TECNICAS DE CONTEO
Definición. Si el número de posibles resultados de un experimento es pequeño, es relativamente fácil listar y contar todos los posibles resultados. Al tirar un dado, por ejemplo, hay seis posibles resultados. Sin embargo, si hay un gran número de posibles resultados sería tedioso listar y contar todas las posibilidades.
Las técnicas de conteo se utilizan para encontrar el número de arreglos posibles de objetos en un conjunto o conjuntos y son esenciales en el estudio de la probabilidad.
Principios básicos. •
Principio de Adición: Si dos tareas son mutuamente excluyentes (es decir, si ambas no pueden ocurrir a la vez) y si la primera se puede hacer de m formas diferentes y la segunda de n formas diferentes, entonces hay m + n maneras diferentes de realizar la primera ó la segunda tarea. (ó = +). Ejemplo: Si María puede elegir su ropa para la noche del sábado entre 8 conjuntos de pantalones y blusas, 12 vestidos largos y 7 vestidos cortos distintos, ¿de cuántas formas distintas puede vestirse? 8 + 12 + 7 = 27 formas.
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Principio de Multiplicación Multiplicación:: Si una tarea se puede hacer de m formas diferentes y si en cada caso, una segunda tarea se puede hacer de maneras distintas, entonces hay mn maneras de realizar las dos tareas (y = x). n Ejemplo: ¿Cuántos códigos de una letra seguida de un dígito se pueden formar con las 27 letras del alfabeto y los 10 dígitos? 27 x 10 = 270 códigos distintos.
Otras definiciones.
1. Para cada n > 1 se define n! mediante n! = n (n-1) (n-2) … (n – (n-1)) 3! = 3 x 2 x 1 = 6 0! = 1 Las elecciones en las cuales el orden de los objetos es importante se denominan permutaciones. Las elecciones en las cuales el orden de los objetos no es importante se llaman combinaciones.
PERMUTACIONES
Permutaciones sin repetición, permutaciones simples ó permutaciones. Definición. Sea x un conjunto con n elementos distintos y sea r un numero natural donde r < n. Una permutación de n elementos r en r se r se denota nPr . formados de r en Teorema: El número de permutaciones de n elementos formados de r en r está dado por la expresión:
Pr =
n
n! (n-r)!
Ejemplo: Una tienda de pinturas requiere diseñar muestrarios de los colores que vende, colocándolos en una fila de 5 lugares; si tiene 4 verdes diferentes, 5 amarillos diferentes, 2 azules diferentes y 3 rosados diferentes, calcula el número de muestrarios diferentes que pueden diseñarse diseñarse si:
a)
No hay hay res restr tric icci ción ón alg algun una. a.
b)
El primero primero color debe de ser azul.
c)
El prim primer er y el últim último o color color deben deben de de ser ser verdes. verdes.
Permutaciones totales. Definición. Sea x un conjunto de n elementos distintos. Una ordenación de los n elementos se conoce como Permutación total y se denota nPn
Pn = n!
n
Ejemplo: ¿Cuántas palabras distintas se pueden formar con las letras de la palabra “CALOR”?
Permutaciones con repetición. Definición. Sea x un conjunto con n elementos distintos y sea r un número natural. Una permutación con repetición de n elementos tomados de r en r es una ordenación de tamaño r formada con elementos que se pueden utilizar varias veces. Se denota:
PR n, r = nr Ejemplo 1: ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? Ejemplo 2: El sistema de matriculas de vehículos consiste en un número de 4 cifras seguido de un bloque de 3 consonantes, ¿cuántas placas se pueden formar con este sistema?
Ejercicios de permutaciones
1. Tres parejas de novios, van al cine y se sentarán en 6 butacas consecutivas; ¿de cuántas maneras diferentes pueden sentarse si: a) no hay condición adicional? b) las mujeres quieren sentarse juntas? los de igual sexo van juntos? d) una de las parejas de novios tienen que sentarse juntos?
e) las tres parejas de novios tienen que sentarse juntos? 2. Se tienen 7 libros de Matemáticas y 5 libros de Física y se quieren acomodar 4 de ellos en un librero, ¿de cuántas maneras puede hacerse si: a) el primero y el cuarto deben de ser de matemáticas? b) el primero y el cuarto deben ser de igual asignatura? el primero debe ser de matemáticas y el segundo de física? d) el cuarto debe de ser de matemáticas?
e) el primero debe ser de matemáticas y los otros 3 deben ser de física? f) los 4 deben ser de igual asignatura? 3. Se van a formar números de 3 cifras con los 10 dígitos, ¿cuántos números distintos pueden formarse si: a) no hay condición alguna? b) debe ser número par? debe ser múltiplo de 5?
d) si el cero no puede ocupar la posición de las centenas? 4. Suponga ahora, que en el problema 3, los dígitos no pueden utilizarse más de una vez y el cero no puede estar en la posición de las centenas, ¿cuántos números pueden formarse si: a) a) no hay condición alguna? b) debe ser número impar?
debe ser múltiplo de 5?
d) debe ser mayor que 400? debe ser menor que 800? Debe ser un número que esté entre 300 y 700?
Permutaciones generalizadas. Definición. Sea una colección con n elementos no necesariamente distintos consistente en ni elementos iguales de tipo donde n1 + n2 + … n generalizadas de éstos n elementos se denotará: + ni = n. Entonces el número de permutaciones
Pn1,n2,…ni =
n! n1!n2!…ni!
Ejemplo: ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea 9 bolas de las cuales 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules? Ejercicio: ¿Cuántas palabras distintas (con o sin significado) se pueden formar con todas las letras de la palabra “MATEMATICAS”?
Permutaciones circulares.
Todas las permutaciones anteriores son arreglos lineales, veamos ahora arreglos dispuestos en círculo, de forma que no existe inicio ni final. En ellos lo que importa es la posición relativa entre los elementos. Las más utilizadas son las permutaciones simples dispuestas en círculo. Definición. Sea un conjunto de n elementos, una permutación circular de tamaño r se denota: c
Pn, r = nPr r
c
en particular:
Pn, n = (n-1)!
Ejemplo 1: En el Senado de la República se necesita que 10 senadores de los 15 presentes se sienten alrededor de una mesa redonda para discutir la nueva reforma fiscal, ¿de cuántas formas distintas pueden hacerlo? Ejemplo 2: 6 amigos llegan a un restaurant y van a sentarse en una mesa redonda que tiene 6 lugares; ¿de cuántas formas pueden hacerlo si:
a) no hay condición alguna b) Uno de ellos tiene un lugar fijo en la mesa
Ejercicios de Permutaciones circulares.
1. Un círculo se divide en 5 sectores circulares mediante radios trazados desde su centro. Si se quiere colorear cada sector con colores diferentes, ¿de cuántas formas puede hacerse si: a) disponemos de 5 colores distintos? b) disponemos de 9 colores distintos? 2. Tres parejas llegan a un restaurante donde las mesas son redondas (suponga que las mesas son de 6 personas); ¿de cuántas formas distintas pueden sentarse si: a) no hay condición? b) las mujeres quieren sentarse juntas?
c) los de igual sexo van juntos? d)
una de las parejas de novios tienen que sentarse juntos?
e)
las tres parejas de novios tienen que sentarse juntos?
Miscelánea de permutaciones.
1. Suponga que una clave está formada por 4 caracteres siendo los 2 primeros letras del alfabeto y los 2 últimos dígitos. Considere el alfabeto de 27 letras. Encuentra la cantidad de:
a) claves que pueden obtenerse. b) Claves que empiezan con una vocal. 2. En una fiesta hay 12 parejas; encuentra el número de formas diferentes en que se pueden sentar a 1 hombre y a 1 mujer de modo que: a) Sean pareja. b) No sean pareja.
3. Calcula el número de palabras distintas que pueden formarse con todas las letras de la palabra “SOCIOLOGIA”?
4. Con las letras A, B, C y los dígitos 2,3,4,5 y 6 se formarán placas de automóviles, ¿cuántas pueden hacerse si cada placa se forma con dos letras distintas seguidas de tres dígitos distintos?
5. A un concurso de declamación de una preparatoria asistirán el director, el secretario administrativo y el secretario académico junto con 7 profesores; todos ellos van a ocupar 10 sillas en fila, calcula de cuántas maneras distintas pueden sentarse si: a) las 3 autoridades deben estar juntas. b) El director y el secretario académico deben estar juntos. c) El director y el secretario académico no pueden estar juntos.
6. Calcular el número de maneras en que pueden sentarse en fila 4 niños y 4 niñas si los hombres y las mujeres deben quedar alternados.
7. Se tienen 3 banderines negros, 2 blancos y 4 azules. ¿Cuántas señales distintas pueden formarse colocando en fila los 9 banderines?
8. Cinco ejecutivos de una compañía celebrarán una reunión sentados alrededor de una mesa redonda; a) ¿de cuántas maneras diferentes pueden ocupar sus lugares? b) ¿cuántas son las maneras si 2 personas determinadas insisten en sentarse juntas?
9. ¿En cuántas formas puede un sindicato elegir entre sus 25 miembros a un presidente y a un vicepresidente?
10. Si una prueba consta de 12 preguntas de verdadero y falso, ¿de cuántas maneras distintas puede un estudiante contestar la prueba con una respuesta a cada pregunta?
11. Si hay 9 autos en una carrera, ¿en cuántas formas diferentes pueden ocupar el primero, segundo y tercer lugar?
12. En una conferencia tengo a 3 ingenieros, 4 abogados y 4 arquitectos y voy a colocarlos en 11 sillas que están alineadas, ¿de cuántas formas puedo hacerlo si: a) no hay condición b) los de igual profesión deben de estar juntos c) el primero y el último deben ser de igual profesión d) los arquitectos deben estar juntos 13. Se tienen las letras A, B, C, D, E y F; y los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 para formar placas de 3 letras y 4 números, ¿cuántas placas diferentes pueden formarse si: a) no hay repetición b) si hay repetición
14. Con los dígitos 1, 2, 4, 5, 6, 8 se van a formar números de 3 cifras sin repetir los dígitos, ¿cuántos números diferentes se pueden formar con la condición de que: el número formado sea par el número formado sea múltiplo de 5 el número formado sea mayor que 500 el número formado sea mayor que 200 y menor que 600 suponga que si se pueden repetir los dígitos 15. En una competencia hay 3 franceses, 5 mexicanos y 6 japoneses, de cuantas formas puede ganarse el primer, segundo y tercer lugar si: no hay condición los tres deben ser de igual nacionalidad el primer lugar no puede ser japonés el tercer lugar tiene que ser un mexicano no debe haber ningún francés 16. ¿Cuántas palabras diferentes pueden formarse con las letras de la palabra CACATUA?
17. Se va a hacer una muestra gastronómica y se tienen 9 platos regionales que van a colocarse en una mesa redonda, ¿de cuántas maneras diferentes pueden colocarse si: la mesa tiene 6 lugares la mesa tiene 9 lugares 18. A una reunión asisten el presidente, el vicepresidente y el secretario de Canadá, Argentina y Chile y van a sentarse en una mesa redonda, ¿de cuántas formas pueden hacerlo si: los representantes del mismo país deben estar juntos los tres presidentes deben de estar juntos el presidente de Canadá tiene ya asignado su lugar no hay condición Resultados
1. a) 72,900 maneras; b) 13,500 maneras. 2. a) 24 formas; b) 264 formas. 3. 302,400 palabras. 4. 360 placas. 5. a) 241,920 maneras; b) 725,760 maneras; c) 2,903,040 maneras. 6. 1,152 maneras. 7. 1,260 señales. 8. a) 24 maneras; b) 12 maneras. 9. 600 formas. 10. 4,096 maneras. 11. 504 formas. 12. a) 39,916,800 formas; b) 20,736 formas; c) 10,886,400 formas; d) 967,680 formas. 13. a) 100,800 placas; b) 518,616 placas. 14. a) 80 números; b) 20 números; c) 60 números; d) 60 números; e) 216 números. 15. a) 2184; b) 186; c) 1248; d) 780; e) 990. 16. 420 palabras.
17.
a) 10,080 maneras; b) 40,320 maneras.
18.
a) 432 formas; b) 4,320 formas; c) 40,320 formas; d) 40,320 formas.
COMBINACIONES
Combinaciones Sin repetición o combinaciones. Definición. Sea un conjunto de n elementos distintos. Una combinación de tamaño r es cualquier arreglo no ordenado de r en sus elementos. Se denota:
Cr =
n
n! r!(n-r)!
Combinaciones con repetición. Definición. Una combinación con repetición de tamaño r es una colección no ordenada de r objetos elegidos entre n tipos diferentes de objetos donde tenemos un número ilimitado de elementos de cada tipo. Se denotara:
CRr = n-1+r Cr
n
Ejemplo 1: En una fiesta se tiene una nevera con muchas cervezas de 4 tipos diferentes: clara, obscura, light y de raíz. A un mesero le piden 7 cervezas ¿de cuántas formas puede elegirlas? Ejemplo 2: En una pastelería hay 5 tipos de pasteles, ¿de cuántas formas podemos elegir 4 pasteles?
Propiedades de las combinaciones.
Nota: Toda nCk donde 0 < n < k Ck = nCn-k
•
n
•
n
•
n
•
n
n
Ck = 0
con 0 < k < n
C0 = nCn = 1 C1 = nCn-1 = n Ck-1 + nCk = n+1Ck
con 0 < k < n
Ejercicios de combinaciones.
1. Se quiere formar un comité de 4 personas de entre un grupo formado por 12 hombres y 8 mujeres. ¿De cuántas maneras es posible hacerlo si: a) no hay ninguna condición? b) debe haber exactamente un hombre? c) debe haber al menos un hombre? d) todos deben ser de igual sexo?
2. Un equipo de basquetbol se compone de 11 elementos. ¿Cuántos partidos se pueden jugar sin repetir la misma quinteta si: a) no hay condición alguna? b) hay dos elementos que en caso de jugar necesariamente lo hacen juntos? c) hay dos elementos que, en caso de jugar, no pueden hacerlo juntos?
3. Un alumno debe contestar 8 de 10 preguntas en un examen; ¿de cuántas formas diferentes puede hacerlo si: a) no hay condición alguna? b) las 3 primeras preguntas son obligatorias? c) al menos 1 de las 3 primeras preguntas es obligatoria? d) al menos 2 de las 3 primeras preguntas es obligatoria?
4. Se tienen 30 monedas de las cuales 13 son de $10, 10 son de $5 y 7 son de $1. Se van a elegir 5 monedas para regalar a un niño. ¿De cuántas maneras diferentes puede hacerse si:
a) todas deben ser de igual denominación? b) ninguna debe ser de $10? c) al menos 1 moneda debe ser de $10? d) debe haber exactamente 3 monedas de $10?
5. De entre los alumnos de 5 de las facultades de la UADY (Ingeniería civil, Contaduría, Medicina, Odontología y Matemáticas) van a elegirse a 12 para cierto proyecto; tomando en cuenta la facultad de la que vienen los alumnos elegidos, ¿cuántos grupos diferentes pueden formarse?
6. En un plano hay 10 puntos de los cuales 4 y sólo 4 son colineales. Con dichos puntos precise: a) cuántas rectas determinan? b) cuántos triángulos determinan?
7. Una persona recibe una mano de póker (5 cartas) de una baraja corriente de 52 cartas. Encuentra el número diferente de juegos que la persona puede recibir si: a) 4 cartas deben ser de la misma denominación? b) debe tener una flor? c) debe tener una escalera flor? d) debe haber exactamente dos cartas con 6 ó menor? e) debe haber al menos 3 cartas de trébol?
8. En una preparatoria se van a elegir 10 alumnos para realizarles ciertas pruebas; tomando en cuenta únicamente el grado escolar, ¿cuántos grupos diferentes pueden formarse?
9. Una empresa fabrica 3 productos que llamaremos A, B y C; suponga que un inspector de calidad va a elegir 8 artículos; ¿cuántos grupos diferentes pueden formarse?
10. En una tienda de mascotas hay 3 perros, 5 hamsters y 2 loros; una persona va a comprar 3 animales, ¿de cuántas formas diferentes puede escogerlos si: a)
no hay condición
b)
todos deben ser del mismo tipo
c)
debe haber 2 hamsters exactamente
d)
debe haber al menos 1 perro
e)
no debe de haber ningún loro
f)
debe de haber uno de cada tipo
11. ¿De cuántas diferentes maneras pueden elegirse a 3 de 20 ayudantes de laboratorio para auxiliar un experimento?
12.
En un departamento de ingeniería hay 4 Ing. industriales, 5 Ing. Mecánicos y 2 Ing. en Sistemas. Va a formarse un grupo de 3 ing. para llevar a cabo cierto proyecto, ¿de cuántas formas es posible hacerlo si:
a) no hay condición alguna? b) debe haber un ingeniero de cada tipo? c) debe haber al menos un Ing. Industrial?
d) todos deben ser de igual profesión? e) no haya ningún Ing. Industrial? 13. En el departamento de calidad hay 3 mujeres y 6 hombres, de ellos se elegirá a 3 para ir a un curso de calidad, ¿de cuántas formas puede elegirse si: a)
entre ellos hay un matrimonio y de asistir al curso, lo hacen juntos
b) dos personas no se llevan y no pueden asistir juntas al curso c) debe haber al menos 2 hombres d) todos deben ser de igual sexo e) no hay condición
14.
El producto terminado de cierta fábrica se clasifica en: bueno, regular y malo. Suponga que llega un inspector de calidad y toma 6 artículos del almacén de producto terminado de dicha fábrica; ¿en cuántas formas diferentes un inspector puede elegir los productos?
15. Una tienda de artículos electrodomésticos posee en existencia 8 clases de refrigeradores, 6 tipos de lavadores y 5 clases de hornos de microondas. ¿En cuántas formas diferentes pueden elegirse 2 artículos de cada clase para una barata?
16.
En un laboratorio se tiene 12 ratas entrenadas de las cuales, al sonar la campana 6 van hacia la derecha, 4 hacia la izquierda y 2 hacia el centro. Se eligen 4 ratas de cuántas formas puedo hacerlo para que al sonar la campana: a)
todas vayan en la misma dirección
b)
al menos una vaya hacia el centro
c)
ninguna vaya a la derecha
d)
exactamente 1 vaya a la izquierda Resultados
1. a) 4,845 maneras; b) 672 maneras; c) 4,775 maneras; d) 565 maneras. 2. a) 462 partidos; b) 210 partidos; c) 378 partidos. 3. a) 45 formas; b) 21 formas; c) 45 formas; d) 42 formas. 4. a) 1,560 maneras; b) 6,188 maneras; c) 136,318 maneras; d) 38,896 maneras. 5. 1,820 grupos. 6. a) 40 rectas; b) 116 triángulos. 7. a) 624 juegos; b) 5,148 juegos; c) 40 juegos; d) 904,176 juegos; e) 241,098 juegos. 8. 66 grupos. 9. 45 grupos. 10. a) 120 formas; b) 11 formas; c) 50 formas; d) 85 formas; e) 56 formas; f) 30 formas. 11. De 1,140 maneras. 12. a) 165 formas; b) 40 formas; c) 130 formas; d) 14 formas; e) 35 formas.
13.
a) 42 formas; b) 77 formas; c) 65 formas; d) 21 formas; e) 84 formas.
14. En 28 formas. 15. De 4,200 formas.
16.
a) 16 formas; b) 285 formas; c) 15 formas; d) 224 formas.
CONJUNTOS
Definición. Un conjunto es una colección de objetos, denominados elementos.
Operaciones con conjuntos. Unión. La unión de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos contenidos al menos una vez en los conjuntos. La unión del conjunto A y del conjunto B son los elementos que aparecen en A ó en B ó en ambos (sin repetir elementos). Intersección. La intersección de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos contenidos simultáneamente en todos los conjuntos. La intersección del conjunto A y del conjunto B son los elementos que aparecen en A y en B al mismo tiempo. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. Complemento de A se denota: A c o A'. Diferencia. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. En teoría de conjuntos, se denomina conjunto diferencia de A y B (A – B) al conjunto formado por todos los elementos que están en A, pero no están en B.
Ejercicios de conjuntos con combinaciones
1. Para un estudio de mercado se realizó una encuesta a 83 amas de casa de cierta colonia popular de la ciudad con la finalidad de saber si tenían refrigerador, televisor y lavadora en sus hogares. Los resultados de las encuestas son los siguientes: 40 casas tienen refrigerador 38 casas tienen televisor 33 casas tienen lavadora 18 casas tienen refrigerador y televisor 15 casas tienen refrigerador y lavadora 14 casas tienen televisor y lavadora 8 casas tienen los 3 artículos. Calcula de cuántas maneras distintas podemos formar un grupo de 4 de ellas si: a)
2 deben de tener refrigerador pero no televisor ni lavadora y las otras 2 no deben tener ningún artículo.
b)
Las 4 deben tener refrigerador pero no lavadora.
c)
Las 4 deben tener refrigerador.
d)
Las 4 deben tener televisor y lavadora.
e)
3 deben tener sólo televisor y 1 debe tener lavadora y refrigerador.
f)
1 debe de tener sólo refrigerador, 1 debe de tener solo televisor, 1 debe de tener solo lavadora y 1 debe de tener los 3 artículos.
2. Se hizo una encuesta a 85 amas de casa de cierta colonia para saber si tenían hijos, si tenían mascota y si tenían carro propio; a continuación se presentan los resultados: 25 tienen carro propio 60 tienen hijos 32 tienen mascota 20 tienen hijos y mascota 15 tienen hijos y carro propio 10 tienen mascota y carro propio 7 tienen hijos, mascota y carro propio Suponga que se eligen 5 amas de casa al azar; ¿cuántos grupos diferentes puedo formar si: a)
al menos 3 deben tener hijos.
b)
Exactamente 2 de ellas deben tener carro propio pero no mascota y 3 de ellas no deben tener ninguna de las 3 cosas.
c)
Máximo 2 de ellas deben de tener al menos dos cosas.
d)
3 de ellas deben de tener mascota y carro pero no hijos y las otras dos deben tener nada.
e)
las 5 tengan mascota o hijos.
f)
las 5 tengan máximo una de las 3 cosas.
3. Se llevó a cabo una encuesta a 100 personas de una universidad para saber cuántos hablan a un nivel intermedio inglés, francés o ambos idiomas, los resultados fueron los siguientes: 65 personas hablan inglés 20 personas hablan francés 14 personas hablan inglés y francés a)
Suponga que se elige una persona de cuántas maneras diferentes puedo hacerlo si quiero que hable al menos 1 idioma.
b)
Si se eligen 3 personas, ¿de cuántas formas puedo hacerlo si requiero que 2 de ellas hablen únicamente inglés y 1 de ellas no hable ninguno de los dos idiomas?
c)
Si se eligen 4 personas, ¿de cuántas formas puedo hacerlo si quiero que las 4 hablen máximo 1 idioma? Resultados
1. a) 5,775 maneras; b) 12,650 maneras; c) 91,390 maneras; d) 1,001 maneras; e) 4,004 maneras; f) 20,160 maneras. 2. a) 27,918,387 grupos; b) 2,100 grupos; c) 24,500,151 grupos; d) 15 grupos; e) 13,991,544 grupos; f) 3,162,510 grupos. 3. a) 71 formas; b) 36,975 formas; c) 2,123,555 formas.
PROCESOS ESTOCASTICOS
Definición: Un proceso estocástico es aquel en el que se representan todos y cada uno de los pasos necesarios para realizar una actividad, además de las formas o maneras en que cada uno de los pasos puede ser llevado a efecto y sus respectivas probabilidades, dicho de otra manera, cualquier proceso en el que se involucren probabilidades es un proceso estocástico.
Ejercicios de procesos estocásticos
1. Una persona tiene tiempo de jugar la ruleta 4 veces. En cada juego gana o pierde $100. Empieza con $100 y dejará de jugar antes de la quinta vez si pierde todo su dinero o si gana $300, es decir, tiene $400. ¿De cuántas maneras es posible hacer la apuesta?
2. Sonia se compró 2 pantalones (1 de mezclilla y 1 de tela), 3 blusas (1, 2 y 3) y 2 pares de zapatos (unos tenis y unos mocasines), a) ¿Cuántas combinaciones diferentes puede hacer con estas prendas b) ¿En cuántas combinaciones utiliza los tenis c) ¿En cuántas combinaciones utiliza la blusa 2?
3. Carlos está jugando cartas con Luis; el ganador de cada partida recibe $50 (los da el perdedor). Debido a cuestiones de tiempo Carlos y Luis pueden jugar hasta 5 veces. El juego se detendrá antes de la quinta partida si alguno ya ganó $100. a) ¿De cuántas maneras puede desarrollarse el juego? b) ¿En cuántas maneras el juego se termina en la quinta partida? c) ¿En cuántas opciones alguno de los jugadores gana $100?
4. Los equipos A y B juegan la serie mundial de béisbol, donde el equipo que gane primero 4 juegos ganará la serie. Suponga que A gana el primer juego y que el equipo que gane el segundo juego, ganará también el cuarto juego. a) ¿De cuántas maneras puede ocurrir la serie? b) ¿En cuántas ganará B la serie? c) ¿En cuántas durará la serie los siete juegos?
5. Suponga que A, B, C, D, E y representan islas y las líneas que los conectan son los puentes. Una persona está en A y va de isla en isla. Se detiene cuando no puede cambiar de isla sin cruzar un mismo puente dos veces. a)
¿Cuántos caminos diferentes puede seguir?
b)
¿En qué islas puede detenerse?
6. Si los cinco finalistas de un campeonato internacional de volibol son España, Estados Unidos, Uruguay, Portugal y Japón, dibújese un diagrama de árbol que muestre los distintos finalistas posibles para el primer y segundo lugar. a) ¿Cuántas formas hay de que Uruguay o Portugal queden en alguno de estos dos lugares? b) ¿Cuántas formas hay para que España y Estados Unidos queden en alguno de estos dos lugares? Resultados
1. 7 maneras. 2. a) 12 combinaciones; b) 6 combinaciones; c) 4 combinaciones. 3. a) 14 maneras; b) 8 maneras; c) 6 maneras. 4.
a) 15 maneras; b) 7 maneras; c) 8 maneras.
5.
a) 11 maneras; b) B, D y E.
6.
a) 14 formas; b) 2 formas
