursos. Cuántos estudiantes toman cuando menos un curso. C: Número de estudiantes que toman cerámica P: Número de estudiantes que toman pintura E: Número de estudiantes que toman escultura
|
| ሺ435729 ሻ ሺ1055 ሻ2 = 111
129
202
Diagramas de Árbol Es una herramienta que permite representar, contar y analizar los posibles resultados de una sucesión de eventos. Ejemplo 1 Cuántas claves de acceso se pueden generar con los números 1, 2, 3 si se desea que las claves a formar consten de 3 números? En este caso n = 3 y k = 3. El número de permutaciones generadas es igual a:
ሺ3,3ሻ 3!0! 1
6
2
2
3
1
3
2
31
3
3
1
2
2
1
Siguiendo la secuencia por cada una de las ramas del árbol, de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha, las claves generadas son: 1, 2, 3 1, 3, 2
2, 1, 3
2, 3, 1
3, 1, 2 3, 2, 1
Ejemplo 2: Encontrar las cadenas de bits que se pueden generar de longitud 3.
0
1
0
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
1
Las cadenas generadas son: 000, 001, 010, 011, 100, 101,110 111