A n e x o
CONJUNTOS Y TÉCNICAS DE CONTEO
A
A.1 Definiciones Este apéndice presenta los conceptos fundamentales de la teoría de conjuntos que serán de gran utilidad para este libro.
Definición A.1 Un conjunto es una colección de objetos formada de acuerdo con cierta regla, regla, de tal manera que siempre siempre es posible decidir si un objeto objeto dado, cualquiera, pertenece o no a dicha dicha colección. Generalmente, Generalmente, a los conjuntos los representaremos con letras mayúsculas mayúsculas y a los objetos que lo forman con letras minúsculas. Si A es un conjunto y a es un objeto que forma parte de ese conjunto, decimos que a es un elemento de A, o que que a pertenece al conjunto A y se escribe a A
Por lo contrario, contrario, escribimos escribimos
/ A a si el objeto a no es elemento del conjunto A. Existen dos maneras de describir conjuntos:
1. Por Por extens extensión ión:: Poniendo entre llaves sus elementos y separando los mismos por comas. Por ejemplo, A {1, c, r , 3, 4}
forman parte del del conjunto se describen a 2. Por Por condic condición ión:: En este caso, los elementos que forman través de una o varias condiciones condiciones que deben cumplir. cumplir. Por ejemplo, si se desea formar el con junto de los números pares, pares, escribimos E { x : x es número entero positivo par}
o E { x | x número entero positivo par}
Los símb símbolo oloss “ : ” y “ | ” sustit sustituye uyen n a la frase frase “tal “tales es que” que”.. Es claro que el conjunto E , descrito descrito arriba, arriba, también también se puede escribir escribir por extensión: extensión: .} E {2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .}
1
donde los puntos suspensivos representan la frase “así sucesivamente”. Entonces, por ejemplo se tiene r A 1 / A
64 E
/ E 25
y
Subconjuntos Definición A.2 Se dice que un conjunto B es subconjunto de un conjunto A si todo elemento de B pertenece también al conjunto A. Se escribe entonces B A
o B A
y también se acostumbra decir que B está contenido en A. La figura A-1 es un esquema llamado diagrama de Venn, para representar esta idea. Escribiremos / A para decir que B no es un subconjunto de A ( B no está contenido en A); lo cual significa que, B por lo menos, un elemento de B no es elemento de A. La figura A-2 contiene el diagrama correspondiente para este hecho.
Ejemplo A.1
Si A {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} B {3, 13, 17} C {2, 3, 4, 7, 8}
entonces B A, pero
/ A C Nota: Observe que, por definición, todo conjunto es subconjunto de sí mismo.
Igualdad de conjuntos Definición A.3 Dos conjuntos A y B son iguales, A B, si y sólo si A o B y B o A; es decir, todo elemento de A pertence a B y viceversa.
U
U B
B
A
A
FIGURA A-1
Diagrama de Venn para representar A
2
Anexo A
B
Conjuntos y técnicas de conteo
FIGURA A-2
Diagrama de Venn para representar A
/ B
Ejemplo A.2
Sean A { x : ( x 1)( x 2) 0}, 2 B { x : x x 2 0} y
C {2, 1}
es claro que A B C .
Ejemplo A.3
Sean A {2, 3, 1} B = {1, 2, 3}
Puesto que A B y B A, se tiene que A B.
Ejemplo A.4
Si A {1, 2, 3, 2, 4}y B {1, 2, 3, 4}
dado que A B y B A, entonces A B.
Nota: Observe que cuando se describe un conjunto, la repetición del mismo elemento es redundante; es decir, cuando listamos los elementos de un conjunto, separándolos por comas, basta que cada elemento aparezca una sola vez en dicha lista. De aquí en adelante, supondremos que en todo con junto sus respectivos elementos aparecen sólo una vez.
Conjunto Universo Cuando se trabaja con un grupo de conjuntos A, B, C , etc., donde todos los elementos de cada uno de ellos pertenecen a un mismo conjunto U ; es decir, A U , B U , etc., decimos que el conjunto U es un conjunto Universo para estos conjuntos. Por ejemplo, si en un contexto dado, todos los con juntos con los que se está trabajando son determinadas clases de números, un conjunto universo para ellos puede ser el conjunto U de todos los números reales. Es frecuente que no se especifique un conjunto universo y dentro del contexto quede implícitamente claro cual puede ser un conjunto Universo. Por ejemplo, para los conjuntos A { x : x gana ente 1,000 y 2,000 dólares} B { x : x tiene memoria entre 30 y 50 gigabytes}
es obvio que pueden tener como conjuntos universo a U 1, el conjunto de seres humanos, y a U 2, el conjunto de computadoras, respectivamente.
Conjunto vacío Es conveniente también considerar como conjunto aquel que no tiene elementos, al cual llamaremos conjunto vacío y se representa por el símbolo . También es conveniente considerar al conjunto vacío como subconjunto de todo conjunto; es decir A
para todo conjunto A.
Cardinalidad Definición A.4 Si A es un conjunto con un número finito de elementos, a dicho número se le llama la cardinalidad de A. En este anexo a la cardinalidad de A, la descibiremos como | A | . Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
3
Ejemplo A.5
Si A {a, e, i, o, u}, B { x : x está inscrito en el padrón electoral del Distrito Federal}
entonces | A | 5 | B | = 6,000,000
Nota: Claramente | | 0.
A.2 Operaciones con conjuntos Unión de conjuntos Definición A.5
Sean A y B dos conjuntos. Se define y describe la unión de ellos como A B { x : x A o x B]
Es decir, la unión de dos conjuntos consta de aquellos elementos que pertenecen por lo menos a uno de ellos. La figura A-3 contiene el diagrama de Venn para la unión de conjuntos.
Ejemplo A.6
Si A {2, t , u, 9, 4, d } y B {1, s, 2, *, 4, pepe}
entonces A B {2, t , u, 9, 4, d , 1, s, *, pepe]
Intersección de conjuntos Definición A.6
Si A y B son dos conjuntos, se define y denota la intersección de los mismos como A B { x : x A y x B}
El diagrama de Venn para la intersección de conjuntos está contenido en la figura A-4.
Ejemplo A.7
Sean los conjuntos A y B del ejemplo A.6, entonces A B {2, 4}
U
U
A
B
FIGURA A-3 Diagrama de Venn para la unión de conjuntos A B
4
Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
A
B
FIGURA A-4 Diagrama de Venn para la intersección de dos conjuntos A B
Ejemplo A.8
Sean A {1, 3, 5, 7, . . . }, B {2, 4, 6, . .. }, entonces A B
Definición A.7 Cuando dos conjuntos tengan intersección vacía, se dirá que son disjuntos. También es costumbre, en la jerga de probabilidad, decir que son mutuamente excluyentes .
Complemento de un conjunto Definición A.8 Sean A un conjunto y U un conjunto universal de A. Se define y describe el complemento de A (relativo a U ) por c
A { x U : x A]
el diagrama de Venn correspondiente se encuentra en la figura A-5.
Ejemplo A.9
Sean U {1, 2, 3, . . . } , E {2, 4, 6, . . . },
entonces c E {1, 3, 5, . . . }
Nota: Observe que ( Ac )c A para todo conjunto A.
Diferencia de conjuntos Definición A.9 define como
Sean A, B un par de conjuntos. La diferencia del conjunto A con el conjunto B se A B { x : x A y x B]
El diagrama de Venn para la diferencia de conjuntos está contenido en la figura A-6.
Ejemplo A.10
Si A y B son los conjuntos del ejemplo A.6, entonces A B {t , u, 9, d } y B A {1, s, *, pepe}
Leyes de DeMorgan Existen dos reglas bastante útiles en la teoría de conjuntos llamadas leyes de DeMorgan, que enunciamos a continuación y cuya demostración se deja como ejercicio, mediante diagramas de Venn, al lector. U
U
A
B
A
FIGURA A-5 Diagrama de Venn para el complemento de un conjunto
FIGURA A-6 Diagrama de Venn para la diferencia de conjuntos A B Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
5
Teorema A.1
Sean A y B un par de conjuntos, entonces 1. ( A B)c Ac Bc 2. ( A B)c Ac Bc
Propiedades A continuación, resumimos las principales propiedades de las operaciones entre conjuntos, las cuales son fáciles de comprobar y se dejan como ejercio al lector.
Leyes de idempotencia 1. A A A 2. A A A
Leyes de asociatividad 1. ( A B) C A ( B C ) 2. ( A B) C A ( B C )
Leyed de conmutatividad 1. A B B A 2. A B B A
Leyes de distributividad 1. A ( B C ) ( A B) ( A C ) 2. A ( B C ) ( A B) ( A C )
Leyes de identidad 1. A A 2. A 3. A U U 4. A U A
Leyes de complemento 1. A Ac U 2. A Ac 3. ( Ac )c A 4. U c 5. c U
Leyes de DeMorgan 1. ( A B)c Ac Bc 2. ( A B)c Ac Bc Finalmente, el siguente teorema es bastante útil en la práctica. Nuevamente, su demostración se deja de ejercicio al lector.
Teorema A.2
Cada una de las siguentes condiciones son equivalentes a A B.
1. A B A 2. A B B 3. Bc Ac 4. A Bc
6
Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
Producto cartesiano de conjuntos Definición A.10 Si a, b son un par de objetos, se representa la pareja ordenada formada por ellos como (a, b). Se dice que las parejas ordenadas (a, b) y (c, d ) son iguales —(a, b) (c, d )—, si y sólo si a c y b d . De la definición precedente, se tiene que (1, 2) (2, 1), de aquí el nombre de pareja ordenada en esta definición.
Definición A.11 Sean A y B un par de conjuntos, se denota y describe y define el producto cartesiano de estos conjuntos como A B {(a, b) : a A y b B}
Ejemplo A.11
Sean A {1, 2, 3}, B {a, b, c, d }, entonces
A B {(1, a), (1, b), (1, c), (1, d ), (2, a), (2, b), (2, c), (2, d ), (3, a), (3, b), (3, c), (3, d )}
Nota: Observe que, en general, A B B A
Clases de conjuntos Frecuentemente, los elementos de un conjunto son a su vez conjuntos (recuerde que los elementos de un conjunto pueden ser de cualquier naturaleza). Un caso familiar es una liga deportiva que es un conjunto y sus elementos (equipos) son a su vez conjuntos (de personas). Por ejemplo, los elementos de la clase de conjuntos {{2, 1}, {a}, {1, 2, a}, {1}} son {2, 1}, {a}, {1, 2, a}
y
{1}
Conjunto potencia Un caso particularmente importante de clases de conjuntos es el que se forma con todos los subcon juntos de un conjunto dado, al cual se le llama conjunto potencia.
Definición A.12
Sea A un conjunto. Se define el conjunto potencia de A como P ( A)
Ejemplo A.12
{S : S A}
Sea A {1, 2, 3}, entonces P (A)
{, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
(recuerde que es siempre subconjunto de todo conjunto y que, por definición, todo conjunto es subconjunto de sí mismo).
Notas: • No debe confundirse al elemento a con el conjunto que tiene como único elemento al objeto a; es decir, {a}. •
Tampoco debe confundirse al conjunto {a, b}( {b, c}) con la pareja ordenada ( a, b) (6 (b, a)).
Cardinalidad del conjunto potencia Se puede probar que si A es finito con cardinalidad n, esto es, | A | n, entonces | P ( A) | 2n; es decir, que si A tiene n elementos, entonces P ( A) tiene 2n elementos.
Ejemplo A.13 Haciendo referencia al ejemplo A.12, | A | 3, por tanto | P ( A) 23 8, como se puede verificar en el mismo ejemplo. Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
7
A.3 Fórmulas de cardinalidad Si A y B son conjuntos disjuntos (A B ) con cardinalidad finita, entonces
Teorema A.3
| A B | | A | | B |
Teorema A.4
Si A y B son conjuntos con cardinalidad finita, entonces | A B | | A | | A B |
Demostración:
Se tiene que A ( A B) ( A B)
y
( A B) ( A B)
por el teorema precedente | A | | ( A B) ( A B) | | A B | | A B |
de donde | A B | | A | | A B |
Teorema A.5
Si A y B son conjuntos con cardinalidad finita (no necesariamente disjuntos), entonces | A B | | A | | B | | A B |
Demostración:
Puesto que los conjuntos A B, B A y A B son mutuamente excluyentes y A B ( A B) ( A B) ( B A)
de los dos teoremas precedentes se tiene que | A B | | ( A B) ( A B) ( B A)| | A B | | A B | | B A | | A | | A B | | A B | | B | | B A | | A | | B | | A B |
Ejemplo A.14 Suponga que en una lista de compradores de los productos A y B, la lista de los compradores del producto A contiene 30 nombres y la lista del producto B contiene 35 nombres, mientras que ambas listas coinciden en 20 nombres. 1. ¿Cuántos nombres ditintos contienen en total las listas de los productos A o B? 2. ¿Cuántos compradores consumen sólo el producto A? 3. ¿Cuántos compradores consumen sólo el producto B? 4. ¿Cuántos compradores consumen sólo el producto A o sólo el producto B? Solución: Asuma que A y B, respectivamente, describen las listas de los compradores de cada producto. De acuerdo con los datos, | A | 30, | B | 35 y | A B | 20. Entonces, las respuestas a cada pregunta son: 1. | A B | | A | | B | | A B | 30 35 20 45 2. | A B | | A | | A B | 30 20 10 3. | B A | | B | | A B | 35 20 15 4. | ( A B) ( B A) | 15 10 25
8
Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
A.4 Algunos conjuntos de uso frecuente Esta sección tiene como único objetivo fijar notaciones que se emplean para representar ciertos con juntos usados muy frecuentemente.
Números naturales:
{1, 2, 3, 4, . . .}
Números enteros:
{. . . , 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Números racionales:
{ q | p, q , p 0}
p
/ Q} { x : x
Números irracionales:
Números reales: Intervalo cerrado:
[a, b] { x : a x b}
Intervalo abierto:
(a, b) { x : a x b}
Intervalos semicerrados (semiabiertos): [a, b) { x : a x b}; (a, b] { x : a x b} [a, ∞) { x : x a}; (∞ , b] { x : x b} [de manera análoga se definen (∞ , b) y (a, ∞).]
Intervalos no acotados:
A.5 Principio fundamental del conteo Teorema A.6 Si una operación se puede llevar a cabo en m formas distintas y si para cada una de éstas se puede realizar una segunda operación en n formas distintas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar en mn formas. La figura A-7 ilustra la demostración de este principio. Para cada una de las posibilidades de la primera operación existen n formas distintas de hacer la segunda, y puesto que hay m maneras distintas de hacer la primera, entonces exiten mn formas de ejecutar las dos operaciones. Ejemplo A.15 Se lanzan un par de dados y se registran los números que aparecen en las caras que caen hacia arriba. ¿Cuántos distintos resultados se obtienen? Solución: El primer dado puede caer en cualquiera de 6 maneras. Para cada una de esas 6 maneras el segundo dado también puede caer en 6 formas. Por tanto, el número total de resultados posibles es mn 6 6 36 1 1 n 1 2 n
FIGURA A-7 Diagrama para contar posibilidades
1 m n
Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
9
Ejemplo A.16 Un corredor de bienes raíces ofrece a los futuros compradores de una residencia la elección del estilo de la fachada entre moderna, rústica, colonial y tradicional en un piso, dos pisos y desniveles. ¿En cuántas formas diferentes puede ordenar un comprador una de estas casas? Solución: Para este caso, m 4 y n 3, por tanto la respuesta es mn 4 3 12
Nota: Es claro que el principio fundamental del conteo se puede generalizar cuando se tienen k operaciones, cada una con ni, i 1, 2, . . . , k , posibilidades, dando como resultado n1n2 nk
Ejemplo A.17 ¿Cuántos números de tres dígitos se pueden formar a partir de los dígitos 1, 2, 5 y 6, si cada dígito se puede usar sólo una vez? Solución: Para este caso, n1 4, n2 3 y n3 2, por tanto la respuesta es 4 3 2 24
A.6 Permutaciones Definición A.13 Se dice que una ordenación de un conjunto de n objetos es una permutación de los mismos. Una ordenación de r de estos objetos (r n) es una permutación de los n objetos tomados r a la vez (o una r -permutación). Ejemplo A.18 Consideremos el conjunto {a, b, c, d }. Entonces 1. bdca, dbca y acdb, son permutaciones de cuatro letras (tomadas todas a la vez). 2. bad , adb, cbd y bca son permutaciones de las cuatro letras tomadas 3 a la vez. 3. ad , da, bd y cb son permutaciones de 4 letras tomadas 2 a la vez. El número de permutaciones de n objetos tomados r a la vez se denota por n Pr o P(n, r ).
Ejemplo A.19 Se van a hacer placas de cuatro dígitos con los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 sin que se repita un mismo dígito en cada placa. ¿Cuántas placas distintas se pueden hacer? Solución: El primer dígito se puede elegir de entre 6, el segundo de entre 5, el tercero de entre 4 y el último de entre 3. Lo anterior se representa en el siguiente esquema: 6
5
4
3
Por el principio fundamental del conteo, el número de placas distintas es 6 5 4 3 360
Notación factorial Utilizaremos la notación n! para representar el factorial de un número entero no negativo. La forma de definir el factorial es la siguiente: 0! 1 1! 1 2! 1 2 3! 1 2 3 . . . n! 1 2 3 n (n 1)!n
10
Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
Así, 4! 1 2 3 4 24 6! 1 2 3 4 5 6 4! 5 6 24 5 6 720 etcétera.
Teorema A.7 P(n, r ) n(n 1)(n 2) (n (r 1)) n(n 1)(n 2) (n r 1)
n! (n r )!
Demostración: De manera análoga al ejemplo A.19, el primer elemento tiene n opciones de elección, el segundo n 1, . . . , el r -ésimo n (r 1) opciones. Partiendo del principio fundamental del conteo se tiene que P(n, r ) n(n 1) (n (r 1)) n(n 1) (n r 1)
Lo cual prueba la primera parte del teorema. Por otro lado, n! (n r )!(n r 1)(n r 2) (n 1)n
de donde n(n 1) (n r 1) n! n(n r )!
Teorema A.8
El número de permutaciones de n objetos (tomados todos a la vez) es P(n, n) n!
Ejemplo A.20 tres sillas?
¿De cuántas formas distintas se pueden sentar las personas a, b y c en una fila de
Solución: En este caso, se tiene una permutación de tres objetos (tomados todos a la vez). Por tanto son 3! 1 2 3 6 formas distintas. La figura A-8 puede ayudar para hacer explícitos todos los casos. b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
a
b
FIGURA A-8 Diagrama de árbol para permutaciones de tres objetos
c
Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
11
La siguente tabla contiene las formas distintas en las que se pueden sentar las tres personas: abc
acb
bac
bca
cb
cba
Ejemplo A.21 ¿Cuántas claves de dos letras se pueden formar (sin repetir ninguna en el código), con las letras a, b, c, d ? Solución: En este caso, son las permutaciones de cuatro objetos tomados sólo dos a la vez: P(4, 2)
4!
(4 2)! 4! 2!
2! 3 4 2!
34 12
Los códigos son: ab, ac, ad , ba, bc, bd , ca, cb, cd , da, db, dc.
Ejemplo A.22 Se desea formar placas para automóvil con tres dígitos del 0 al 9. Pero se permite que existan repeticiones de cada dígito. ¿Cuántas placas distintas es posible formar? Solución: En este caso, el primer dígito se puede elegir de entre 10, el segundo de entre 10 y el tercero de entre 10 (pues es válido repetir dígitos), entonces, por el principio fundamental del conteo el número de placas distintas es 3
10 10 10 10 1,000
A.7 Combinaciones En las permutaciones, el orden es sustancial para diferenciar un caso de otro. Así, en una permutación, la palabra abc es distinta de acb. Suponga que desea formar un comité de tres personas de entre un grupo de 6 y que las letras a, b, c, d , e, f representan a las personas. Entonces, el comité formado por a, b y c es el mismo que el formado por a, c y b; es decir, en este proceso, el orden no importa, a diferencia de lo que sucede en las permutaciones. Cuando esto sucede se dice que se forma una combinación. En realidad, en este caso, estamos interesados en el número de subconjuntos con tres elementos que se pueden formar con los elementos del conjunto {a, b, c, d , e, f }, pues, como sabemos, en un conjunto no importa el orden en el que aparecen sus elementos sino los elementos que contiene para diferenciarlo de otros conjuntos.
Definición A.14 Una combinación de n objetos tomando k a la vez, es cualquier subconjunto de cardinalidad k de estos n objetos. Supongamos que tenemos n objetos, a1, a2, . . . , an y queremos conocer el número de combinaciones de k objetos que podemos formar con ellos. Representemos este número con nCk . Una de las conbinaciones es {a1, a2, . . . , ak }. Note que la permutación a1a2. . . ak produce k ! permutaciones distintas de los n objetos tomados k a la vez. Por tanto, se tiene que k !nC k P(n, k )
12
Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
es decir, n! k !nC k (n k )!
por tanto C k
n
n! k !(n k )!
Con lo que hemos probado el siguiente teorema.
Teorema A.9
El número de combinaciones de n objetos tomados k a la vez está dado por C k
n
n! k !(n k )!
Existe una notación clásica en lugar de nC k para representar el número de combinaciones: la notación, que emplea el coeficiente binomial. Se describe como
n k
en lugar de C k
n
pues es más sencillo recordar la fórmula
n n! k k !(n k )!
mediante esta notación que empleando nC k . Además, este coeficiente está relacionado con otro importante tema de las matemáticas el llamado teorema del binomio.
Ejemplo A.23
Encontrar el número de distintos comités de tres elementos que es posible formar,
a partir de un grupo de 6 personas.
Solución:
Para este caso, n 6 y k 3, entonces la respuesta está dada por
6
6! 3!(6 3)!
6! 3! 3!
3! 4 5 6 3! 3!
4 5 6 3!
45 20
Anexo A
Conjuntos y técnicas de conteo
13
A.8 Teorema del binomio Teorema A.10
Si a y b son números reales; entonces, n
n
(a b)
Ejemplo A.24
nk a
n
k
k k
b
0
4
(a b)4
4k a
4
k
k k
b
0
4
3
2
2
3
4
a 4a b 6a b 4ab b
14
Anexo A
4 a4 4 a3b 4 a2b2 4 ab3 4 b4 1 2 3 4
Conjuntos y técnicas de conteo
