PONTIFICIA PONTIFICIA UN UNIVERSID IVERSIDAD AD CATÓLICA DEL PERÚ INSTITUTO PARA LA CALIDAD GESTION, MEJORA Y REDISEÑO DE PROCESOS TALLER PARA LA CERTIFICACIÓN – CQPA Lista de ejercicios Indicaciones generales: La presente lista de ejercicios deberá ser resuelta y enviada a la dirección:
[email protected] El plazo máximo de entrega es el día sábado 5 de febrero de 2011 a la medianoche. medianoche. Pasada esta hora se descontará un punto por cada hora de entrega tardía.
Problema 1:
Se usan dos máquinas para llenar botellas de plástico con un volumen neto de 8, 16, 32 ó 64 onzas. El proceso de llenado depende de las condiciones ambientales y por ello para realizar esta prueba se ponen las dos máquinas a llenar el mismo tamaño. Puede suponerse que el llenado sigue una distribución normal. Uno de los miembros del personal de ingeniería de calidad sospecha que ambas máquinas hacen el llenado con el mismo volumen medio. El procedimiento para probar esto es el siguiente: se inicia la producción del mismo tamaño en ambas máquinas y se toma una muestra de cada una, luego se cambia a otro tamaño y se procede a tomar la siguiente muestra de cada máquina. Se repite este procedimiento hasta cambiar 10 veces el tamaño de la botella que se llena. Es por ello que se tiene una muestra variable de 10 botellas de cada máquina.
a) ¿El ingeniero está en lo correcto? correcto? ¿cuál es la prueba prueba que se debe debe realizar? Se dispone de la siguiente información: F-Test Two-Sample for Variances Maq A
t-Test: Two-Sample Assuming Equal Variances Maq B
Maq A
Maq B
Mean
28.26732 28.57911
Mean
28.69614 29.40398
Variance Observations
428.0563 414.3647 10 10
Variance Observations
431.9572 10
df F P(F<=f) one-tail F Critical one-tail
9
9
1 . 03 3 0 4 3 0.481086 3.178893
Pooled Variance
429.3191
Hypothesized Mean Difference df t Stat
0 18 -0.07639
P(T<=t) one-tail t Critical one-tail
0.469976 1.734064
P(T<=t) two-tail t Critical two-tail
0.939952 2 .1 0 0 9 2 2
426.681 10
t-Test: Paired Two Sample for Means t-Test: Two-Sample Assuming Unequal Variances Maq A
Maq B
Mean
29.10102 29.09854
Variance
415.1162 433.9619
Observations 10 Pearson Correlation 0. 0.999135 Hypothesized Mean
0
10
Maq A
Maq B
Mean
29.06255 28.85003
Variance Observations
420.7444 429.0308 10 10
Hypothesized Mean Difference
0
df t Stat
9 0.008074
df t Stat
18 0.023053
P(T<=t) one-tail t Critical one-tail
0.496867 1.833113
P(T<=t) one-tail t Critical one-tail
0 .4 9 0 9 3 1 1.734064
P(T<=t) two-tail t Critical two-tail
0.993734 2.262157
P(T<=t) two-tail t Critical two-tail
0 .9 8 1 8 6 2 2.100922
b) ¿Cuál es el valor p (p value) para esta prueba? c) Encuentre el intervalo de confianza para la diferencia en la medias. ¿Qué puede concluir a partir de este intervalo?
Problema 2:
A doce especímenes de láminas de acero reducido en frío con contenidos diferentes de cobre y diferentes temperaturas de recocido se les mide su dureza con los siguientes resultados: Dureza Contenido Temperatura (Rockwell 30-T) de cobre (%) Del recocido (°F) 78.9 0.02 1000 65.1 0.02 1100 55.2 0.02 1200 56.4 0.02 1300 80.9 0.10 1000 69.7 0.10 1100 57.4 0.10 1200 55.4 0.10 1300 85.3 0.18 1000 71.8 0.18 1100 60.7 0.18 1200 58.9 0.18 1300 Ajuste una ecuación de la forma y = b 0 +b1x1 + b2x2, donde x1 representa el contenido de cobre, x2 representa la temperatura de recocido y y representa la dureza. Analice el reporte, establezca sus conclusiones y estime la dureza de una lámina de acero con un contenido de cobre de 0.05% y una temperatura de recocido de 1150 °F.
Problema 3:
Una empresa dedicada a la fabricación de baterías está interesada en diseñar una batería que sea relativamente insensible a la temperatura ambiente. Para ello decide probar con tres materiales distintos: M1, M2, y M3. Para estudiar el efecto del material y la temperatura se diseña el siguiente experimento: comprobar la duración de las baterías en horas, fabricando baterías con los tres materiales y trabajando las baterías a tres niveles de temperatura: Baja, Media y Alta. El experimento se replicaba cuatro veces y los resultados obtenidos son los de la tabla adjunta: Temperatura Material
Baja
Media
Alta
M1
130 155 74 180
34 40 80 75
20 70 82 58
M2
150 188 159 126
136 122 106 115
25 70 58 45
M3
138 110 168 160
174 120 150 139
96 104 82 60
a) Enuncie las hipótesis de interés b) Pruebe las hipótesis anteriores utilizando la tabla ANOVA con α = 0.05 c) ¿A qué conclusiones llega?
Problema 4:
Se pensó que un programa de ejercicios regulares moderadamente activos podría beneficiar a los pacientes que habían sufrido un infarto de miocardio. Catorce individuos participaron en un estudio para comprobar este argumento. Antes de que empezara el programa, se determinó la capacidad de trabajo de cada persona midiendo el tiempo que se tomó para alcanzar una tasa de 160 latidos por minuto mientras caminaba sobre una rueda de andar. Después de 25 semanas de ejercicio controlado, se repitieron las medidas en la rueda de andar y se registró la diferencia en tiempo para cada sujeto. Los datos obtenidos son los de la tabla adjunta. ¿Sostienen estos datos los argumentos de los investigadores?”
Sujeto Antes Después Sujeto Antes Después
Problema 5:
1
2
3
4
5
6
7
7.6
9.9
8.6
9.5
8.4
9.2
6.4
14.7
14.1
11.8
16.1
14.7
14.1
13.2
8
9
10
11
12
13
14
9.9
8.7
10.3
8.3
8.8
8.2
9.3
12.7
13.5
12.1
13.4
11.5
15.2
11.9
Se describe una prueba de campo para detectar la presencia de arsénico en muestras de orina. La prueba se propuso para aplicarla entre trabajadores forestales debido al uso creciente de arsénicos orgánicos en esa industria. En un experimento se comparó la prueba, aplicada por un practicante y por un instructor experimentado, con el análisis en un laboratorio remoto. Se seleccionó a 4 sujetos para realizarles la prueba. La variable de respuesta es el contenido de arsénico (en ppm) en la orina de los sujetos.
Practicante Instructor Laboratorio
Sujeto 2 0.05 0.05 0.04
1 0.05 0.05 0.04
3 0.04 0.04 0.03
4 0.05 0.07 0.10
Anova: Two-Factor Without Replication SUMMARY Practicante Instructor Laboratorio
1 2 3 4
Count
4 4 4
Sum A B C
3 3 3 3
ANOVA Source of Variation SS Rows 6.67E-05 Columns G Error 0.0014 Total
0.003692
Average Variance 0.0475 2.5E-05 0.0525 0.000158 0.0525 0.001025
0.14 0.14 0.11 0.22
df D E F
0.046667 0.046667 0.036667 0.073333
3.33E-05 3.33E-05 3.33E-05 0.000633
MS 3.33E-05 J 0.000233
F H I
P-value F crit 0.869741 5.143249 0.106063 4.757055
11
a) ¿Cuál es el Bloque y las pruebas de hipótesis que se verifican? b) ¿Cuánto valen y como se calculan A, B, C, D, E, F, G, H, I, J? Explicar como se obtiene cada valor. c) ¿Cómo sería la tabla de ANOVA si no se considerara el bloque? Constrúyala a partir de os resultados. Resuelva e interprete.
Problema 6:
Se prueban cuatro diferentes disposiciones de los anaqueles de una tienda de departamentos que cuenta con seis cuadrillas de trabajadores para ensamblar, los cuales montan una sección, y se mide el tiempo que emplean (en minutos) obteniéndose los siguientes resultados:
Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D Grupo E Grupo F
Arreglo 1 48,2 49,5 50,7 48,6 47,1 52,4
Arreglo 2 53,1 52,9 56,8 50,6 51,8 57,2
Las salidas del MINITAB se muestran a continuación:
Arreglo 3 51,2 50 49,9 47,5 49,1 53,5
Arreglo 4 58,6 60,1 62,4 57,5 55,3 61,7
Two-way Analysis of Variance Analysis of Variance for Tiempo Source DF SS MS P Arreglo AA 362.36 120.79 0.000 Grupo BB 90.00 CC 0.000 Error 15 20.40 1.36 Total 23 472.76
F 88.82 DD
a) Complete los valores faltantes indicando como se calculan. b) Prueba con un nivel de significancia de 0.01 si las cuatro disposiciones producen distintos tiempos de montaje y gráficamente analice si alguno de los equipos de utilería es consistentemente más rápido al montar estos anaqueles.
Problema 7:
Una compañía de artículos de belleza está formulando un nuevo champú y está interesado en la altura de la espuma (mm) que tiene una distribución normal con una desviación estándar de 20mm. La compañía quiere probar que el promedio es 175 o que es mayor a 175, para lo cual usa el resultado de 10 muestras. a) Encuentre la probabilidad del error tipo I si la región crítica es mayor que 185 b) ¿Cuál es la probabilidad del error tipo II si la verdadera media de la altura de la espuma es 195mm? c) Si los datos de las 10 muestras dan como promedio 190, ¿cuál es la conclusión? d) ¿Qué tan raro es el valor muestral promedio de 190 si la verdadera media es en realidad 175?, es decir, ¿cuál es la probabilidad de que se observe un promedio muestral de hasta 190mm (o mayor) si la verdadera media de la altura de la espuma es 175?
Problema 8:
Una empresa embotelladora de refrescos está interesada en obtener alturas de llenado más uniformes en las botellas que se fabrican en su proceso de manufactura. Teóricamente, la máquina de llenado llena cada botella a la altura objetivo correcta, pero en la práctica, existe variación en torno a este objetivo, y a la embotelladora le gustaría entender mejor las fuentes de esta variabilidad y, en última instancia reducirla. El ingeniero del proceso puede controlar tres variables durante el proceso de llenado: el porcentaje de carbonatación (A), la presión de operación en el llenador (B) y las botellas producidas por minuto o rapidez de la línea (C). Se elige dos niveles para la presión (25 y 30 psi) y dos niveles para la rapidez de la línea (200 y 250 bpm) y dos niveles para la controlar la carbonatación (10 y 12 %). El ingeniero decide correr dos réplicas de un diseño factorial con estos tres factores, haciendo las 16 corridas de manera aleatoria. La variable de respuesta observada es la desviación promedio de la altura del llenado objetivo que se observa en una corrida de producción de botellas con cada conjunto de condiciones.
Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8
A -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
Factores codificados B -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
C -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
Desviación de la altura del llenado Replica 1 Replica 2 -3 -1 0 1 -1 0 2 3 -1 0 2 1 1 1 6 5
a) Complete la tabla ANOVA. b) Defina la relevancia de los factores. c) Calcule los efectos principales y complete la tabla: Factor
Estimación del efecto
A B C AB AC BC ABC d) Grafique los efectos principales y comente.(use la misma escala para los tres efectos principales). e) Escriba el modelo de regresión. f) Realice un análisis de los residuales. Problema 9: Harry y Judy Peterson son propietarios de un viñedo y una fabrica vinícola. Cultivan varias variedades de uva y fabrican vino. Han desarrollado diseños factoriales para el desarrollo de procesos y productos en el segmento de fabricación vinícola de su negocio. Este problema describe el experimento realizado para su Pinot Noir 1985. Las ocho variables que se estudian son:
A= B= C= D= E= F= G= H=
Variable Clon de Pinot Noir Tipo de roble Edad de la barrica Levadura Vapores Tostado de las barricas Racimos completos Temperatura de fermentación
Nivel Bajo Pommard Allier Vieja Champagne Ninguno Ligero Ninguno Baja (75 ˚F)
Nivel alto Wadenswil Troçais Nueva Montrachet Todos Medio 10% Alta (92 ˚F)
Harry y Judy decidieron usar un diseño 2 8-4 con 16 corridas. El vino fue catado por un panel de expertos. Cada experto calificó las 16 muestras de vino, siendo la calificación 1 la mejor. El diseño y los resultados del panel de catadores se muestran a continuación; Corrida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
A -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
B -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 1
C -1 -1 -1 -1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 1 1
Variable D E F -1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 1 -1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 1 -1 1 1 1
Calificación del panel G -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1
H -1 1 1 -1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
12 14 9 8 16 6 15 1 7 13 3 2 4 11
6 7 13 9 8 12 16 2 11 3 1 4 15 14
13 14 7 11 15 6 16 3 4 8 2 1 9 12
14 11 9 8 16 15 3 7 12 1 4 2 6 13
7 9 15 12 16 3 14 2 6 8 4 1 11 13
a) Evalúe el modelo considerando que por cada corrida se realizaron 5 réplicas (una réplica es el resultado de un catador). ¿Cuál es su conclusión? b) ¿Existe diferencia significativa entre los resultados de algún catador respecto a los otros? Justifique. c) Evalúe el modelo considerando que la respuesta es el promedio de las calificaciones del panel, es decir la respuesta para la primera corrida es (12+6+13+10+7) / 5 = 9.6. ¿Cuál es su conclusión? d) ¿Existe alguna corrida en particular que haya tenido una calificación significativamente variada? Es decir que los catadores hayan tenido resultados significativamente diferentes. Justifique. e) Después de la calificación, Harry y Judy se enteraron que uno de los evaluadores , sabía más de cerveza que de vino, por lo que decidieron eliminar su decisión. ¿Cómo cambia su conclusión de las partes c y d?
