UNIVERSIDAD DE PIURA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES PROGRAMA: ADMINISTRACIÓN Y CONTABILIDAD CURSO: MATEMÁTICA 2 (MT2) ESTUDIO DIRIGIDO Nº 4 1. Para cada una de las funciones de costo que se dan (en dólares) encuentre: el costo, el costo promedio y el costo marginal a un nivel de producción de 1000 unidades; el nivel de producción que minimizará el costo promedio, y el costo promedio mínimo. a.
C ( x ) = 1000 + 96 x + 2 x x
x
3
2
2
b.
C ( x ) = 45 +
c.
C ( x ) = 25000 + 120 x + 0.1x
2
d.
C ( x ) = 2000 + 10 x + 0.001x
3
2
+
560
2. Dadas las siguientes funciones de costo: encuentre las funciones de costo promedio y costo marginal. Halle el costo promedio mínimo. Encuentre el valor mínimo del costo marginal. a.
C ( x ) = 3700 + 5 x − 0.04 x
b.
C ( x ) = 339 + 25 x − 0.09 x
2
0.0003 x
+
2
+
3
0.0004 x 3
3. Para las funciones de costo y demanda dadas, encuentre el nivel de producción que maximizará la utilidad. a.
C ( x ) = 680 + 4 x + 0.01 x , p( x ) = 12 − 2
2
3
x
500
b.
C ( x ) = 1450 + 36 x − x
c.
C ( x ) = 10000 + 28 x − 0.01x
d.
2 3 C ( x ) = 84 + 1.26 x − 0.01 x 0.00007 x , p( x ) = 3.5 − 0.01x
e.
C ( x ) = 1200 + 12 x − 0.1 x
+ 0.001x
2
2
+ 0.002 x
+
60 − 0.01 x p ( x ) = 60
, 3
, p ( x ) = 90 − 0.02 x
0.0005 x 3 , p( x ) = 29 − 0.00021x
4. El costo de producir x artículos por semana es
C ( x ) = 1000 + 6 x − 0.003 x
2
+
10 6 x 3 −
y el precio en que x artículos pueden venderse por semana está dado por la ecuación de demanda p ( x ) = 12 − 0.0015 x . Determine el precio y volumen de ventas cuando la utilidad es máxima. 5. Un equipo de fútbol juega en un estadio con una capacidad capacidad de 55000 espectadores. Con precios de los boletos de S/. 10 la asistencia promedio fue de 27000. Cuando el precio bajó hasta S/. 8, la asistencia promedio subió hasta 33000. a. Encuentre la función demanda suponiendo que es lineal. b. ¿A qué precio deben fijarse los boletos para maximizar el ingreso? 6. La función de costo para una empresa, está dada por C ( x ) = 300 x − 10 x + 2
x
3
3
. Calcule la
producción x en la cual: a. El costo marginal es mínimo. b. El costo promedio es mínimo. 1
7. La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es p
= −
5q + 30 .
¿En qué precio maximiza su ingreso? 8. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es
q
=
10000 e
0.02 p
−
Encuentre el valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo. 9. Encuentre la elasticidad puntual de la demanda cuando q
p
=
=
10 , dada la función de demanda
1200 − q 2 . Clasifique la elasticidad puntual de la demanda, si q = 10, 20 y 25.
200
10. La ecuación de demanda para el producto es p = a. Verifique que q
=
6000 + 10q 2
20 cuando p = 2 .
b. Determine la elasticidad puntual de la demanda cuando p c.
=
2 . Clasifíquela.
Si el precio cuando p = 2 está disminuyendo en 2%, ¿el ingreso total crecerá, disminuirá o permanecerá constante? Justifique
11. Un fabricante encuentra que el costo C de producir un artículo está dado por la función de costo
C = 0.05q
2
+
5q + 500
¿Para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad? 12. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es
q
=
10000 e
0.02 p
−
Encuentre el valor de p para el cual se obtiene el ingreso máximo. 13. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es
p = 72 − 0.04q Y la función de costo es
c = 500 + 30q ¿En qué nivel de producción se maximiza la utilidad? ¿En qué precio ocurre esto y cuál es la utilidad? 14. Los costos totales fijos de una empresa son de $1200, los costos combinados de material y trabajo son $2 por unidad y la ecuación de demanda es
p =
100 q
¿Qué nivel de producción maximizará la utilidad? ¿Cuál es el precio cuando la utilidad es máxima?
2
15. El costo promedio de fabricar cierto artículo es
c = 5+
48
+
x
3x 2
Donde x es el número de artículos producidos. Encuentre el valor mínimo de c 16. Durante la temporada navideña, una empresa compra calcetines baratos de fieltro rojo, les pega imitación de piel blanca y lentejuelas y los empaca para s distribución. El costo total de producir q cajas de esos calcetines está dado por
C = 3q
2
+
50q − 18q ln q + 120
Encuentre el número de cajas que deben prepararse para minimizar el costo promedio por caja. Determine (con 2 decimales) este costo promedio mínimo. 17. Una compañía fabrica depósitos de agua con capacidad de 50 pies cúbicos. La base debe ser cuadrada. Debido a las limitaciones de almacenamiento y transporte, el tamaño de la base y altura no deben exceder de 5 pies. Encuentre las dimensiones que minimizan la cantidad de material utilizado (que minimiza el área de la superficie). 18. Se midió el radio de una esfera y dio como resultado 21cm. Con un posible error de medición, cuando mucho de 0.05cm. ¿Cuál es el error máximo si se emplea el valor del radio, cuando se calcula el volumen de la esfera? 19. Aproximar: a.
(1,02)25
b.
37
c.
5
33
d.
36.1
e.
(1.97 )6
20. El radio de una esfera aumenta de 2 a 2,03. estimar el aumento del volumen usando una aproximación lineal. 2
3
21. Dada la función de ingreso R = 250q + 45q − q . Use diferenciales para encontrar el cambio aproximado en el ingreso, si el número de unidades se incrementa de 40 a 41. Encuentre el cambio verdadero. 22. La relación entre la cantidad de dinero x invertida en publicidad por una empresa y sus ventas totales S ( x ) está dada por la función
S ( x) = −0.002 x3 + 0.6 x 2
+ x + 500,
(0 ≤ x ≤ 200)
donde x se estima en miles de dólares. Use diferenciales para estimar el cambio en las ventas totales, si los gastos de publicidad aumentan de $100000 a $105000. 23. Se encontró que el contorno de un cubo era de 30 m con un posible error de medición de 0.1cm. Use diferenciales para estimar el posible error máximo al calcular: a. El volumen del cubo. b. Su área superficial. 24. Una firma estima que venderá N unidades de un producto después de invertir a dólares en publicidad, donde N (a ) = −a
2
+
300a + 6 , y a se da en miles de dólares. Aproximadamente, 3
¿cuántos productos más venderá una compañía al incrementar sus gastos de publicidad de $100000 a $101000? 25. La demanda q para el producto de un monopolista está relacionado con el precio por unidad,
p , según la ecuación
2+
q
2
200
=
4000 p
2
a. Encuentre la demanda cuando el precio por unidad sea de $20. b. Encuentre c.
dq dp
cuando el precio por unidad es de $20.
Use diferenciales y los resultados de las partes (a) y (b) para estimar el número de unidades que se demandarán si el precio por unidad se reduce a $19.20.
26. Un fabricante de computadoras puede vender cada unidad en p dólares, donde p viene dada por la siguiente expresión 5x = 375 − 3 p . Si el costo total es de C(x ) = 500 + 13x + 0,2x . Determinar para qué número de unidades la utilidad es máxima. ¿Cuánto es esta utilidad? 2
10 √ +0.7√ 3−(0.2) , donde I √ es el ingreso en millones de dólares. La propensión marginal al consumo se define como
27. Suponga que la función de consumo de un país está dada por: ( ) =
(razón de cambio del consumo respecto al ingreso) y la proporción marginal al ahorro se define como 1
.
a. Determine la propensión marginal al consumo cuando el ingreso es de 10000 millones de dólares. b. Determine la propensión marginal al ahorro cuando el ingreso es de 10000 millones de dólares. c.
Determine el ingreso para que la propensión marginal al consumo sea cero.
28. La función de costo total de un fabricante está dada por:
7
( ) = 2+5 + 300, donde q es el
número de unidades fabricadas y C(q) está dada en miles de pesos. El costo marginal es
(el
costo de producir una unidad más después de que se han producido q unidades). a. Encuentre la función de costo marginal. b. Encuentre el costo marginal en q = 100. ¿Qué significado tiene? 29. Se desea construir un tanque con una base cuadrada horizontal y lados rectangulares verticales. El tanque no tendrá tapa y debe tener una capacidad de 4m3. El material con que se construirá el tanque tiene un costo de 10 dólares el metro cuadrado. Determinar las dimensiones que minimizan el costo del material. 30. Dos postes de 12 y 18 metros de altura distan 30 metros entre sí. Se desea tender un cable, fijado en un único punto del terreno, entre las puntas de ambos postes. Determinar a qué distancia de la base del poste de 12 metros hay que fijar el cable para usar el mínimo cable posible.
4
31. Calcular el perímetro del rectángulo de área máxima que puede inscribirse en la parábola
y=a
2
−
2 x ( a > 0 ) y que se encuentra sobre el eje x .
32. Se desea construir un recipiente de forma cilíndrica sin tapa superior con un volumen de 24π cm3. El precio del material que se usa para el fondo cuesta el triple del material que se usa para la parte lateral. Determinar las dimensiones del recipiente para las cuales el costo es mínimo.
A base
2
r
= π
A lateral
=
2πrh
V
2
r h
= π
33. Un pescador en bote de remos se encuentra a una distancia de 2 kilómetros mar adentro del punto más cercano a una playa recta y desea llegar a otro punto de la playa a 6 Km. del primero. Suponiendo que se puede remar a una velocidad de 3 km/hora y caminar a 5 km/hora, ¿qué trayectoria debe seguir para llegar a su destino en el menor tiempo posible? 34. Un alambre de 60 cm de largo se va a partir en dos pedazos. Uno se doblará para formar un círculo y el otro se usará para formar un triángulo equilátero. ¿Dónde debe cortarse el alambre para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima? 35. Se desea construir una caja abierta con base cuadrada empleando 108 cm 2 de material. ¿Qué dimensiones producirá una caja de volumen máximo? 36. Calcular dos números que cumplan las siguientes condiciones: a). La suma sea S y el producto máximo. b). El producto sea 192 y la suma mínima. c). El producto sea 192 y la suma del primero más tres veces el segundo sea mínima. 37. Debido a las recientes lluvias en la ciudad de Piura ha aparecido una gran cantidad de insectos nocivos para la salud. Se ha decidido fumigar la ciudad para lo cual se ha contratado a la empresa J. Smith y Asociados. El señor Smith conoce que la cantidad de insectos que puede eliminar depende de los litros de producto que utilice en la fumigación. Esta cantidad viene dada por la siguiente expresión:
Q(x ) = −3x 4 Donde:
+
84x 3 − 858x 2
+
3780x + 1000
Q: cantidad de insectos eliminados (en miles). x: cantidad de producto utilizado (en miles de litros).
Si el costo de litro de producto es de 12 dólares. Determinar: a) La cantidad óptima de producto que el señor Smith debe utilizar para eliminar la mayor cantidad de insectos. ¿Cuántos insectos elimina? b) Graficar Q(x ) . 38. Un alambre de 10 metros de longitud se corta en 2 partes. Una parte será doblada en forma de círculo y la otra en forma de cuadrado. ¿Cuánto debe medir cada una de las partes para que el área total (del círculo más el cuadrado) sea la más pequeña? y ¿cuánto es el valor de cada área?
5
