ACADEMIA
t.
Raz. Ma PREGUNTA N.º 01 En una reunión del CPU el número de varones es 2 veces más que el número de mujeres; después que se retiran 8 parejas el número de varones que aún queda es 4 veces más el de mujeres.
Tema: Edades Sea “x” los años que tienen que pasar para que Jesús tenga el doble de la edad de Milagros. +x
¿Cuántas personas había inicialmente en dicha reunión? A) 52 B) 48 D) 64
C) 32 E) 72
x = a − 2b
Tema: Planteo de Ecuaciones
Respuesta: Por lo tanto, dentro de a − 2b años, Jesús tendrá el doble de la edad de Milagros. Alternativa E
H T A M G I S
dos veces más # mujeres = x Dato inicial # varones = x + 2 x = 3 x Total = 4x
Después que se retiran 8 parejas resulta:
A C A
A I M E D
PREGUNTA N.º 03 Al preguntar la edad de Guadalupe, ella respondió: “Si al año que cumplí los 23 años le suman el año que cumplí los 18 años y le restan la suma del año actual con el año en que nací, obtendrían 17 años”. La suma de cifras de la edad de Guadalupe es: A) 3 B) 4 D) 6
Por condición del ejercicio: 3 x − 8 = ( x − 8) + 4( x − 8)
3 x − 8 = x − 8 + 4 x − 32
Tema: Edades
Piden calcular: ¿Cuántas personas había inicialmente en dicha reunión? → 4 x = 4(16) = 64
Sea el año en que nació Guadalupe: “A” Sea su edad actual: “x” años
Año que Año que cumplió Año que cumplió Año 23 años actual nació 18 años
A
Respuesta: Por lo tanto, inicialmente habían 64 personas Alternativa D PREGUNTA N.º 02 Jesús tiene “a” años y milagros “b” años. ¿Dentro de cuántos años Jesús tendrá el doble de la edad de Milagros? A) a − b
C) 5 E) 8
Resolución
4 veces más
x = 16
Presente Futuro a a+ x b+ x b
a + x = 2(b + x )
Resolución
# mujeres = x − 8 # varones = 3 x − 8
Jesús Milagros
B) a + 2b
D) ab Resolución
C) a + b E) a − 2b
A + 18
A + 23
A+ x
Según condición del ejercicio, planteamos la siguiente ecuación: ( A + 23) + ( A + 18) − ( A + x + A) = 17 2 A + 41 − 2 A − x = 17 x = 24 Respuesta: Por lo tanto, la suma de cifras de la edad actual de Guadalupe es 6 Alternativa D
1
Razonamiento Matemático
PREGUNTA N.º 04 Si por S/. 200 dieran 6 pelotas más de las que dan, la docena costaría S/. 90 menos. ¿Cuánto vale cada pelota? A) S/. 10 B) S/. 20 D) S/. 50
EXAMEN FINAL
81 36 = x x
→
x = 54
Piden: ¿Cuánto vale la decena de limones?
C) S/. 30 E) S/. 60
81 81 12 = 12 = 18 soles. x 54
Resolución Tema: Planteo de Ecuaciones
Respuesta: Por lo tanto, la docena de limones vale S/. 18
En el problema hay dos casos que analizar, un caso real (dan) y un caso supuesto (dieran). Sea “n” el número de pelotas que dan por S/. 200, entonces:
PREGUNTA N.º 06 Según el gráfico, ¿qué hora es?
dan
dieran
n
n+6
# pelotas
200 n+6 precio de 200 S / . 12 200 S / . 12 1 docena n+6 n
precio de 1 pelota
200 n
Alternativa C
10
S/.
A
200 200 12 − 12 = 90 n n+6
Respuesta:
1
H T A M G I S S/.
CA
A I M E D
3x
8
3 min. 11
PREGUNTA N.º 05 Tres docenas de limones cuestan tantos soles como limones dan por 81 soles. ¿Cuánto vale la docena de limones? A) 12 B) 16 D) 24
C) 18 E) 36
Resolución Tema: Planteo de Ecuaciones Sea “x” la cantidad de limones que dan por 81 soles, según 81 soles. x Por condición del ejercicio planteamos la siguiente ecuación: esto, el precio de cada limón sería
4
5
6
2 min. 11 3 D) 8h : 27 min. 11 B) 8h : 27
C) 8h : 27 min. E) 8h : 26 min.
200 = 20 soles 10 Alternativa B
3
x
7
A) 8h : 25
Por lo tanto, cada pelota vale
2
9
Según el problema, en el caso supuesto, la docena costaría 90 soles menos. Su planteamiento es:
80 80 − =3 n n+6 n = 10
12
11
Resolución
Tema: Cronometría
Asumiendo que son las 8 : x ' Como se puede apreciar en el gráfico, la manecilla de la hora está delante la manecilla de los minutos; entonces aplicando la fórmula convenientemente, tendremos: 11 M → 2 150(2) 300 M= = 11 11 3 M = 27 11 x = 30H −
90 = 30(8) −
11 M 2
Respuesta: Por lo tanto, son las 8 : 27
3 minutos. 11
Alternativa D
2 3
Razonamiento Matemático
PREGUNTA N.º 07 ¿A qué hora por primera vez se forma un ángulo de 40°, si el horario está entre las 5:00 y 6:00? A) 5:10 B) 5:20 D) 5:08
C) 5:55 E) 5:30
EXAMEN FINAL Resolución
Tema: Certezas Para resolver el ejercicio hay que tener en cuenta lo siguiente • Del 1 al 40 hay 20 números impares y 20 pares 3 5 39 I I I I 1
Resolución
20 impares
Tema: Cronometría El ángulo formado por primera vez se da cuando el minutero todavía no pasa al horario. Como la hora es nuestra incógnita, entonces llamaremos a dicha hora: 5 : x ' 12
11
10
1
x ' <> (6 x )°
3
A C A
8
• La suma de un numero par (P) con un impar (I) y viceversa, resulta: P+P=P P+I=I I+P = I I+I = P En el ejercicio nos dicen que ya se han extraído 5 fichas con números pares, de modo que si se extrae una ficha con número impar, habremos logrado el objetivo de tener 2 fichas que suman un número impar.
A I M E D
4
7
x 2
6 x + 40 = 150 +
5
6
Del gráfico se tiene: x 2
20 pares
H T A M G I S 2
9
2 4 6 40 P P P P
dos fichas que suman un número impar
40°
Pero para garantizar este resultado, debemos ponernos en el peor de los casos (aquél caso que dilate más el momento en que se logre el objetivo), entonces el peor de los casos sería extraer todas las fichas de número par, y como ya se han extraído 5 (dato del ejercicio), entonces extraemos las 15 que quedan; de ahí que en la siguiente extracción de todas maneras saldrá una ficha de número impar.
o
Respuesta: Por lo tanto, habrá que extraer 16 fichas adicionales. Alternativa C
11x = 110(2) x = 20 Respuesta: Por lo tanto, la hora es: 5:20 Alternativa B PREGUNTA N.º 08 Se tienen fichas numeradas del 1 al 40. Se ha extraído 5 fichas, las cuales han resultado ser todos números pares. ¿Cuántas fichas como mínimo se debería extraer adicionalmente para estar seguros de que se tenga 2 fichas cuya suma sea un número impar? A) 14 B) 15 D) 18
se han extraido 5 pares P P P P P + I
C) 16 E) 21
PREGUNTA N.º 09 ¿Cuál es el número máximo de agujeros que se puede taladrar en una plancha de acero de 12 cm por 8 cm, si cada agujero es una circunferencia de longitud 2π cm ?
8 cm
12 cm
3
Razonamiento Matemático
A) 30 B) 24 D) 26
C) 25 E) 27
EXAMEN FINAL
chapitas, con los que podrá canjear 2 botellas más, y como es lógico, con las dos chapitas que quedan ya no podrá canjear ni una botella más.
Resolución
Respuesta: Por lo tanto, Julio podrá consumir como máximo 16 botellas. Alternativa E
Tema: Máximos y Mínimos Para hallar la longitud (L) de una circunferencia usamos la formula L = 2πr En el ejercicio, la circunferencia (según el dato), tiene una longitud de 2π cm , con lo que se concluye que el radio (r) mide 1 cm . En el gráfico:
PREGUNTA N.º 11 Dada la siguiente distribución de datos: Intervalo
fi
Fi
2 5
[40 ;50
7
36 48 50
8 cm
H T A M G I S A I M E D
Hallar la suma de la moda y la mediana.
1 cm
12 cm
A C A
El número máximo de agujeros que se pueden taladrar en la plancha de 12 × 8 cm es: 6 × 4 = 24
Respuesta: Por lo tanto, en la plancha se podrán taladrar 24 agujeros como máximo. Alternativa B PREGUNTA N.º 10 ¡¡¡Oferta!!! “Por cinco chapitas de Pilsen Callao, lleve gratis dos botellas llenas”. Si Julio junta apresuradamente 26 chapitas, ¿cuántas botellas podrá consumir como máximo? A) 10 B) 12 D) 14
C) 15 E) 16
Resolución
A) 80 B) 45 D) 85
C) 95 E) 90
Resolución
Tema: Estadística
Se conoce que: f1 = F1 = 2
También: F3 = f1 + f2 + f3 = 2 + 5 + 36 = 43 Además: •
F5 = F4 + f5
50 = 48 + f5
•
→
f5 = 2
→
f4 = 5
F4 = F3 + f4 48 = 43 + f4
También en:
[40 ;50
el ancho de clase (w) seria: w = 10
Completando la tabla se tiene
Tema: Máximos y Mínimos Si por 5 chapitas le dan a Julio 2 botellas llenas, entonces por las 25 chapitas que tiene inicialmente podrá recibir 10 botellas, sobrándole 1 chapita. Luego de consumir las botellas canjeadas en total le quedarían 11 chapitas, con lo que podrá canjear 4 botellas más, sobrándole 1 chapita. Por último, luego de consumir las botellas le quedarían 5
Intervalo
[20 ;30 [30;40 [40 ;50 [50;60 [60 ;70
fi
Fi
2
2
5
7
36
43
5
48
2
50
4 5
Razonamiento Matemático
i) Hallando la moda ( Mo ) La mayor frecuencia se presenta en el tercer intervalo I3 = [ 40 ;50 ; f3 = 36 , entonces la moda será:
EXAMEN FINAL
son a y b , no hay más. También 17 < d < e , no pueden ser iguales, habría otra moda • La media es 17,2 y con los valores anteriores calculamos:
d Mo = Lo + wo 1 d1 + d2 31 Mo = 40 + 10 31 + 31
17,2 =
16 + 16 + 17 + d + e 5
86 = 49 + d + e
→
d + e = 37
18 19 (las edades son mayores a 17)
Mo = 45
Respuesta: Por lo tanto, la mayor edad es 19
En este caso: d1 = f3 − f2 = 36 − 5 = 31
Alternativa D
d2 = f3 − f4 = 36 − 5 = 31
PREGUNTA N.º 13 La gráfica muestra el peso (kg) de un grupo de personas.
H T A M G I S
ii) Hallando la mediana ( X m ) En el cuadro se observa que existen 50 datos, la mitad de ellas serían 25 datos y deben corresponder al intervalo
[40 ;50
Halle: Me + Mo
A I M E D
que sería la clase mediana, entonces según esto la mediana será: X m = Lm +
wm n − Fm−1 fm 2
X m = 40 +
10 ( 25 − 7 ) 36
X m = 45
Respuesta:
A C A
kg
fi
32
15
Fi
23
44
10
50 56
45
A) 70 B) 76 D) 94
C) 89 E) 106
Resolución
Tema: Estadística
Por lo tanto, de (i) y (ii): Mo + X m = 90
Alternativa E
PREGUNTA N.º 12 Se conoce las edades de 5 jóvenes. La media de ellas es 17,2 años; su moda es 16 y su mediana es 17. ¿Cuántos años tiene el mayor de los jóvenes si todas las edades son expresadas con valores enteros? A) 16 B) 17 D) 19
C) 18 E) 20
Resolución Tema: Estadística Sean las edades: a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e • La mediana es 17, sólo si c = 17 • La moda es 16, sólo si a = b = 16 Nótese que para que exista moda, debe repetirse un valor, como la mediana es 17, los únicos valores menores
Se conoce que: f1 = F1 = 15 También: • F2 = f1 + f2
23 = 15 + f2
•
F3 = F2 + f3
•
F4 = F3 + f4
F3 = 23 + 10 45 = 33 + f4
→
f2 = 8
→
F3 = 33
→
f4 = 12
Completando la tabla se tiene: kg
fi
Fi
32
15
15
44
8
23
50
10
56
12
33 45
5
Razonamiento Matemático
EXAMEN FINAL
En la tabla:
fi
Intervalo
[a ; b [b ; c [c ; d [d ; e [e ; f ]
i) Hallando la mediana ( Me ) La mediana debe estar ubicada en el valor que corresponde a la mitad de los datos. Según la tabla: 45 es el total de datos, la mediana debería ocupar el lugar 22,5. Pero como podemos ver en la columna de los Fi , en la primera fila se acumulan 15 datos, entonces se tomará el inmediato superior F2 = 23 con lo que la mediana será: Me = x2 = 44 ii) Hallando la moda ( Mo ) En la tabla se observa que la mayor frecuencia está en f1 = 15 .
x
4x 8x 2x
x
De la tabla podemos señalar que: x + 4 x + 8 x + 2 x + x = 400 16 x = 400 → x = 25 En [ c ; f ] habrá: f3 + f4 + f5 = 8 x + 2 x + x = 11( x ) = 11(25) = 275
Luego, la moda será: Mo = x1 = 32
H T A M G I S Respuesta:
Respuesta:
Por lo tanto, de (i) y (ii): Me + Mo = 76
A I M E D
Alternativa B
A C A
PREGUNTA N.º 14 Se tiene el siguiente histograma de frecuencias absolutas
PREGUNTA N.º 15 El siguiente gráfico muestra el número de alumnos ingresantes a la UNASAM. Halle el porcentaje de ingresantes del CPU. C
Frecuencia Absoluta
8x
Por lo tanto, en [ c ; f ] habrá 275 observaciones. Alternativa A
D
50
320
B
150
120
4x
360
2x
A
CPU
x
Rangos a
b
c
d
e
f
¿Cuántas observaciones hay en el rango [ c ; f ] si la población es de 400? A) 275 B) 225 D) 244
C) 218 E) 293,3
Resolución Tema: Estadística Del histograma se puede indicar la siguiente tabla de frecuencias.
A) 37% B) 42% D) 32%
C) 36% E) 40%
Resolución Tema: Estadística En el gráfico se observa que los valores asignados a los sectores no están expresados en grados (°), ni en porcentajes (%), luego la suma de todas las partes nos dará el total de ingresantes Total = 120 + 150 + 50 + 320 + 360 = 1000
Piden calcular el porcentaje de ingresantes por la modalidad del CPU.
6 7
Razonamiento Matemático 360 =
360 × 100% = 36% 1000
Por condición del ejercicio:
Respuesta: Por lo tanto, el porcentaje de ingresantes por el CPU es de 36% Alternativa C PREGUNTA N.º 16 ¿Cuántos números pares de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos 1; 2; 5; 6; 7; 8; 9 si cada dígito puede emplearse una sola vez? A) 210 B) 90 D) 126
EXAMEN FINAL
C) 36 E) 70
n(n − 1) = 120 2 n(n − 1) = 240 = 16(16 − 1) →
n = 16
Respuesta: Por lo tanto, participaron 16 equipos Alternativa E PREGUNTA N.º 18 ¿Cuántos jugos distintos podemos preparar como máximo con 8 frutas diferentes?
Resolución Tema: Análisis Combinatorio La cifra de las unidades puede ser ocupado por 2, 6 u 8, una vez seleccionado el dígito, cualquiera de los seis restantes puede ocupar la cifra de las decenas, y cualquiera de los cinco que queden podrá ocupar la cifra de las centenas.
A) 255 B) 256 D) 265
C) 64 E) 8
H T A M G I S debe ser par
a b c
A C A
Total de #s = 5 × 6 × 3 = 90
Respuesta: Por lo tanto, habrá 90 números
A I M E D
PREGUNTA N.º 17 En un campeonato se jugaron 120 partidos. ¿Cuántos equipos participaron si se sabe que jugaron todos contra todos? A) 12 B) 18 D) 14
C) 20 E) 16
Resolución
Tema: Planteo de Ecuaciones Sea “n” el número de equipos. Como jugaron todos contra todos, entonces analizaremos los casos particulares para luego generalizar mediante el método inductivo. Partidos # Equipos
1 2 3 1 2 3 4
1 2 3
n
Tema: Análisis Combinatorio
Para preparar el jugo podemos usar una sola fruta o combinar varias; además si usamos 3 frutas diferentes, por ejemplo, sin importar el orden en que se mezclen sólo se obtendrá un jugo; por lo tanto no interesa el orden de los elementos. 8 # jugos = C18 + C28 + C38 + + C 88 = 2 − 1 = 255 propiedad
Alternativa E
1 2
Resolución
=
1
=
2×1 2
=
3
=
3×2 2
=
4×3 2
=
6
=
n(n − 1) 2
Respuesta: Por lo tanto, podemos preparar 255 jugos distintos Alternativa A PREGUNTA N.º 19 En una reunión hay 10 varones y 8 mujeres. Si se elige 3 personas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean mujeres? A)
8 102
D)
15 102
B)
5 16
C)
7 102
E)
1 8
Resolución Tema: Probabilidades Como necesitamos grupos de 3 personas de un total de 10 + 8 = 18 , entonces: • Sea el evento A: grupo formado por 3 mujeres •
# total de casos posibles = C318
•
# casos favorables a A = C38
7
Razonamiento Matemático
EXAMEN FINAL
Entonces la probabilidad del evento A, es: P(A) =
C38 C318
Resolución
8×7×6 8×7×6 7 = 3× 2×1 = = 18 × 17 × 16 18 × 17 × 16 102 3× 2×1
Tema: Conteo de Figuras Se pide calcular el número total de triángulos. En este caso vamos a realizar el conteo de triángulos por inducción, para ello analizaremos los casos particulares.
Respuesta: Por lo tanto, la probabilidad de que todos sean mujeres es 7 102
Alternativa C
PREGUNTA N.º 20 ¿Cuántas palabras de 6 letras diferentes que terminen en A, pueden obtenerse con las letras de la palabra ROSITA, sin que se repita ninguna palabra y sin importar el sentido de la palabra?
1 2
1
1 2 3
5
1
14
+4
+9
22
32
Luego piden: 12 + 22 + 32 + + 152 =
15 × 16 × 31 = 1240 6
H T A M G I S
A) 24 B) 48 D) 120
C) 50 E) 720
Respuesta: Por lo tanto, el total de triángulos es 1240
Resolución
Tema: Análisis Combinatorio
A C A
A I M E D
Alternativa C
PREGUNTA N.º 22 ¿Cuántos cuadriláteros que no son cuadrados hay?
Como las palabras deben terminar en A, entonces consideremos a esta letra como un elemento fijo y el resto deben permutarse entre si R O S IT A
Fijo
Estas letras se deben permutar
# de palabras = P55 =
5! = 5! = 120 (5 − 5)!
Respuesta: Por lo tanto, se podrán obtener 120 palabras
Alternativa D PREGUNTA N.º 21 Halle el número de triángulos que se pueden contar en la siguiente figura. 1
2
3
13
14
15
A) 225 B) 180 D) 115
C) 170 E) 200
Resolución Tema: Operadores Matemáticos En el gráfico 1
2
3
4
5
2
3
4
A) 1000 B) 1225 D) 1300
C) 1240 E) 1350
5
8 9
Razonamiento Matemático
PREGUNTA N.º 24 Una persona de 1,60 m de estatura recorre por toda la línea ecuatorial. ¿Cuánto más ha recorrido su coronilla que la planta de sus pies?
5 × 6 5 × 6 #de cuadriláteros = = 225 2 2
#de cuadrados = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 =
EXAMEN FINAL
5 × 6 × 11 = 55 6
A) 9,82 m. aprox. B) 8,30 m. aprox. C) 10,92 m. aprox. D) 9,8 m. aprox. E) 10,05 m. aprox.
Ahora, considerando que: # de # de cuadriláteros # total de + = cuadrados que no son cuadrados cuadriláteros
# de cuadriláteros total de total de = − no cuadrados cuadriláteros cuadrados # de cuadriláteros = 255 − 55 = 170 no cuadrados Respuesta:
Resolución Tema: Planteo de Ecuaciones Si representamos la línea ecuatorial mediante una circunferencia, entonces según el gráfico se tiene:
H T A M G I S 1,60 m
Por lo tanto, hay 170 cuadriláteros que no son cuadrados. Alternativa C
A I M E D
r
PREGUNTA N.º 23 Determinar el perímetro de la región sombreada; si todos son círculos de radio 1m.
A C A
Como la persona recorre toda la línea ecuatorial, entonces calculamos lo que recorre la planta de sus pies (círculo pequeño) y lo que recorre su coronilla (círculo grande)
A) 6 π m
B) 7 π m
D) 4 π m
C) 8 π m
E) 14 π m
Resolución
•
Lpies = 2πr
•
Lcoronilla = 2π(r + 1,60)
Ahora calculamos cuanto más a recorrido su coronilla que la planta de sus pies Lcoronilla − Lpies = 2π(r + 1,60) − 2πr = 2πr + 2π(1,60) − 2πr = 2π(1,60) = 10,053
Tema: Perímetros En la figura, si contorneamos toda la región sombreada, notaremos que lo pedido (el perímetro) será la longitud de las 4 circunferencias de radio 1 m. luego: Perímetro = 4 ( L ) = 4 [2π(1)] = 8 π
Respuesta: Por lo tanto, su coronilla ha recorrido 10,05 m. más que la planta de sus pies aproximadamente. Alternativa E
Respuesta: Por lo tanto, el perímetro de la región sombreada es 8π m. Alternativa C
PREGUNTA N.º 25 Calcular la longitud mínima que debe recorrer la punta de un lápiz para dibujar la siguiente figura.
9
Razonamiento Matemático 3 cm
3 cm
EXAMEN FINAL
3 cm
2 cm
2 cm
A) 39 cm. B) 49 cm. D) 36 cm.
C) 48 cm. E) 42 cm.
Resolución Tema: Trazo de Figuras Observemos atentamente el gráfico: P 2 cm I
3 cm
H T A M G I S
I
3 cm
I
P
P
2 cm P
I
3 cm
I
A C A
P
A I M E D I
P
# de puntos impares = 6 # de lineas repetidas =
6−2 =2 2
En la figura se muestra, mediante líneas curvas, las líneas que se repetirán, entonces el mínimo recorrido será: 3(9) + 2(8) + 3(2) = 49
Respuesta: Por lo tanto, la longitud mínima es 49 cm Alternativa B
10
