EJERCICIOS DE PROBABILIDADES 1.
Se tienen 7 libros de diferentes autores, siendo tres de ellos de matemática y el resto de física. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ordenar en un estante si queremos que los de matemática siempre deben ir juntos?
2.
¿Cuántos números pares de dos, cuatro y seis cifras existen?
3.
Se lanzan 3 dados simultáneamente. ¿De cuántas formas puede ocurrir que los 3 dados muestren números diferentes?
4.
Hallar todas las permutaciones posibles de las cifras del número 3 125.
5.
¿De cuántas maneras diferentes se pueden ordenar en una fila 7 bolas de billar (de igual forma y tamaño) si dos son rojas, cuatro amarillas y una blanca?
6.
En un plano hay 8 puntos ubicados de tal forma que ningún trío de ellos sean colineales. ¿Cuántos triángulos se pueden dibujar con tales puntos como vért ices?
7. Con 7 fichas negras y 4 blancas se desea formar grupos de 6 fichas cada uno. ¿De cuántas maneras podrán formarse los grupos, si deben haber como mínimo dos fichas blancas? blancas? 8.
¿Cuántos partidos de fútbol se juegan en total en un campeonato donde participan 12 equipos, sabiendo que se juega a dos ruedas?
9.
Se va a escoger un comité de 4 personas entre 5 varones y 6 mujeres. ¿De cuántas maneras distintas se podrá escoger dicho comité si entre ellos debe de haber por lo menos 2 hombres?
10. ¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un polígono de 12 lados? 11. En una fila de 8 sillas se sientan 5 mujeres y 3 hombres. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar si las mujeres deben estar juntas y los hombres también? 12. ¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse alrededor de una mesa Ángel y sus cinco amigos? 13. Se dispone de 7 colores diferentes y se desea diseñar una bandera con tres franjas verticales de distinto color. ¿Cuántos diseños se pueden hacer? 14. ¿Cuántos números de cuatro cifras pueden formarse con los dígitos 1; 2; 3; 4; 5; y 6 sin que se repita ninguno de ellos? 15. Calcular el número de señales que es posible hacer con cuatro banderas, cada una de un color distinto, si para hacer las señales se puede izar en un mismo mástil cualquier número de banderas.
16. ¿Cuántas placas de automóviles de 6 símbolos pueden hacerse si los dos primeros son vocales distintas y los cuatro últimos son números de cifras diferentes escogidos del 1 al 7? 17. De un grupo de 13 alumnos se quiere escoger a 2 para que jueguen una partida de ajedrez. ¿De cuántas maneras distintas se puede escoger? 18. Con 10 colores diferentes se quiere obtener un color mezclando 3 colores diferentes. ¿Cuántos matices diferentes se pueden obtener? 19. En un grupo de jóvenes hay 8 varones y 6 mujeres. Si se desea elegir un grupo de cinco, donde por lo menos haya 3 mujeres, ¿de cuántas maneras se podrá obtener el grupo? 20. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la probabilidad de obtener un número menor que 5 o múltiplo de 5 al sacar una de ellas. 21. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera carta al naipe. 22. Se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido múltiplo de 4? 23. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, ¿cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca? 24. Una caja contiene 12 bolas negras y 8 rojas, ¿qué probabilidad hay de no sacar una bola negra? 25. Se lanza un dado y sale 4. ¿Qué probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un número menor que 9? 26. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla inglés, 1/4 habla francés y 1/10 habla los dos idiomas, ¿cuál es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable sólo un idioma? 27. ¿Qué probabilidad hay de que la lanzar 2 dados se obtenga una suma menor que 6? 28. ¿Cuál es la probabilidad de ganar el premio de una rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 números, si se compran 4 números? 29. Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, ¿qué probabilidad hay de obtener primero un 3 y luego un número par? 30. El experimento de tirar dados, considérese que los 36 posibles resultados con equiprobables. Denótese con A al evento de que ocurran cuatro o menos puntos y B al evento de que ocurran 10 o más puntos. ¿Son mutuamente excluyentes A y B? Obténgase la probabilidad de que ocurran A y B, si A denota al evento de que ocurra un numero non
de puntos y B al evento de que ocurran más de 7 puntos, ¿Cuánto vale P(AUB)?. Utilícese un diagrama para mostrar la unión de A y B, Obténgase la probabilidad de que ocurra un punto o cuatro o siete o nueve puntos. 31. Una caja contiene 10 esferas. Cinco de ellas son blancas, tres rojas y dos negras. Se selecciona aleatoriamente una esfera sin reemplazo. a) ¿Cuál es la probabilidad extraer dos esferas blancas una después de otra? b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una esfera roja y después una negra? c) ¿Cuál es la probabilidad de extraer 3 esferas rojas, una después de otra? d) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una esfera negra, después de una roja y finalmente una blanca? 32. En Juliaca, la probabilidad que llueva el primero de julio es 0.5. Si llueve el primero de julio, la probabilidad que llueva el día siguiente es 0.8 ¿Cuál es la probabilidad que llueva los dos primeros días de julio? 33. El equipo directivo de cierta empresa del sector de hostelería está constituido por 25 personas de las que un 60% son mujeres. El gerente tiene que seleccionar a una persona de dicho equipo para que represente a la empresa en un certamen internacional. Decide lanzar una moneda: si sale cara, selecciona a una mujer y si sale cruz, a un hombre. Sabiendo que 5 mujeres y 3 hombres del equipo directivo no hablan inglés, determina, justificando la respuesta, la probabilidad de que la persona seleccionada hable inglés. 34. En una Universidad existen tres facultades: A, B y C. En A hay matriculadas 150 chicas y 50 chicos; en B, 300 chicas y 200 chicos; y en C, 150 chicas y 150 chicos. a) Calcula la probabilidad de que un estudiante, elegido al azar, sea chico. b) Si un estudiante elegido al azar resultara ser chico, ¿cuál es su facultad más probable 35. Un monedero contiene 2 monedas de plata y 3 de cobre, y otro contiene 4 de plata y 3 de cobre. Si se elige un monedero al azar y se extrae una moneda ¿cuál es la probabilidad de que sea de plata? EJERCICIOS DE PRUEBA DE HIPÓTESIS
1.
De diferentes tiendas de la localidad se tomó una muestra aleatoria de 60 bolsas de yeso para medir su contenido drenado. La muestra arrojó una media de 264.7gr. La desviación estándar poblacional es de 4.9gr. Según la etiqueta de la bolsa, el contenido drenado debiera de ser de 266 gr. Con un nivel de significancia de 1%, existen razones para pensar que el contenido medio en la población es menor al especificado en la etiqueta?
2.
Ha llegado un embarque de 500 contenedores de cierta materia prima requerida para un proceso. Se decidió tomar una muestra de 40 contenedores para revisar la cantidad de materia prima en los mismos. La muestra arrojó un contenido promedio de 200.1 lts. con una desviación estándar de 0.95 lts. La media de llenado debiera ser de 200 lts. Determine si la media de llenado de la población cumple con lo especificado, o si es mayor. (Aplique un nivel de significancia del 2%)
3.
Un fabricante suministra los ejes traseros para los camiones de carga. Estos ejes deben soportar 80,000 lb/pulg2 en pruebas de carga, pero un eje excesivamente fuerte eleva los costos de producción de manera significativa, y un eje muy débil puede causar problemas a los clientes. La larga experiencia indica que la desviación estándar de la fuerza de sus ejes es 4000 lb/pulg2. El fabricante selecciona una muestra de 100 ejes de la producción, los prueba y encuentra que la capacidad de carga media de la muestra es 79,750 lb/pulg2. Si el fabricante de ejes utiliza un nivel de significancia del 2% en la prueba, ¿satisficieron los ejes sus requerimientos de carga?
4.
Un fabricante que estudia la compra de nuevo equipo para la fabricación de herramientas ha especificado que, en promedio, el equipo no debe requerir de más de 10 minutos de tiempo de arranque por hora de operación. El agente de compras visita una compañía en la que se ha instalado el equipo bajo estudio; con base a registros realizados ahí, advierte que 40 horas de operación aleatoriamente seleccionadas incluyeron un total de 7 horas y 30 minutos de tiempo de arranque, y que la desviación estándar de tiempo de arranque por hora fue de 3.0 min. Sobre la base de este resultado muestral, ¿puede rechazarse el supuesto de que el equipo satisface las especificaciones de tiempo de arranque al nivel de significancia de 1%?
5.
El representante de un grupo comunitario le informa al posible desarrollador de un centro comercial que el ingreso anual promedio por hogar en la zona es de S/. 45000. Sup ongamos que puede asumirse que, para el tipo de zona de que se trata, el ingreso por hogar tiene una distribución aproximadamente normal y que puede aceptarse que la desviación estándar es S/. 2340, con base en un estudio anterior. A partir de una muestra aleatoria de n=15 hogares, se determina que el ingreso doméstico medio es ̅ = S/. 44750. Pruebe la hipótesis nula de que µ = S/. 45 000 con un nivel de significancia de 5%.
6.
El proceso de capacitación para el manejo de cierto equipo requiere de 10.5 horas de entrenamiento en promedio, con una desviación estándar conocida de 1.5 hrs. Se acaba de adquirir un nuevo equipo que pronto será instalado. Se han entrenado a 20 personas de un total de 500, mismas que requirieron 10 horas en promedio de entrenamiento para dominar el manejo del equipo. Determine si el tiempo de entrenamiento requerido se mantendrá en el mismo promedio o si puede considerarse que es menor. Aplique un nivel de significancia del 1%.
7.
En una práctica rápida para estadística se preguntó a 35 alumnos sobre el tiempo que dedican todos los días para repasar y hacer su tarea. La muestra arrojó un promedio de 1.89 horas diarias con una desviación estándar de 0.8. Se cree que el ideal debería ser de 2 hrs. Determine si el ideal se cumple, o si el tiempo que se dedica es menos de lo que se cree. Aplique un nivel de significancia del 3%.
