ACADEMIA
lgebra tica - Á
Aritmé
PREGUNTA N.º 01 La suma de las dos cifras de un número en base decimal es 11 y si al número se le suma 27, el orden de sus cifras se invierte. Hallar la suma de los cuadrados de las cifras del número. A) 72 B) 73 D) 85
Tema: Numeración Sea el número inicial: abc
C) 61 E) 65
Por condición: (a + 2)(b − 9)(c + 6) Como este número es mayor que el inicial, entonces ha sufrido un aumento que lo hallaremos así:
Resolución Tema: Numeración
(a + 2)(b − 9)(c + 6) − abc = x
Sea el número buscado: ab 2
Piden calcular: a + b
Descomponiendo polinómicamente.
H T A M G I S
2
Nos dicen que: a + b = 11
(I)
Además: ab + 27 = ba
A C A
Descomponiendo polinómicamente se tiene: 10a + b + 27 = 10b + a 9a − 9b = −27 9 ( a − b ) = −27 a − b = −3
Resolución
A I M E D
a+b =1 a − b = −3 2a = 8
Respuesta: Por lo tanto, el número ha aumentado en 116.
A) 12 B) 13 D) 17
+
→
a = 4 b = 7
Finalmente: a2 + b2 = 42 + 72 = 16 + 49 = 65 Respuesta: Por lo tanto, la suma de los cuadrados de las cifras del número es 65 Alternativa E PREGUNTA N.º 02 ¿Qué sucede con un número de 3 cifras, si a la primera se aumenta 2; a la segunda se le disminuye 9 y a la tercera se le aumenta 6? A) Disminuye en 116 C) Disminuye en 104 E) Aumenta en 116
100a + 200 +10b − 90 + c + 6 −100a −10b −c = x x = 116
Alternativa E
PREGUNTA N.º 03 La suma de los tres términos de una sustracción es 1092. Si el sustraendo es la sexta parte del minuendo, hallar la suma de cifras del complemento aritmético de la diferencia.
(II)
Sumando (I) y (II)
100(a + 2) + 10(b − 9) + c + 6 − 100a − 10b − c = x
B) Aumenta en 296 D) Aumenta en 104
C) 14 E) 18
Resolución
Tema: Cuatro Operaciones. Los términos de una sustracción son: M− S = D
(∗)
Donde: M: minuendo; S: sustraendo; D: diferencia. Como condiciones tenemos: M + S + D = 1092 1 S = 6 ( M) De la segunda condición se obtiene: S 1 = M 6
→
S=k M = 6k
1
Aritmética - Álgebra
Reemplazando en (∗) 6k − k = D
→
D = 5k
Ahora reemplazamos los valores obtenidos en la primera condición. M + S + D = 1092
EXAMEN PARCIAL
PREGUNTA N.º 05 Las edades de Teresa y Roxana están en la relación de 3 a 2 respectivamente. Si Teresa es 12 años mayor, la edad de Roxana es: A) 24 B) 30 D) 20
6k + k + 5k = 1092 12k = 1092
→
C) 32 E) 18
Resolución
k = 91
Tema: Razones y Proporciones
Luego: D = 5k = 5 ( 91) = 455
Sean A y B las edades de Teresa y Roxana respectivamente, por condición del problema se tiene:
El CA ( 455 ) = 545 Respuesta: Por lo tanto, la suma de cifras del CA ( 455 ) es 14 Alternativa C
A 3 = B 2
→
A = 3k B = 2k
(∗)
H T A M G I S A I M E D
PREGUNTA N.º 04 Hallar un número de dos cifras sabiendo que la suma de sus cifras es 12 y si de este número se resta el número formado por las mismas cifras escritas en orden inverso, se obtiene 18 de diferencia. A) 57 B) 84 D) 48
A C A
Además:
C) 75 E) 39
A = B + 12
3k = 2k + 12 k = 12
Reemplazando en (∗) , las edades de Teresa y Roxana serán: 24 y 36 años respectivamente. Respuesta: Por lo tanto, la edad de Roxana es 24 años.
Resolución
Tema: Cuatro Operaciones.
Alternativa A
Sea ab el número indicado; por condiciones del problema se cumple:
PREGUNTA N.º 06 La razón aritmética de 2 números es 44 y su razón geométrica es 7/6, el mayor número es:
a + b = 12 ab − ba = 18
A) 264 B) 308 D) 318
(I)
(II)
C) 358 E) 314
Resolución
Descomponiendo polinómicamente (II) 10a + b − 10b − a = 18
Tema: Razones y Proporciones.
9a − 9b = 18
Sean A y B los números indicados y según condiciones del problema se cumple:
9 ( a − b ) = 18 a−b =2
(III)
B − A = 44 A 7 = B 6
De (I) y (III), se obtiene a=7 → b=5 Respuesta:
ab = 75
(Razón aritmética) (Razón geométrica)
De la segunda condición se obtiene:
Por lo tanto, ab = 75 Alternativa C
A 7 = B 6
→
B = 7k A = 6k
2 3
Aritmética - Álgebra
Reemplazando en la primera condición.
EXAMEN PARCIAL
Elevando al cubo:
7k − 6k = 44
5= 3
k = 44
5 x − 59 53 − 5 x
5 x − 59 53 − 5 x
Luego, el mayor de los números es:
53 =
B=7k=308
53 ( 53 − 5 x ) = 5 x − 59
Respuesta: Por lo tanto, el mayor de los números es 308
56 − 5 x +3 = 5 x − 59 Alternativa B
PREGUNTA N.º 07 El sueldo de una persona es DP al cuadrado de sus años de servicio. Una persona con un sueldo de S/. 1800 tiene 6 años de servicio. ¿Cuál será su sueldo con 8 años de servicio? C) S/. 2800 E) S/. 4200
Tema: Magnitudes Proporcionales.
DP
Sueldo
Dentro de 8 años:
→
x=6 6 x = 6 ⋅ 6 = 62 = 6
Piden calcular:
A
CA
A I M E D
x
2
(8)
Alternativa B
2 −2 1 −3 4 −1 + + = 36 3 11 5
2
(6)
6x = 6
PREGUNTA N.º 09 Al simplificar
( Años de servicio )
1800 x
Respuesta:
2
Como las s magnitudes son DP. 1800 x = 2 62 8
56 = 5 x
Por lo tanto,
Resolución
Actual:
56 (1 + 53 ) = 5 x (1 + 53 )
H T A M G I S
A) S/. 3200 B) S/. 1600 D) S/. 3100
Del enunciado:
56 + 59 = 5 x + 5 x+3
El valor de x; es:
A) – 2 B) – 1 D) 1
C) 0 E) 2
Resolución
→
x = 3200
Tema: Teoría de Exponentes.
Respuesta: Por lo tanto, con 8 años de servicio tendrá un sueldo de S/. 3200 Alternativa A
Aplicando las leyes de exponentes.
PREGUNTA N.º 08
5 2 3 11 + 3 + = 36 4 2
Al resolver 5 = 3
x
2 −2 1 −3 4 −1 + + = 36 3 11 5 x
5 x − 59 , el valor de 53 − 5 x
A) 1/6 B) 6 D) – 6 Resolución Tema: Ecuaciones Exponenciales.
6x , es: C) – 1/6 E) 35/6
x
11 25 + 27 + = 36 4 4
36 x = 36
→
x =1
Respuesta: Por lo tanto, el valor de x = 1 Alternativa D
3
Aritmética - Álgebra
PREGUNTA N.º 10 Sea: 2 x 2 − x + 1 a bx + c = + 2 x ( x 2 + 1) x x + 1
EXAMEN PARCIAL
M = x 4 + 2 x 3 − 7 x 2 − 8 x + 15 Factorizando por aspa doble especial: M = x 4 + 2 x 3 − 7 x 2 − 8 x + 15
El valor de ( a ⋅ b ⋅ c ) es:
2
x
−5
SDT : −7x 2 ST : −8x 2
x2
x
−3
falta:
x
A) – 1 B) 2 D) 1/2
C) 1 E) – 2
x2
M = ( x 2 + x − 5 )( x 2 + x − 3 )
Resolución Tema: Ecuaciones Fraccionarias.
De donde un factor primo puede ser x 2 + x − 5 ó x 2 + x − 3
2 x 2 − x + 1 a bx + c = + 2 x ( x 2 + 1) x x + 1
Respuesta: Por lo tanto, según las alternativas x 2 + x − 3 es el factor pedido Alternativa B
2 2 x 2 − x + 1 a ( x + 1) + x ( bx + c ) = x ( x 2 + 1) x ( x 2 + 1)
H T A M G I S
2 x 2 − x + 1 = ax 2 + a + bx 2 + cx
2 x 2 − x + 1 = ( a + b ) x 2 + cx + a Igualando coeficientes: 2=a+b c = −1 a =1
→
a =1 b =1 c = −1
A I M E D
PREGUNTA N.º 12
A C A
Alternativa A
PREGUNTA N.º 11 Al factorizar ( x − 2 )( x − 1)( x + 2 )( x + 3 ) + 3 , un factor primo, es: A) x − x − 3
B) x + x − 3
D) x 2 + 3
Como el denominador es un polinomio cúbico, entonces efectuaremos la división por el método de Horner. Para ello ordenaremos en forma descendente ambos términos de la división. 4 x − 5x3 + 6 x5 − 3 6 x5 − 5x3 + 4 x − 3 = 2 − x + 2x3 2x3 − x + 2 ÷
2 6 0 ÷ 1 −2 3
2
C) x + x + 3 E) x 2 + x
Resolución Tema: Factorización Polinómica. Sea: M = ( x − 2 )( x − 1)( x + 2 )( x + 3 ) + 3
De donde :
Efectuando y ordenando adecuadamente: M = ( x 2 − 4 )( x 2 + 2 x − 3 ) + 3
C) 0 E) 2
Tema: División Polinómica
Respuesta: Por lo tanto, a ⋅ b ⋅ c = −1
2
A) – 1 B) – 2 D) 1
Resolución
Piden calcular: a ⋅ b ⋅ c = (1)(1)( −1) = −1
2
4 x − 5x3 + 6 x5 − 3 , la suma de los 2 − x + 2x3 coeficientes del cociente, es:
Al efectuar la división
∑ Coef .
+
+
0 −5 0 3 0 0 −2 0 −1
0 4 −3 −6 0 0 0 −1 2 − 6 3 −1
2 q( x ) = 3 x − 1 2 r( x ) = −6 x + 3 x − 1
q( x ) = 3 + 0 − 1 = 2
4 5
Aritmética - Álgebra
EXAMEN PARCIAL
Elevando al cuadrado la segunda condición:
Respuesta: Por lo tanto,
∑ Coef .
q( x ) = 2
Alternativa E
2
(a + b)
= 16
2 a2 + 2 ab + b = 16
PREGUNTA N.º 13
3
a2 + b2 = 10
x 3n−9 − y 6 n−3 Sea el cociente notable n−3 n+6 , el grado absoluto del x −y término tercero, es:
Piden calcular el valor de
A) 13 B) 26 D) 39
2 2 2 + ab 2 + ab R = a+ +b+ = + b a b a
2
C) 13/2 E) 42
2
2
R=
Resolución Tema: Cocientes Notables.
3 ( n − 3)
6n − 3 = n+6 n−3
3n + 18 = 6n − 3 De ahí que:
b2
2
+
( 2 + ab ) a2
( 2 + ab ) ( a2 + b2 ) R= 2 ( ab )
2
=
2
a2 ( 2 + ab ) + b2 ( 2 + ab )
( ab )
2
reemplazando los valores anteriores
H T A M G I S A I M E D R=
→
2
2
Para que la división indicada genere un cociente notable, entonces debe cumplir la condición necesaria y suficiente: 3n − 9 6n − 3 = n−3 n+ 6
( 2 + ab )
2
n=7
A C A
2
( 2 + 3 ) (10 ) = 250 9
9
Respuesta:
Por lo tanto, R =
250 9
Alternativa C
x 3n−9 − y 6 n−3 x12 − y39 = 4 13 = x 8 + x 4 y13 + y26 x n−3 − y n+6 x −y
Respuesta: Por lo tanto, el grado absoluto del término tercero es 26 Alternativa B PREGUNTA N.º 14 2
2 2 Si a + b = 4 , ab = 3 , el valor de R = a + + b + b a es:
A) 160/9 B) 210/7 D) 16
2
C) 250/9 E) 170/9
Resolución Tema: Productos Notables. Como condiciones tenemos: ab = 3 a+b=4
5
