Solucionario del Examen
ACADEMIA
de admisión UNASAM 2011 - I ático
atem Raz. M PREGUNTA N.º 26 La figura está formada por palitos de fósforos. Determinar el número de palitos que la conforman. Dar como respuesta la suma de cifras de dicho número.
Luego en:
H T A M G I S
1
1
3
2
2010
A C A
A) 210 B) 24 D) 2011
C) 88 E) 65
3
2
A I M E D 2011
2010
2011
# total de palitos = 2011× 2 ( 2011 − 1) = 8084220
→ suma decifras = 8 + 8 + 4 + 2 + 2 = 24
Resolución
Respuesta: Por lo tanto, la suma de cifras del total de palitos es 24 Alternativa B
Este ejercicio en particular puede ser resuelto por más de 2 métodos. Para nuestro caso solo consideraremos 2:
SEGUNDO MÉTODO (POR SUCESIONES) Para contar el total de “palitos de fósforo” debemos sumar el número de palitos del primer nivel hasta el último nivel. Así:
PRIMER MÉTODO (POR INDUCCIÓN) Contar una por una los “palitos de fósforo” que conforman la gráfica, sería demasiado cansado y perderíamos mucho tiempo, pero si aplicamos inducción tendríamos: # de palitos
= 1
2 × 2 ( 2 − 1)
→
3 × 2 ( 3 − 1)
3
2
2
12
3
8 12
16
1
2
3
8040 2010 2011
S = 4 + 8 + 12 + 16 + + 8040 S = 4 (1 + 2 + 3 + 4 + + 2010 )
=
1
→
2
= 1
4
4
4
24
→
4 × 2 ( 4 − 1)
2011× 2011 S = 4× = 8084220 2
Respuesta: Por lo tanto, la suma de cifras del total de palitos es 24 Alternativa B
1
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
Observación Estos y otros métodos más se desarrollarán con más detalle en los ciclos de la academia.
cuentemente la tercera cifra de (A) tiene que ser 4 y así toda la fila (A) sumará 18.
PREGUNTA N.º 27 En la siguiente multiplicación, cada asterisco representa una cifra. Las cifras del multiplicando son todas pares y suman 18, las del multiplicador son números primos. Hallar el producto de los números que menos se repiten en los productos parciales.
4 6 8 × (A) (B) ∗ 5 (C) 2 3 4 0 (D) 1 ∗ ∗ 4 (E) 1 ∗ 3 8 0
∗ ∗ ∗ ×
Ahora completando parcialmente el producto se tiene:
Por simple inspección podemos obtener las cifras que faltan, la segunda cifra de (B) es 3, la segunda y tercera cifra de (D) son cero y cuatro, respectivamente, y finalmente la cuarta cifra de (E) es 6. Con lo que se obtiene:
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 4 1 ∗ 3 8 0
4 6 3 2 3 4 1 4 0 4 1 6 3 8
8 × 5 0
H T A M G I S
A) 1 B) 2 D) 5
Resolución
Tema: Cripto Aritmética
C) 3 E) 6
A C A
A I M E D
Para un mejor desarrollo del ejercicio, a cada fila de la multiplicación la designaremos con una letra, así: ∗ ∗ ∗ × (A) → multiplicando (B) → multiplicador ∗ ∗ (C) ∗ ∗ ∗ ∗ → productos parciales (D) ∗ ∗ ∗ 4 (E) → producto final 1 ∗ 3 8 0
Notamos que la primera cifra del resultado de (E) es cero, y como sabemos dicha cifra ha “bajado” directamente desde el primer producto de (C), lo cual indica que la primera cifra de (C) vale cero. Pero, ¿de dónde salió este cero?, pues salió de multiplicar la primera cifra de (B) con la primera cifra de (A) y según condiciones del ejercicio, toda la fila de (A) son pares y suman 18, según esto, las cifras a usar solo pueden ser (2, 4, 6, 8), también nos dicen que toda la fila (B) son números primos y solo se podrán tomar los números (2, 3, 5, 7). Para que la primera cifra de (C) sea cero, no hay otra opción que la primera cifra de (B) sea 5, ya que es el único número primo que multiplicado por cualquier numero par de (A) termine en cero; así mismo la segunda cifra de (C) tiene que ser necesariamente 4 para que la segunda cifra de (E) sea 8. Como el resultado de multiplicar la primera cifra de (B) por la segunda cifra de (A) es la segunda cifra de (C), entonces esta última tiene que ser necesariamente 6 y conse-
0
Piden calcular el producto de los números que menos se repiten en los productos parciales, y dichos números son el 1, 2y3 Respuesta: Por lo tanto, el producto será 6.
Alternativa E
PREGUNTA N.º 28 En una reunión se encuentran un matemático, un físico, un químico, un estadístico y un ingeniero civil. Cada uno practica un deporte distinto (básquet, futbol, natación, atletismo, vóley). Si se conoce que: • • • • • •
El matemático y el físico no practican fútbol. El físico y el químico no practican básquet. El químico y el estadístico no practican natación. El estadístico y el ingeniero no practican fútbol. El ingeniero civil practica atletismo. El que practica vóley trabaja con tablas de distribución de frecuencia.
Entonces, el que practica natación es: A) Matemático B) Físico D) Estadístico
C) Químico E) Ing. Civil.
2 3
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
Resolución
H i j o
Tema: Cuadros de Doble Entrada Según condiciones iniciales del problema, construimos el siguiente cuadro. Matemático Físico Químico Estadístico Civil
Básquet Fútbol
O
O O
O O
Natación
O O
O
H i j o
H i j a
Vóley
De la última condición. El que trabaja con tablas de distribución de frecuencias es el estadístico, por lo tanto, él practica vóley. Además se debe verificar tanto en cada fila horizontal y vertical la existencia de un solo chek () Con estas consideraciones completamos el cuadro.
Natación Atletismo
Vóley
Tío Tía
Primos
Respuesta: Por lo tanto, del diagrama deducimos que la “Tía” es la esposa del cuñado de mi papá Alternativa D
H T A M G I S A C OA O O
Matemático Físico Químico Estadístico Civil
Fútbol
Hermanos
Yo
Prima
PREGUNTA N.º 30 De la siguiente distribución numérica:
A I M E D
P O O O O
H i j a
Cuñados
Padre Madre
Tía
Abuelo
Las flechas nos señalan la relación que hay entre uno y otro.
P
Atletismo
Básquet
Hermanos
Abuela
O O P O O
P O O O
O O O P
O O P O
3 ; 3 ; 4 ; 6 ; 5 ;
Dar el valor de la suma de los términos que ocupan los lugares 15 y 21. A) 6 B) 9 D) 25
C) 15 E) 13
Resolución
Tema: Distribuciones Numéricas
De la sucesión dada se observa que:
Respuesta: Por lo tanto, el que practica natación es el físico. Alternativa B
PREGUNTA N.º 29 La tía de mi prima es mi tía, que es hija única del hermano de mi abuela. ¿Quién es la tía? A) La esposa del hermano de mi papá. B) La esposa del hermano de mi abuelo. C) La esposa de mi primo. D) La esposa del cuñado de mi papá. E) La esposa de mi papá. Resolución Tema: Parentescos En el texto encontramos los siguientes integrantes
3
;
3
;
4
;
6
;
5
;
Al seguir la sucesión de números tendremos que los términos 15 y 21 son, respectivamente: 10 y 13 La suma de los términos será: 10 + 13 = 23 OBSERVACIÓN. Como la respuesta es 23, no hay clave en el examen. PREGUNTA N.º 31 2 3 4 n+1 Si En = 2 + (2 + 1) + (2 + 2) + + (2 + n − 1) .
Hallar el resultado de: 2010 E 2010
− E2008 − 4017
3
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
A) 3
B)
2010
2
D) 2010 3
C) 6
Hallar la última cifra de C.
E) 22010 3
A) 1 B) 3 D) 8
Resolución
C) 4 E) 0
Resolución
Tema: Habilidad Operativa
Tema: Cifras Terminales Para simplificar la raíz dada, primero tenemos que hallar En En = 22 + (23 + 1) + (24 + 2) + + (2n+1 + n − 1)
(
2
3
4
En = 2 + 2 + 2 + + 2
n+1
En = 2n+2 − 4 +
4
A = 20102010 = 0
(n − 1)(n) 2
Todo número que termina en 1 elevado a otro número termina en 1.
(n − 1)(n) En = 2 −1 + 1 23 + + 2n + + 2 + 22 + 2 2n+1−1
En = 2 ( −1 + 2n+1 − 1) +
o o4
) + (1+ 2 + 3 + + n − 1)
En = 2 ( 2 + 22 + 23 + + 2n ) +
Todo número que termina en cero elevado a otro número también termina en cero.
Todo número que termina en 9 elevado a un número impar termina en 9
H T A M G I S (n − 1)(n) 2
A I M E D
2314
B = 20112011
(n − 1)(n) 2
A
Ahora hallamos E2010 y E2008
CA
(n − 1)(n) E2010 = 22012 − 4 + 2 (n − 1)(n) 2010 E −4+ 2008 = 2 2
20102011
⋅ 20093
⋅ 20082009 o
B = (1) ⋅ (9) ⋅ (8)
4 +1
B = (1) ⋅ (9) ⋅ (8) = 2
Ahora calculamos C
C = (0)(2) + (2)2011 o
C = (0) + (2)
4 +3
C = (0) + (8)
Reemplazando en la raíz
C = 8
R = 2010 22012 −4 + (2009)(1005) − 22010 + 4 − (2007)(1004) − 4017
Respuesta: Por lo tanto, la última cifra de C es 8
R = 2010 22010 ( 22 − 1) + (2009)(1005) − (2007)(1004) −4017
Alternativa D
4017
PREGUNTA N.º 33 La suma de las cifras de un número de 2 cifras es 9. Si a este número se le resta el número que resulta de invertir el orden de sus cifras, da 27. Hallar la tercera parte del número.
R = 2010 22010 (3) = 22010 3 Respuesta: Por lo tanto, R = 22010 3 Alternativa E
A) 21 B) 30 D) 27
PREGUNTA N.º 32 Sea:
Resolución
o
A = 2010
o4 20104
2314
B = 20112011
C = AB + B2011
C) 53 E) 63
Tema: Numeración 20102011
⋅ 20093
⋅ 20082009
Sea ab el número de 2 cifras Según condiciones del ejercicio se tiene:
4 5
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
(1) a + b = 9 ab − ba = 27 (2)
x3 +
1 + 9 = 27 x3
x3 +
→
1 = 18 x3
Respuesta:
De (2) obtenemos:
Por lo tanto, x 3 +
(10a + b ) − (10b + a ) = 27
1 = 18 x3
Alternativa D
9a − 9b = 27 a−b =3
PREGUNTA N.º 35
Esta última ecuación la sumamos con la ecuación (1) y obtenemos:
Se define 2a2 ∆ b = Calcular 128 ∆3
a = 6 b = 3
→
ab = 63
A) 17 B) 14 D) 15
Piden calcular la tercera parte del número, entonces
A I M E D
A C A
Alternativa A
PREGUNTA N.º 34
1 1 = 5 , hallar x 3 + 3 x x
A) 15 B) 13 D) 18
C) 11 E) 19
Tema: Productos Notables
Por condiciones del ejercicio tenemos 1 = 5 x 2
1 x+ = x 1 x +2+ =5 x 1 x + =3 x
Piden calcular 128 ∆3 definición, se tiene:
9+8 = 17 9−8
Respuesta: Por lo tanto, 128 ∆3 = 17
Hallar ( x + y) , de la sucesión
1 ; 2 ; 7 ; 20 ; 45 ; x ; y ;
A) 322 B) 233 D) 251
( 5)
2
Alternativa A
PREGUNTA N.º 36
Elevando al cuadrado
C) 242 E) 263
Resolución Elevando al cubo
Tema: Sucesiones Analizando la sucesión se tiene:
3
1 3 x + =3 x
x3 +
b+a b−a dándole forma para aplicar la
Por definición tenemos: 2a2 ∆ b =
128 ∆3 = 2 × 82 ∆ 9 =
Resolución
x+
Resolución
Tema: Operaciones Matemáticas
Respuesta: Por lo tanto, la tercera parte del número es 21
x+
C) 27 E) 16
H T A M G I S
1 ( 63 ) = 21 3
Si
b+a , a≠b. b−a
1 ; 2 ; 7 ; 20 ; 45 ; x ; y ;
1 1 1 3 + 3( x ) x + = 27 x x x 3
1
13
5
4
12
8 4
4
41 61
25 16 4
20 4
5
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
Entonces:
PREGUNTA N.º 38 Si gastara el 20% del dinero que tengo y ganara el 10% de lo que me quedaría, perdería S/. 600. ¿Cuánto dinero tengo?
x = 45 + 41 = 86 y = 86 + 61 = 147
Piden calcular: x + y = 86 + 147 = 233
A) S/. 6000 B) S/. 7000 D) S/. 4000
Respuesta: Por lo tanto, x + y = 233 Alternativa B PREGUNTA N.º 37 100
n=1
1 n(n + 1)
Sea 100x el dinero que tengo, entonces analizando los casos supuestos se tiene:
A) 99/100 B) 10/101 D) 1
C) 101/100 E) 100/101
Tema: Sumatorias
Ganara
Gastara
Quedara
20 (100 x ) = 20 x 100
80x
H T A M G I S A I M E D 80x
100
1 (∗) ( n n + 1) n=1 Para calcular la suma dada, descomponemos la expresión Piden calcular el valor de S = ∑
A C A
1 en suma de fracciones parciales: n(n + 1)
10 ( 80 x ) = 8 x 100
Simplificando denominadores y por identidad de polinomios se tiene:
Podemos observar que después de los 2 supuestos quedan 88x , esto quiere decir que se perdió 12x . Y según condición del problema 12 x = 60
→
x = 50
100 x = 100(50) = 5000
Respuesta: Por lo tanto, tengo S/. 5000
1 1 1 = − n(n + 1) n n + 1
→
Alternativa C
PREGUNTA N.º 39 Si A y B son dos magnitudes inversamente proporcionales y A disminuye en 7/4 de su valor; entonces, ¿cómo varía B en su valor?
Reemplazando en (∗) 100 1 1 S = ∑ − n=1 n n + 1
1 1 1 1 1 1 1 S = 1− + − + − + + − 2 2 3 3 4 100 101 1 101 1 100 S = 1− = − = 101 101 101 101
A) 7/3 B) 3/4 D) 4/3
C) 1/4 E) 3/7
Resolución Tema: Comparación de Magnitudes
Respuesta: 100 101
88x
Piden calcular ¿Cuánto dinero tengo?
1 A B A(n + 1) + Bn = + = n(n + 1) n n + 1 n(n + 1)
Por lo tanto, S =
Tengo 100x
Resolución
A = 1 B = −1
Resolución Tema: Porcentajes
S=∑
Hallar el valor de
C) S/. 5000 E) S/. 3000
Alternativa E
Sea A = a y B = b Según el enunciado, A y B son inversamente proporcionales; ahora, como A disminuye, entonces B debe aumentar. Vamos averiguar en cuanto aumenta B
6 7
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
I.P.
A
B
a
b
3a Después 7
x
Al inicio
A) 20 B) 16 D) 23
Resolución Tema: Planteo de Ecuaciones
Como se trata de magnitudes (I.P.), entonces se cumple que el producto es constante para cada par de valores correspondientes. 3a ⋅ x = ab 7
Distribuimos los datos del problema con 4a el primer número, para evitar fracciones.
7 x= b 3
→
C) 32 E) 25
7 Del resultado podemos observar que B aumenta de b a b . 3 Ahora para saber la variación de B, solo restamos el valor final menos el valor inicial.
Primer número
Segundo número
Tercer número
4a
2a
a
Por condición: (4a)(2a)(a) = 512
→
a=4
H T A M G I S
7b 4 −b = b 3 3
Piden calcular el producto del segundo con el tercero
A I M E D
(2a)(a) = (8)(4) = 32
Respuesta:
Por lo tanto, B aumenta
4 de su valor 3
A C A
Alternativa D
PREGUNTA N.º 40 Si dos pintores pueden pintar 2 casas en 2 semanas, ¿cuántos pintores se necesitan para pintar 4 casas en 4 semanas? A) 2 B) 16 D) 4
C) 6 E) 5
Resolución
Respuesta: Por lo tanto, el producto del segundo con el tercero es 32 Alternativa C PREGUNTA N.º 42 Si N = log
x
x + 10log5 − 2log2 3 , x > 0 .
Calcular log2 N
A) 1 B) 3 D) 4
Resolución
Tema: Regla de Tres Compuesta
Tema: Logaritmos
Aplicando el método práctico para la R.T.C.
Obreros Semana 2 x 2⋅2⋅4 = x ⋅4 ⋅2
→
C) 0 E) 2
Casas (Obra)
2
2
4
4
N = log
N = log
x
x + 10log5 − 2log2 3
( x)
2
x2 + 5 − 3
N = 2log x x + 2
x =2
1
N=4
Respuesta: Por lo tanto, se necesitan 2 pintores
Piden calcular: Alternativa A
PREGUNTA N.º 41 Un número es el doble que un segundo número y el cuádruple de un tercero. El producto de los tres números es 512. ¿Cuánto vale el producto del segundo con el tercero?
log2 N = log2 4 = 2 Respuesta: Por lo tanto, log2 N = 2
Alternativa E
7
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
PREGUNTA N.º 43 Hace 10 años la edad de Ana era el doble de la de Bertha. Actualmente sus edades suman 92 años. ¿Cuál será la edad de Bertha dentro de 5 años? A) 43 años B) 39 años D) 34 años
C) 24 años E) 29 años
En la ecuación (m + 3) x 2 − 2mx + 4 = 0 , identificamos ∆ ∆ = (−2m)2 − 4(m + 3)(4) < 0
4m2 − 16m − 48 < 0 (m − 6)(m + 2) < 0 Por el método de los puntos críticos
Resolución Tema: Problema sobre Edades El ejercicio lo podemos resolver de dos formas: una de ellas sería usando dos variables y la otra usando solo una. Para nuestro caso, usaremos solo una variable, para ello partiremos de la condición de que “actualmente sus edades suman 92 años” −10
ANA
−
+
+5
−2
∴ C.S. = −2;6
→
Presente x
Futuro
92 − x Suman 92
m ∈ −2;6
Los valores enteros de m son: {−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
A C A
Respuesta: Por lo tanto, m puede tomar 7 valores enteros Alternativa A
A I M E D
PREGUNTA N.º 45 Calcule el máximo valor de la función:
Según condición del ejercicio planteamos la siguiente ecuación.
x − 10 = 164 − 2 x x = 58
6
H T A M G I S
Pasado x − 10
BERTHA 82 − x
x − 10 = 2(82 − x )
+
f ( x ) = −3 x 2 + 5 x + 1
A) 12/23 B) 27/23 D) 37/23
C) 42/27 E) 37/12
Resolución
Según este resultado, Ana tiene 58 y Bertha 34 años.
Respuesta: Por lo tanto, dentro de 5 años Bertha tendrá 39 años Alternativa B PREGUNTA N.º 44 ¿Cuántos valores enteros puede tomar “m” de tal manera 2 que la ecuación (m + 3) x − 2mx + 4 = 0 no tenga soluciones reales?
A) 7 B) 5 D) 6
C) 9 E) 8
Tema: Máximos de Funciones Cuadráticas
Para analizar el máximo valor de f ( x ) , primero le damos forma a la ecuación y luego completamos cuadrados. f ( x ) = −3 x 2 + 5 x + 1
5 1 f ( x ) = −3 x 2 − x − 3 3 2 5 1 25 f ( x ) = −3 x − − − 6 3 36 2
Resolución Tema: Ecuaciones Cuadráticas Para que la ecuación cuadrática no tenga soluciones reales debe cumplirse que la discriminante sea negativa, o sea ( ∆ < 0 ).
5 37 f ( x ) = −3 x − + 6 12
Piden calcular el máximo valor de f ( x ) , y esto será posible solo cuando el término negativo sea cero, o sea cuando x=
5 6
8 9
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
Luego: f ( x )max =
37 12
Respuesta: Por lo tanto, el máximo valor de f ( x ) =
37 12
Alternativa E
PREGUNTA N.º 46 En la figura mostrada, ¿Cuántos triángulos existen?
2a
A) 6πa B) 12πa D) 8πa
C) 4πa E) 20πa
Resolución A) 5 B) 8 D) 11
C) 10 E) 15
Tema: Perímetros de Regiones Sombreadas
H T A M G I S Resolución
Tema: Conteo de Figuras
A C A
A I M E D
Imaginemos la figura principal como un rompecabezas de 6 piezas y a cada una de ellas podemos asignarles un número, entonces la nueva figura sería: 4
1
5
6
2
3
# de regiones
triángulos que se forman
# de triángulos
1
1,3,4,5,6
5
2
14 , 25 , 36 , 45 , 56
5
3
456
1
4
ninguno
0
5
ninguno
0
6
ninguno
0
Total
2P = 2π(a) + 2π(a) + 2π(a) + 2π(a) + 2π(2a) 2P = 2π(a + a + a + a + 2a) = 2π(6a) 2P = 12πa
Respuesta: Por lo tanto, el perímetro de la región sombreada es 12πa Alternativa B PREGUNTA N.º 48 Una persona debe recorrer todas y cada una de las líneas (continuas y punteadas) que conforman la figura. ¿Cuál será la longitud del menor recorrido, sabiendo que todos los triángulos pequeños son equiláteros cuyo lado mide 2a cm?
11
Respuesta: Por lo tanto, en total hay 11 triángulos Alternativa D PREGUNTA N.º 47 Hallar el perímetro de la región sombreada
Si observamos detenidamente el gráfico, veremos que el perímetro de la región sombreada será igual a la suma de los perímetros de los 4 círculos pequeños más el perímetro del círculo grande, entonces:
A) 60a cm
( ) E) ( 60a + 8a 3 ) cm C) 60a + a 3 cm
B) 8a 3 cm
(
)
D) 56a + 10a 3 cm
9
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
Resolución
E
A
Tema: Recorridos Eulerianos B
Sabemos que si la figura presenta más de 2 puntos impares, entonces dicha figura no se podrá realizar de un solo trazo, se tendrá que repetir una cierta cantidad de líneas para poder dibujarla. La pregunta aquí será, ¿cuál línea habrá que repetir?. La respuesta la obtendremos en la siguiente observación: OBSERVACIÓN Cuando se tenga que repetir líneas y se pida el menor recorrido, entonces habrá que repetir aquellas líneas que vayan de un punto impar a otro punto impar, cuya longitud sea mínima y teniendo cuidado que los puntos impares de las líneas que se están repitiendo no coincidan entre sí (las líneas a repetir no tienen que estar en forma consecutiva). Entonces en nuestro problema:
3a cm 2
A)
a cm 2
D)
3+a cm 4
B)
3a cm 5
E)
a cm 8
Resolución
H T A M G I S A C A
I
I
I
A I M E D
x
E
B
A
2a
2a
I
Se observa que la figura no se podrá realizar de un solo trazo, se tendrá que repetir líneas: # mínimo de líneas a repetir =
A
x
D
I−2 6−2 = =2 2 2
Según la OBSERVACIÓN, las 2 líneas a repetirse serán las líneas que están con líneas gruesas en la figura anterior.
a
a
1 1 1 A = (2a)(2a) − (a)(2a − x ) + ( x )(2a − x ) + ( x )(2a) 2 2 2
1 2 ( 2a − ax + 2ax − x2 + 2ax ) 2
Rmin = 27(2a) + 8 a 3 + 2(2a) + 2a
A = 4a2 −
1 2 2a + 3ax − x 2 ) ( 2
Rmin = 54a + 8a 3 + 4a + 2a = 60a + 8a 3
2 A = 8a2 − 2a2 − 3ax + x 2
Respuesta:
2 A = x 2 − 3ax + 6a2
)
(
)
Por lo tanto, el recorrido mínimo será 60a + 8a 3 cm. Alternativa E PREGUNTA N.º 49 ACDE es un cuadrado de lado: 2a cm. ¿Cuánto debe medir el segmento AB de tal manera que el área de la región sombreada sea mínima?
C
Del gráfico, el área sombreada A será igual al área del cuadrado ACDE menos las tres áreas no sombreadas
A = 4a2 −
Ahora calculamos el recorrido mínimo ( Rmin )
(
C)
Tema: Máximos y Mínimos de Áreas
I
I
C
D
2
3a 9a 2 A = x − + 6 a2 − 2 4
Completando cuadrados 2
2
1 3a 15a2 A= x− + 2 2 8
Para que el área A sea mínima:
10 11
R azon amiento M atemático EXAMEN ORDINARIO
2
1 3a x− =0 2 2
→
x=
de la mesa
3a 2
A
Respuesta: Por lo tanto, para que el área sombreada sea mínima, entonces AB =
3a 2
F
B
E
C
Alternativa B
PREGUNTA N.º 50 Se observa 3 parejas de esposos. Estas se sientan alrededor de una mesa circular. Si una pareja de esposos se sientan siempre juntos, ¿de cuántas maneras se pueden ubicar? A) 84 B) 48 D) 56
C) 24 E) 100
D
Para efectos de la permutación circular, haremos que una pareja (A y B) sean como un sólo elemento, así nos aseguramos que nunca se separen, pero hay que tener en cuenta que internamente se pueden permutar de 2! maneras, es decir:
H T A M G I S Resolución
# Permutaciones Circulares = PC (5) × P(2)
Tema: Análisis Combinatorio
A I M E D
# Permutaciones Circulares = 4!
Sean A, B, C, D, E y F las personas que se sientan alrededor
A
CA
×
2! = 24 × 2 = 48
Respuesta: Por lo tanto, se podrán ubicar de 48 maneras
Alternativa B
“De todas maneras somos objeto de una arqueología del saber, pues el pasado inconsciente se hace presente en los agujeros del saber. No sigamos viviendo con los conocimientos del pasado. No esperemos que otros nos sigan configurando, colonizando y describiendo a su imagen y semejanza. Aprendamos a ser los actores de nuestra propia subjetividad, de nuestro sistema, de nuestra propia vida, de nuestra propia complejidad, de nuestras propias creaciones, de nuestras decisiones y elecciones.” Felicitaciones a los ingresantes que han obtenido una vacante por merito propio, pero fuerzas también a aquellos que no lograron el ingreso esta vez, sé que es duro asimilar estas derrotas, pero solo los valientes continúan en la lucha, y tú eres uno de ellos. Gracias a los amigos y amigas que nos escriben y leen, se que los solucionarios publicados anteriormente fueron de gran ayuda. La academia SIGMATH, en su afán de contribuir en la educación de calidad, publica el último solucionario del examen de admisión UNASAM 2011 – I que estamos seguros será una fuente valiosa para su preparación, sobre todo para aquellos que postulan al examen UNASAM 2011 – II SIGMATH se despide, pero antes les recuerda que se ha aperturado el CICLO ESPECIAL – CPU UNASAM que está dirigido a aquellos que estudian en dicha academia y quieren reforzar sus conocimientos y así asegurar el ingreso a la universidad, para mayor información nos pueden ubicar en: • • • •
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