Estadística Estadística y Probabilidad II Técnicas de Conteo Ciclo escolar 2014-2015
Árbol de Probabilidad •
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Los diagramas de árbol de probabilidad son mecanismos empleados para enumerar todas las posibilidades de ocurrencia o probabilidades de una secuencia de eventos, donde cada evento puede ocurrir en un numero finito de formas. Los diagramas de árbol proporcionan un método sistemático sistemático de enumeración objetiva de los resultados. Un diagrama de árbol es una herramienta grafica grafica que nos permite enumerar todas las posibles maneras de realizar un conjunto de acciones secuenciales o independientes. El árbol se construye a partir de un nodo que representa la primera acción que se ha de efectuar; de esta se desprenden tantas ramas como maneras diferentes diferentes de llevar a cabo esa acción se puedan. pued an. En las terminales de cada rama se dibujan otros nodos que representan la segunda acción a efectuar y de los que qu e se desprenden tantas ramas ramas como formas lógicas de realizarse en esa segunda segund a acción, siempre considerando la condición en que se realiza la primera. Y así sucesivamente.
Se tienen tres libros de algebra, dos de contabilidad y cuatro de biología. Si se eligen al azar ¿Cuál es la probabilidad de tener los tres distintos y de que el primero sea de algebra? 4/8
A
2/8
B
2/7
C
C
4/7
B
A
2/7
C
C
3/7
A
A
4/7
B
B
3/7
A
3/9
4/9
3/8
B
2/8
2/9 3/8
C
4/8
Técnicas de Conteo •
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El principio fundamental en el proceso de contar, ofrece un método general para contar el número de posibles arreglos de objetos dentro de un solo conjunto o entre varios conjuntos. Las técnicas de conteo conteo son aquellas que son usadas para enumerar eventos difíciles de cuantificar. Dentro de ellas destacan: destacan: – – – – –
El Principio Multiplicativo Multiplicativo El Principio Aditivo Factoriales Permutaciones Combinaciones
Principio Multiplicativ Multiplicativo o •
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También se le conoce como Principio de las Casillas, o Principio Fundamental de conteo. Es el ocupado en los diagramas de árbol. Si se desea realizar una actividad que consta de pasos, en donde el primer paso de la actividad a realizar realizar puede ser llevado a cabo de 1 maneras o formas, el segundo paso de 2 maneras o formas y el -ésimo paso de maneras o formas, entonces esta actividad puede ser llevada a efecto de 1 × 2 × ⋯ × maneras o formas El principio multiplicativo implica que cada uno de los pasos de la actividad deben ser llevados a efecto, efecto, uno tras otro. Ejemplo: –
Una persona desea construir su casa, para lo cuál considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa?
Principio Multiplicativ Multiplicativo o •
¿Cuántas placas para automóvil pueden ser diseñadas si deben constar de tres letras seguidas de cuatro números, si las letras deben ser tomadas del abecedario y los números de entre los dígitos del 0 al 9? a) b) c) d)
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Si es posi posibl blee repet epetir ir letr letras as y núm númer eros os.. No es posi posibl blee rep repet etir ir letr letras as y núm númer eros os.. Cuánt Cuántas as de de las las plac placas as dise diseñad ñadas as en en el el iinci nciso so b) b) empi empiez ezan an por la let letra ra D y empiezan por el cero. Cuant Cuantas as de de las las placa placass diseñ diseñada adass en el inci inciso so b) empi empiez ezan an por por la la letr letraa D segui seguida da de la G.
¿Cuántos números telefónicos es posible diseñar, diseñar, los que deben constar de seis dígitos tomados del 0 al 9? a) b) c) d)
Consi Conside dere re que que el el cero cero no no pued puedee ir al al inici inicio o de los los núm númer eros os y es es posib posible le repe repetir tir dígitos. El cer cero o no no debe debe ir ir en en la primer primeraa posic posición ión y no no es posibl posiblee repe repetir tir dígi dígito tos. s. ¿Cuán ¿Cuánto toss de de los los númer números os tele telefó fónic nicos os del del inci inciso so b empiez empiezan an por por el núme número ro siete? ¿Cuán ¿Cuántos tos de los los núme número ross tele telefó fónic nicos os del del inci inciso so b form forman an un un númer número o impar impar?. ?.
Principio Aditivo •
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Si se desea llevar a efecto efecto una actividad, la cuál tiene formas alternativas para para ser realizada, donde la primera de esas alternativas alternativas puede ser realizada de maneras o formas, la segunda se gunda alternativa alternativa puede realizarse de maneras o formas formas ..... y la última de las alternativas alternativas puede ser realizada de maneras o formas, entonces entonces esa actividad puede ser llevada a cabo de + + ⋯ + maneras o formas ¿Cómo podemos distinguir cuando hacer uso del principio multiplicativo multiplicativo y cuando del aditivo? Es muy simple, cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a efecto de una serie de pasos, entonces haremos uso del principio multiplicativo multiplicativo y si la actividad a desarrollar o a ser efectuada tiene alternativas para ser llevada a cabo, haremos uso del principio aditivo.
Principio Aditivo •
Una persona desea comprar una lavadora lavadora de ropa, para lo cuál ha pensado que puede seleccionar de entre las marcas Whirpool, Easy y General Electric ¿Cuántas maneras tiene esta persona de comprar una lavadora? lavadora? si –
–
–
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Cuando acude a hacer la compra se encuentra que la lavadora de la marca W se presenta presenta en dos tipos de carga ( 8 u 11 kilogramos), en cuatro c uatro colores diferentes diferentes y puede ser automática o semiautomática Mientras que la lavadora de la marca E, se presenta presenta en tres tipos de carga (8, 11 o 15 kilogramos), en dos colores diferentes diferentes y puede ser automática o semiautomática. Y la lavadora de la marca GE, se presenta en solo un tipo de carga, que es de 11 kilogramos, dos colores diferentes diferentes y solo hay semiautomática.
Rafael Luna desea salir de Chihuahua Chihua hua para hacer un viaje a las Vegas Vegas o a Disneylandia en las próximas próximas vacaciones vacaciones de verano, verano, haciendo escala en el Paso Texas a) ¿Cuántas maneras diferentes tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia?, b) ¿Cuántas maneras tiene Rafael de ir a las Vegas o a Disneylandia en un viaje redondo, redondo, si no se regresa regresa en el mismo medio de transporte en que se fue? Si – – –
Tiene tres medios de transporte para ir de Chihuahua al Paso Texas Dos medios de transporte para ir del Paso a las Vegas Para ir del Paso a Disneylandia él tiene cuatro diferentes medios de transporte,
El Factorial de un Número Para introducir el factorial de un numero, respondamos el siguiente problema En la sala de una casa, se junta la familia para ver una película que acaban de rentar. Si no hay lugares preferentes y hay exactamente el mismo número de asientos que de integrantes integrantes de la familia, ¿de cuantas formas se pueden acomodar? Considere •
a) b) c) d)
Hay 2 per personas onas en la fam famililia ia.. Hay 3 per personas onas en la fam famililia ia.. Hay 4 per personas onas en la famil amilia ia.. Hay 5 per personas onas en la fam famililia ia..
El Factorial de un Número •
El símbolo “!” en matemáticas se lee como factorial y
se define como n (n 1) (n 2) 3 2 1 n! 1 •
Ejemplos 0!=1 1!=1 2!=2x1=2 3!=3x2x1=6 4!=4x3x2x1=24
0 n0 n
Permutaciones •
Una permutación de n objetos tomados de en , es una elección ordenada de objetos de entre . El numero de permutaciones de objetos tomados de en se denota por
n
P r
n
P r
y viene dado por n
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P r
n 2n r 1 nn 1
n!
n r !
En particular, particular, el número de permutaciones de objetos tomadas de en es
n
P n
n!
Combinaciones •
Una combinación de objetos tomados de en , es una elección, sin importar el orden de los escogidos. El numero de combinaciones de objetos tomados de en se denota por n
C r
n
C r
n r
y viene dado por
n nn 1 n 2 n r 1 n! r ! r !n r ! r
Problemas de Permutaciones y Combinaciones •
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Un entrenador de futbol tiene que decidir como tirar los primeros 5 penales de una tanda de desempate ¿Cuantas elecciones posibles debe considerar? Una cadena de tiendas desea abrir 4 tiendas nuevas. Se tienen 12 sitios favorables favorables ¿De cuantas maneras se pueden elegir donde abrir las tiendas? Determina el numero de maneras posibles en que q ue 4 nuevos pacientes pueden ser se r asignados a 8 enfermeras, enfermeras, si cada enfermera enfermera por sus múltiples ocupaciones, solo puede aceptar a lo mas 1 paciente nuevo. Una baraja inglesa consta de 52 cartas dividas en 4 palos donde cada palo tiene 13 valores distintos. distintos. Una “mano” es un conjunto de
5 cartas tomadas del mazo de la baraja ¿Cuántas manos distintas se pueden formar con una baraja inglesa?
Problemas Varios de Técnicas de Conteo •
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En un examen un estudiante debe responder 7 de 10 preguntas a) núme número ro de form formas as en en que que pued pueden en esc escog oger er las las pre pregu gunt ntas as del examen b) núme número ro de formas ormas en en que que se se pued puedee res respo pond nder er si si la la séptima pregunta es obligatoria. obligatoria. c) núme número ro de form formas as que que se se pued puedee res respon ponde derr el exam examen en si si 4 de las preguntas a responder deben ser escogido der las primeras 6, y las 3 preguntas restantes deben ser tomadas de las siguientes 4. En una escuela se tienen 10 pc’s y 3 mac’s ¿de cuantas
maneras se pueden asignar a 6 alumnos cumpliendo lo siguiente? a) Ninguno tr trabaja en en ma mac b) 1 en mac y 5 en pc )