ACADEMIA
t.
Raz. Ma PREGUNTA N.º 01 Eduardo, Sandro, Raúl y Miguel ganan S/. 57, S/. 59, S/. 60 y S/. 61 diariamente, pero no necesariamente en ese orden. Si se sabe que: Sandro no gana un número primo de soles, Raúl y Miguel juntos ganan menos que Eduardo y Sandro juntos y Miguel gana más que los otros 3. ¿Cuánto ganan Raúl y Eduardo juntos? A) S/. 119 B) S/. 121 D) S/. 116
Resolución Tema: Ordenamiento Lineal Haciendo un ordenamiento lineal – vertical y considerando gráficamente el ascenso a la montaña, tenemos: 1er lugar
C) S/. 117 E) S/. 118
2do lugar 3ro lugar
Resolución
?
4to lugar 5to lugar
Tema: Ordenamiento Lineal
H T A M G I S
6to lugar
Analizando las condiciones deducimos que:
A I M E D
• S/. 61 representa el mayor de las tres cantidades. • S/. 57 y S/. 60 representan números no primos de soles.
CA
De la primera deducción resulta que Miguel gana S/. 61. De la segunda deducción, Sandro puede ganar S/. 57 ó S/. 60, pero como Raúl y Miguel juntos ganan menos que Eduardo y Sandro juntos, entonces Raúl tiene que ganar el menor de entre S/. 57 y S/. 60. De modo que si lo ordenamos en un cuadro, resulta:
A
Ganan en S/. 59 Eduardo
Sandro Raúl
Miguel
60 57
61
suman 119 >
suman 118
Del cuadro podemos concluir que Raúl y Eduardo, juntos, ganan: 57 + 59 = S / . 116 Respuesta: Por lo tanto, Raúl y Eduardo, juntos, ganan S / . 116 Alternativa D PREGUNTA N.º 02 Seis amigos están escalando una montaña. Juan está más abajo que Luis, quien se encuentra un lugar más abajo que Pedro. Mario está más arriba que Juan pero un lugar más abajo que Coco, quien está más abajo que Paco. Este último se encuentra entre Luis y Coco. ¿Quién está en el cuarto lugar del ascenso? A) Pedro B) Juan D) Paco
C) Coco E) Mario
Ahora, según el enunciado del ejercicio. Pedro
Pedro
Luis
Luis Paco Coco Mario
Luis Paco Coco Mario
Juan
Juan
Juan
“Juan está más abajo que Luis quien se encuentra un lugar más abajo que Pedro...”
“...Mario está más arriba que Juan, pero un lugar más abajo que Coco quien está más abajo que Paco, este último se encuentra entre Luis y Coco.”
Ubicación final, deducida de las condiciones anteriores.
Respuesta: Por lo tanto, Coco está ubicado en el cuarto lugar del ascenso. Alternativa C PREGUNTA N.º 03 Durante una cena se ubican en una misma mesa cuatro personas cuyas edades son 12; 24; 36 y 48 años. De la conversación que establecen se puede deducir que: I. La edad del menor más la de Luis igualan a la de Omar. II. El mayor tiene el doble de la edad de Marco. ¿Cuánto suman las edades de Jorge y Omar? A) 48 B) 72 D) 84
C) 36 E) 60
1
Razonamiento Matemático
EXPLICACIÓN:
Resolución
• Para leer cada una de las “I”, (en la primera fila), solo hay una manera de hacerlo.
Tema: Ordenamiento Lineal Como el mayor de todos tiene 48 años, entonces de II podemos concluir que Marco tiene 24. De I podemos concluir que ni Luis ni Omar pueden ser el menor. Así que no hay otra posibilidad de que Jorge sea el menor. Representándolo gráficamente se tendría.
12
N G
H T A M G I S
R E
E
G
N
G
R
E
S
O
A
I
N
R
S O
I
N
G
E
S
O
CA G E
• Valentina se sienta junto a Freddy y César. • Frente a Freddy se sienta Violeta.
S
O
O
• Junto al asiento vacío no está Freddy ni César.
C) 220 E) 210
¿Entre quienes se sienta Freddy? A) Valentina y Violeta C) Mónica y Cesar E) Violeta y Cesar
Resolución Tema: Inducción – deducción Para este ejercicio en particular, usaremos el método Enumerativo – Aditivo. El cual sigue la siguiente lógica. Maneras de leer
1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 4 4 4 2 6 8 8 6
6 14 16 14 6 20 30 30 20 50
60
50
Respuesta: Por lo tanto, “INGRESO” se podrá leer de 200 maneras diferentes. Alternativa A PREGUNTA N.º 05 Valentina invita a cenar a sus amigos: Violeta, Mónica, César, Freddy y Alberto: éste último no pudo asistir. Los asistentes se sientan alrededor de una mesa circular con 6 asientos distribuidos simétricamente.
I
R
A) 200 B) 180 D) 190
20
Luego, la cantidad de maneras de leer “INGRESO” será 120
A I M E D
PREGUNTA N.º 04 ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la palabra “INGRESO”? I
• Al igual que en la segunda fila, para llegar a cada una de las “G”, bastará con sumar los números que están sobre el.
Como el objetivo es obtener la cantidad de formas en que se puede leer la palabra “INGRESO”, entonces bastará con sumar los números de la última fila.
Respuesta: Por lo tanto, las edades de Jorge y Omar suman 60 años. Alternativa E
I
• Para llegar a cada una de las “N”, (en la segunda fila), solo hay dos maneras de hacerlo, y si nos damos cuenta esto resulta de la suma de los 1 que están sobre “N”.
Y así sucesivamente hasta la última fila tal como se muestra en la figura.
Años d 48 o b 36 l e 24
Personas Omar Luis Marco Jorge
EXAMEN PARCIAL
20
→
5
→
8
→
16
→
28
→
56
→
100
→
200
B) Mónica y Alberto D) Valentina y Mónica
Resolución Tema: Ordenamiento Circular • “Valentina se sienta junto a Freddy y César”
F
C
Va
2 3
Razonamiento Matemático
• “Frente a Freddy se sienta Violeta.”
EXAMEN PARCIAL
• Como Marlene es ingeniera, (por la tercera condición), entonces Charo ya no puede serlo. Así: Prof.a O Abg.da O Méd. P O O Ing. O O Charo O O O P Hilda O O Marlene O O Ana P O O O Lima Huaraz Caraz Chimb.
Vi F
C
Va
• “Junto al asiento vacío no está Freddy ni César”
Vi
M
C
F
• Como la abogada vive en Huaraz (por la quinta condición), entonces no hay otra posibilidad de que Charo, quien vive en Chimbote, sea la profesora.
H T A M G I S Va
Prof.a O da Abg. O P O Méd. P O O Ing. O P O Charo O O O P Hilda O O Marlene O O Ana P O O O Lima Huaraz Caraz Chimb.
A I M E D
Respuesta: Por lo tanto, Freddy se sienta entre Valentina y Mónica. Alternativa D
A C A
PREGUNTA N.º 06 Charo, Hilda, Marlene y Ana son ingeniera, médica, abogada y profesora, no necesariamente en ese orden. Ellas viven en Lima, Huaraz, Caraz y Chimbote. Se sabe que: • • • • •
O
Ana no vive en Huaraz ni en Caraz. La médica vive en Lima. Marlene es ingeniera. Charo vive en Chimbote. La abogada vive en Huaraz.
O
Respuesta: Por lo tanto, la profesora vive en Chimbote.
Alternativa B
PREGUNTA N.º 07 Hallar la suma de cifras, luego de sacar la raíz cuadrada, de:
¿Qué profesional vive en Chimbote?
A) La ingeniera B) La profesora D) La médica
P O
111 111 222 222 −
C) La abogada E) La contadora
Resolución
2000 cifras
A) 1000 B) 2000 D) 4000
Tema: Ordenamiento – Cuadro de triple entrada ¡Atención!... vamos a resolver el ejercicio de una manera muy sencilla analizando las premisas que nos dan. Para ello haremos uso de un cuadro de triple entrada, que es muy usado en programación. • En la primera condición nos dicen que Ana no vive en Huaraz ni en Caraz, en la cuarta condición nos dicen que Charo vive en Chimbote. De estas dos condiciones podemos concluir que Ana vive en Lima y a la vez es médica (por la segunda condición)
1000 cifras
C) 9000 E) 3000
Resolución Tema: Inducción. Indudablemente que para resolver este ejercicio recurriremos a la inducción matemática, para este fin adecuamos la expresión dada. Sea: A=
111 111 − 222 222 (∗) 2000 cifras
1000 cifras
3
Razonamiento Matemático
EXAMEN PARCIAL
Piden calcular la suma de cifras de A. Analizando la expresión, se observa que la cantidad de cifras 1 es el doble de la cantidad de cifras 2; considerando ello para los casos particulares, tendremos:
de una forma para resolverlos, es por ello que a continuación presentamos dos métodos de solución.
Caso 1
Para determinar el número de cortes que hay en F20 , usareSuma de cifras
Resultado
A=
11 − 2 = 2 cifras
→
3
3 = 3× 1
Primer método mos un razonamiento inductivo. Donde Las figuras F1 , F2 y
F3 son nuestros casos particulares. Luego, procedemos a
1 cifra
relacionar el número de orden de cada figura con su respectiva cantidad de cortes.
Caso 2 A=
Casos
1111 − 22 = 4 cifras
Caso 3
A=
→
6 = 3× 2
6 cifras
3 cifras
333
→
A C A →
A I M E D
9 = 3× 3
222 111 111 − 222 2000 cifras
→
F1
5 =
2
( 1 + 2)
−4
H T A M G I S
111111 − 222 =
En (∗) A=
33
2 cifras
N° de cortes
→
F2
12 =
(2
2
+ 2) − 4
3 × 1000
1000 cifras
→
F3
21 =
(3
2
+ 2) − 4
Respuesta: Por lo tanto, la suma de cifras de A es 3000
Alternativa E
PREGUNTA N.º 08
¿Cuántos puntos de corte hay en F20 ?
F 20
→
n
=
( 20
⇒
n = 480
2
+ 2) − 4
F1
Respuesta:
F2
F3
A) 400 B) 480 D) 800
Por lo tanto, la cantidad de cortes en F20 es 480. Alternativa B C) 200 E) 420
Resolución Tema: Inducción – sucesiones. Para este tipo de ejercicios, donde las figuras van formando una secuencia numérica, es fundamental saber que hay más
Segundo método En este segundo método haremos uso de las sucesiones, tema que desarrollaremos con más detalle en el capitulo XIII del libro Razonamiento Matemático de la academia SIGMATH. En el ejercicio, al observar la secuencia de los gráficos, notamos que la cantidad de puntos de corte de cada una de ellas forman una sucesión aritmética. Así:
4 5
Razonamiento Matemático
EXAMEN PARCIAL Resolución
F1
F2
F3
5
12
21
7
Tema: Ordenamiento – Cuadro de doble entrada F20
11
9 2
2
Ahora, para determinar el término 20, necesitamos hallamos el término enésimo ( t n ) tn = 5Cn0−1 + 7C1n−1 + 2C2n−1
tn = 5 (1) + 7 ( n − 1) + 2 tn = n2 + 4n
( n − 1)( n − 2 )
Verde
t20 = 20 + 4 ( 20 ) = 400 + 80
Respuesta:
Azul Amarillo Negro Rojo
H T A M G I S 2
con hallar el t20 en la sucesión.
t20 = 480
• Del primer dato podemos concluir que Cecilia está en el segundo lugar. Esto es posible porque es muy amiga de la que está adelante, quien a la vez tiene el gorro verde. • El segundo dato nos da una información directa, por lo tanto, Daniela será última en la fila.
ra
A C A
1 2da Cecilia 3ra 4ta 5ta Daniela
A I M E D
Como piden la cantidad de cortes en F20 , entonces bastará
2
En este ejercicio, donde la mayoría de datos son indirectos y niegan ciertas posibilidades, elaboraremos una tabla de doble entrada (cuadro de descarte), donde ubicaremos los nombres por un lado y el color de los gorros por otro, también tendremos en cuenta el orden en el que están ubicadas las niñas.
Por lo tanto, la cantidad de cortes en F20 es 480.
Alternativa B
PREGUNTA N.º 09 Cinco niñas están en fila y llevan un gorro de diferente color cada una; se sabe que:
• La que está adelante tiene gorro verde y es muy amiga de Cecilia. • Daniela llegó última.
P O O O O
O
O
O
O
• Del cuarto dato podemos concluir que Doris y Lucy están en el cuarto y tercer lugar, respectivamente. Además esto implica que Karla está en el primer lugar de la fila. • Del cuarto dato se puede concluir que Lucy no usa gorro negro ni azul • Del tercer dato se concluye que Doris no lleva el gorro azul. • Por último, del quinto dato podemos concluir que Cecilia lleva el gorro amarillo, esto es posible porque se encuentra entre Lucy y Karla. Verde
ra
1 Karla 2da Cecilia 3ra Lucy 4ta Doris 5ta Daniela
P O O O O
Azul Amarillo Negro Rojo
O
O O P
O P
O
O
O P
P
• El gorro azul no es de Doris. • Doris está junto y entre Lucy y Daniela. • La de gorra amarilla está entre Karla y Lucy, esta última no usa gorro negro ni azul. ¿Qué color de gorro usan Cecilia y Doris respectivamente? A) Verde – Amarillo C) Verde – azul E) Rojo – negro
B) Amarillo – azul D) Amarillo – negro
Respuesta: Por lo tanto, Cecilia y Doris usan los gorros de color amarillo y negro, respectivamente. Alternativa D PREGUNTA N.º 10 Si el anteayer del mañana de pasado mañana es martes, ¿qué día fue el ayer del ayer del anteayer? A) Lunes B) Martes D) Sábado
C) Jueves E) Domingo
5
Razonamiento Matemático
EXAMEN PARCIAL
Resolución
Resolución
Tema: Variación de días.
Tema: Inducción
En la primera parte del enunciado emplearemos los equivalentes numéricos para determinar que día de la semana es hoy. Dato:
Como nos piden sumar los números de la fila 81, pareciera que la única solución sería aplicar algunas fórmulas del capítulo de series; pero si observamos bien el triángulo numérico, vemos que presenta una ley de formación, la cual la podemos aprovechar aplicando inducción.
el anteayer del mañana mañana martes de pasado es = +1
−2
+2
( −2 ) + ( +1) + ( +2 ) = martes
→
martes = 1
(mañana)
De los cálculos realizados obtenemos que mañana es martes, por lo tanto hoy será lunes. Piden calcular:
F1
→
F2
→
F3
→
F81 →
} suma = 1 = 20 1 1 } suma = 2 = 21 1 2 1 } suma = 4 = 22 1
anterior a la fila anterior a la fila anterior a la fila
anterior a la fila
suma = 280
H T A M G I S Respuesta:
qué día fue el ayer del ayer del anteayer −1
x
−1
x = ( −1) + ( −1) + ( −2 ) x = −4
A
Representándolo gráficamente.
CA
retroceder
−4 jueves
−3
−2
−1
dato
+1
0
viernes sábado domingo lunes
incógnita
A I M E D
Por lo tanto, la suma de los números de F81 es 280
−2
martes
Alternativa A
PREGUNTA N.º 12 Don Florencio dio S/. 2, S/. 3, S/. 4 y S/. 6, a sus nietos Ricardo, Juan, María y Xiomara; pero no necesariamente en ese orden. Luego cada uno de ellos manifestó lo siguiente: • Ricardo: yo recibí S/. 2 • Juan: yo recibí S/. 6
• María: Ricardo recibió S/. 4 • Xiomara: yo recibí S/. 4
Respuesta: Por lo tanto, el día pedido en el problema es el jueves.
Si solo uno de ellos mintió y los demás dijeron la verdad, ¿cuánto suman las cantidades que recibieron María y Juan?
Alternativa C PREGUNTA N.º 11 En la siguiente distribución, calcular la suma de los números de la fila 81.
A) S/. 5 B) S/. 7 D) S/. 10
C) S/. 8 E) S/. 9
Resolución
1 1 1 1 1 A) 280 82
2 3
4
1 3
6
B) 219
D) 2
Tema: Verdades y Mentiras.
1
Del enunciado sabemos que solo una de ellos miente.
1 4
1 C) 240 E) 2
41
Como María y Xiomara se contradicen, entonces una de ellas será la que miente. De allí que las afirmaciones de Juan y Ricardo son verdaderas. Como Ricardo recibe S/. 2, entonces María miente. Representándolo gráficamente se tiene:
6 7
Razonamiento Matemático
PREGUNTA N.º 14
Recibe S/. 2 S/. 6 S/. 3 S/. 4
Ricardo Juan María Xiomara
EXAMEN PARCIAL
Si,
suman S/. 9
m n + =2 n m
Calcule: 2
Respuesta: Por lo tanto, María y Juan, juntos, reciben S/. 9. Alternativa E PREGUNTA N.º 13 Hallar el valor de: 3 × 5 × 17 × 257 × ) (
A) 900 B) 30 D) 680
A) 2011 B) 2010 D) 2
C) 1 E) 4
Tema: Inducción.
A
Sea:
CA
De la condición: m n + =2 n m
m2 + n2 =2 mn
m2 + n2 = 2mn
2 m −2 mn + n2 = 0
2011 factores
Como hallar el valor de S es un proceso muy engorroso, entonces aplicaremos el razonamiento inductivo para la solución. Aprovechando que tiene un criterio de formación en su estructura, analizamos tres casos simples. 1
= a2 − 2ab + b2
A I M E D
S = 22011 1 + ( 3 × 5 × 17 × 257 × )
S = 2 1 + 3 = 4 =2
2
(a − b)
Recordando que:
H T A M G I S Resolución
2
( m − n)
m−n= 0
=0
→
m=n
Reemplazando en la expresión M. 2
3
30
n n n n M = + 2 + 3 + + 30 n n n n
1 fact.
3 × 5 = 4 16 = 2
M = 1 + 2 + 3 + + 30
2 fact.
3
8 S = 2 1+ 3 × 5 × 17 = 256 = 2
C) 300 E) 465
Tema: Deducción
2011 factores
3 fact.
30
Resolución
22011 1 +
2 S = 2 1+
3
m n m n M = + 2 + 3 + + 30 n m n m
M=
30 ( 31) = ˘˘˘( 2
)=
Como podemos observar, el resultado es siempre 2, entonces:
Respuesta: Por lo tanto, M = 465 Alternativa E PREGUNTA N.º 15
S = 22011 1 + ( 3 × 5 × 17 × 257 × ) = 2
Si: CPU × A = 312 ; CPU × L = 256 .
2011 fact.
Halle el valor de: CPU × AL
Respuesta: Por lo tanto, S = 2 Alternativa D
A) 3476 B) 3376 D) 7363
C) 7633 E) 4433
7
Razonamiento Matemático
Sumando y restando, respectivamente.
Resolución
2 ( a2 + b 2 ) 1 1 m2 + n2 = + = 2 2 2 ( a − b ) ( a + b ) ( a2 − b 2 ) 1 1 4ab m2 − n2 = 2 − 2 = 2 2 ( a − b ) ( a + b ) ( a − b2 )
Tema: Habilidad Operativa. Como datos tenemos: CPU × A = 312 CPU × L = 246
(∗)
Piden calcular CPU × AL , disponiendo verticalmente el producto se tiene: CPU ×
AL
CPU × L Productos parciales CPU × A
Reemplazando en la expresión E. m2 + n2 ab E = 2 2 × 2 2 m −n a +b
E=
2 ( a2 + b2 )
( a2 − b2 )
2
× ab a2 + b2
H T A M G I S CPU ×
AL
2 5 6
3 1 2
3 3 7 6
A C A
4ab
( a2 − b2 )
A I M E D
Reemplazando los valores de (∗) en los productos parciales.
Respuesta:
EXAMEN PARCIAL
2
2 1 E= = 4 2
Respuesta:
Por lo tanto, E =
1 2
Por lo tanto, CPU × AL = 3376
Alternativa B
PREGUNTA N.º 16 Si m =
1 1 , n= . a−b a+b
A) 1/6 B) 1/3 D) 1/5
PREGUNTA N.º 17 Hallar la suma de los asteriscos al completar la siguiente operación. 4 ∗ ∗ 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 0
m2 + n2 ab Calcular: E = 2 2 × 2 2 m −n a +b
C) 1/4 E) 1/2
Tema: Deducción
×
4 ∗ 4 6 3 ∗ 0
A) 22 B) 20 D) 26
Resolución
Alternativa E
C) 24 E) 30
Resolución
Elevamos al cuadrado cada una de las siguientes expresiones: 1 2 m = a − b 2 ( ) 1 n2 = 2 (a + b)
Tema: Cripto Aritmética. →
Hay que tener presente los criterios generales de la multiplicación para aplicarlo en este caso en particular. Para que el proceso de solución sea más fluido, a cada fila de la multiplicación la designaremos con una letra. Así:
8 9
Razonamiento Matemático 4 ∗ ∗ × 1 ∗ ∗ ∗ ∗ 0 4 ∗ 4 6 3 ∗ 0
(A) (B)
EXAMEN PARCIAL
PREGUNTA N.º 18 Si x − y = y − z = 6 6 , calcule el valor de:
(C) (D) (E)
6
6
( x − z) + ( y − z) + ( x − y) A=
6
66
• Notamos que la primera cifra de (D) es 4; y como sabemos dicha cifra es el resultado de multiplicar (1) de (B)
A) 10 B) 8 D) 6
por la primera cifra de (A), es decir (1)(∗) = 4 , con esto se
Resolución
concluye que la primera cifra (∗) de (A) es 4. • Como la primera cifra (0) de (C) es el resultado de multiplicar (∗) de (B) por la primera cifra (4) de (A), (deducción anterior), entonces (4)(∗) =0 , esto será posible
C) 9 E) 12
Tema: Habilidad Operativa. En la expresión A ya conocemos a " x − y " y " y − z " , pero falta conocer " x − z " , para ello procedemos así:
solo cuando (∗) de (B) sea 5.
x−y= 6 6
H T A M G I S
Ahora completamos parcialmente el producto para seguir aplicando los criterios y así hallar las demás cifras ocultas. 4 ∗ 4 × 1 5 ∗ ∗ ∗ 0 4 ∗ 4 6 3 ∗ 0
(A) (B) (C)
A (D) (E)
CA
A I M E D
• Como la cuarta cifra (∗) de (C) es el resultado de multiplicar (5) de (B) por la tercera cifra (4) de (A), enton-
ces la cuarta cifra (∗) de (C) necesariamente será 2. Esto ocurrirá siempre así se lleve algún número del producto anterior. • Como la tercera cifra (3) de (E) es el resultado de sumar
la tercera cifra (∗) de (C) con la segunda cifra (∗) de (D), entonces necesariamente para que cumpla esta
condición, la segunda cifra (∗) de (A) tiene que ser 2, ya que otra posibilidad nos llevaría a una contradicción.
x − z = 26 6
Reemplazando en la expresión pedida A. 26 6 ) + ( 6 6 ) + ( 6 6 ) ( A= 6
6
66
A=
4 2 4
6
=
26 × 6 + 6 + 6 66
66 × 6 =6 66
Respuesta: Por lo tanto, A = 6
Alternativa D
PREGUNTA N.º 19
Si: m2 + 1 = m , halle m510 A) 510 B) 0 D) – 1
C) 1 E) 2
Resolución
Ahora, completando el producto tendremos. 4 2 4 × 1 5 2 1 2 0
+
y−z= 6 6
Tema: Deducción Sabemos que: m3 + 1 = ( m + 1) ( m2 − m + 1) Por dato del problema:
6 3 6 0
m2 + 1 = m Respuesta: Por lo tanto, La suma de las cifras ocultas, quienes estaban representados por asteriscos, es: 24. Alternativa C
m2 − m + 1 = 0 Multiplicando por ( m + 1)
9
Razonamiento Matemático
EXAMEN PARCIAL
( m + 1) ( m2 − m + 1) = 0 ( m + 1)
Resolución
m3 +1
Tema: Distribuciones Numéricas.
3
m + 1= 0
4 ; 0 ; 0 ; 8 ; 32 ; 88 ; X ;
m3 = −1
−4
Piden calcular: m510 = ( m3 )
170
170
= ( −1)
510
Por lo tanto, m
=1 Alternativa C
x − 8 = 3x + 1
x + 3 = 12 − 2 x Calcular:
6 + 7
+16
+32
n
22
23
24
25
26
(II)
• De (II): n = 26 = 64 • De (I): m = 56 + n = 56 + 64 = 120
H T A M G I S A I M E D
Alternativa E
PREGUNTA N.º 22 Si:
A C A C) 52 E) 42
Resolución
Tema: Operadores Matemáticos
Acomodando convenientemente dichos valores en las definiciones se tiene: 6 = 14 − 8 = 3 (14 ) + 1 = 43 7 = 4 + 3 = 12 − 2 4 = 4 ( )
c
b
d
= ad − bc
Hallar “y” en: 4
1
6
5
+
3
x
1
y
=
5
1
x
y
C) 7 E) 9
Resolución
Tema: Operadores Matemáticos
Como dato tenemos (la definición) a
c
b
d
= ad − bc
Aplicando esta definición a cada uno de los términos de la ecuación se tiene:
Respuesta: 6 + 7 = 47
Alternativa A PREGUNTA N.º 21 Calcular “X” en la siguiente sucesión: 4 ; 0 ; 0 ; 8 ; 32 ; 88 ; X ;
A) 200 B) 206 D) 210
a
A) 1 B) 3 D) 5
6 + 7
Por lo tanto:
+8
(I)
Respuesta: Por lo tanto, X = 208
A) 47 B) 40 D) 39
Piden calcular
m
De donde: X = 88 + m = 88 + 120 = 208
PREGUNTA N.º 20 Si:
+56
+4
=1
Respuesta:
+24
+8
0
C) 212 E) 208
4
1
6
5
+
3
x
1
y
=
5
1
x
y
4 ( 5 ) − 6 (1) + 3 ( y ) − x = 5 ( y ) − x 14 + 3 y − x = 5 y − x 14 = 2y y=7
10 11
Razonamiento Matemático
EXAMEN PARCIAL
De las condiciones que nos dan:
Respuesta: Por lo tanto, y = 7
Alternativa C
x −1 = 2 x + 5 − x + 3
2x = x + x − 1
;
PREGUNTA N.º 23 Hallar: x + y − z en la sucesión 3
4
6
9
Y
Despejamos y ordenamos adecuadamente cada uno de ellos para luego restarlos.
Z
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; X ; 12 ;
A) 9 B) 5 D) 6
C) 4 E) 7
x =2 x +6 −x +2
(−)
x = 2x − x + 1
Resolución
0 = 2 x + 6 − 2x + 1
Tema: Sucesiones.
2x = 2 x + 6 + 1
• Considerando primero las bases numéricas.
(∗)
H T A M G I S
2 ; 4 ; 6 ; 8 ; x ; 12 ; 2
2
2
2
2
A I M E D
Vemos que se trata de una sucesión aritmética, entonces x = 10 • Ahora los exponentes.
A
CA
3 ; 4 ; 6 ; 9 ; y ; z ; 1
2
3
4
5
De la sucesión se deduce que: y = 13 , z = 18
Por lo tanto, x + y − z = 5 PREGUNTA N.º 24
→
x =6
Reemplazando en la definición (∗) se tiene: 12 = 2 12 + 1
− 12 = 1
Alternativa B
→
12 = −1
Respuesta: Por lo tanto, 12 = −1
Se define:
2x = x + x − 1
Alternativa A
PREGUNTA N.º 25 Hallar el término que sigue en la sucesión:
x −1 = 2 x + 5 − x + 3
Calcular
2 x = 12
12
12 − 2 12 = 1
Piden calcular: x + y − z = 10 + 13 − 18 = 5 Respuesta:
Como piden calcular
4 ; 6 ; 12 ; 10 ; 5 ; 7 ;
12
A) – 1 B) – 2 D) 2 Resolución Tema: Operadores Matemáticos
C) 1 E) 3
A) 13 B) 15 D) 16
C) 17 E) 14
Resolución Tema: Sucesiones Sumando de dos términos en dos términos se tiene:
11
Razonamiento Matemático 4 ; 6 ; 12 ; 10 ; 5 ; 7 ; 16
16
17
17
x
18 18
EXAMEN PARCIAL
;
Según la secuencia que tienen los números, sumados de dos en dos, podemos deducir que x = 13 Respuesta: Por lo tanto, el término que sigue en la sucesión es 13 Alternativa A
H T A M G I S A C A
A I M E D
12