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ACADEMIA
Aritmética Álgebra Ciencias
Aritmética – Álgebra
(Parte) DP (Índice)
Al repartir a los tres institutos tendremos:
PREGUNTA N.º 51 Si A es DP a B2 e IP a C , cuando A = 8 ; B = 6 y C = 4 . Determinar A cuando B = 9 y C = 9 A) 10 B) 12 D) 20
A DP B2 A IP C
⇒
A + B + C = 660
A I M E D
8k + 32k + 50k = 660
2 2k + 4 2k + 5 5k = 660
A C A
11 2k = 660
k=
A C = cte B2
→
Respuesta: Por lo tanto, A = 12
Respuesta: Por lo tanto, el instituto A recibe 120 computadoras. Alternativa D
A = 12
Alternativa B PREGUNTA N.º 52 Se va a realizar el reparto de 660 computadoras entre 3 institutos A, B y C. El reparto s e hará DP a los números:
Resolución Tema: Reparto Proporcional
C) 100 E) 150
PREGUNTA N.º 53 La secretaria del CPU digita un texto en la computadora a razón de 180 palabras por minuto. ¿A qué hora terminará con un dictado de 5400 palabras, si comenzó a las 9:52 horas? A) 1:18 horas B) 10:22 horas D) 10:28 horas
8;
32 y 50 respectivamente. Indicar cuántas computadoras recibe el instituto A. A) 60 B) 66 D) 120
60 2
60 Luego: A = 2 2k = 2 2 = 120 2
Luego, para los valores dados se tiene: 8 4 A 9 = 2 62 9
( k es constante)
H T A M G I S
Tema: Comparación de Magnitudes
Del dato:
A B C = = =k 8 32 50
Además:
C) 16 E) 24
Resolución
Se pide el valor de A.
(Parte) = cte. (Índice)
→
C) 10:24 horas E) 10:42 horas
Resolución Tema: Comparación de Magnitudes Aplicando el método práctico: Obrero
Tiempo (minutos)
Obra (palabras)
1
1
180
1
x
5400
1
A ritmética - Álgebra SEGUNDO EXAMEN
1⋅ 1⋅ 5400 = 1⋅ x ⋅ 180
→
x = 30
Resolución
Como la secretaria comenzó a las 9:52 horas, entonces pasados 30 minutos terminará con el dictado a las 10:22 horas. Respuesta: Por lo tanto, la secretaria termina con el dictado a las 10:22 horas Alternativa B PREGUNTA N.º 54 Si 6 obreros pueden terminar una obra en 24 días y si después de 8 días se les agrega 2 obreros más, ¿en cuántos días se ejecuto la obra? A) 20 B) 10 D) 14
Tema: Variación Porcentual El área (A) de un triángulo está dado por un medio de la base 1 (b) por la altura (h). A = bh , pero como solo varían la base 2 1 y la altura, permanece constante y ya no lo consideramos 2 en la variación porcentual, así: A = bh
C) 8 E) 11
Inicio b = 10
Resolución
H T A M G I S A C A
Obratotal = n° de obreros × n° de días 6 obr. × 24 días
8 d.
6 obreros 8 días
Área inicial = 10 × 10 = 100 Área final = 9 × 11 = 99 −1
Respuesta: Por lo tanto, el área se reduce en 1%
Alternativa C
PREGUNTA N.º 56 Si José tuviera el 25% más de la edad que tiene, tendría 65 años. ¿Qué edad tuvo hace 4 años?
8 obreros x días
A) 48 años B) 42 años D) 56 años
Se agregan 2 obreros más
C) 52 años E) 40 años
Resolución
Tema: Porcentajes
8(6 + x ) = 6 ⋅ 24
Sea la edad actual de José “ 100x ” para evitar fracciones, entonces:
x = 12 Respuesta: Por lo tanto, la obra se ejecutó en 20 días Alternativa A PREGUNTA N.º 55 En un triángulo la base se reduce en 10% mientras que la altura se aumenta en 10%. La variación del área consiste en que: A) se reduce en 9% C) se reduce en 1% E) aumenta en 1%
11
A I M E D
Se pide en cuantos días se ejecuta la obra. Graficamos la obra a realizar como un rectángulo y consideramos que:
6 ⋅ 8 + x ⋅ 8 = 6 ⋅ 24
9
+1
h = 10
Tema: Comparación de Magnitudes
Del gráfico
Final
−1
B) aumenta en 9% D) no varía
José
Hace 4 años
Edad actual
25% más
100 x − 4
100x
125x
4
+ 25%
Por condición del ejercicio. 125 x = 65 → x =
65 125
Piden la edad que tuvo hace 4 años
2 3
A ritmética - Álgebra SEGUNDO EXAMEN
( xy )
65 100 x − 4 = 100 − 4 = 48 125
b
+ ( xy ) + x a+b + y a+b
x a ya + x b yb + x a x b + ya yb
Respuesta: Por lo tanto, hace 4 años José tenía 48 años.
(
)
(
x a ya + x b + yb x b + ya
Alternativa A PREGUNTA N.º 57 Los conjuntos A, B y C son tales que: B − A = φ y C ⊂ B , entonces simplificar:
)
( ya + x b )( x a + yb ) Los factores primos son:
( ya + x b ) y ( x a + yb )
Respuesta:
E = {( A ∪ B) ∩ (B ∪ C )} ∪ ( A ∩ B ∩ C )
Por lo tanto, un factor primo es
C) C ∩ B E) B
A) C B) A D) A ∪ C
a
Resolución
Alternativa B
PREGUNTA N.º 59 Sean los polinomios P( x ) = 18 x 2 + 54 x − 324 , Q( x ) = 18( x − 3) . El MCD, es:
H T A M G I S
Tema: Conjuntos
A I M E D
A) x − 3 B) 18 D) x + 6
C ∩ B = C (i) Como C ⊂ B → C ∪ B = B (ii)
A C A
y B − A = φ → B ⊂ A → C ∩ A = C (iii) Luego simplificamos
E = {( A ∪ B ) ∩ ( B ∪ C )} ∪ ( A ∩ B ∩ C )
E = {( B ∪ A ) ∩ ( B ∪ C )} ∪ {A ∩ ( C ∩ B )}
por (i)
Tema: M.C.D. de Polinomios
Factorizando cada uno de los polinomios: 2 i) P( x ) = 18 x + 54 x − 324
asociativa
P( x ) = 18 ( x 2 + 3 x − 18 )
E = B ∪ {( A ∩ C ) ∪ ( A ∩ C )}
reflexiva
P( x ) = 18 ( x + 6 )( x − 3 )
E = B ∪ ( A ∩ C ) ≡ B ∪ (C ∩ A) E = B ∪ C por (ii) E=B
C) Q( x ) E) x + 3
Resolución
E = {B ∪ ( A ∩ C )} ∪ ( A ∩ C )
por (iii)
ii)
Q( x ) = 18 ( x − 3 )
El MCD ( P( x ); Q( x ) ) = 18 ( x − 3 ) = Q( x )
Respuesta: Por lo tanto, E = B Alternativa E PREGUNTA N.º 58 Al factorizar
( x a + yb )
a
( x + y ) + ( xy )
A) x a − y b
b
+ y a+b , un factor primo, es:
B) x a + y b
b
D) x Resolución Tema: Factorización
C) x a E) y
Respuesta: Por lo tanto, el MCD ( P( x ); Q( x ) ) = Q( x )
Alternativa C
PREGUNTA N.º 60 En la ecuación: mx + (3 − n) x = 5 x + 2m − 10 + n ; se obtiene infinitas soluciones. Hallar: “ m.n ”
b
A) 2 B) 4 D) 8
C) 6 E) 10
Resolución
3
A ritmética - Álgebra SEGUNDO EXAMEN
Tema: Teoría de Ecuaciones
PREGUNTA N.º 62
Recordar que si ax = b , entonces la ecuación es incompatible indeterminado o tiene infinitas soluciones, si
−1 0 2 Sea la matriz A = el valor de Trz( A − A) , es: 2 3
a=0 ∧ b=0
En el ejercicio:
A) 2 B) 4 D) 8
mx + (3 − n) x = 5 x + 2m − 10 + n
Resolución
mx + (3 − n) x − 5 x = 2m − 10 + n x [ m + (3 − n) − 5] = 2m − 10 + n
Tema: Matrices
x(m − n − 2) = 2m − 10 + n
−1 0 −1 0 −1 0 A2 − A = − 2 3 2 3 2 3
De ahí que:
C) 6 E) 12
m − n − 2 = 0 ∧ 2m − 10 + n = 0
1 0 −1 0 A2 − A = − 4 9 2 3
Al resolver el sistema obtenemos que:
H T A M G I S 2 0 A2 − A = 2 6
m = 4 ∧ n = 2 → mn = 8 Respuesta: Por lo tanto, mn = 8
A I M E D
Alternativa D
A C A
PREGUNTA N.º 61 La diferencia entre la mayor raíz y menor raíz de la ecuación (3 x − 43)2 − (2 x − 17)2 = 0 , es: A) 14 B) 10 D) 12
C) 16 E) 8
Piden calcular la traza (Trz) de la matriz A2 − A , el cual está dado por la suma de los elementos de la diagonal principal, así: 2 + 6 = 8 Respuesta:
Por lo tanto, Trz ( A2 − A ) = 8
Alternativa D
PREGUNTA N.º 63 Al resolver el sistema
Resolución
x + y + z = 6 = 2 xy xz = 3
Tema: Ecuaciones Cuadráticas Resolviendo la ecuación
Un elemento del conjunto solución es: 2
2
( 3 x − 43 ) − ( 2 x − 17 )
=0
Dif. de cuadrados
(3 x − 43 + 2 x − 17 )(3 x − 43 − 2 x + 17 ) = 0
A) (−1; 2; 3)
B) (1; − 2; 3)
D) (1; 2; − 3)
5 ( x − 12 )( x − 26 ) = 0 x = 12
∨
C) (0; − 2; 1) E) (1; 2; 3)
Resolución
x = 26
Tema: Sistema de Ecuaciones
Piden calcular la diferencia entre la mayor y menor raíz, entonces: 26 − 12 = 14 Respuesta: Por lo tanto, la diferencia es 14 Alternativa A
x + y + z = 6 = 2 xy xz = 3
(i) (ii) (iii)
Dividiendo (ii) entre (iii)
4 5
A ritmética - Álgebra SEGUNDO EXAMEN
xy 2 = xz 3
y = 2k → z = 3k (iv) x = 1/ k
y 2 = z 3
→
x2 − 8x − 9 − x2 + 4 x − 3 ≤0 ( x − 3)( x + 1) 4( x + 3) ≥0 ( x − 3)( x + 1)
Reemplazando en (i)
Los puntos críticos son: x = −3 ; x = −1 ; x = 3
1 + 2k + 3k = 6 k 5k2 − 6k + 1 = 0 (5k − 1)(k − 1) = 0 k=
−3
1 ∨ k =1 5
CS = [ −3; −1] ∪ [3; +∞ ,
Reemplazando en (iv) para k = x =5
;
y=
2 5
;
Para k = 1 x =1
;
+
−
y=2
;
Respuesta:
+
− −1
3
considerando el universo U.
CS = [ −3; −1 ∪ 3; +∞
1 5
H T A M G I S z=
Respuesta:
3 5
Por lo tanto, CS = [ −3; −1 ∪ 3; +∞
A C A
z =3
A I M E D
Alternativa C
Por lo tanto, un elemento del conjunto solución es (1; 2; 3 )
Alternativa E
PREGUNTA N.º 64 Al resolver:
x − 9 x −1 ≤ x −3 x +1
El conjunto solución es: A) [ −1; 3]
C) [ −3; −1 ∪ 3; +∞
B) [ −3; − 1] ∪ [3; + ∞
D) −∞ ; 1 ∪ 3; + ∞
E) −1; 3 Resolución Tema: Desigualdades Cálculo del universo U : x ≠ 3 ∧ x ≠ −1 Ahora resolvemos la inecuación dentro del universo U. x − 9 x −1 − ≤0 x −3 x +1 ( x − 9)( x + 1) − ( x − 3)( x − 1) ≤0 ( x − 3)( x + 1)
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