UNASAM
Aptitud Académica Ciencias
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
A) EQM B) EQP D) ERM
PREGUNTA N.º 26 En la siguiente sucesión, hallar el primer término negativo de 3 cifras 120 ; 113 ; 106 ; 99 ;
A) – 102 B) – 103 D) – 105
C) – 104 E) – 106
Resolución Tema: Sucesiones Se pide el grupo de letras que continúa en la sucesión. Según el lugar que ocupa cada letra en el alfabeto, tenemos:
H T A M G I S A I M E D
(2)(13)(4) ; (3)(15)(7) ; (4)(17)(10) ; (5)(19)(13)
A C A
En primer lugar hallaremos el término enésimo
E R M
120 ; 113 ; 106 ; 99 ;
−7
tn = 120 − 7(n − 1) tn = −7n + 127
−7
−7
n ≥ 32,5 ; n ∈
Así, el grupo de letras que continúa es ERM
Respuesta: Por lo tanto, el término que continúa en la sucesión es ERM . Alternativa D
Piden calcular el primer término negativo de 3 cifras, entonces: −7n + 127 ≤ −100 7n ≥ 227
C) ETS E) ETN
B M D ; C Ñ G ; D P J ;
Resolución
Tema: Sucesiones
ACADEMIA
PREGUNTA N.º 28 Hallar el valor de 2 + 16 + 54 + + 6750 A) 14 000 B) 24 800 D) 28 800
Resolución
∴ n = 33, 34, 35,
Para encontrar el primer término negativo de 3 cifras, debemos tomar el primer valor de n , es decir n = 33 t33 = −7(33) + 127 = −104
PREGUNTA N.º 27 Señale el grupo de letras que sigue. BMD ; CÑG ; DPJ ;
Tema: Sumatorias Piden hallar el valor de:
S = 2 + 16 + 54 + + 6750
Factorizando 2 a la suma
Respuesta: Por lo tanto, t33 = −104
C) 14 400 E) 24 400
S = 2(1 + 8 + 27 + + 3375) Alternativa C
S = 2 (13 + 23 + 33 + + 153 ) (∗) 15 términos
OBSERVACIÓN Recordar que la suma de los “n” primeros números cubos perfectos esta dado por
1
Razo namiento Matemático SEGUNDO EXAMEN
n
n(n + 1) i = 1 + 2 + 3 + + n = ∑ 2 i=1 3
3
3
3
3
Resolución
2
Tema: Sumatorias
Retomando (∗) se tiene: 2
Como se trata de una PA, entonces debe cumplirse que:
(
2
) (
)
2a − a + a = a + a − a
n(n + 1) 15(16) S = 2 = 2 = 28800 2 2
a=2 a
Respuesta: Por lo tanto, S = 28800 Alternativa D
→
a=0 ∨ a=4
Consideramos a = 4 y descartamos a = 0 ya que con este valor, la sucesión se hace cero. Reconstruyendo la sucesión se tiene:
PREGUNTA N.º 29 Halle el valor de M.
4
;
+2
M = 0,25 + 0,5 + 0,75 + + 20
C) 910 E) 1620
Resolución
Dándole forma a la suma: M=
25 5 75 + + + + 20 100 10 100
;
+2
tn = 2n + 2
De ahí que: t20 = 42
Como piden la suma de los 20 primeros términos, se tiene:
A
CA
S = 4 + 6 + 8 + + 42
4 + 42 S= × 20 = 460 2
Respuesta: Por lo tanto, S = 460
1 2 3 80 M = + + + + 4 4 4 4
Alternativa C
PREGUNTA N.º 31 Al repartir N directamente proporcional a: 5, 8; 6 e inversamente proporcional a 12; 6; 10; la diferencia entre la segunda y la tercera parte es 176. Hallar N.
1 + + 80 ) (1 + 2 +3 4 Suma de números consecutivos
A) 526 B) 246 D) 218
1 80(81) M= = 810 4 2
C) 324 E) 564
Resolución
Respuesta: Por lo tanto, M = 810 Alternativa B PREGUNTA N.º 30 Calcular la suma de los 20 primeros términos de la progresión aritmética. a ;
+2
8
A I M E D
1 1 3 M = + + + + 20 4 2 4
M=
→
;
H T A M G I S
A) 710 B) 810 D) 610
Tema: Sumatorias
tn = 4 + 2(n − 1)
6
(a + a )
A) 350 B) 420 D) 470
Tema: Reparto Proporcional Sean R1 , R2 y R3 las cantidades repartidas, entonces: N = R1 + R2 + R3
(∗)
Según condiciones del ejercicio se tiene: 12R1 6R2 10R3 = = =k 5 8 6
; 2a ;
C) 460 E) 580
6R1 3R2 5R3 = = =k 5 8 6
De donde:
2 3
Razo namiento Matemático SEGUNDO EXAMEN
5 R1 = 6 k 8 R2 = k 3 6 R3 = 5 k
PREGUNTA N.º 33 Una herencia que asciende a 1380 se reparte en 3 partes, tales que la primera sea a la segunda como 2 es a 3 y que ésta sea a la tercera como 5 es a 7. ¿Cuál es la cantidad menor?
(∗∗)
A) 3 000 B) 200 D) 300
Por condición del ejercicio 8 6 k − k = 176 3 5
→
Resolución Tema: Reparto Proporcional
k = 120
Sean R1 , R2 y R3 las partes repartidas, entonces:
Reemplazando en (∗∗)
R1 + R2 + R3 = 1380
R1 = 100 , R2 = 320 , R3 = 144
(∗)
Según condiciones del ejercicio se tiene:
Retomando (∗)
H T A M G I S
N = 100 + 320 + 144 = 564 Respuesta: Por lo tanto, N = 564
A
PREGUNTA N.º 32 2
CA
A) 3 B) 2 3 D) 6
Alternativa E
C) 3 2 E) 4
Resolución
Tema: Magnitudes Proporcionales Dado que A2 es DP a
B e IP a C , se tendrá: A2 ⋅ C = cte B
Reemplazando los valores que nos dan en el ejercicio: →
R1 2 10 = = R2 3 15
A I M E D
Si A es directamente proporcional a B e inversamente proporcional a C . Además A = 3 cuando B = 4 y C = 2 . Hallar A cuando B = 81 y C = 27
32 ⋅ 2 A2 ⋅ 27 = 4 81
C) 100 E) 350
R1 = 10k R2 = 15k R = 21k 3
→
R2 5 15 = = R3 7 21
Retomando (∗)
10k + 15k + 21k = 1380
→
k = 30
Piden la cantidad menor R1 = 10k = 10(30) = 300
Respuesta: Por lo tanto, la cantidad menor repartida es 300 Alternativa D PREGUNTA N.º 34 En las siguientes gráficas, M y N son magnitudes directamente proporcionales, A y B son magnitudes inversamente proporcionales. Determinar el valor de x / y M
A
12
24
x
2k
A= 3 15
k
N
30
y
B
Respuesta: Por lo tanto, A = 3 Alternativa A
A) 0,5 B) 0,6 D) 0,8
C) 0,7 E) 0,9
3
Razo namiento Matemático SEGUNDO EXAMEN
Resolución
Tema: Magnitudes Proporcionales De las gráficas se tiene: 12 ⋅ 15 x 12 15 = k → x = k 24 ⋅ 30 = 2k ⋅ y → y = 24 ⋅ 30 2k
80 ⋅ 40 a ⋅ 2 = → a = 64 100 4 80 ⋅ 40 25 ⋅ b = → b = 128 100 100
Piden calcular: a + b = 64 + 1287 = 192
(I)
Respuesta: Por lo tanto, a + b = 192
(II)
Alternativa C
Como piden x / y , entonces dividimos (I) ÷ (II) PREGUNTA N.º 36 ¿Qué porcentaje del 20% del 10% de 400 es el 8% del 0,2% de 1000?
12 ⋅ 15 1 x k = = = 0,5 24 30 ⋅ 2 y 2k
Respuesta:
A) 2% B) 30% D) 3%
H T A M G I S
Por lo tanto, x / y = 0,5
A I M E D
Alternativa A
PREGUNTA N.º 35
A C A
Si A DP B2 (C: constante) C IP A (B: constante) A
B
C
80
a
25
10
2
10
40
2
b
A) 172 B) 112 D) 152
Resolución Tema: Magnitudes Proporcionales
Se tendrá:
A DP B2 (C constante) A IP C (B constante) A⋅C = cte B2
Reemplazando valores del cuadro, se tiene: 80 ⋅ 40 a ⋅ 2 25 ⋅ b = = 100 4 100 Luego:
Resolución
Tema: El Tanto por Cuanto
Para determinar el porcentaje que representa una cantidad respecto de otra, aplicaremos, como un método práctico, la relación parte todo: Parte × 100% Todo
Aplicando este método en el ejercicio, se tiene: 8% ⋅ 0,2% ⋅ 1000 × 100% 20% ⋅ 10% ⋅ 400
Calcular el valor de a + b
Dado que
C) 20% E) 6%
C) 192 E) 105
16 % = 2% 8
Respuesta: Por lo tanto, representa el 2% Alternativa A PREGUNTA N.º 37 Si gastara el 30% del dinero que tengo, y ganara el 28% de lo que me queda, perdería S/. 156, ¿cuánto tengo? A) S/. 3 500 B) S/. 2 000 D) S/. 1 560
C) S/. 1 500 E) S/. 2 500
Resolución Tema: El Tanto por Cuanto
4 5
Razo namiento Matemático SEGUNDO EXAMEN
En el ejercicio piden calcular la cantidad de soles que tengo. Le asignamos a la cantidad que tengo un valor conveniente, para calcular consecutivamente el 30% y 28% sin que esto resulte una cantidad fraccionaria. Entonces, sea la cantidad de soles que tengo 1000k , luego: Si gastara el 30% de lo que tengo
1000k
me quedaría
gastaría
700k
300k
18 ⋅ 18
x
27 ⋅ 27
12 ⋅ 18 ⋅ 18 = x ⋅ 27 ⋅ 27 x = 27
H T A M G I S ×7 28%
A) 3 B) 4 D) 5
Del dato, …perdería 156 soles k=
3 2
A
CA
A I M E D
3 De ahí que lo que tengo es: 1000k = 1000 × = 1500 2 Respuesta: Por lo tanto, lo que tengo es 1500
Resolución
Se pide a los cuántos días se aumentó el personal. Como las magnitudes obreros y días son IP, entonces: 18 obreros × 32 días
PREGUNTA N.º 38 Para cosechar en un terreno de forma cuadrada de 18m de lado se necesita 12 días, ¿cuántos días se necesita para cosechar otro campo cuadrado de 27m de lado? A) 18 B) 20 D) 27
C) 2 E) 6
Tema: Comparación de Magnitudes
Alternativa C
C) 22 E) 30
x días
(28 − x ) días
18 obreros
21 obreros (28 − x ) días
x días
Se aumenta 3 obreros
Del gráfico 18 ⋅ x + 21⋅ (28 − x ) = 18 ⋅ 32
Resolución
x =4
Tema: Regla de Tres Graficando ambos terrenos (de acuerdo al enunciado)
18m
12
PREGUNTA N.º 39 Una obra puede ser realizada por 18 obreros en 32 días; al cabo de cierto tiempo se contrata 3 obreros más de modo que la obra se termina en 28 días de empezada. ¿A los cuántos días se aumento el personal?
700k 104k 196k
→
Obra (área)
Alternativa D
me quedaría ganaría perdería
104k = 156
Días
Respuesta: Por lo tanto, se necesitan 29 días.
Luego, si ganara el 28% de lo que me quedaría
×7 100%
Aplicando el método práctico se tiene:
Respuesta: Por lo tanto, a los 4 días se aumentó el personal Alternativa B PREGUNTA N.º 40 Una persona pensó hacer una obra en 15 días; pero tardó 10 días más por trabajar 2 horas menos al día. ¿Cuántas horas trabajó al día?
27m
18m 27m
A) 4 B) 6 D) 2
C) 5 E) 3
5
Razo namiento Matemático SEGUNDO EXAMEN
Resolución
Ingreso S / .
fi
Fi
hi
Tema: Comparación de Magnitudes
[160 − 170
12
12
Como se trata de comparar magnitudes, entonces para simplificar los cálculos haremos uso del método práctico:
48
60
10
70
0,125
6
76
0,075
4
80
Obra
15
h/d x
[170 − 180 [180 − 190 [190 − 200
1
[200 −210
20
x −2
1
Obrero
Días
1 1
n = 80
Piden calcular el número de familias que ganan de 19 soles
15 x = 20( x − 2)
a más, o sea en el intervalo [190 − 210 ] , y como podemos apreciar en el cuadro, dicho intervalo consta del 4to y 5to intervalo, de ahí que hay 6 + 4 = 10 familias
x =8 Respuesta: Por lo tanto, trabajó x − 2 = 8 − 2 = 6 h/d
Respuesta: Por lo tanto, hay 10 familias que ganan de 190 soles a más. Alternativa B
H T A M G I S Alternativa B
A I M E D
PREGUNTA N.º 41 Determinar el número de familias que ganan de 190 soles a más. Ingreso S / .
[160 − 170 [170 − 180 [180 − 190 [190 − 200
fi
Fi
48
60
A C A hi
PREGUNTA N.º 42 Se conoce las edades de 5 jóvenes, la media de ellos es 17,2 años; su moda es 16 y su mediana es 17. ¿Cuántos años tiene el mayor de los jóvenes si todas las edades son expresadas con valores enteros? A) 16 B) 17 D) 19
0,125
0,075
[200 −210
80
A) 4 B) 10 D) 12
Resolución Tema: Estadística Dado que F5 = 80 → n = 80 Además F2 = F1 + f2
→
F1 = 12 = f1
Se sabe que: fi = hi × n
Tema: Estadística
C) 18 E) 20
Resolución
Sean las edades: a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e
C) 16 E) 20
i) La mediana es 17, sólo si c = 17 .
ii) La moda es 16 y esto de da sólo cuando a = b = 16 , también es importante recalcar que para que exista moda, debe repetirse un valor, y como la mediana es 17, los únicos valores menores son a y b, no hay más. También 17 < d < e , no pueden ser iguales, habría otra moda. iii) La mediana es 17,2, con lo anterior calculamos: 17,2 =
16 + 16 + 17 + d + e 5
d + e = 37
Entonces: f3 = h3 × n
→
f3 = 10
f4 = h4 × n
→
f4 = 6
Completando la tabla se tiene:
18 19
d y e son mayores a 17
Respuesta: Por lo tanto, la mayor edad es 19 Alternativa D
6 7
Razo namiento Matemático SEGUNDO EXAMEN
PREGUNTA N.º 43 Las edades de 6 personas presentan como media a 22,5 además como moda y mediana a 19. ¿Cuál es la máxima edad que podría tener alguno de ellos si ninguno es menor de 14 años? A) 48 B) 49 D) 51
Del gráfico
Con los datos obtenidos hasta ahora construimos la siguiente tabla
C) 50 E) 52
Resolución
Tema: Estadística
Sean las edades 14 ≤ a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e ≤ f , de los cuales f es máximo. Por dato: X =
a+b+c+d+e+ f = 22,5 6
Luego a + b + c + d + e + f = 135
14
c
d
14
19
19 19
[200 − 240
220
[240 − 280 [280 − 320 [320 − 360
260 300
[360 −400
380
+w
+w +w
340
+w
e
f
A C A
Alternativa C
PREGUNTA N.º 44 En una distribución de 5 intervalos con ancho de clase
común se sabe que y2 = 260 y y4 = 340 . Determine el límite superior del cuarto intervalo. A) 320 B) 300 D) 360
Respuesta: Por lo tanto, el límite superior del 4to intervalo es 360 Alternativa D
A I M E D
En (∗) 14 + 14 + 19 + 19 + 19 + f = 135 → f = 50
Por lo tanto, fmax = 50
yi
H T A M G I S b
Respuesta:
Ii
En el gráfico se observa que el cuarto intervalo es [320 −360
(∗)
Como la Me = Mo = 19 y f tiene que ser máximo, el resto de valores deben ser lo menor posible, por lo que tendremos: a
w w + w + = 340 − 260 → w = 40 2 2
C) 450 E) 420
Resolución Tema: Estadística
PREGUNTA N.º 45 De la siguiente ojiva de las edades de 200 personas.
200 180 160 140 120 100 80 60 40 20
10
20
30
40
50
60
70
Hallar el número de personas cuyas edades están en el intervalo de [22 ; 55]
Del enunciado se sabe que k = 5 (número de intervalos) y w = común (constante). Además se sabe que y2 = 260 y y4 = 340 y representándolo en la recta se tiene: w w/2 w/2
y2 = 260
y4 = 340
A) 100 B) 105 D) 116
C) 106 E) 110
Resolución Tema: Estadística De la ojiva que nos dan en el ejercicio, señalamos la siguiente tabla con n = 200
7
Razo namiento Matemático SEGUNDO EXAMEN
Ii
fi
Fi
N° de casos favorables = C412 =
[10 − 20
40
40
La probabilidad será:
[20 − 30
20
60
[30 − 40
60
120
[40 − 50
20
140
[50 −60
40
180
[60 −70
20
Probabilidad =
12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
C412 11 = C418 68
Respuesta: Por lo tanto, la probabilidad es
200
11 68
Alternativa C
n = 200
Piden calcular el número de personas cuyas edades están en el intervalo [22 − 55] 16 60 20 20 10
20
40
50
60
55
De ahí que, en el intervalo [22 − 55] hay: 16 + 60 + 20 + 20 = 116 Respuesta:
A) 1/6 B) 2/3 D) 1/4
C) 1/2 E) 3/4
H T A M G I S
30
22
PREGUNTA N.º 47 De 60 familias entrevistadas, 30 tienen hijos varones, 40 tienen hijas mujeres y 20 tienen hijos varones y mujeres. ¿Cuál es la probabilidad de seleccionar una familia que no tenga hijos?
A
A I M E D 70
Tema: Probabilidades
CA
Resolución
Usando el diagrama de Venn–Euler y ubicando los datos que nos dan en el enunciado, se tiene: Total = 60
M(40)
V (30)
Por lo tanto, en el intervalo [22 − 55] hay 116 personas Alternativa D
a
c
b
PREGUNTA N.º 46 En un colegio hay 12 varones y 6 mujeres; se escoge cuatro estudiantes al azar. Calcular la probabilidad de que todos sean varones. A) 38/68 B) 11/38 D) 37/67
C) 11/68 E) 13/69
Resolución Tema: Probabilidades En el ejercicio nos dicen que hay 12 varones y 6 mujeres, por lo que habrá un total de 18 estudiantes. El número de casos en que se pueden escoger 4 estudiantes del total es: N° de casos totales = C418 =
18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
El número de casos en que se pueden escoger 4 varones de un total de 12 es:
d
Del gráfico y del enunciado se tiene: a + b + c + d = 60 a + b = 30 b + c = 40 b = 20
⇒
a = 10 b = 20 c = 20 d = 10
N° de casos totales = 60 N° de casos favorables = 10
Probabilidad =
10 1 = 60 6
Respuesta: Por lo tanto, la probabilidad es 1/6 Alternativa A
8 9
Razo namiento Matemático SEGUNDO EXAMEN
PREGUNTA N.º 48 6 alumnos del CPU se sientan alrededor de una mesa circular. Hallar la probabilidad de que 2 personas determinadas se sienten en lugares contiguos. A) 3/5 B) 1/5 D) 1/8
C) 1/10 E) 2/5
Resolución Tema: Probabilidades Piden cuál es la probabilidad de que dos personas se sienten en lugares contiguos, (juntos).
En primer lugar calculemos el número de formas en que pueden sentarse los seis amigos (con B siempre en los extremos). En segundo lugar hallaremos lo mismo que lo anterior; pero de los cuales dos de los amigos (A y F) están siempre juntos. Entonces, si al primer resultado encontrado, le restamos el segundo obtendremos las formas en que pueden sentarse los 6 amigos con B siempre en los extremos y que los amigos (A y F) no se sienten juntos nunca. Veamos: N° total de formas en que pueden sentarse los 6 amigos con B siempre en los extremos. B A C D E F 5!
Sean: A, B, C, D, E y F los 6 alumnos del CPU, distribuyéndolas en una mesa circular (permutación circular), se tiene:
H T A M G I S A
F
E
A C D E F B 5!
B
C
D
A
A I M E D ⇒
CA
N° total = 5!× 2!
N° total de formas cuando (A y F) están juntos:
2!
A F C D E B 2! 3!
En el gráfico asumimos que los alumnos A y B se sientan juntos.
2!
N° de casos totales = PC (6) = (6 − 1)! = 5!
N° de casos favorables = PC (5) × P(2) = (5 − 1)!× 2!
Probabilidad (2juntos) =
4!× 2! 4!× 2! 2 = = 5! 5 × 4! 5
PREGUNTA N.º 49 Seis amigos Ángel, Betto, Carlos, David, Efraín y Fernando se sientan en una banca con seis asientos. ¿De cuántas formas pueden sentarse si Betto siempre está al extremo y Ángel y Fernando no se sientan juntos nunca?
Tema: Análisis Combinatorio
N° (A y F juntos) = 3!× 2!× 2!× 2!
5!× 2!− 3!× 2!× 2!× 2! Alternativa E
Resolución
⇒
Restando:
Respuesta: Por lo tanto, la probabilidad es 2/5
A) 72 B) 100 D) 144
B C D E A F 3! 2!
C) 120 E) 288
120 − 48 = 72 Respuesta: Por lo tanto, los 6 amigos, con Betto siempre en los extremos y Ángel y Fernando separados siempre, se podrán sentar de 72 formas. Alternativa A PREGUNTA N.º 50 ¿Cuántas palabras diferentes se podrá formar (sin importar el sentido de las mismas) con las letras de la palabra “INGRESARAS”, si las tres primeras letras deben estar juntas? A) 40320 B) 5040 D) 30420
C) 30240 E) 6720
9
Razo namiento Matemático SEGUNDO EXAMEN
Resolución
Tema: Análisis Combinatorio Como las tres primeras letras deben estar juntas, entonces consideremos a este grupo como un solo elemento, y para encontrar el total de palabras que se puedan formar debemos permutar u ordenar el grupo de tres letras y todas a la vez, así: I N G A A R R S S E Juntos
2
2
2
Como hay 8 elementos, considerando a los tres primeros como uno solo, entonces: P28 2 2 × P(3) =
8! 8 × 7! × 3! = × 6 = 30240 2!× 2!× 2! 8
H T A M G I S
Respuesta: Por lo tanto, se podrán formar 30240 palabras diferentes. Alternativa C
A C A
A I M E D
Academia pre_universitaria SIGMATH, te recuerda que las matrículas y reincorporaciones estan abiertas, no esperes hasta el último día; MATRICÚLATE YA. nos encontramos en el Jr. Huascar N° 220 (ex CPU) colegio la Inmaculada. además les recuerda que pueden incorporarse al Círculo especial SIGMATH, que dedicado sólo para los alumnos que estan estudiando en el CPU y quieren reforzar para el TERCER EXAMEN.... No te quedes te esperamos
10
